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グラフの凡例


 当サイトに掲示しているグラフを作成した Mathematica は、Version5.01 と Version8.01 の二種類が混在しています (Ver.5~6の間でプロット機能の変更点が多いため、旧コードの Ver.8対応化を断念したことによる)。両者は基本的に同じタイプのグラフですが、デザインが少し異なります。
 以下では、それぞれのデザインで採用している独自のカラーリング等について、同じ楕円関数を描画した結果を用いて説明します。なお、ここで説明していないタイプのグラフも存在します (特に複素変数ではないグラフに多い)。
 グラフの画像は、すべて PNG 形式で掲載しています。
 また、グラフ描画用の Mathematica コードと、その使用方法を記載したマニュアルは別頁「Mathematica関連」にあり、ダウンロードが可能です。

Version8で作成したグラフ

 対応する Mathematica コード:MathematicalFunctionPlot.m

実変数関数プロット(方眼紙付き)

  • 実変数関数プロット(Ver8)の例
 典型的な関数のグラフ。定義域が線分上にあり、値域が実数になる場合に使用する。
 背景に置かれる方眼紙は、太線の間を細線が2分割し、さらに太線と細線の間を極細線が5分割する。方眼紙の色は上記の水色とは限らず、曲線の色に応じて変えている。
 なお、ひとつの方眼紙上に複数のグラフを重ね描きしているときの曲線のカラーリングは、助変数の値が大きくなるにしたがって、後述の「色相環」の反時計回りになるようにしている。

複素変数関数プロット:絶対値と偏角(3次元)

  • 複素変数関数プロット絶対値と偏角(Ver8)の例
 複素変数関数の値について、その絶対値を底面から曲面までの高さ、偏角を曲面のカラーリングで表わしたグラフ。カラーリングは「色相環」に基づいている (詳細は次のグラフで説明)。
 視覚補助のため、曲面上に絶対値・偏角それぞれの等高線を引いている。絶対値の等高線は底面で黒、描画範囲の最大値で白になるようなグラデーションになる。偏角の等高線は黒のみ。
 偏角の等高線は常に等間隔だが、絶対値の等高線は多くが指数関数的な間隔で引かれる。絶対値が急激に増大もしくは0に近づくような関数は指数関数と指数関数の合成関数的な間隔、逆に、絶対値の変化が緩慢な関数は等間隔で引かれる場合もある。
 絶対値が描画範囲を超えた部分は平面で塞がれるが、偏角のカラーリングと等高線は延長される。
 このグラフを真上から見た場合(つまり曲面の高さを無視した場合)のグラフが、次の「偏角のみ2次元グラフ」と一致する (等高線は両者で一致するように統一したが、定義域の範囲は異なる場合がある → 多くは絶対値が急激に増大する関数のとき)。
 座標軸のラベルは、「Re」が実数方向、「Im」が虚数方向を表わす (これは以下同様)。

複素変数関数プロット:偏角のみ(2次元)

  • 複素変数関数プロット偏角のみ(Ver8)の例
 複素変数関数の値について、その絶対値を等高線のグラデーションのみ、偏角をカラーリングと等高線で表わしたグラフ。カラーリングは「色相環」に基づいている。偏角が0のときを赤にしている。
 絶対値の等高線は0のとき黒、前の「絶対値・偏角3次元グラフ」での最大値で白になるようなグラデーションになる。最大値を超えた絶対値の等高線もこのグラフでは延長して引かれ、白が継続する。偏角の等高線は黒のみ。等高線の間隔の取り方は、「絶対値・偏角3次元グラフ」と同じ原則に従っている。(Böttcher 関数は、最小絶対値が1なので、これを描画の底面として絶対値等高線の色および間隔を決定している。)

(色相環について)
 偏角を表わす色相環は、次の凡例図のとおり。図に表示した角度はラジアンとする。
 このうち、赤・緑・青は「光(加法混合)の三原色」、黄・シアン・マゼンタは「色(減法混合)の三原色」と呼ばれる。(→ Wikipedia「色相」, 「原色」を参照。)
色相環
(零点と極の判別について)
 Version5と異なり、絶対値の等高線がグラデーションになっているので、零点と極の違いは、より判別しやすくなっているが、基本的には、色相環が反時計回りならば零点、時計回りならば極となることでも判別できる。また、色相環のサイクルが現れる回数によって、その位数も読み取れる。
 下の図は最初のグラフを拡大したもので、零点の位数は1、極の位数は2であることが分かる。
 因みに、真性特異点の場合はサイクルが無限回現れ、分岐点の場合は実数回(サイクルが断絶した偏角方向に分枝切断線を設ける)となる。
零点と極の判別法

複素変数関数プロット:実部または虚部(3次元)

  • 複素変数関数プロット実部(Ver8)の例
  • 複素変数関数プロット虚部(Ver8)の例
 複素変数関数の値について、実部を垂直軸方向に0から曲面までの高さで表わしたグラフが左、虚部のグラフが右。つまり、複素変数関数の真の姿は、二つのグラフの和(2成分のベクトル)となる。カラーリングは「色相環」における実数方向の2色を実部のグラフ、純虚数方向の2色を虚部のグラフで採用している (詳細は下記のとおり)。
 両者とも、値が0のときの曲面は不透過だが、値の絶対値が大きくなるにしたがって曲面の透過率が増えるようにしている。
 視覚補助のため、曲面上に実部・虚部それぞれの等高線を引いている。等高線の色は曲面と同じ考え方で配色されている。
 実部のグラフでは、実部の等高線は常に等間隔、虚部の等高線は関数的間隔となる。一方、虚部のグラフでは、虚部の等高線は常に等間隔、実部の等高線は関数的間隔となる。ここに、関数的間隔はほとんどが指数関数を使用している。
 値が描画範囲を超えた部分は穴が開く (平面で塞がれない)。

(2色の選定方法の概念図)
 因みに、後述の Version5もこれと同じ考え方に基づいている。
2色の選定方法

複素変数関数プロット:基本領域(2次元)※

  • 複素変数関数プロット基本領域(Ver8)の例
 複素変数関数の値について、その絶対値を等高線のグラデーションのみ、偏角をカラーリングと等高線で表わしたグラフ。本質的には、「偏角のみ2次元グラフ」と同じだが、カラーリングに「2値に偏向された色相環」を使用している。このため、互いに曲線を介して隣接しあう2色1組の領域は、そこで複素関数がすべての複素数値を唯一度だけ取ることになる。
 絶対値の等高線は0のとき黒、「絶対値・偏角3次元グラフ」での最大値で白になるようなグラデーションになる。最大値を超えた絶対値の等高線もこのグラフでは延長して引かれ、白が継続する。偏角の等高線は黒のみ。等高線の間隔の取り方は、「絶対値・偏角3次元グラフ」と同じ原則に従っている。

  「基本領域」 とは、合同変換群の部分群の作用により、平面上でタイル張りが可能となる多角形領域のことを言うので、これに該当する一部の楕円関数や保型関数の場合を除き、このプロットに基本領域の名称を与え、そのコマンド名を 「FundamentalRegionPlot」 としたのは本来ならば相応しくなかった。(しかし、今更変更できない。)
 下記で説明するとおり色相環の断続が実軸上にあるので、むしろこのプロットは、(その描画対象が解析関数であれば) 各領域の境界曲線に対する 「Schwarz の鏡映原理」 を表わす。

(2値に偏向された色相環について)
 偏角を表わす2値偏向型の色相環は、次の凡例図のとおり。図に表示した角度はラジアン。
 つまり、偏角の正負に応じて塗り分けられる。視覚補助のため、若干のグラデーションがある。
2値に偏向された色相環

Version5で作成したグラフ

 対応する Mathematica コード:FunctionPlot.m

実変数関数プロット(方眼紙付き)

  • 実変数関数プロット(Ver5)の例
 このグラフは、Version5と8との間で、見た目の差はほとんど無い。カラーリング原則も同じ。画質はこちらのほうが少々荒い。

複素変数関数プロット:絶対値と偏角(3次元)

  • 複素変数関数プロット絶対値と偏角(Ver5)の例
 曲面上の等高線の代わりに、カラーリングの明暗エフェクトを用いて同等の効果を出している点のみが、Version8とは異なる。ただし、明暗エフェクトはグラデーションではなく周期的なので、絶対値の大小までは表わしていない。明暗エフェクトの周期間隔は、Version8と同じ考え方で等間隔、指数関数的間隔、指数関数と指数関数の合成関数的間隔が使い分けされている。
 カラーリングは、次の「偏角のみ2次元グラフ」と一致する。

複素変数関数プロット:偏角のみ(2次元)

  • 複素変数関数プロット偏角のみ(Ver5)の例
 直前の「絶対値・偏角3次元グラフ」と同じく、等高線の代わりに、カラーリングの明暗エフェクトを用いて同等の効果を出している点のみが、Version8とは異なる。カラーリングの「色相環」自体は、Version8と全く同じものを使用している。

複素変数関数プロット:実部または虚部(3次元)

  • 複素変数関数プロット実部(Ver5)の例
  • 複素変数関数プロット虚部(Ver5)の例
 Version8と同じカラーリングを採用しているが、曲面の透過率は適用されない (透過率の代わりに明暗率を適用しているが、あまり判然としない)。
 等高線は引かれない。また、値が描画範囲を超えた部分は平面で塞がれる。

複素変数関数プロット:基本領域(2次元)

  • 複素変数関数プロット基本領域(Ver5)の例
 Version8とほぼ同じだが、絶対値の等高線に対するグラデーション機能のみが無い。このため、零点と極の判別が付きにくいという欠点がある。このグラフも、等高線の間隔の取り方は種々の使い分けがある。

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