特殊関数 グラフィックスライブラリー
Graphics Library of Special functions

誤差関数

誤差関数

日：誤差関数，誤差積分
英：Error function，仏：Fonction d'erreur，独：Fehlerfunktion

　統計学における１次元絶対連続分布は、正規分布 (または Gauss 分布) と呼ばれる確率密度関数で表わされる。これは、調査標本や起こりうる確率事象が中央値で最も多く、それから離れるに従い少なくなるという自然現象を、連続化・理想化したモデルを意味しており、その中央値を最大値とする丘陵形の曲線を成す。正規分布の確率密度関数は初等関数であるが、事象の数え上げ (累積分布関数) はその積分になり、初等関数に還元できない。現在では、この積分の主要な部分
を誤差関数と称し、特殊関数の一群に含めている。正規分布の概念は、二項分布の極限として A. de Moivre が1733年に創始したものであるが、後年、C. F. Gauss が天体観測値の誤差評価の際に、彼および A. M. Legendre によって知られていた｢最小自乗法｣をこの関数とともに用いたこと等を経て、｢誤差関数｣ なる名称が定着した。
　本質的には誤差関数と同じであるが、若干の変形を施した、

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が併せて定義され、前者は相補誤差関数、後者は虚部誤差関数と呼ばれる。定積分の形から、誤差関数と虚部誤差関数は奇関数である。
　誤差関数は、冪級数

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に展開され、複素平面上で超越整関数となる (したがって、相補・虚部誤差関数も超越整関数である)。また、漸近的に
となる。誤差関数は、より一般的な関数の特殊ケースとして表わせる。典型的な例として、合流型超幾何関数による表示

• 

が挙げられる。
　相補誤差関数は、正規分布の累積分布関数のように誤差関数を左右反転する必要がある場合に重宝する。また、漸近級数展開式や連分数展開式は、相補誤差関数の方が若干簡単な形になる。例えば後者は、

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となる※1。さらに、誤差関数と相補誤差関数は、次の２階線形常微分方程式の２基本解となる。

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この線形常微分方程式は、を２級の不確定特異点とし、他には特異点を持たない。
　次の特別な Laplace 変換式は、誤差関数に対して自己言及的である。

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　誤差関数の応用分野は、前述のような歴史もあって確率論や統計学が中心となる。そこで扱われる確率分布の種類は膨大であるが、そのいくつかは正規分布の変形から生じており、したがって誤差関数の類似も数多く存在する。後述の Voigt 関数、Owen のＴ関数、および Marcum のＱ関数もそのような例であり、それらが満たす公式では誤差関数もよく出現することとなる。
　他の応用分野としては、単位格子中の静電ポテンシャルを計算する Ewald 法、高温プラズマ中の線形波動の伝播理論などがある。
　また、誤差関数は積分表示式が簡潔な形であるため、単なる演算の結果として現れることも多く、それゆえ純粋数学的な応用事例にも散見される (例えば、変形 Appell - Lerch 級数など)。
　やや枝葉末節的であるが、利便性その他の理由から、誤差関数に関連する補助的な関数がいくつか定義されている。ここでは、次の二つの関数を取り挙げる。
　虚部誤差関数と指数二次関数との積は公式等で度々出現する。そのため

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なる関数が定義され、これを研究した H. G. Dawson に因み、Dawson 関数 (あるいは Dawson 積分) と呼ばれる。明らかに Dawson 関数は奇関数であり、複素平面上の超越整関数である。
　Goodwin - Staton 関数は、積分あるいは積分指数関数との和

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で定義され、その名称は1948年に E. T. Goodwin および J. Staton がこれを研究したことに由来する。Goodwin - Staton 関数はを対数分岐点とする無限多価関数であり、負の実軸上に分枝切断線を置くが、指数関数を代入した関数は擬周期性
を満たし、分枝切断線を超える Goodwin - Staton 関数の解析接続を与える※2。
　この他にも、相補誤差関数の逐次積分 (Repeated integrals of the complementary error function)

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が定義されている。しかし、この関数は

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のとおり放物柱関数と本質的に同じなので、ここでは取り扱わない※3。

　誤差関数の導関数は、丘陵形の曲線を成す初等関数である。この曲線と軸、軸とで囲まれる領域の面積は１になる。

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　実変数の誤差関数および相補誤差関数のグラフ。上記関数の積分が誤差関数であるので、のとき、となる。

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　複素変数の誤差関数のグラフ。

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　複素変数の相補誤差関数のグラフ。

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　を平均値 (mean)、を標準偏差 (standard deviation)、およびを分散 (variance) とするときの、正規分布の確率密度関数 (Probability density function)、および累積分布関数 (Cumulative distribution function)は、

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と表わされる。二つの関数の意味をグラフ等にすると、次のようになる。

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　実変数の虚部誤差関数のグラフ。

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　複素変数の虚部誤差関数のグラフ。

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　実変数の Dawson 関数のグラフ。

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　複素変数の Dawson 関数のグラフ。

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　実変数の Goodwin - Staton 関数のグラフ。

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　複素変数の Goodwin - Staton 関数のグラフ。

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　実変数の Goodwin - Staton 指数関数のグラフ。

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　複素変数の Goodwin - Staton 指数関数のグラフ。

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Fresnel 関数

日：Fresnel関数，フレネル積分
英：Fresnel integral，仏：Intégrale de Fresnel，独：Fresnelsche Integrale

　誤差関数と同様に、二次関数を代入した三角関数の積分も応用等で頻繁に現れ、比較的古くから研究されていた。現在では、
を Fresnel 関数 (あるいは Fresnel 積分) と総称し、前者は Fresnel 正弦関数、後者は Fresnel 余弦関数と呼ばれる (を取り除いた形など、上記と異なる定義もある)。Fresnel 関数なる名称は、1818年に A. J. Fresnel が光学における回折現象を説明するため、この積分を用いた事に因む。
　誤差関数を指数関数の類似と見た場合、Fresnel 関数は三角関数に相当するものであって、両者は

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の関係にある。
　Fresnel 関数は、冪級数

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に展開され、ともに奇関数かつ複素平面上で超越整関数となる。また、漸近的に
となる。Fresnel 関数は合流型超幾何関数等の特殊ケースとして表わせるが、公式の多くは誤差関数のそれから導かれる。
　漸近級数展開式や相互関係式など幾つかの公式では、Fresnel 補助関数

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を定義しておくと、何かと便利である。
　Fresnel 関数の著しい応用分野は光学とクロソイド曲線である。前者の例としては、｢Fresnel interference pattern｣ と呼ばれる現象がある。これは、点光源から発せられた (レーザー等の) 光が直線エッジを持つ薄い板で遮られてスクリーン上に影をつくるとき、その境界線近傍に生じる微細な干渉縞のことを言う。その干渉縞の明度を関数とすると、次のように Fresnel 関数で表わすことができる。

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　クロソイド曲線はもっと早い時期から現れている。1694年に Jak. Bernoulli は、曲率が曲線長に比例する曲線を求める問題を提出したが、1744年に L. Euler は、この解を現在の ｢クロソイド曲線の媒介変数表示式｣
と本質的に同じ形で求め、曲線の両端が螺線になることも認識していた。｢クロソイド (Clothoid)｣ なる名称は、｢平面曲線の自然方程式 (Cesàro 方程式)※1｣ を研究した E. Cesàro がギリシャ神話から引用したものであるが、1874年に M. A. Cornu が光学の回折現象の研究過程でクロソイド曲線の正確な図を描画したので、｢Cornu の螺線 (Cornu's spiral)｣ と呼ぶことも多い。
　クロソイド曲線は、車両が一定速度で進行しながらハンドルを一定角速度で回したときに描く軌跡に相当するので、高速自動車道のカーブやインターチェンジの道路線形、ローラーコースターの垂直ループ部分等に適用されている。これらは、利用者に衝撃力が加わらないよう安全性を考慮した設計方法として広く知られており※2、1899年に A. N. Talbot が鉄道のカーブ設計に関して、初めて数学的に厳密な理論を展開した。

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　実変数の Fresnel 正弦関数および Fresnel 余弦関数のグラフ。

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　クロソイド曲線は螺線の一種である。

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　クロソイド曲線の曲率中心は螺線を描く。その媒介変数表示式は次のようになる。

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　つまり、逆に見るとこの螺線はクロソイド曲線の ｢縮閉線｣ であるから、これに巻き付けた糸を伸開するときに糸の先端がクロソイド曲線を描く。また、糸の接点 (無限遠にあるときを除く) から各螺線の巻き付き点までの曲線長は、クロソイド曲線が無限長であっても、その縮閉線は有限長であることが分かる。

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　Fresnel 関数の曲線およびクロソイド曲線の射影元となる空間曲線。

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　複素変数の Fresnel 正弦関数のグラフ。

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　複素変数の Fresnel 余弦関数のグラフ。

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　実変数の Fresnel 補助関数およびのグラフ。

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　複素変数の Fresnel 補助関数のグラフ。

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　複素変数の Fresnel 補助関数のグラフ。

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　実変数の Fresnel interference pattern 関数のグラフ。

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　複素変数の Fresnel interference pattern 関数のグラフ。

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超誤差関数

　比較的詳しい特殊関数の公式集では、誤差関数の積分表示式における指数関数の引数を、からに変更した関数への言及が見られる (例えば NIST の §7.16)。ここでは、さらに定数因子をかけた、

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を独自に超誤差関数と総称し、狭義には前者を超誤差関数、後者を超虚部誤差関数と呼ぶこととする。この定数因子は、極限値が簡単な

• 

になり、また、

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となるように意図したものである。
　超誤差関数は、冪級数

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に展開され、が自然数ならば複素平面上で超越整関数となるが、そうでないときはを対数分岐点 (または代数分岐点) とする無限多価関数 (または有限多価関数) となり、負の実軸上に分枝切断線が置かれる。
　より一般のに対する超誤差関数は、不完全ガンマ関数を用いて

• 

と表わせる。ただし、付随するの条件領域 (複素平面上で帯状領域となる) を超える領域では、不完全ガンマ関数部分を解析接続する必要がある。
　今のところ、超誤差関数が扱われる応用分野はほとんどない。｢共立 数学公式 附函数表 (1973年改訂増補版：共立出版)｣ では、定数因子を除いたの数表が掲載されている。

　を実変数とする超誤差関数のグラフ。太線はが正の整数のとき。

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　複素変数の超誤差関数のグラフ。

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　複素変数の超誤差関数のグラフ。

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　複素変数の超誤差関数のグラフ。

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　を実変数とする超誤差関数のグラフ。太線はが正の整数のとき。

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　複素変数の超誤差関数のグラフ。

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　複素変数の超誤差関数のグラフ。

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　を実変数とする超虚部誤差関数のグラフ。太線はが正の整数のとき。

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　複素変数の超虚部誤差関数のグラフ。

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　複素変数の超虚部誤差関数のグラフ。

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　複素変数の超虚部誤差関数のグラフ。

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　を実変数とする超虚部誤差関数のグラフ。太線はが正の整数のとき。

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　複素変数の超虚部誤差関数のグラフ。

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　複素変数の超虚部誤差関数のグラフ。

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超 Fresnel 関数

　誤差関数から超誤差関数への拡張を、同様に Fresnel 関数に対しても行い、超 Fresnel 関数
を独自に定義する、また、区別するときは前者を超 Fresnel 正弦関数、後者を超 Fresnel 余弦関数と呼ぶこととする。明らかに、

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であり、極限値は

• 

となる。
　超 Fresnel 関数は、冪級数

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に展開され、はが自然数、はが自然数または正の半奇数ならば複素平面上で超越整関数となるが、そうでないときはを対数分岐点 (または代数分岐点) とする無限多価関数 (または有限多価関数) となり、負の実軸上に分枝切断線が置かれる。
　より一般のに対する超 Fresnel 関数は、超誤差関数によって

• 

と表わされ、必要に応じてこれを解析接続したものとなる。
　超 Fresnel 関数を媒介変数表示式に用いて、クロソイド曲線の拡張である ｢(次の) 超クロソイド曲線｣
が定義できる。A. Gray 著 ｢Mathematica 曲線と曲面の微分幾何 (1996年：トッパン)｣ では、超クロソイド曲線 (名称は異なる) に関する考察がある。しかし、超クロソイド曲線は実社会等で応用される事例が無く、超 Fresnel 関数も今のところ応用分野が知られていない。

　を実変数とする超 Fresnel 正弦関数のグラフ。太線はが非負整数のとき。

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　を実2変数とする超 Fresnel 正弦関数のグラフ。

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　複素変数の超 Fresnel 正弦関数のグラフ。

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　複素変数の超 Fresnel 正弦関数のグラフ。

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　複素変数の超 Fresnel 正弦関数のグラフ。

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　を実変数とする超 Fresnel 正弦関数のグラフ。太線はが正の整数のとき。

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　複素変数の超 Fresnel 正弦関数のグラフ。

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　複素変数の超 Fresnel 正弦関数のグラフ。

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　を実変数とする超 Fresnel 余弦関数のグラフ。太線はが非負整数のとき。

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　を実2変数とする超 Fresnel 余弦関数のグラフ。

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　複素変数の超 Fresnel 余弦関数のグラフ。

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　複素変数の超 Fresnel 余弦関数のグラフ。

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　複素変数の超 Fresnel 余弦関数のグラフ。

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　を実変数とする超 Fresnel 余弦関数のグラフ。太線はが正の整数のとき。

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　複素変数の超 Fresnel 余弦関数のグラフ。

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　複素変数の超 Fresnel 余弦関数のグラフ。

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　曲線上のある点での曲率が、原点からその点までの曲線の長さの2乗に比例する、3次の超クロソイド曲線。

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　超 Fresnel 関数の曲線および3次の超クロソイド曲線の射影元となる空間曲線。

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　曲線上のある点での曲率が、原点からその点までの曲線の長さの3乗に比例する、4次の超クロソイド曲線。

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　超 Fresnel 関数の曲線および4次の超クロソイド曲線の射影元となる空間曲線。

• 
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　次数が実数上を動くときの、超クロソイド曲線の推移、および極限値 (螺線が巻付く点) の軌跡。

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Voigt 関数

日：Voigt関数，フォークト関数
英：Voigt function，仏：Fonction de Voigt，独：Voigt funktion

　Voigt 関数は、分光学における Voigt 分布を論じる際に附随して現れる。X線光電子分光法 (XPS) では、スペクトルに含まれる各ピークを分離するとき、素粒子の熱運動からの影響を考慮する必要がある。元々の電磁波等のスペクトルは (中心化) Lorentz 分布に従うが、熱運動効果は確率論的に (中心化) 正規分布に従うと解釈したとき、両者の畳み込み積分

• 

は、スペクトルのピーク形状を良く表わしており、このを Voigt 分布 (Voigt profile) という。
　一方、これの主要部分を整理したものが Voigt 関数

• 

であり、前者を用いれば、Voigt 分布は
と表わせる。
　Voigt 関数は、特別な相補誤差関数の実部と虚部

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に相当し、の複素平面上では偶関数または奇関数の対称性

• 

を有する超越整関数である。一方、の複素平面上では に (その近傍で真性特異点のように振る舞う) 分岐点を持ち、負の実軸上に分枝切断線が置かれる。ただし、では極限

• 

によって定義される。
　Voigt 関数の名称は、分光学における前述の研究をおこなった W. Voigt に因む。Voigt 関数の応用事例も、分光学に関連またはそれを援用する分野が中心となる。例えば、プラズマ診断技術、天体物理学、レーザー分光法などがある。

　を実変数とする Voigt 関数のグラフ。が実数であっても負数ならば、は一般に実数値をとらない。

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　複素変数の Voigt 関数のグラフ。

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　複素変数の Voigt 関数のグラフ。

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　複素変数の Voigt 関数のグラフ。

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　を実変数とする Voigt 関数のグラフ。はに関して偶関数なので、を描画すれば充分である。

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　虚軸上における Voigt 関数のグラフ。

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　虚軸上における Voigt 関数のグラフ。

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　複素変数の Voigt 関数のグラフ。

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　複素変数の Voigt 関数のグラフ。

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　複素変数の Voigt 関数のグラフ。

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　を実変数とする Voigt 関数のグラフ。が実数であっても負数ならば、は一般に実数値をとらない。

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　複素変数の Voigt 関数のグラフ。

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　複素変数の Voigt 関数のグラフ。

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　複素変数の Voigt 関数のグラフ。

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　を実変数とする Voigt 関数のグラフ。はに関して偶関数なので、を描画すれば充分である。

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　虚軸上における Voigt 関数のグラフ。

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　虚軸上における Voigt 関数のグラフ。

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　複素変数の Voigt 関数のグラフ。

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　複素変数の Voigt 関数のグラフ。

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　複素変数の Voigt 関数のグラフ。

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Owen のＴ関数

日：OwenのＴ関数，オーウェンＴ関数
英：Owen's T function，仏：Fonction T d'Owen，独：Owen T-funktion

　Owen のＴ関数は、積分表示式

• 

で定義される関数で、に関しては偶関数、に関しては奇関数の対称性

• 

を有する。また、関数等式

• 

を満たす。
　Owen のＴ関数をで微分すると初等関数になることは、積分表示式から明らかであるが、で微分しても

• 

となり、(初等関数ではないが) 比較的簡潔である。
　変数が特定の値をとるときの、Owen のＴ関数の還元式

• 

が知られている。
　Owen のＴ関数は、の複素平面上では超越整関数であるが、の複素平面上ではに対数分岐点を持ち、虚軸上の区間およびに分枝切断線が置かれる。
　Owen のＴ関数は主に統計学で応用事例があり、例えば、歪正規分布や非中心化ｔ-分布の累積関数、ある種の多変数正規分布の累積関数を表わすときに現れる。1956年に統計学者 D. B. Owen が二変数正規分布を考察する際にこの関数を導入し、品質管理等に応用したので、後年その名が冠せられるようになった。

　を実変数とする Owen のＴ関数のグラフ。太線はが整数のとき。

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　複素変数の Owen のＴ関数のグラフ。

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• 
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　複素変数の Owen のＴ関数のグラフ。

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　複素変数の Owen のＴ関数のグラフ。

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• 
• 
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　を実変数とする Owen のＴ関数 ①，②のグラフ。太線はが非負整数のとき。

• 　①
  
• 　②
  

　複素変数の Owen のＴ関数のグラフ。

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• 
• 
• 
• 

　複素変数の Owen のＴ関数のグラフ。

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• 
• 
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　複素変数の Owen のＴ関数のグラフ。

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　次のグラフは戯れとして描画した、Owen のＴ関数を用いるパラメトリック曲線群。

• 

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Marcum のＱ関数

日：Marcum のＱ関数，マーカムＱ関数
英：Marcum Q function，仏：Fonction Q de Marcum，独：Marcum Q-funktion

　Marcum のＱ関数は、次の積分表示式で定義される。

• 

ここに、は第1種変形 Bessel 関数である。
　この積分表示式から、数値計算に便利な種々の級数展開式が得られる。例えば、正則化不完全ガンマ関数、または Laguerre 陪多項式の項からなる級数

• 

などがある。なお、前者は正則化不完全ガンマ関数を解析接続すれば、条件を超える領域でも収束する。
　が整数のときに限り、Marcum のＱ関数は第1種変形 Bessel 関数の項からなる次の級数にも展開できる。

• 

　また、が特別な値である場合の公式として、

• 

などが知られている。
　Marcum のＱ関数のによる微分は、積分表示式から直ちに得られるので省略するが、による微分は、

• 

となる。
　Marcum のＱ関数は、またはの複素平面上では超越整関数であるが、の複素平面上ではに (その種類がに由来する) 分岐点を持ち、負の実軸上に分枝切断線が置かれる※1。
　Marcum のＱ関数は主に統計学で使用され、非中心化カイ２乗分布、Rice 分布、および Skellam 分布の累積分布関数として現れる。関数名は、1950年から1960年にかけてこの関数を研究した J. I. Marcum に因む。

　を実変数とする Marcum のＱ関数 ①，②のグラフ。太線はが、①は非負整数, ②は正の整数のとき。

• 　①
  
• 　②
  

　複素変数の Marcum のＱ関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　複素変数の Marcum のＱ関数のグラフ。

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• 
• 
• 
• 

　複素変数の Marcum のＱ関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　を実変数とする Marcum のＱ関数 ①，②のグラフ。太線はが、①は非負整数, ②は正の整数のとき。

• 　①
  
• 　②
  

　複素変数の Marcum のＱ関数のグラフ。

• 
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　複素変数の Marcum のＱ関数のグラフ。

• 
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　複素変数の Marcum のＱ関数のグラフ。

• 
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• 
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　を実変数とする Marcum のＱ関数 ①，②のグラフ。太線は、①はが, ②はが非負整数のとき。

• 　①
  
• 　②
  

　複素変数の Marcum のＱ関数のグラフ。

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　複素変数の Marcum のＱ関数のグラフ。２番目は垂直軸を常用対数目盛に圧縮した場合。

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