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誤差関数

誤差関数

日:誤差関数誤差積分
英:Error function,仏:Fonction d'erreur,独:Fehlerfunktion

 統計学における1次元絶対連続分布は、正規分布 (または Gauss 分布) と呼ばれる確率密度関数で表わされる。これは、調査標本や起こりうる確率事象が中央値で最も多く、それから離れるに従い少なくなるという自然現象を、連続化・理想化したモデルを意味しており、その中央値を最大値とする丘陵形の曲線を成す。正規分布の確率密度関数は初等関数であるが、事象の数え上げ (累積分布関数) はその積分になり、初等関数に還元できない。現在では、この積分の主要な部分
誤差関数の定義式
を誤差関数と称し、特殊関数の一群に含めている。正規分布の概念は、二項分布の極限として A. de Moivre が1733年に創始したものであるが、後年、C. F. Gauss が天体観測値の誤差評価の際に、彼および A. M. Legendre によって知られていた「最小自乗法」をこの関数とともに用いたこと等を経て、「誤差関数」 なる名称が定着した。
 本質的には誤差関数と同じであるが、若干の変形を施した、
  • 相補誤差関数・虚部誤差関数の定義式
が併せて定義され、前者は相補誤差関数、後者は虚部誤差関数と呼ばれる。定積分の形から、誤差関数と虚部誤差関数は奇関数である。
 誤差関数は、冪級数
  • 誤差関数の冪級数展開式
に展開され、複素平面上で超越整関数となる (したがって、相補・虚部誤差関数も超越整関数である)。また、漸近的に
誤差関数の漸近値
となる。誤差関数は、より一般的な関数の特殊ケースとして表わせる。典型的な例として、合流型超幾何関数による表示
  • 誤差関数の合流型超幾何関数による表示
が挙げられる。
 相補誤差関数は、正規分布の累積分布関数のように誤差関数を左右反転する必要がある場合に重宝する。また、漸近級数展開式や連分数展開式は、相補誤差関数の方が若干簡単な形になる。例えば後者は、
  • 相補誤差関数の連分数展開式
となる※1。さらに、誤差関数と相補誤差関数は、次の2階線形常微分方程式の2基本解となる。
  • 誤差関数が満たす微分方程式
 次の特別な Laplace 変換式は、誤差関数に対して自己言及的である。
  • 誤差関数のLaplace変換
 誤差関数の応用分野は、前述のような歴史もあって確率論や統計学が中心となる。そこで扱われる確率分布の種類は膨大であるが、そのいくつかは正規分布の変形から生じており、したがって誤差関数の類似も数多く存在する。後述の Voigt 関数、Owen のT関数、および Marcum のQ関数もそのような例であり、それらが満たす公式では誤差関数もよく出現することとなる。
 他の応用分野としては、単位格子中の静電ポテンシャルを計算する Ewald 法、高温プラズマ中の線形波動の伝播理論などがある。
 また、誤差関数は積分表示式が簡潔な形であるため、単なる演算の結果として現れることも多く、それゆえ純粋数学的な応用事例にも散見される (例えば、変形 Appell - Lerch 級数など)。
 やや枝葉末節的であるが、利便性その他の理由から、誤差関数に関連する補助的な関数がいくつか定義されている。ここでは、次の二つの関数を取り挙げる。
 虚部誤差関数と指数二次関数との積は公式等で度々出現する。そのため
  • Dawson関数の定義式
なる関数が定義され、これを研究した H. G. Dawson に因み、Dawson 関数 (あるいは Dawson 積分) と呼ばれる。明らかに Dawson 関数は奇関数であり、複素平面上の超越整関数である。
 Goodwin - Staton 関数は、積分あるいは積分指数関数との和
  • Goodwin-Staton関数の定義式
で定義され、その名称は1948年に E. T. Goodwin および J. Staton がこれを研究したことに由来する。Goodwin - Staton 関数はz = 0を対数分岐点とする無限多価関数であり、負の実軸上に分枝切断線を置くが、指数関数を代入した関数g(z) = G(exp(z))は擬周期性
Goodwin-Staton関数の擬周期性
を満たし、分枝切断線を超える Goodwin - Staton 関数の解析接続を与える※2。
 この他にも、相補誤差関数の逐次積分 (Repeated integrals of the complementary error function)
  • 相補誤差関数の逐次積分の定義式
が定義されている。しかし、この関数は
  • 相補誤差関数の逐次積分と放物柱関数との関係
のとおり放物柱関数と本質的に同じなので、ここでは取り扱わない※3。

【註記】
 ※1:この連分数展開式は P. S. Laplace による。ただし、相補誤差関数ではなく誤差関数の公式として求めたので、形は少々異なる。

 ※2:Wikipedia の記事 「Goodwin-Staton integral」 では、公式として奇関数の対称性を挙げているが、その根拠はよく分からなかった (単に、奇関数とする 「定義」 を採用しているだけかもしれない。2018年4月17日 調査日現在)。

 ※3:詳細は、「NIST Handbook of Mathematical Functions」 の §7. 18等を参照。なお、個人的感覚であるが、この関数記号には少々違和感を覚える (虚数の累乗i^nの因子に見えてしまう)。

誤差関数・相補誤差関数の記号

 誤差関数の導関数は、丘陵形の曲線を成す初等関数である。この曲線とx軸、y軸とで囲まれる領域の面積は1になる。
  • 誤差関数の導関数のグラフ(実変数)

 実変数の誤差関数erf(x)および相補誤差関数erfc(x)のグラフ。上記関数の積分が誤差関数であるので、x→±∞のとき、erf(x)→±1となる。
  • 誤差関数・相補誤差関数のグラフ(実変数)

 複素変数の誤差関数erf(z)のグラフ。
  • 誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 誤差関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の相補誤差関数erfc(z)のグラフ。
  • 相補誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 相補誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 相補誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 相補誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 相補誤差関数のグラフ(複素変数)

 μを平均値 (mean)、σを標準偏差 (standard deviation)、およびσ^2を分散 (variance) とするときの、正規分布の確率密度関数 (Probability density function)f(x|μ,σ^2)、および累積分布関数 (Cumulative distribution function)F(x|μ,σ^2)は、
  • 正規分布の確率密度関数と累積分布関数
と表わされる。二つの関数の意味をグラフ等にすると、次のようになる。
  • 正規分布の確率密度関数と累積分布関数のグラフ

虚部誤差関数の記号

 実変数の虚部誤差関数erfi(x)のグラフ。
  • 虚部誤差関数のグラフ(実変数)

 複素変数の虚部誤差関数erfi(z)のグラフ。
  • 虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 虚部誤差関数のグラフ(複素変数)

Dawson関数の記号

 実変数の Dawson 関数F(x)のグラフ。
  • Dawson関数のグラフ(実変数)

 複素変数の Dawson 関数F(z)のグラフ。
  • Dawson関数のグラフ(複素変数)
  • Dawson関数のグラフ(複素変数)
  • Dawson関数のグラフ(複素変数)
  • Dawson関数のグラフ(複素変数)
  • Dawson関数のグラフ(複素変数)

Goodwin-Staton関数の記号

 実変数の Goodwin - Staton 関数G(x)のグラフ。
  • Goodwin-Staton関数のグラフ(実変数)

 複素変数の Goodwin - Staton 関数G(z)のグラフ。
  • Goodwin-Staton関数のグラフ(複素変数)
  • Goodwin-Staton関数のグラフ(複素変数)
  • Goodwin-Staton関数のグラフ(複素変数)
  • Goodwin-Staton関数のグラフ(複素変数)
  • Goodwin-Staton関数のグラフ(複素変数)

Goodwin-Staton指数関数の記号

 実変数の Goodwin - Staton 指数関数G(exp(x))のグラフ。
  • Goodwin-Staton指数関数のグラフ(実変数)

 複素変数の Goodwin - Staton 指数関数G(exp(z))のグラフ。
  • Goodwin-Staton指数関数のグラフ(複素変数)
  • Goodwin-Staton指数関数のグラフ(複素変数)
  • Goodwin-Staton指数関数のグラフ(複素変数)
  • Goodwin-Staton指数関数のグラフ(複素変数)
  • Goodwin-Staton指数関数のグラフ(複素変数)

Fresnel 関数

日:Fresnel関数フレネル積分
英:Fresnel integral,仏:Intégrale de Fresnel,独:Fresnelsche Integrale

 誤差関数と同様に、二次関数を代入した三角関数の積分も応用等で頻繁に現れ、比較的古くから研究されていた。現在では、
Fresnel関数の定義式
を Fresnel 関数 (あるいは Fresnel 積分) と総称し、前者は Fresnel 正弦関数、後者は Fresnel 余弦関数と呼ばれる (π/2を取り除いた形など、上記と異なる定義もある)。Fresnel 関数なる名称は、1818年に A. J. Fresnel が光学における回折現象を説明するため、この積分を用いた事に因む。
 誤差関数を指数関数の類似と見た場合、Fresnel 関数は三角関数に相当するものであって、両者は
  • Fresnel関数と誤差関数の関係
の関係にある。
 Fresnel 関数は、冪級数
  • Fresnel関数の冪級数展開式
に展開され、ともに奇関数かつ複素平面上で超越整関数となる。また、漸近的に
Fresnel関数の漸近値
となる。Fresnel 関数は合流型超幾何関数等の特殊ケースとして表わせるが、公式の多くは誤差関数のそれから導かれる。
 漸近級数展開式や相互関係式など幾つかの公式では、Fresnel 補助関数
  • Fresnel補助関数の定義式
を定義しておくと、何かと便利である。
 Fresnel 関数の著しい応用分野は光学とクロソイド曲線である。前者の例としては、「Fresnel interference pattern」 と呼ばれる現象がある。これは、点光源から発せられた (レーザー等の) 光が直線エッジを持つ薄い板で遮られてスクリーン上に影をつくるとき、その境界線近傍に生じる微細な干渉縞のことを言う。その干渉縞の明度を関数F(z)とすると、次のように Fresnel 関数で表わすことができる。
  • Fresnel interference patternの関数:F(z)
  • Fresnel interference patternの図
Fresnel interference pattern:Edge of a shadow

 クロソイド曲線はもっと早い時期から現れている。1694年に Jak. Bernoulli は、曲率が曲線長に比例する曲線を求める問題を提出したが、これを1744年に L. Euler は、
クロソイド曲線の媒介変数表示式
と本質的に同じ形に解き、曲線の両端が螺線になることも認識していた。「クロソイド (Clothoid)」 なる名称は、「平面曲線の自然方程式 (Cesàro 方程式)※1」 を研究した E. Cesàro がギリシャ神話から引用したものであるが、1874年に M. A. Cornu が光学の回折現象の研究過程でクロソイド曲線の正確な図を描画したので、「Cornu の螺線 (Cornu's spiral)」 と呼ぶことも多い。
 クロソイド曲線は、車両が一定速度で進行しながらハンドルを一定角速度で回したときに描く軌跡に相当するので、高速自動車道のカーブやインターチェンジの道路線形、ローラーコースターの垂直ループ部分等に適用されている。これらは、利用者に衝撃力が加わらないよう安全性を考慮した設計方法として広く知られており※2、1899年に A. N. Talbot が鉄道のカーブ設計に関して、初めて数学的に厳密な理論を展開した。
  • 道路線形に適用したクロソイド曲線
クロソイド曲線を道路線形に適用する場合の典型的な例

【註記】
 ※1:平面曲線の自然方程式とは、任意の平面曲線が座標と無関係に曲線長λと曲率κとで唯一に決定できるという 「平面曲線の基本定理」 に基づき、それをκ=κ(λ)と表わした方程式のことで、その解となる曲線Cは、θ=θ(λ)λの端点の位置での接線とx軸とが成す角度、θ0C上の始点(a, b)における初期値とするとき、
  • 自然方程式の解
で表わされる (「座標と無関係」とは、曲線Cを平行移動した曲線もすべて解になるとの意味である)。
 クロソイド曲線は、自然方程式
  • 自然方程式で表わされたクロソイド曲線
の解である。

 ※2:現在では、土木工学計算ソフトウェアの 「CAD」 等が普及しているので容易になったが、以前は 「クロソイド数値表」 や 「クロソイド定規」 を使用して設計しなければならなかった。

Fresnel関数の記号

 実変数の Fresnel 正弦関数S(x)および Fresnel 余弦関数C(x)のグラフ。
  • Fresnel関数のグラフ(実変数)

 クロソイド曲線は螺線の一種である。
  • クロソイド曲線のグラフ(2次元)

 クロソイド曲線の曲率中心は螺線を描く。その媒介変数表示式は次のようになる。
  • クロソイド曲線の縮閉線の媒介変数表示式
 つまり、逆に見るとこの螺線はクロソイド曲線の 「縮閉線」 であるから、これに巻き付けた糸を伸開するときに糸の先端がクロソイド曲線を描く。また、糸の接点 (無限遠にあるときを除く) から各螺線の巻き付き点までの曲線長は、クロソイド曲線が無限長であっても、その縮閉線は有限長であることが分かる。
  • クロソイド曲線の縮閉線のグラフ(2次元)

 Fresnel 関数の曲線とクロソイド曲線の射影元となる空間曲線。
  • クロソイド曲線のグラフ(3次元)
  • クロソイド曲線のグラフ(3次元)

 複素変数の Fresnel 正弦関数S(z)のグラフ。
  • Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Fresnel 余弦関数C(z)のグラフ。
  • Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)

Fresnel補助関数の記号

 実変数の Fresnel 補助関数f(x)およびg(x)のグラフ。
  • Fresnel補助関数のグラフ(実変数)

 複素変数の Fresnel 補助関数f(z)のグラフ。
  • Fresnel補助関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel補助関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel補助関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel補助関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel補助関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Fresnel 補助関数g(z)のグラフ。
  • Fresnel補助関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel補助関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel補助関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel補助関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel補助関数のグラフ(複素変数)

Fresnel interference pattern関数の記号

 実変数の Fresnel interference pattern 関数F(x)のグラフ。
  • Fresnel interference pattern関数のグラフ(実変数)

 複素変数の Fresnel interference pattern 関数F(z)のグラフ。
  • Fresnel interference pattern関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel interference pattern関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel interference pattern関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel interference pattern関数のグラフ(複素変数)
  • Fresnel interference pattern関数のグラフ(複素変数)

【 Petite Galerie?】

  • クロソイド曲線の積分記号(動画)

超誤差関数

 比較的詳しい特殊関数の公式集では、誤差関数の積分表示式における指数関数の引数を、t^2からt^νに変更した関数への言及が見られる (例えば NIST の §7.16)。ここでは、さらに定数因子をかけた、
  • 超誤差関数の定義式
を独自に超誤差関数と総称し、狭義には前者を超誤差関数、後者を超虚部誤差関数と呼ぶこととする。この定数因子は、極限値が簡単な
  • 超誤差関数の極限値
になり、また、
  • 超誤差関数が誤差関数に還元される場合
となるように意図したものである。
 超誤差関数は、冪級数
  • 超誤差関数の冪級数展開式
に展開され、νが自然数ならば複素平面上で超越整関数となるが、そうでないときはz = 0を対数分岐点 (または代数分岐点) とする無限多価関数 (または有限多価関数) となり、負の実軸上に分枝切断線が置かれる。
 より一般のνに対する超誤差関数は、不完全ガンマ関数を用いて
  • 超誤差関数の不完全ガンマ関数による表示
と表わせる。ただし、付随するν, zの条件領域 (複素ν平面上で帯状領域となる) を超える領域では、不完全ガンマ関数部分を解析接続する必要がある。
 今のところ、超誤差関数が扱われる応用分野はほとんどない。「共立 数学公式 附函数表 (1973年改訂増補版:共立出版)」 では、定数因子を除いたerf(3, z)の数表が掲載されている。

超誤差関数の記号

 xを実変数とする超誤差関数erf(ν, x)のグラフ。太線はνが正の整数のとき。
  • 超誤差関数のグラフ(実変数)

 複素変数の超誤差関数超誤差関数の記号のグラフ。
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の超誤差関数超誤差関数の記号のグラフ。
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の超誤差関数超誤差関数の記号のグラフ。
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)

 νを実変数とする超誤差関数erf(ν, x)のグラフ。太線はxが正の整数のとき。
  • 超誤差関数のグラフ(実変数)

 複素変数の超誤差関数超誤差関数の記号のグラフ。
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の超誤差関数超誤差関数の記号のグラフ。
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超誤差関数のグラフ(複素変数)

超虚部誤差関数の記号

 xを実変数とする超虚部誤差関数erfi(ν, x)のグラフ。太線はνが正の整数のとき。
  • 超虚部誤差関数のグラフ(実変数)

 複素変数の超虚部誤差関数超虚部誤差関数の記号のグラフ。
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の超虚部誤差関数超虚部誤差関数の記号のグラフ。
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の超虚部誤差関数超虚部誤差関数の記号のグラフ。
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)

 νを実変数とする超虚部誤差関数erfi(ν, x)のグラフ。太線はxが正の整数のとき。
  • 超虚部誤差関数のグラフ(実変数)

 複素変数の超虚部誤差関数超虚部誤差関数の記号のグラフ。
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の超虚部誤差関数超虚部誤差関数の記号のグラフ。
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)
  • 超虚部誤差関数のグラフ(複素変数)

超 Fresnel 関数

 誤差関数から超誤差関数への拡張を、同様に Fresnel 関数に対しても行い、超 Fresnel 関数
超Fresnel関数の定義式
を独自に定義する、また、区別するときは前者を超 Fresnel 正弦関数、後者を超 Fresnel 余弦関数と呼ぶこととする。明らかに、
  • 超Fresnel関数がFresnel関数に還元される場合
であり、極限値は
  • 超Fresnel関数の極限値
となる。
 超 Fresnel 関数は、冪級数
  • 超Fresnel関数の冪級数展開
に展開され、S(ν, x)νが自然数、C(ν, x)νが自然数または正の半奇数ならば複素平面上で超越整関数となるが、そうでないときはz = 0を対数分岐点 (または代数分岐点) とする無限多価関数 (または有限多価関数) となり、負の実軸上に分枝切断線が置かれる。
 より一般のνに対する超 Fresnel 関数は、超誤差関数によって
  • 超Fresnel関数と超誤差関数との関係
と表わされ、必要に応じてこれを解析接続したものとなる。
 超 Fresnel 関数を媒介変数表示に用いて、クロソイド曲線の拡張 ― 超クロソイド曲線 ― が定義できる。A. Gray 著 「Mathematica 曲線と曲面の微分幾何 (1996年:トッパン)」 では、超クロソイド曲線 (名称は異なる) に関する考察がある。しかし、超クロソイド曲線は実社会等で応用される事例が無く、超 Fresnel 関数も今のところ応用分野が知られていない。

超Fresnel正弦関数の記号

 xを実変数とする超 Fresnel 正弦関数S(ν, x)のグラフ。太線はνが非負整数のとき。
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする超 Fresnel 正弦関数S(ν, x)のグラフ。
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の超 Fresnel 正弦関数超Fresnel正弦関数の記号のグラフ。
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の超 Fresnel 正弦関数超Fresnel正弦関数の記号のグラフ。
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の超 Fresnel 正弦関数超Fresnel正弦関数の記号のグラフ。
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)

 νを実変数とする超 Fresnel 正弦関数S(ν, x)のグラフ。太線はxが正の整数のとき。
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(実変数)

 複素変数の超 Fresnel 正弦関数超Fresnel正弦関数の記号のグラフ。
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の超 Fresnel 正弦関数超Fresnel正弦関数の記号のグラフ。
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel正弦関数のグラフ(複素変数)

超Fresnel余弦関数の記号

 xを実変数とする超 Fresnel 余弦関数C(ν, x)のグラフ。太線はνが非負整数のとき。
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする超 Fresnel 余弦関数C(ν, x)のグラフ。
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の超 Fresnel 余弦関数超Fresnel余弦関数の記号のグラフ。
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の超 Fresnel 余弦関数超Fresnel余弦関数の記号のグラフ。
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の超 Fresnel 余弦関数超Fresnel余弦関数の記号のグラフ。
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)

 νを実変数とする超 Fresnel 余弦関数C(ν, x)のグラフ。太線はxが正の整数のとき。
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(実変数)

 複素変数の超 Fresnel 余弦関数超Fresnel余弦関数の記号のグラフ。
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の超 Fresnel 余弦関数超Fresnel余弦関数の記号のグラフ。
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)
  • 超Fresnel余弦関数のグラフ(複素変数)

「超クロソイド曲線」

 曲線上のある点での曲率が、原点からその点までの曲線の長さの2乗に比例する、超クロソイド曲線。
  • 超クロソイド曲線のグラフ(2次元)

 超 Fresnel 関数の曲線と超クロソイド曲線の射影元となる空間曲線。
  • 超クロソイド曲線のグラフ(3次元)
  • 超クロソイド曲線のグラフ(3次元)

 曲線上のある点での曲率が、原点からその点までの曲線の長さの3乗に比例する、超クロソイド曲線。
  • 超クロソイド曲線のグラフ(2次元)

 超 Fresnel 関数の曲線と超クロソイド曲線の射影元となる空間曲線。
  • 超クロソイド曲線のグラフ(3次元)
  • 超クロソイド曲線のグラフ(3次元)

Voigt 関数

日:Voigt関数フォークト関数
英:Voigt function,仏:Fonction de Voigt,独:Voigt funktion

 Voigt 関数は、分光学における Voigt 分布を論じる際に附随して現れる。X線光電子分光法 (XPS) では、スペクトルに含まれる各ピークを分離するとき、素粒子の熱運動からの影響を考慮する必要がある。元々の電磁波等のスペクトルは (中心化) Lorentz 分布L(x;γ)に従うが、熱運動効果は確率論的に (中心化) 正規分布f(x|0,σ^2)に従うと解釈したとき、両者の畳み込み積分
  • Voigt分布の定義式
は、スペクトルのピーク形状を良く表わしており、このV(x;σ,γ)を Voigt 分布 (Voigt profile) という。
 一方、これの主要部分を整理したものが Voigt 関数
  • Voigt関数の定義式
であり、前者を用いれば、Voigt 分布は
Voigt関数で表わされたVoigt分布
と表わせる。
 Voigt 関数は、特別な相補誤差関数の実部と虚部
  • Voigt関数と相補誤差関数との関係
に相当し、zの複素平面上では偶関数または奇関数の対称性
  • Voigt関数の対称性
を有する超越整関数である。一方、tの複素平面上では t = 0に (その近傍で真性特異点のように振る舞う) 分岐点を持ち、負の実軸上に分枝切断線が置かれる。ただし、t = 0では極限
  • Voigt関数の極限t→0
によって定義される。
 Voigt 関数の名称は、分光学における前述の研究をおこなった W. Voigt に因む。Voigt 関数の応用事例も、分光学に関連またはそれを援用する分野が中心となる。例えば、プラズマ診断技術、天体物理学、レーザー分光法などがある。

Voigt(U)関数の記号

 zを実変数とする Voigt 関数U(z, t)のグラフ。tが実数であっても負数ならば、U(z, t)は一般に実数値をとらない。
  • Voigt関数のグラフ(実変数)

 複素変数の Voigt 関数Voigt関数の記号のグラフ。
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Voigt 関数Voigt関数の記号のグラフ。
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Voigt 関数Voigt関数の記号のグラフ。
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)

 tを実変数とする Voigt 関数U(z, t)のグラフ。U(z, t)zに関して偶関数なので、z≧0を描画すれば充分である。
  • Voigt関数のグラフ(実変数)

 虚軸上における Voigt 関数Re[U(z, it)]のグラフ。
  • Voigt関数のグラフ(虚変数)
  • Voigt関数のグラフ(虚変数)

 虚軸上における Voigt 関数Im[U(z, it)]のグラフ。
  • Voigt関数のグラフ(虚変数)
  • Voigt関数のグラフ(虚変数)

 複素変数の Voigt 関数Voigt関数の記号のグラフ。
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Voigt 関数Voigt関数の記号のグラフ。
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Voigt 関数Voigt関数の記号のグラフ。
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)

Voigt(V)関数の記号

 zを実変数とする Voigt 関数V(z, t)のグラフ。tが実数であっても負数ならば、V(z, t)は一般に実数値をとらない。
  • Voigt関数のグラフ(実変数)

 複素変数の Voigt 関数Voigt関数の記号のグラフ。
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Voigt 関数Voigt関数の記号のグラフ。
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Voigt 関数Voigt関数の記号のグラフ。
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)

 tを実変数とする Voigt 関数V(z, t)のグラフ。V(z, t)zに関して偶関数なので、z≧0を描画すれば充分である。
  • Voigt関数のグラフ(実変数)

 虚軸上における Voigt 関数Re[V(z, it)]のグラフ。
  • Voigt関数のグラフ(虚変数)
  • Voigt関数のグラフ(虚変数)

 虚軸上における Voigt 関数Im[V(z, it)]のグラフ。
  • Voigt関数のグラフ(虚変数)
  • Voigt関数のグラフ(虚変数)

 複素変数の Voigt 関数Voigt関数の記号のグラフ。
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Voigt 関数Voigt関数の記号のグラフ。
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Voigt 関数Voigt関数の記号のグラフ。
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)
  • Voigt関数のグラフ(複素変数)

Owen のT関数

日:OwenのT関数オーウェンT関数
英:Owen's T function,仏:Fonction T d'Owen,独:Owen T-funktion

 Owen のT関数は、積分表示式
  • OwenのT関数の定義式
で定義される関数で、zに関しては偶関数、wに関しては奇関数の対称性
  • OwenのT関数の対称性
を有する。また、関数等式
  • OwenのT関数の関数等式
を満たす。
 Owen のT関数をwで微分すると初等関数になることは、積分表示式から明らかであるが、zで微分しても
  • OwenのT関数の導関数
となり、(初等関数ではないが) 比較的簡潔である。
 変数が特定の値をとるときの、Owen のT関数の還元式
  • OwenのT関数の還元ケース
が知られている。
 Owen のT関数は、zの複素平面上では超越整関数であるが、wの複素平面上ではw = ±iに対数分岐点を持ち、虚軸上の区間(-i∞, -i]および[i, i∞)に分枝切断線が置かれる。
 Owen のT関数は主に統計学で応用事例があり、例えば、歪正規分布や非中心化t-分布の累積関数、ある種の多変数正規分布の累積関数を表わすときに現れる。1956年に統計学者 D. B. Owen が二変数正規分布を考察する際にこの関数を導入し、品質管理等に応用したので、後年その名が冠せられるようになった。

OwenのT関数の記号(変数:z)

 zを実変数とする Owen のT関数T(z, w)のグラフ。太線はwが整数のとき。
  • OwenのT関数のグラフ(実変数)

 複素変数の Owen のT関数OwenのT関数の記号のグラフ。
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Owen のT関数OwenのT関数の記号のグラフ。
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Owen のT関数OwenのT関数の記号のグラフ。
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)

OwenのT関数の記号(変数:w)

 wを実変数とする Owen のT関数 ①T(z, w),②T(iz, w)のグラフ。太線はzが非負整数のとき。

 複素変数の Owen のT関数OwenのT関数の記号のグラフ。
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Owen のT関数OwenのT関数の記号のグラフ。
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Owen のT関数OwenのT関数の記号のグラフ。
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)
  • OwenのT関数のグラフ(複素変数)

 次のグラフは戯れとして描画した、Owen のT関数を用いるパラメトリック曲線群。
  • OwenのT関数を用いるパラメトリック曲線群の式
  • OwenのT関数を用いるパラメトリック曲線群

Marcum のQ関数

日:Marcum のQ関数マーカムQ関数
英:Marcum Q function,仏:Fonction Q de Marcum,独:Marcum Q-funktion

 Marcum のQ関数は、次の積分表示式で定義される。
  • MarcumのQ関数の定義式
ここに、Iν(z)第1種変形 Bessel 関数である。
 この積分表示式から、数値計算に便利な種々の級数展開式が得られる。例えば、正則化不完全ガンマ関数、または Laguerre 陪多項式の項からなる級数
  • MarcumのQ関数の級数展開式
などがある。なお、前者は正則化不完全ガンマ関数を解析接続すれば、条件を超える領域でも収束する。
 μが整数のときに限り、Marcum のQ関数は第1種変形 Bessel 関数の項からなる次の級数にも展開できる。
  • MarcumのQ関数の第1種変形Bessel関数項級数
 また、μが特別な値である場合の公式として、
  • MarcumのQ関数の還元ケース
などが知られている。
 Marcum のQ関数のwによる微分は、積分表示式から直ちに得られるので省略するが、zによる微分は、
  • MarcumのQ関数の導関数
となる。
 Marcum のQ関数は、zまたはμの複素平面上では超越整関数であるが、wの複素平面上ではw = 0に (その種類がw^(2μ)に由来する) 分岐点を持ち、負の実軸上に分枝切断線が置かれる※1。
 Marcum のQ関数は主に統計学で使用され、非中心化カイ2乗分布、Rice 分布、および Skellam 分布の累積分布関数として現れる。関数名は、1950年から1960年にかけてこの関数を研究した J. I. Marcum に因む。

【註記】
 ※1:Mathematica 組込関数の Marcum のQ関数では、もっと複雑な形状の分枝切断線が (恐らく合理的な理由に基づいて) 置かれるが、当サイトでは採用しない。

MarcumのQ関数の記号(変数:z)

 zを実変数とする Marcum のQ関数 ①Q(2.2; z, w),②Q(-0.8; z, w)のグラフ。太線はwが、①は非負整数, ②は正の整数のとき。

 複素変数の Marcum のQ関数MarcumのQ関数の記号のグラフ。
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Marcum のQ関数MarcumのQ関数の記号のグラフ。
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Marcum のQ関数MarcumのQ関数の記号のグラフ。
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)

MarcumのQ関数の記号(変数:w)

 wを実変数とする Marcum のQ関数 ①Q(2.2; z, w),②Q(-0.8; z, w)のグラフ。太線はzが、①は非負整数, ②は正の整数のとき。

 複素変数の Marcum のQ関数MarcumのQ関数の記号のグラフ。
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Marcum のQ関数MarcumのQ関数の記号のグラフ。
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Marcum のQ関数MarcumのQ関数の記号のグラフ。
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)

MarcumのQ関数の記号(変数:μ)

 μを実変数とする Marcum のQ関数 ①Q(μ; z, 2.2),②Q(μ; 3.2, w)のグラフ。太線は、①はzが, ②はwが非負整数のとき。

 複素変数の Marcum のQ関数MarcumのQ関数の記号のグラフ。
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Marcum のQ関数MarcumのQ関数の記号のグラフ。2番目は垂直軸を常用対数目盛に圧縮した場合。
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)
  • MarcumのQ関数のグラフ(複素変数)


【 Petite Galerie 】

  • 絡み合う空間クロソイド曲線

「絡み合う空間クロソイド曲線」

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