特殊関数 Menu

楕円モジュラー関数

Klein の楕円モジュラー関数

日:楕円モジュラー関数モジュラー関数
英:Modular function,仏:Fonction modulaire,独:Modulfunktion
日:Kleinのj-不変量クラインの絶対不変量
英:Klein's j-invariant,仏:j-invariant,独:j-funktion

 楕円モジュラー関数とは、楕円関数の二つの周期からなるパラメータ (母数=モジュラス) を変数化した関数に由来する、特殊な場合の保型関数である。そこで、まず保型関数について簡単に説明する (楕円モジュラー関数ではない保型関数の詳細およびグラフについては、別頁の保型関数を参照)。
 不連続群Γが、可逆な二次正方行列のうち行列式が1となるもの全体からなる群、すなわち特殊線形群
  • 不連続群Γの定義
であるとする。このとき、次の二つの条件を満たす上半平面上半平面Hの定義上の有理型関数fを、(Γに関する) 保型関数、あるいは Fuchs 関数という。
① すべてのΓに対して保型関数の2条件を満たす。
② 任意の尖点の周りでも有理型である。
 一方、次の二つの条件を満たす上半平面H上の超越整関数fを、(Γに関する) 重みkの保型形式という。
① すべてのΓに対して保型形式の2条件を満たす。
② 任意の尖点の周りでも正則である。
 なお、保型形式の条件②がより厳しく 「任意の尖点での値が常に0である」 となる特別なfは、尖点形式と呼ばれる。つまり、尖点形式は、基本領域の尖点を中心とする Fourier 級数に展開するとその定数項が消える。この Fourier 級数の係数から作られる (尖点形式に付随した) ゼータ関数※1は、対称的な関数等式を満たすことが比較的容易に導ける等、都合の良い性質を持つ。このため尖点形式は、保型形式の中でも特に重要視される。
 保型関数は、基本領域の形状にその本質が現れる。楕円関数ならばそれは基本周期平行四辺形になり、Euclid 平面上でこれを一重に敷き詰めると関数の存在領域全体になる。これが保型関数では拡張されて基本領域は円弧四角形となり、非 Euclid 平面上でこれを一重に敷き詰めると得られる関数の存在領域が、円の内部や球面上になる※2。これらの事を、非 Euclid 平面の曲率によって分類すれば、
曲率=正定数 → 存在領域:複素球面 → 領域上の関数:初等有理関数 (Galois 的有理関数)
曲率= 0  → 存在領域:複素平面 → 領域上の関数:楕円関数
曲率=負定数 → 存在領域:円の内部 → 領域上の関数:保型関数
となる。つまり、保型関数とは (Galois 的有理関数をも含めて) 楕円関数を一般化した関数と言える。
 さて、上半平面H上の楕円モジュラー関数・楕円モジュラー形式とは、不連続群Γ
  • 不連続群Γの定義(楕円モジュラー関数の場合)
となる特別な保型関数・保型形式のことである。これらの関数は、数論への応用頻度が他の保型関数・保型形式に比べて著しく高い。中でも Klein の楕円モジュラー関数 (Klein の j-不変量ともいう) は、最も基本的かつ重要とされる。これは、Weierstrass の楕円関数における二つの不変量g2, g3τの関数と見たもの、または 楕円テータ関数の 「零値」 を用いて、
  • Klein楕円モジュラー関数の定義
と表わされる。(注意:以降この頁を通して、特に断らない限りqの定義とする。)
 Klein の楕円モジュラー関数は、不連続群の元としての関数等式
  • Klein楕円モジュラー関数の保型性
  • Klein楕円モジュラー関数の保型性

を満たす。一般に楕円モジュラー関数は上半平面H上で有理型関数的に振る舞うが、Klein の楕円モジュラー関数は上半平面H上で超越整関数的に振る舞う点が特別といえる。
 Klein の楕円モジュラー関数は、基礎となる円弧三角形 (上図の濃い青色の領域) の尖点における値が
  • Klein楕円モジュラー関数の特殊値
となるので、不連続群で変換された他の尖点でも、上記3種類のいずれかに対応して同じ値をとる。特に、実軸上 (ただし、本来は上半平面Hに含まれない) では、値∞をとり真性特異点のように振る舞う尖点のみが周密に集まっている。一般にτが虚二次体の代数的数であるとき、Klein の楕円モジュラー関数の値は代数的数になる。
 楕円モジュラー関数は、周期性を持つため Fourier 級数に展開できることが重要とされる。Klein の楕円モジュラー関数も前述のとおり周期1の周期関数なので、Fourier 級数
  • Klein楕円モジュラー関数のFourier級数
に展開される。なお、この Fourier 級数の正整数係数は、最大の有限単純群 「モンスター群」 の既約指標に関係がある (→ MathWorld 「Monstrous Moonshine」, 「Monster Group」)。
 同じ基本周期を持つすべての楕円関数の集合は(たい)の構造を持つ。これは 「楕円関数体」 と呼ばれるが、Klein の楕円モジュラー関数によって、二つの楕円関数が同一の楕円関数体の(げん)となる (=両者の楕円関数体が同型である) かどうかを判定できる。具体的には、複素平面複素平面C上における楕円関数の2基本周期からなる格子全体を
  • 不連続群Γの定義(楕円モジュラー関数の場合)
とし、モジュライの定義(これはモジュライ(moduli)と呼ばれる) と置く。二つの楕円関数それぞれの格子を2つの格子群、モジュライを2つのモジュライとするとき、それぞれの楕円関数体が互いに同型となるための必要十分条件は、
2つの楕円関数体の同型条件
が成立することである。

【註記】
※1:その具体的な一例が、Ramanujan のゼータ関数である。

※2:円の内部を存在領域とする保型関数は、上半平面上半平面H上の保型関数関数f(τ)の変数τに対して、ある一次分数変換を施すと得られ、本質的に同じ保型関数とされる (ただし、不連続群Γは相異なる)。
 特に、その変換が具体的に
上半平面Hから単位円内部への写像
のときは、単位円内部への等角写像となり、実軸を単位円周 (方向は、正(負)の実数を正(負)偏角の半円) に、純虚数純虚数iを0に移す。以降のグラフでもこの変換を採用し、上半平面H上と単位円内部の両場合について描画する。
 存在領域が球面上となる Galois 的有理関数は、元々は複素平面全体を存在領域とする Galois 的有理関数を、Riemann 球面上に変換すると得られる。(詳細およびグラフについては、別頁の Galois 的有理関数を参照。)

Klein楕円モジュラー関数の記号

 実数値をとる直線上での Klein 楕円モジュラー関数(存在領域は上半平面)のグラフ。
  • Klein楕円モジュラー関数のグラフ(実数値)

 複素変数の Klein 楕円モジュラー関数(存在領域は上半平面)のグラフ。
  • Klein楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • Klein楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • Klein楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • Klein楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • Klein楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Klein 楕円モジュラー関数(存在領域は単位円内部)のグラフ。
  • Klein楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • Klein楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • Klein楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • Klein楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • Klein楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)

 基本領域が円弧多角形であることを、特に示したグラフ。
  • Klein楕円モジュラー関数のグラフ(基本領域)

楕円モジュラー・ラムダ関数

 楕円モジュラー・ラムダ関数は、Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数の記号の二つの周期の比
楕円モジュラー・ラムダ関数の逆関数
の逆関数であって、楕円テータ関数の零値、またはq級数を用いて
  • 楕円モジュラー・ラムダ関数の定義式
と表わされる。楕円モジュラー・ラムダ関数は、Klein の楕円モジュラー関数と
楕円モジュラー・ラムダ関数とKlein楕円モジュラー関数との関係
の関係にある。つまり、特別な2面体群の Galois 的有理関数に代入すると、Klein の楕円モジュラー関数になる。
 楕円モジュラー・ラムダ関数は、関数等式
  • 楕円モジュラー・ラムダ関数の保型性
を満たす。つまり、楕円モジュラー・ラムダ関数は不連続群
  • 不連続群Γの定義(モジュラーラムダ関数の場合)
の変換全体に対して不変な保型関数である。(mod Nの場合の不連続群を、N段(またはレベルN)の主合同部分群という。)
 一般に楕円モジュラー関数は上半平面H上で有理型関数的に振る舞うが、楕円モジュラー・ラムダ関数は上半平面H上で超越整関数的である。ただし、上半平面Hに含まれない実軸上には (無限遠点にある尖点以外の) すべての尖点が周密に集まり、そこでは真性特異点のように振る舞う。しかも、実軸上の尖点の位置は、いずれも Farey 数列に現れる有理数となる (下図参照) ※1。

  • 楕円モジュラー・ラムダ関数とFarey数列の関係図

 歴史的に見て、楕円モジュラー・ラムダ関数は初めて認識された保型関数である。Gauss は生前に楕円モジュラー・ラムダ関数の基本領域が円弧三角形からなることを表わした略図を書き残していたが、遺稿を編纂した19世紀中盤の数学者達は、最初それが何を意味する図なのか見当が付かなかった。しかし程なくして、モジュラー関数やモジュラー形式の理論が R. Dedekind や F. Klein 等によって整備され始め、その意味も明らかになっていった。さらに、二つの周期の比の逆関数で楕円モジュラー関数を定義する上記の方法は、H. Poincaré によって、二階線形常微分方程式の二つの解の比の逆関数でより一般的な保型関数 (Fuchs 関数) を定義する方法に拡張された。

【註記】
※1 : Farey 数列の名称は、地質学者 J. Farey が1816年におこなった数列と音階に関する研究に因むが、その内容は推測を含み不完全であった。より厳密な証明は、既に数学者 C. Haros が1802年に与えていた。よって、本来ならば Haros 数列と呼ぶべきであろう。

楕円モジュラー・ラムダ関数の記号

 実数値をとる直線上での楕円モジュラー・ラムダ関数(存在領域は上半平面)のグラフ。
  • 楕円モジュラー・ラムダ関数のグラフ(実数値)

 複素変数の楕円モジュラー・ラムダ関数(存在領域は上半平面)のグラフ。
  • 楕円モジュラー・ラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円モジュラー・ラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円モジュラー・ラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円モジュラー・ラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円モジュラー・ラムダ関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の楕円モジュラー・ラムダ関数(存在領域は単位円内部)のグラフ。
  • 楕円モジュラー・ラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円モジュラー・ラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円モジュラー・ラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円モジュラー・ラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円モジュラー・ラムダ関数のグラフ(複素変数)

 基本領域が円弧多角形であることを、特に示したグラフ。楕円モジュラー・ラムダ関数は、Klein 楕円モジュラー関数の基本領域の6個分から成ることが分かる。
 なお、このときの円弧三角形は、双曲型非 Euclid 平面上の 「理想三角形」 と呼ばれる (3個の内角がすべて0°で、3辺の (非 Euclid 幾何的な) 長さがすべて∞となる三角形!)。
  • 楕円モジュラー・ラムダ関数のグラフ(基本領域)

その他の楕円モジュラー関数

 楕円モジュラー関数には、楕円モジュラー関数の記号 のほかにも
  • 楕円モジュラー関数Λ4,Λの定義式
などがある。正4面体方程式の楕円モジュラー関数の記号は 「正4面体方程式に付随する楕円モジュラー関数」、正20面体方程式の楕円モジュラー関数の記号は 「正20面体方程式に付随する楕円モジュラー関数」 等と呼ばれる。(ここでの関数名称は必ずしも一般的ではなく、標準的な名称は存在しない。)
 この関数に遭遇することは、通常ほとんど無いと思われるが、A. Erdelyi,W. Magnus,F. Oberhettinger,F. G. Tricomi 著 「Higher Transcendental Functions (Vol.Ⅲ)」 の p.24 に正20面体方程式の楕円モジュラー関数の記号、F. クライン著, 関口次郎 訳 「正20面体と5次方程式:シュプリンガー数学クラシックス5 (旧版-1997年)」 の p.146~147 に正4面体方程式の楕円モジュラー関数の記号, 正20面体方程式の楕円モジュラー関数の記号についての記述がある。
 それぞれの関数は、Klein の楕円モジュラー関数と
  • 楕円モジュラー関数Λ4,ΛとKlein楕円モジュラー関数との関係
の関係にある。つまり前述の名称は、それぞれ対応する正多面体の Galois 的有理関数に代入すると、Klein の楕円モジュラー関数になることによる (正4面体の有理関数は、ある一次分数変換をさらに施すと正4面体の Galois 的有理関数になる) ※1。
 正4面体方程式の楕円モジュラー関数の記号は 3段の主合同部分群、正20面体方程式の楕円モジュラー関数の記号は 5段の主合同部分群の変換全体に対して不変な保型関数であり、それぞれ不連続群の元としての関数等式
  • 楕円モジュラー関数Λ4,Λの保型性
を満たす。
 特に正20面体方程式の楕円モジュラー関数の記号は、正20面体方程式を介して5次代数方程式の解を表現する理論において Klein が用いた。また正20面体方程式の楕円モジュラー関数の記号は、Rogers - Ramanujan の連分数
楕円モジュラー関数ΛとRogers-Ramanujan連分数との関係
の関係にある。

【註記】
※1:正8面体方程式に付随する楕円モジュラー関数正8面体方程式の楕円モジュラー関数の記号は、楕円モジュラー・ラムダ関数の無理関数として次のように定義される関数を解析接続したもので、4段の主合同部分群の変換全体に対して不変な保型関数である。
  • 正8面体方程式の楕円モジュラー関数の定義式
  • 正8面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • 正8面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)

楕円モジュラー関数Λ4の記号

 実数値をとる直線上での楕円モジュラー関数正4面体方程式の楕円モジュラー関数の記号(存在領域は上半平面)のグラフ。
  • 正4面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(実数値)

 複素変数の楕円モジュラー関数正4面体方程式の楕円モジュラー関数の記号(存在領域は上半平面)のグラフ。
  • 正4面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • 正4面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • 正4面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • 正4面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • 正4面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の楕円モジュラー関数正4面体方程式の楕円モジュラー関数の記号(存在領域は単位円内部)のグラフ。
  • 正4面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • 正4面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • 正4面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • 正4面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • 正4面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)

 基本領域が円弧多角形であることを、特に示したグラフ。
  • 正4面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(基本領域)

楕円モジュラー関数Λの記号

 実数値をとる直線上での楕円モジュラー関数正20面体方程式の楕円モジュラー関数の記号(存在領域は上半平面)のグラフ。
  • 正20面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(実数値)

 複素変数の楕円モジュラー関数正20面体方程式の楕円モジュラー関数の記号(存在領域は上半平面)のグラフ。
  • 正20面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • 正20面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • 正20面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • 正20面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • 正20面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の楕円モジュラー関数正20面体方程式の楕円モジュラー関数の記号(存在領域は単位円内部)のグラフ。
  • 正20面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • 正20面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • 正20面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • 正20面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)
  • 正20面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(複素変数)

 基本領域が円弧多角形であることを、特に示したグラフ。
  • 正20面体方程式の楕円モジュラー関数のグラフ(基本領域)

Dedekind のエータ関数

日:Dedekindのエータ関数デーデキントのη関数
英:Dedekind eta function,仏:Fonction êta de Dedekind,独:Dedekindsche η-funktion

 Dedekind のエータ関数は、無限積
  • Dedekindエータ関数の定義式
で定義される。判別式判別式Δ(τ)との間に
Dedekindエータ関数と判別式との関係
なる関係がある。
 Dedekind のエータ関数は楕円モジュラー形式ではないが、これと同じ不連続群の元として、近い形の関数等式
  • Dedekindエータ関数の擬保型性
を満たす。
 有名な Euler の五角数定理は※1、Dedekind のエータ関数が満たす等式
  • Eulerの五角数定理
から共通因子のx^(1/24)を払った式である (→ Wikipedia 「Euler の五角数定理」) 。
 Dedekind のエータ関数は、上半平面H上に極と零点を持たない (ただし、上半平面Hに含まれない実軸上で、真性特異点のように振る舞う点が周密に存在している)。
 Dedekind のエータ関数は整数論や組合わせ論でよく用いられ、特に分割数の評価がよく知られている。また、種々の楕円モジュラー関数や楕円モジュラー形式は、Dedekind のエータ関数によって表わすことができる。例えば、Eichler のL関数と関係する保型形式
  • EichlerのL関数に関係する尖点形式
がある。これは、11段かつ重み2の保型形式なので、保型性
  • 11段・重み2の尖点形式の保型性
を満たす。また、冒頭でふれた 「尖点形式」 の例にもなっている。このように、Dedekind のエータ関数の有限積およびその比が特別な保型形式となるような例はいくつもあり、略称で 「エータ積」 と呼ばれている。

【註記】
※1:五角数とは、次のように並べられた点の個数である。
  • 五角数の説明図

 五角数定理ではインデックスが負数になる項も含まれる。そのときの五角数は、次の図のように解釈される。
  • 負数番目の五角数の説明図

 なお、五角数は 「中心付き六角数」 と関係がある。
  • 五角数と中心付き六角数との関係説明図

 このような点の並びで表わされる自然数は、「多角数」, 「図形数」 と総称され、既に古代ギリシャの時代から研究されていた。

Dedekindエータ関数の記号

 実数値をとる直線上での Dedekind のエータ関数(存在領域は上半平面)のグラフ。
  • Dedekindのエータ関数のグラフ(実数値)

 複素変数の Dedekind のエータ関数(存在領域は上半平面)のグラフ。
  • Dedekindのエータ関数のグラフ(複素変数)
  • Dedekindのエータ関数のグラフ(複素変数)
  • Dedekindのエータ関数のグラフ(複素変数)
  • Dedekindのエータ関数のグラフ(複素変数)
  • Dedekindのエータ関数のグラフ(複素変数)

 直前の複素変数グラフにおいて、実軸に近い一部分を拡大した場合。
  • Dedekindのエータ関数のグラフ(複素変数)
  • Dedekindのエータ関数のグラフ(複素変数)
  • Dedekindのエータ関数のグラフ(複素変数)
  • Dedekindのエータ関数のグラフ(複素変数)
  • Dedekindのエータ関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Dedekind のエータ関数(存在領域は単位円内部)のグラフ。
  • Dedekindのエータ関数のグラフ(複素変数)
  • Dedekindのエータ関数のグラフ(複素変数)
  • Dedekindのエータ関数のグラフ(複素変数)
  • Dedekindのエータ関数のグラフ(複素変数)
  • Dedekindのエータ関数のグラフ(複素変数)

EichlerのL関数に関係する尖点形式

 実数値をとる直線上での尖点形式η(τ)^2*η(11τ)^2(上半平面)のグラフ。
  • EichlerのL関数に関係する尖点形式のグラフ(実数値)

 複素変数の尖点形式η(τ)^2*η(11τ)^2(上半平面)のグラフ。
  • EichlerのL関数に関係する尖点形式のグラフ(複素変数)
  • EichlerのL関数に関係する尖点形式のグラフ(複素変数)
  • EichlerのL関数に関係する尖点形式のグラフ(複素変数)
  • EichlerのL関数に関係する尖点形式のグラフ(複素変数)
  • EichlerのL関数に関係する尖点形式のグラフ(複素変数)
  • EichlerのL関数に関係する尖点形式のグラフ(複素変数)

楕円モジュラー形式 (不変量・判別式)

日:楕円モジュラー形式モジュラー形式
英:Modular form,仏:Forme modulaire,独:Modulform

 楕円関数の二つの不変量g2, g3τの関数と考えた
不変量g2,g3の定義
は、Eisenstein 級数の特別な場合である。特に、不連続群の元としての関数等式
  • 不変量g2,g3の擬保型性
を満たす。
 また、判別式判別式Δ(τ)は、
  • 判別式Δ(τ)の定義
で定義される。ここにRamanujanのτ関数Ramanujan のタウ関数と呼ばれる数論的関数で、Ramanujan のゼータ関数を Dirichlet 級数に展開したときの整数係数と同じである。特に、不連続群の元としての関数等式
  • 判別式Δ(τ)の擬保型性
を満たす。
 不変量g2, g3と判別式判別式Δ(τ)とは、
判別式Δと不変量g2,g3との関係
の関係にあって、いずれも代表的な楕円モジュラー形式の例である。さらに、判別式判別式Δ(τ)は冒頭でふれた尖点形式の例にもなっている。また、Dedekind のエータ関数とは
判別式Δ(τ)とDedekindエータ関数との関係
の関係にある。
 不変量g2, g3と判別式判別式Δ(τ)によって、種々の楕円モジュラー関数や楕円モジュラー形式を表わすことができる。例えば、重みkが4以上の偶数である場合の Eisenstein 級数はg2, g3の代数式によって
  • Eisenstein級数と不変量g2,g3との関係
と表わされる。これは、Weierstrass の楕円関数の Laurent 級数展開式が、
  • Weierstrassの楕円関数のLaurent級数展開式
となることから分かる。

不変量g2の記号

 実数値をとる直線上での楕円モジュラー形式のグラフ。
  • 楕円モジュラー形式(不変量g2)のグラフ(実数値)

 複素変数の楕円モジュラー形式のグラフ。2番目は、垂直軸を常用対数目盛にした場合。
  • 楕円モジュラー形式(不変量g2)のグラフ(複素変数)
  • 楕円モジュラー形式(不変量g2)のグラフ(複素変数)
  • 楕円モジュラー形式(不変量g2)のグラフ(複素変数)
  • 楕円モジュラー形式(不変量g2)のグラフ(複素変数)
  • 楕円モジュラー形式(不変量g2)のグラフ(複素変数)
  • 楕円モジュラー形式(不変量g2)のグラフ(複素変数)

不変量g3の記号

 実数値をとる直線上での楕円モジュラー形式のグラフ。
  • 楕円モジュラー形式(不変量g3)のグラフ(実数値)

 複素変数の楕円モジュラー形式のグラフ。2番目は、垂直軸を常用対数目盛にした場合。
  • 楕円モジュラー形式(不変量g3)のグラフ(複素変数)
  • 楕円モジュラー形式(不変量g3)のグラフ(複素変数)
  • 楕円モジュラー形式(不変量g3)のグラフ(複素変数)
  • 楕円モジュラー形式(不変量g3)のグラフ(複素変数)
  • 楕円モジュラー形式(不変量g3)のグラフ(複素変数)
  • 楕円モジュラー形式(不変量g3)のグラフ(複素変数)

判別式Δ(τ)の記号

 実数値をとる直線上での楕円モジュラー形式のグラフ。
  • 楕円モジュラー形式(判別式Δ)のグラフ(実数値)

 複素変数の楕円モジュラー形式のグラフ。
 ②は、①の垂直軸を常用対数目盛にした場合。また④は、③の実軸付近を拡大した場合。複雑な入れ子構造になっていることが分かる。

Eisenstein 級数

日:Eisenstein級数アイゼンシュタイン級数
英:Eisenstein series,仏:Série d'Eisenstein,独:Eisensteinreihe

 不変量g2, g3を拡張した
  • Eisenstein級数の定義
を、重みkの Eisenstein 級数という。つまり、不変量の場合は
  • Eisenstein級数による不変量の表現
となる。
 また、Eisenstein 級数Eisenstein級数Gk(τ)は Fourier 級数
  • Eisenstein級数のFourier級数
でも定義され、代表的な楕円モジュラー形式の例である。ここに、ζRiemann のゼータ関数σ約数関数である。特に、不連続群の元としての関数等式
  • Eisenstein級数の擬保型性
を満たす。
 Lambert 級数の公式によって、Eisenstein 級数Eisenstein級数Gk(τ)
  • Lambert級数型のEisenstein級数
によっても定義されることが分かる。この場合、もはやkは4以上の偶数とは限らず複素数にまで拡張される (ただし、楕円モジュラー形式の一種ではない)。特にkが2の場合は、数論などの純粋数学、ときに量子力学にも用いられ
  • Eisenstein級数G2(τ)の擬保型性と対数微分
を満たす。その他のkについては簡単な関数等式を持たない。(以下のグラフでは、主にkが4以上の偶数ではない場合を扱う。)
 なお、別の広い意味での 「Eisenstein 級数」 なる名称は、不連続群が (楕円モジュラー関数ではない) 一般的な保型関数の変換群となる場合の、同種の級数に対しても与えられる呼称である。そのような一例は、数論的保型関数の頁にある。
 重みkを変数とする Eisenstein 級数Eisenstein級数Gk(τ)は、ある種の Dirichlet 級数を表わすことができる。例えば、19世紀末頃 J. W. L. Glaisher 等の数学者は
Glaisher-Ramanujan関数の定義式
なる級数の研究を手掛けた。また、S. Ramanujan も G. H. Hardy 宛ての書簡でこの級数 (の特殊値) に言及している。ここでは関数と考えて 「Glaisher - Ramanujan 関数」 と仮称する (標準的な名称・記号は存在しない)。これは Eisenstein 級数によって
  • Glaisher-Ramanujan関数とEisenstein級数との関係
と表わされる。
 Glaisher - Ramanujan 関数はいくつかの興味深い性質がある。特に、mを正の整数とするとき、
Glaisher-Ramanujan関数の特殊値
となることが知られている。ここにBernoulli数Bernoulli 数である。また、Riemann ゼータ関数の奇数における値と
  • Glaisher-Ramanujan関数の特殊値
の関係にある。これは Ramanujan によって得られた。
 複素関数としての Glaisher - Ramanujan 関数は、複素平面上では無限遠点のほかに特異点を持たない超越整関数である。零点の位置について特に規則性は見られない。定義域の実部が負の∞に近付くとき、Glaisher - Ramanujan 関数は、
  • Glaisher-Ramanujan関数の極限値
に急速に近付く。

Eisenstein級数の記号

 実数値をとる直線上での Eisenstein 級数Eisenstein級数の記号のグラフ。
  • Eisenstein級数のグラフ(実数値)

 複素変数の Eisenstein 級数Eisenstein級数の記号のグラフ。
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Eisenstein 級数Eisenstein級数の記号のグラフ。
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Eisenstein 級数Eisenstein級数の記号のグラフ。
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)

 アニメーション(3.91MB)
 複素変数の Eisenstein 級数Eisenstein級数Gk(τ)のグラフ。k=1.2~10 (+0.2)。
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数:動画)

Eisenstein級数の記号

 複素変数の Eisenstein 級数Eisenstein級数の記号のグラフ。 重みkを変数とした場合の Eisenstein 級数Eisenstein級数Gk(τ)は、虚数を底とする指数関数因子を含むので、実軸に対して鏡映対称にならない。
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Eisenstein 級数Eisenstein級数の記号のグラフ。
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • Eisenstein級数のグラフ(複素変数)

Glaisher-Ramanujan関数の記号

 ①実変数の Glaisher - Ramanujan 関数のグラフ。
 ②③Re(z)=9上のグラフ。幾つかの極小点はx軸に到達しているように見えるが、実はどれも零点ではない。

 複素変数の Glaisher - Ramanujan 関数のグラフ。
  • Glaisher-Ramanujan関数のグラフ(複素変数)
  • Glaisher-Ramanujan関数のグラフ(複素変数)
  • Glaisher-Ramanujan関数のグラフ(複素変数)
  • Glaisher-Ramanujan関数のグラフ(複素変数)
  • Glaisher-Ramanujan関数のグラフ(複素変数)

実解析的 Eisenstein 級数

日:実解析的Eisenstein級数非正則アイゼンシュタイン級数
英:Real analytic Eisenstein series,Non-holomorphic Eisenstein series
仏:Série rélle analytique d'Eisenstein,独:Reel-analytisch Eisensteinreihe

 上半平面H={τ= x+i y, Im(s)>0}上の実解析的 Eisenstein 級数E(τ, s)とは、原点を除く格子点全体をわたる無限級数
  • 実解析的Eisenstein級数の定義式
で定義される非正則な Eisenstein 級数である。これは、上半平面H上の "非 Euclid 幾何的な" ラプラシアン (Euclid 平面上における通常のラプラシアンとは異なる)
非Euclid幾何的なラプラシアン
に対して、固有値と固有関数を与える一例となる※1。すなわち、実解析的 Eisenstein 級数は偏微分方程式
実解析的Eisenstein級数が満たす偏微分方程式
を満たす。(種々の理由から、大抵はs=1/2+iκと置き、固有値をs(1-s)=1/4+κ^2とする。)
 実解析的 Eisenstein 級数は、"上半平面H上の実解析的な" Fourier 級数、
  • 実解析的Eisenstein級数のFourier級数
に展開される。これは、格子点をわたる無限級数よりも広いsの領域で収束する。なお、この Fourier 級数でガンマ関数とゼータ関数の式変形を行う際は、因子φ(s)が次の性質を持つことを用いると便利である。
  • 因子φ(s)の性質
 τの関数としてのE(τ, s)は、Klein の楕円モジュラー関数と同じSL(2, Z)の保型性
  • 実解析的Eisenstein級数が満たす保型性
を満たす。一方、sの関数としては対称的な関数等式
  • 実解析的Eisenstein級数が満たす関数等式
を満たし、ゼータ関数に類似している。ただし、E(τ, s)s=1に留数3/πの極を持つ他、ζ(2s)の非自明零点と同じ位置にも極を持つ。そのため、後者の極を取り除いた
実解析的Eisenstein級数の別定義
を実解析的 Eisenstein 級数の定義とする場合もある。実際これは、特別な (2変数の正定値二次形式に対する) Epstein のゼータ関数に指数関数をかけた、
  • 実解析的Eisenstein級数とEpsteinゼータ関数との関係
によっても表わされる。(Epstein のゼータ関数は、1903年に P. Epstein によって導入された。当サイトでは未掲載。)
 一般の特殊線形群SL(2, R)に関してもΔ(H)の固有関数となる保型形式が定義されており、それらは1948年の H. Maass による研究に因んで、Maass 形式と呼ばれている。その多くは、虚数方向が第2種変形 Bessel 関数等で変数分離された Fourier 級数で表わされる。実解析的 Eisenstein 級数はその特別な例であり、数論、特に Riemann 予想との対比を念頭に置いた Selberg ゼータ関数の研究で用いられる他、Kronecker の極限公式にも現れる。

【註記】
※1 : ただし、実解析的 Eisenstein 級数は、上半平面H上の任意関数が正規固有関数展開されるときの級数項にではなく、積分変換項 (が必要となる特殊線形群の元のとき) の被積分関数に現れるという意味で、固有関数に相当する。固有値も連続変数sに対して定まる値なので、むしろ Fourier (積分) 変換の連続スペクトルに相当している。
 一方、級数項に現れる固有関数は Maass 波動形式と呼ばれ、その場合の固有値は離散的に分布する。

実解析的Eisenstein級数の記号

 τを複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数実解析的Eisenstein級数の記号のグラフ。この関数は、Re(s)=1/2のときに偏角が2値しか取らないので、複素解析的な関数ではない。
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)

 実解析的 Eisenstein 級数E(τ, s)は、τに関するモジュラー変換で不変となる。
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)

 τを複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数実解析的Eisenstein級数の記号のグラフ。一般にRe(s)≠1/2のときでも、偏角は全ての値を取るものの複素解析的な関数のそれとは異なる。
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)

 τを複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数実解析的Eisenstein級数の記号のグラフ。この関数も、同様に複素解析的な関数ではない。
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)

 アニメーション(12.80MB)
 τを複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数E(τ, s)のグラフ。
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数:動画)

実解析的Eisenstein級数の記号

 Re(s)=1/2上の実解析的 Eisenstein 級数実解析的Eisenstein級数の記号のグラフ。
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(臨界線上)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(臨界線上)

 sを複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数実解析的Eisenstein級数の記号のグラフ。
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)

 Re(s)=1/2上の実解析的 Eisenstein 級数実解析的Eisenstein級数の記号のグラフ。
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(臨界線上)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(臨界線上)

 sを複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数実解析的Eisenstein級数の記号のグラフ。
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)

 Re(s)=1/2上の実解析的 Eisenstein 級数実解析的Eisenstein級数の記号のグラフ。
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(臨界線上)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(臨界線上)

 sを複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数実解析的Eisenstein級数の記号のグラフ。
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)

実解析的Eisenstein級数の記号

 Re(s)=1/2上の実解析的 Eisenstein 級数実解析的Eisenstein級数の記号のグラフ。
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(臨界線上)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(臨界線上)

 sを複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数実解析的Eisenstein級数の記号のグラフ。
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)

 Re(s)=1/2上の実解析的 Eisenstein 級数実解析的Eisenstein級数の記号のグラフ。
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(臨界線上)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(臨界線上)

 sを複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数実解析的Eisenstein級数の記号のグラフ。
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)

 Re(s)=1/2上の実解析的 Eisenstein 級数実解析的Eisenstein級数の記号のグラフ。
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(臨界線上)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(臨界線上)

 sを複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数実解析的Eisenstein級数の記号のグラフ。
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ(複素変数)

特殊関数 Menu