特殊関数 グラフィックスライブラリー
Graphics Library of Special functions

楕円モジュラー関数

Klein の楕円モジュラー関数

日：楕円モジュラー関数，モジュラー関数
英：Modular function，仏：Fonction modulaire，独：Modulfunktion
日：Kleinのj-不変量，クラインの絶対不変量
英：Klein's j-invariant，仏：j-invariant，独：j-funktion

　楕円モジュラー関数は、保型関数の特別な場合であるが、分量の理由から、当サイトではこの頁で前者を扱い、後者のうち前者に含まれない例を次頁に後回しする。すなわち２頁で一体とする。
　しかし、説明文はどちらか一方の頁に両者をまとめて記述することがある (次の概要文など)。

【始めに：保型関数および楕円モジュラー関数の概要】
　保型関数は、いくつかの意味で楕円関数の拡張である。例えば、楕円関数は、二つの平行移動 (つまり離散的な特定の一次変換) の合成に対して不変な有理型関数で、その基本領域となる平行四辺形は、Euclid 幾何的な (通常の) 距離が定められた複素平面全体を一重に覆う。一方、保型関数は、特定の一次分数変換の合成に対して不変な有理型関数で、その基本領域となる円弧多角形は、非 Euclid 幾何的な距離が定められた複素平面の全体または部分領域を一重に覆う。
　ところが歴史的には、楕円関数の第2変数 (母数＝モジュラス) を、逆に二つの周期の比(モジュライ：Moduli) を変数とする関数と見ることで、最初の保型関数の例となる ｢モジュラー関数｣ が発見された。(そのため "楕円" を冠して、楕円モジュラー関数と呼ぶことがある ― 当サイトはこれに従う。)
　保型関数は、群論，数論等で重要な関数である。代数多様体に関連した数論，類体論を始めとする代数的整数論等では、本質的な役割を担うとともに、ゼータ関数との神秘的な絡み合いも垣間見せる。一方、散在型有限単純群と保型関数との関係からは頂点作用素代数が派生し、これが1980年代中盤に、場の量子論，超弦理論，統計力学へ保型関数が応用されるという驚くべき邂逅をもたらすことになる。
　特に楕円モジュラー関数は、それらの応用分野で出現する保型関数のほとんど (あるいは全て) を占めるので、とりわけ重要視されている。

【予備知識：上半平面・一次分数変換 etc.…】
　前にも触れたとおり、一般に保型関数の定義域は、複素平面全体になるか、様々な形状の (円または複数の円弧で囲まれた) 部分領域になるが、楕円モジュラー関数や応用上重要な保型関数の多くは、定義域として上半平面を選ぶことができる (それは、中心が、半径がとなる特別な円である)※1。ここで説明する予備知識も、特に断らない限り上半平面を前提とする。
　加えて、には (双曲的) 非 Euclid 幾何の "距離" が定められているとする。具体的には、任意の二点の間の距離 (＝測地線の長さ) が、｢双曲的距離｣

• 

• 

で与えられるとする。ならば測地線は全て円弧となるが、非 Euclid 幾何的に見れば全て "直線" である。このとき、測地線を周上に含む円 (測地線円) は中心が必ず実軸上になる (のときの中心は、実軸上の無限遠にあると考える)。の無限遠点は、および実軸になるが、通常それらはに含めない。ただし、保型関数が無限遠点上にある孤立点 (後述の放物型固定点) で定義されるときは、その孤立点をに含める場合もある (コンパクト Riemann 面を構成する場合など)。
　の測地線円を他の測地線円に移す変換は、特殊線形群の離散部分群

• 

が、に作用した一次分数変換 (＝ Möbius 変換)
で表わされる※2。この一次分数変換は、直径を実軸と共有する二つの相異なる円の一方を他方に変換し、かつ実軸を実軸に変換する。変換円どうしが作る位置の変わらない交点 (固定点) の数は０個, １個, ２個の場合に限られ、一次分数変換は順に ｢双曲型｣, ｢放物型｣, ｢楕円型｣ に分類される。それは、行列のトレース (＝跡) の絶対値による分類

• 

• 

に対応する。(他に ｢斜航型｣ があるが、では現れないので省略する。)
　変数が上記の一次分数変換を受けても不変、つまり
となる上の有理型関数を ｢保型関数｣ という。の基本領域は円弧多角形となり、各辺に対する鏡映を一次分数変換で繰り返して得られる "合同" な円弧多角形達では一重に覆われる。
　一方、保型因子を除いて不変、具体的には
となる上の超越整関数を ｢保型形式｣ という。ここには、重み (または重さ)，ウェイト (Weight) と呼ばれる定数である (は正の実数、特に４以上の偶数とすることが多い)。不変となる一次分数変換･重みは共通であるが、互いに異なる二つの保型形式で商を作ると、一つの保型関数が得られる。
　を定義域とする保型関数･保型形式が満たす一次分数変換には、双曲型は含まれない。一方、放物型が含まれるならば、保型関数は放物型固定点で一般に極のように振る舞い、その近傍で有理型となるが、保型形式は全ての放物型固定点で有界値を取る (保型形式が無限大になるのは、固定点ではない無限遠点のときである)。特に、全ての放物型固定点で値０を取る ― その固定点を中心に虚変数の指数関数が代入された冪級数 (Fourier 級数) に展開したとき、０次の項の係数が０になる ― 保型形式が存在する。これは ｢尖点形式｣ と呼ばれ、楕円曲線に附随したゼータ関数と密接に関係する等、種々の理由から非常に大切な関数とされる。
　楕円モジュラー関数，楕円モジュラー形式とは、特殊線形群の離散部分群が ｢モジュラー群｣になった、特別な保型関数，保型形式のことである。それらの関数が不変となる一次分数変換には放物型が必ず含まれるので、その固定点を無限遠点に移せば、実数方向の周期性を持つように定義できる。また、楕円モジュラー形式の一群には尖点形式が含まれる。

【Klein の楕円モジュラー関数】
　楕円モジュラー関数のうち、最も重要かつ基礎的な関数は、｢Klein の楕円モジュラー関数｣である (Klein のｊ- 不変量、または絶対不変量ともいう)。これは、Weierstrass の楕円関数によって一意化される楕円曲線
の判別式とそれに重みがつり合う不変量との商 (二つの楕円モジュラー形式の商)、または楕円テータ関数の ｢零値｣ を用いた表示

• 

によって定義される。(注意：この頁では以降も、特に断らない場合はとする。)
　Klein の楕円モジュラー関数は、モジュラー群が作用する一次分数変換に対して不変、つまり

• 

を満たす。特に、その一次分数変換の生成元となる変換に対しては、

• 

• 

となる (周期性および保型性)。保型関数は一般に上の有理型関数となるが、Klein の楕円モジュラー関数は上の超越整関数となるよう、定義式の形が選ばれている※3。
　Klein の楕円モジュラー関数は、基本領域となる円弧四角形の半領域 (上図の濃い青色の領域) に附随する頂点と尖点での値が、

• 

となる。変数が虚二次体の代数的数であるとき、の値は代数的整数になる※4。この事実は、虚数乗法論と密接な関係があり、またそれゆえに類体論にも関係する。
　Klein の楕円モジュラー関数は周期関数であるので、Fourier 級数 (の Laurent 級数)

• 

に展開される※5。整係数は常に正数で、合同関係式

• 

を満たす。さらに、26種類しかない散在型有限単純群のうち、位数 (群を構成する元の個数) が最大の

• 

となる ｢モンスター群｣の、既約表現の次数

• 

を用いて、全てのを (極力の加算を少なくして) 表わすことができる。具体的には、

• 

となる。この対応現象は ｢モンストラス･ムーンシャイン (Monstrous Moonshine)｣ と呼ばれている※6。
　Klein の楕円モジュラー関数は、倍数公式

• 

を満たす。一般に、は、次の代数方程式で結ばれる。
　Klein の楕円モジュラー関数は、代数的な３階の非線形微分方程式

• 

を満たす。
　Klein の楕円モジュラー関数の逆関数は、具体的に超幾何関数を用いて、

• 

と表わせる。
　周期が並びにである二つの楕円関数が成す楕円関数体が、互いに同型 (写像が環準同型かつ全単射) となるための必要十分条件は、

• 

が成立することである。
　ここでは併せて、を解析接続によって１価関数にしたも独自に定義する。具体的には、

• 

と解釈する。このとき、はモジュラー群が作用する一次分数変換の生成元に対して、

• 

を満たす。すなわち、周期は２となる。

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における Klein の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする Klein の楕円モジュラー関数のグラフ。2番目は、Order＝5 の Farey 数列の位置で尖点となる円弧領域を除去した場合。

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Klein の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　Klein の楕円モジュラー関数の基本領域が、円弧多角形であることを示したグラフ。

• 

　上半平面内で常に実数値をとる直線上におけるのグラフ。

• 

　を複素変数とするのグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とするのグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの２倍に一致する。

• 

楕円モジュラー・ラムダ関数

日：楕円モジュラー･ラムダ関数
英：elliptic modular lambda function，仏：Fonction modulaire lambda，独：Lambda-Funktion

【モジュラー群の主合同部分群・合同部分群】
　を正の整数とする。モジュラー群の正規部分群

• 

を段 (レヴェル) の ｢主合同部分群｣ という。この記号のもとでは、となる。
　また、それぞれの群を集合と見たときの部分集合関係がとなっているとき、を段の ｢合同部分群｣ という。合同部分群は唯一ではないが、例えば

• 

は、それに該当する。
　楕円モジュラー関数には、が作用する一次分数変換に対しては不変ではないが、等が作用する一次分数変換に対しては不変となるものが多数存在する。以降では、専らその例を見ることになる。

【楕円モジュラー･ラムダ関数】
　Gauss は、算術幾何平均との関係が明示された、

• 

を周期とする楕円関数 (一般レムニスケート関数) を研究した際、与えられたから母数 (モジュラス)を求めることが問題となった。周期等を (上記とは異なる) 現在の定義･記号に改めれば、その問題は

• 

をについて解くことになる。逆関数は、テータ零値，無限乗積等の計算可能な式

• 

で表わすことができる。は ｢楕円モジュラー･ラムダ関数｣ と呼ばれ、史上初めて発見された保型関数である。
　楕円モジュラー･ラムダ関数は、主合同部分群が作用する一次分数変換に対して不変、つまり

• 

を満たす。特に、その一次分数変換の生成元となる変換に対しては、

• 

となる (周期性および保型性)。一方、モジュラー群が作用する一次分数変換の生成元に対しては、

• 

を満たす。
　保型関数は一般に上の有理型関数であるが、楕円モジュラー･ラムダ関数は上の超越整関数である。
　楕円モジュラー･ラムダ関数は、の基本領域に附随する頂点･尖点と同じ位置で、

• 

なる値をとる。
　楕円モジュラー･ラムダ関数は周期関数ゆえ、Fourier 級数 (の冪級数)

• 

に展開される。
　楕円モジュラー･ラムダ関数を Galois 的有理関数に代入すると、Klein の楕円モジュラー関数

• 

になる。
　楕円モジュラー･ラムダ関数の尖点は、にある１点以外はすべて実軸上にある。その尖点の位置は、いずれも Farey 数列 に現れる有理数となる※1。

• 

　Gauss は、1810年代には楕円モジュラー･ラムダ関数について多くの結果を手中にしながら秘密のヴェールに包んだ。しかし、Klein の楕円モジュラー関数が現れるまでの間、楕円モジュラー･ラムダ関数は最も基礎的な保型関数として、19世紀中葉に名を残す数学者の多くが論文等で取り上げ、その神秘は次第に解明されていった。特に C. Hermite は、理論展開の中で主合同部分群の重要性を示し、また、楕円モジュラー･ラムダ関数の８乗根を用いた５次方程式の解の公式を求めた。

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における楕円モジュラー･ラムダ関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする楕円モジュラー･ラムダ関数のグラフ。2番目は、Order＝7 の Farey 数列の位置で尖点となる円弧領域を除去した場合。

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする楕円モジュラー･ラムダ関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　楕円モジュラー･ラムダ関数の基本領域が、円弧多角形であることを示したグラフ。
　なお、このときの円弧三角形は、双曲型非 Euclid 平面上の ｢理想三角形｣ と呼ばれる (３個の内角がすべて０°で、３辺の双曲的距離がすべてとなる三角形！)。

• 

楕円モジュラー･ラムダ関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの６倍に一致する。

• 

　アニメーション（① 14.0MB, ② 15.4MB）
　複素変数の楕円モジュラー･ラムダ関数のグラフ。連続的に基本領域間を移り変わる様子。①, ②

• 
• 

• 

正多面体方程式に附随する楕円モジュラー関数

【正多面体方程式】
　Klein によって理論が構築された正20面体の場合を例に、正多面体方程式の概要を説明する。
　正20面体の中心を原点に置き、かつ頂点を下図のように置いて固定する。Riemann 球面上の無限遠点から複素平面上へ正20面体の像を射影し、20個の面の中点、30個の辺の中点、12個の頂点に対応する複素平面上の座標値を全て求める。

• 

　３本の多項式

• 

は、前述の複素座標値を根に持つ (ただし、無限遠点にある根をに含めない)。これらは互いに、
の関係にあり、特に、そのうちの２項の比から Galois 的有理関数
が導かれる。正20面体の幾何学的な情報はこれに集約されている。すなわち、

• 

で互いに対応している。と置いて分母を移動すると得られるの代数方程式
は、｢正20面体方程式｣ と呼ばれている。Klein は、正20面体の回転群とその部分群の関係から、正20面体方程式が５次分解式を持つことを示し、後述のを用いて解の公式が記述できる５次方程式を特定した。これは、19世紀数学の華とも言うべき Galois 理論, 保型関数論が、古代ギリシャ数学的な趣の正多面体を介して結び付けられた美しい成果である。

【正多面体方程式に附随する楕円モジュラー関数】
　楕円モジュラー関数

• 

を、｢正多面体方程式に附随する楕円モジュラー関数｣ と呼ぶ※1。これらの関数は、Galois 的有理関数と

• 

の関係にある。例えば、前述の正20面体方程式でと置けば、上記の関係式から正20面体方程式の解はとなる。
　正多面体方程式に附随する楕円モジュラー関数は、主合同部分群が作用する一次分数変換に対して不変で、それぞれ

• 

を満たす。特に、一次分数変換の生成元となる変換に対しては、

• 

となる (周期性および保型性)。
　とは上の超越整関数であるが、は極

• 

を持ち、これらの点をの一次分数変換で移した全点でも極を持つので、上の有理型関数となる。

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　楕円モジュラー関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの12倍に一致する。

• 

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　楕円モジュラー関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの24倍に一致する。

• 

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　楕円モジュラー関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの60倍に一致する。

• 

エータ積による楕円モジュラー関数

　ここでは、Dedekind のエータ関数の積 (｢エータ積｣と呼ばれる) の商として表わされる楕円モジュラー関数の例を取り上げる。

【Conway - Norton の楕円モジュラー関数】
　前に、モンスター群と Klein の楕円モジュラー関数とを結び付けるモンストラス･ムーンシャインに触れたが 、他の有限群に対しても、類似の現象 (単に ｢ムーンシャイン｣ と呼ばれ、これに有限群の名を冠することが多い) で結び付く保型関数の例が知られている。
　J. H. Conway と S. P. Norton が例示したエータ積で表わされる171種類の保型関数も、モンスター群の部分群に対するムーンシャインを持つことが証明されている (1992年 R. E. Borcherds による)。
　171種類の Conway - Norton の楕円モジュラー関数のうち、比較的簡単な例を列挙すれば、

• 

となり、当サイトでは上記のみを取り上げる。ただし、これらの関数が持つ具体的なムーンシャインは複雑なので触れない。また、背景となる理論の説明も (大変難しいので) 行わない。詳細は、原田耕一郎 著 ｢モンスター：群のひろがり｣ 等を参照して欲しい。(関数記号は同著からの拝借であるが、当サイトでの添字の意味はこれと異なる。)
　前掲の Conway - Norton の楕円モジュラー関数は、合同部分群が作用する一次分数変換に対して不変である。すなわち、

• 

を満たす。特に、一次分数変換の生成元となる変換に対しては、

• 

となる (周期性および保型性)。
　Conway - Norton の楕円モジュラー関数のうち、いくつかは他の保型関数によって表わすことができる。例えば、数論的保型関数並びに Schwarz の保型関数 (の特殊な場合)、楕円モジュラー･ラムダ関数によって

• 

となる (このうちのグラフは、のそれから容易に想像できる概形になり、特に基本領域は全く同じ形になるので、掲載しない)。他の二つの数論的保型関数も、

• 

と表わせるが、自体は不変となる一次分数変換が整係数ではない (モジュラー群からの作用ではない) ので、楕円モジュラー関数に該当しない (この頁ではなく次頁に掲載した理由)。

【Weber の楕円モジュラー関数】
　H. M. Weber (1898年) によって導入された保型関数

• 

を、Weber の楕円モジュラー関数という※1。モジュラー群が作用する一次分数変換の生成元に対して、

• 

となるので、ここから周期性と保型性

• 

も導かれる。
　Weber の楕円モジュラー関数は、興味深い相互関係式

• 

を満たす。
　Weber の楕円モジュラー関数は、代数的整数論、間接的ではあるが特定のムーンシャイン現象に応用される。

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　Conway - Norton の楕円モジュラー関数の基本領域が、円弧多角形であることを示したグラフ。

• 

　Conway - Norton の楕円モジュラー関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの３倍に一致する。

• 

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　Conway - Norton の楕円モジュラー関数の基本領域が、円弧多角形であることを示したグラフ。

• 

　Conway - Norton の楕円モジュラー関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの４倍に一致する。

• 

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　Conway - Norton の楕円モジュラー関数の基本領域が、円弧多角形であることを示したグラフ。

• 

　Conway - Norton の楕円モジュラー関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの12倍に一致する。

• 

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　Conway - Norton の楕円モジュラー関数の基本領域が、円弧多角形であることを示したグラフ。

• 

　Conway - Norton の楕円モジュラー関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの12倍に一致する。

• 

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　Conway - Norton の楕円モジュラー関数の基本領域図は、のそれと全く同じになるので省略する。また、Klein の楕円モジュラー関数の基本領域の12倍に一致することを示した図も全く同じになるので省略する。

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　Conway - Norton の楕円モジュラー関数の基本領域図は、のそれと全く同じになるので省略する。また、Klein の楕円モジュラー関数の基本領域の12倍に一致することを示した図も全く同じになるので省略する。

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Conway - Norton の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　Conway - Norton の楕円モジュラー関数の基本領域が、円弧多角形であることを示したグラフ。

• 

　Conway - Norton の楕円モジュラー関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの24倍に一致する。

• 

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における Weber の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする Weber の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Weber の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　Weber の楕円モジュラー関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの72倍に一致する。

• 

　を複素変数とする Weber の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Weber の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　Weber の楕円モジュラー関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの72倍に一致する。

• 

　を複素変数とする Weber の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Weber の楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　Weber の楕円モジュラー関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの72倍に一致する。

• 

一般の楕円モジュラー関数

【保型形式としての関数】
　Weierstrass の楕円関数 (関数) は周期を変数と考えれば、重み２の擬モジュラー形式

• 

となるのであった (当該頁からの再掲)。よってを特別なの一次関数にとれば、重み２のモジュラー形式となるようにできる。さらに重み０となるよう、複数の関数または他の楕円モジュラー形式との有理関数を作れば、楕円モジュラー関数を構成することができる。例えば、前者の例として楕円モジュラー･ラムダ関数を、
と表わすことができる。後者の具体的かつ一般的な例は、次の項目で扱う。

【一般の楕円モジュラー関数】
　主合同部分群が作用する一次分数変換に対して不変な保型関数全体が作る体 (保型関数体) は、Klein の楕円モジュラー関数と

• 

とで生成される (この意味から、当サイトではを独自に ｢一般の楕円モジュラー関数｣ と称する)※1。ここに, は不変量、は判別式である。
　を、が虚二次体になるような数であるとする。楕円関数が(ただしは単数でないとする) による虚数乗法を持つならば、
はの Abel 拡大になっている (このことの証明は類体論によって成された)※2。
　当サイトではの場合を扱うが、互いに同値になるものが含まれる (周期方向に移すと同値になる関数も含める)。これを具体的に示すと、

• 

となる。したがって、最左辺にある７種類の関数のみグラフを掲載する。
　上記７種類の関数は、不変となる一次分数変換の生成元に対して、周期性および保型性

• 

を満たす。

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　一般楕円モジュラー関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの３倍に一致するが、Conway - Norton の楕円モジュラー関数のそれと全く同じ領域になるので、描画は省略する。

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　一般楕円モジュラー関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの３倍に一致する。

• 

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　一般楕円モジュラー関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの４倍に一致するが、Conway - Norton の楕円モジュラー関数のそれと全く同じ領域になるので、描画は省略する。

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　一般楕円モジュラー関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの４倍に一致する。

• 

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　一般楕円モジュラー関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの６倍に一致する。

• 

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　一般楕円モジュラー関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの６倍に一致する。

• 

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする一般楕円モジュラー関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　一般楕円モジュラー関数の基本領域は、Klein の楕円モジュラー関数のそれの６倍に一致するが、のそれと全く同じ領域になるので、描画は省略する。

Dedekind のエータ関数

日：Dedekindのエータ関数，デーデキントのη関数
英：Dedekind eta function，仏：Fonction êta de Dedekind，独：Dedekindsche η-funktion

　保型関数を楕円関数の母数から構築する当時の定番となっていた方法を改め、モジュラー群の作用による不変性を持つ (今日で言うところの)を要に据えて、それまでに現れていた他の楕円モジュラー関数を、主合同部分群等の概念で包括的に論じた最初の数学者は Dedekind (1877年) であった※1。Dedekind のエータ関数もその論文で初めて導入され、理論の完成度が一層高められている。
　大抵の場合、Dedekind のエータ関数は無限乗積

• 

で定義され、それは上記のとおりテータ零値や q-シフト因子によっても表現できる※2。
　Dedekind のエータ関数は、モジュラー群が作用する一次分数変換の生成元となる変換に対して、

• 

を満たす (擬周期性および擬保型性) ので、正確には楕円モジュラー形式ではないが、広義として重み 1/2 の楕円モジュラー形式に含めることが多い。実際、この重みの小さいことが他の楕円モジュラー形式を表わすときに好都合となる。
　モジュラー群が作用する一次分数変換すべてに対しては、

• 

となり、やや複雑である。しかし、ここに現れる24乗根因子と ｢Dedekind の和｣ は数論的に深く、個別の研究対象になっている。
　Dedekind のエータ関数は、の基本領域に附随する頂点･尖点と同じ位置で、

• 

なる値をとる。また、Dedekind のエータ関数は上の超越整関数であり、では値０をとらない (上記のようにに含まれない尖点では０をとる。ただし、24乗根因子が付くので尖点形式ではない)。この意味で Dedekind のエータ関数は上 "指数関数的" である。
　前述のとおり、種々の楕円モジュラー関数･楕円モジュラー形式は、Dedekind のエータ関数で表わすことができる。例えば、

• 

等が知られている。この他、Eichler のＬ関数と関係する尖点形式

• 

は、前々節で触れたエータ積の例になっており、合同部分群が作用する重み２の保型形式である。すなわち、

• 

を満たす。
　こののように、Dedekind のエータ関数 (およびその関連関数) が数論や組合せ論との神秘的な関係を垣間見せるのは、その級数展開式であることが多い。例えば、法12の (実原始) Dirichlet 指標を係数にして、

• 

と展開される。もっと有名な事例を挙げれば、等式

• 

の第2辺と第3辺を結ぶ ｢Euler の五角数定理｣※3、および分割数を係数で与える母関数の

• 

がある。分割数とは、正整数をそれ以下の正整数の和で表わす方法の個数 (和の順序の入れ替えはカウントしない) である※4。
　Dedekind のエータ関数の導関数は、

• 

となる。
　また、Dedekind のエータ関数は Kronecker の極限公式にも現れる。詳細は実解析的 Eisenstein 級数を参照。

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における Dedekind のエータ関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする Dedekind のエータ関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Dedekind のエータ関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Dedekind のエータ関数のグラフ。よりも表示できる範囲は狭いが、原点および実軸近傍での振る舞いを確認しやすい。

• 
• 
• 
• 
• 

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における尖点形式のグラフ。

• 

　を複素変数とする尖点形式のグラフ。２番目は、値域を逆双曲線正弦目盛にした場合である。

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする尖点形式のグラフ。２番目は、値域を逆双曲線正弦目盛にした場合である。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする尖点形式のグラフ (つまり、として描画した場合)。
　２番目は、値域を逆双曲線正弦目盛にした場合である。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする尖点形式のグラフ (つまり、として描画した場合)。
　２番目は、値域を逆双曲線正弦目盛にした場合である。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　Dedekind の和のグラフ。は定義されない。

• 

　Dedekind のエータ関数がモジュラー変換を受けたときに生じる24乗根因子のグラフ。したがって、その値は24種類しかなく、絶対値はすべて１になる。
　（Klein の楕円モジュラー関数上で変換を表現し、彩色はの偏角に基づく。）

• 
• 

楕円モジュラー形式 (不変量･判別式)

日：楕円モジュラー形式，モジュラー形式
英：Modular form，仏：Forme modulaire，独：Modulform

　ここで扱う楕円モジュラー形式は、楕円関数論で定数として現れるが、に依存する関数にもなっている特別な例、すなわち、不変量と判別式に限る。より一般的な楕円モジュラー形式は、次節の ｢Eisenstein 級数｣ で扱う。

【不変量 ― 楕円モジュラー形式の基本例】
　Weierstrass の楕円関数を、原点中心に Laurent 級数展開すると、

• 

となる※1。このとき、すべての係数はとの多項式で表わされる。具体的には、

• 

と置けば、とを初期値として、

• 

で表わされる。は斉次性

• 

を持つので、を変数とすれば、最も基本的な楕円モジュラー形式

• 

が得られる。この導出過程と不変式論に由来して、, は ｢不変量 (Invariant)｣ と呼ばれる。ここに、は後述の Eisenstein 級数である※2。
　不変量は、モジュラー群が作用する一次分数変換に対して、

• 

を満たす。特に、その一次分数変換の生成元となる変換に対しては、

• 

となる (周期性および擬保型性)。
　不変量は、の基本領域に附随する頂点･尖点と同じ位置で、

• 

なる値をとる。一般に不変量の値は、テータ零値による表示式

• 

等で求められる。

【判別式 ― 尖点形式の基本例】
　Weierstrass の楕円関数とその導関数とでパラメータ表示される代数方程式 (楕円曲線)

• 

の判別式、およびその斉次性

• 

によって、同様に楕円モジュラー形式

• 

が得られる。このことから、は ｢モジュラー判別式 (Modular discriminant)｣ または単に ｢判別式｣ と呼ばれる。
　判別式は、モジュラー群が作用する一次分数変換に対して、

• 

を満たす。特に、その一次分数変換の生成元となる変換に対しては、

• 

となる (周期性および擬保型性)。
　判別式は、の基本領域に附随する頂点･尖点と同じ位置で、

• 

なる値をとる。
　Dedekind のエータ関数との関係から、判別式は無限乗積

• 

に展開される。この式は、理論と数値計算の双方で扱い易く、都合が良い。
　判別式は上で値０をとらないが、Fourier 級数

• 

に展開され、に含まれない全ての尖点で値０をとる。よって、判別式は尖点形式でもある。
　Fourier 係数は ｢Ramanujan のタウ関数｣ と呼ばれる数論的関数で、Ramanujan ゼータ関数の Dirichlet 級数表示式の係数と同じである。の閉形式は種々あるが、約数関数を用いた

• 

は、比較的簡単な (しかし数値計算には向かない) 例である。また、合同関係式
等がよく知られている。(の式では素数 ｢691｣ が度々現れる。その理由を問うことは、深い数学的真理に通じている。)

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における楕円モジュラー形式 (不変量)のグラフ。

• 

　を複素変数とする楕円モジュラー形式 (不変量)のグラフ。２番目は、値域を逆双曲線正弦目盛にした場合である。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする楕円モジュラー形式 (不変量)のグラフ。２番目は、値域を逆双曲線正弦目盛にした場合である。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする楕円モジュラー形式 (不変量)のグラフ。２番目は、値域を逆双曲線正弦目盛にした場合である。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における楕円モジュラー形式 (不変量)のグラフ。

• 

　を複素変数とする楕円モジュラー形式 (不変量)のグラフ。２番目は、値域を逆双曲線正弦目盛にした場合である。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする楕円モジュラー形式 (不変量)のグラフ。２番目は、値域を逆双曲線正弦目盛にした場合である。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする楕円モジュラー形式 (不変量)のグラフ。２番目は、値域を逆双曲線正弦目盛にした場合である。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における楕円モジュラー形式 (判別式)のグラフ。

• 

　を複素変数とする楕円モジュラー形式 (判別式)のグラフ。２番目は、値域を逆双曲線正弦目盛にした場合である。また４番目は、３番目のグラフの実軸近傍を拡大した場合である。

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする楕円モジュラー形式 (判別式)のグラフ。２番目は、値域を逆双曲線正弦目盛にした場合である。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする楕円モジュラー形式 (判別式)のグラフ。２番目は、値域を逆双曲線正弦目盛にした場合である。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

Eisenstein 級数

日：Eisenstein級数，アイゼンシュタイン級数
英：Eisenstein series，仏：Série d'Eisenstein，独：Eisensteinreihe

　現在では Weierstrass 流として知られる楕円関数論と同様の理論を、K. T. W. Weierstrass より約15年早く展開した F. G. M. Eisenstein の名に因み、既に前節で現れていた分数級数

• 

は、｢Eisenstein 級数｣ と呼ばれる。時折、総和がわたる格子の二整係数を、互いに素であるものに限定した、

• 

で定義されることもあるが、両者は全く同じ関数である※1。
　Eisenstein 級数は、楕円モジュラー形式の典型的な例であって、モジュラー群が作用する一次分数変換に対して、

• 

を満たす。特に、その一次分数変換の生成元となる変換に対しては、

• 

となる (周期性および擬保型性)※2。
　Eisenstein 級数は、Fourier 級数

• 

に展開される (この Fourier 級数展開式を、Eisenstein 級数と呼ぶことも多い)。しばしば、その定数項が１になるよう全体を定数倍した ｢正規化 Eisenstein 級数｣

• 

が代わりに定義される。
　NISTにある公式：27.7.5を用いると、Fourier 級数展開式から直ちに Lambert 級数展開式

• 

が得られる。Fourier 級数および Lambert 級数展開式は、理論展開およびの数値計算に便利であるが、このとき重みは４以上の偶数に限らず、なる複素数であっても収束する (ただし、通常はその場合を楕円モジュラー形式に含めない)。
　重みが一般的な場合のうち、最も注目される例が、

• 

であり、モジュラー群が作用する一次分数変換に対して、

• 

を満たす。特に、その一次分数変換の生成元となる変換に対しては、

• 

となる※3。このの特異な現象、すなわち、分数級数でとすると発散する関数が Fourier 級数等では収束し、一次分数変換に対して一次関数のずれが伴う不変性を持つ現象は、場の量子論に現れる重力異常問題の数学的解釈に応用される。
　また、は楕円モジュラー形式の導関数でも必要となる。例えば、

• 

等が知られている※4。このうち１番目と３番目の式を援用すれば、Klein の楕円モジュラー関数の導関数は、

• 

となることが導かれる。
　ある種の Dirichlet 級数は、重みを変数と考えた Eisenstein 級数で表わすことができる。例えば、19世紀末に J. W. L. Glaisher 等は、
なる級数を研究した。また、S. Ramanujan も G. H. Hardy 宛ての書簡でこの級数 (の特殊値) に言及している。ここでは独自に ｢Glaisher - Ramanujan 関数｣ と称し、関数記号を上記のとおりとする。これは Eisenstein 級数によって、

• 

と表わされる。
　Glaisher - Ramanujan 関数は、特殊値

• 

を持つ。後者は S. Ramanujan によって得られた。
　Glaisher - Ramanujan 関数は、複素平面上の超越整関数である。零点の位置について特に規則性は見られない。定義域の実部が負の無限大に近付くとき、Glaisher - Ramanujan 関数は、

• 

となる。

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における Eisenstein 級数のグラフ。

• 

　を複素変数とする Eisenstein 級数のグラフ。２番目は、値域を逆双曲線正弦目盛にした場合である (以下同様)。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　上半平面内で常に実数値をとる直線上における Eisenstein 級数のグラフ。

• 

　を複素変数とする Eisenstein 級数のグラフ。２番目は、値域を逆双曲線正弦目盛にした場合である (以下同様)。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Eisenstein 級数のグラフ。２番目は、値域を逆双曲線正弦目盛にした場合である (以下同様)。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　アニメーション（9.88MB）
　を複素変数とする Eisenstein 級数のグラフ。

• 

　を複素変数とする Eisenstein 級数のグラフ。２番目は、値域を逆双曲線正弦目盛にした場合である (以下同様)。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

　アニメーション（6.08MB）
　を複素変数とする Eisenstein 級数のグラフ。

• 

　重みを複素変数とする Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　重みを複素変数とする Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　実変数の Glaisher - Ramanujan 関数のグラフ。

• 

　Glaisher - Ramanujan 関数のグラフ (①絶対値, ②実部と虚部)。①の極小点は軸に到達しているように見えるが、実はいずれも零点ではない。

• 
• 

　複素変数の Glaisher - Ramanujan 関数のグラフ。２番目は、値域を常用対数目盛にした場合である。

• 
• 
• 
• 
• 
• 

実解析的 Eisenstein 級数

日：実解析的Eisenstein級数，非正則アイゼンシュタイン級数
英：Real analytic Eisenstein series，Non-holomorphic Eisenstein series，
仏：Série rélle analytique d'Eisenstein，独：Reel-analytisch Eisensteinreihe

　上半平面上の実解析的 Eisenstein 級数とは、原点を除く格子点全体をわたる無限級数

• 

で定義される非正則な Eisenstein 級数である。これは、"上の非 Euclid 幾何的な" ラプラシアン (Euclid 平面上における通常のラプラシアンとは異なる)
に対して、固有値と固有関数を与える一例となる※1。すなわち、実解析的 Eisenstein 級数は偏微分方程式
を満たす。(種々の理由から、大抵はと置き、固有値をとする。)
　実解析的 Eisenstein 級数は、"上の実解析的な" Fourier 級数、

• 

に展開される。これは、格子点をわたる無限級数よりも広いの領域で収束する。なお、この Fourier 級数でガンマ関数とゼータ関数の式変形を行う際は、因子が次の性質を持つことを用いると便利である。

• 

　の関数としてのは、Klein の楕円モジュラー関数と同じの保型性

• 

を満たす。一方、の関数としては対称的な関数等式

• 

を満たし、ゼータ関数に類似している。ただし、はに留数の極を持つ他、の非自明零点と同じ位置にも極を持つ。そのため、後者の極を取り除いた
を実解析的 Eisenstein 級数の定義とする場合もある。実際これは、特別な (２変数の正定値二次形式に対する) Epstein のゼータ関数に指数関数をかけた、

• 

によっても表わされる。(Epstein のゼータ関数は、1903年に P. Epstein によって導入された。当サイトでは未掲載。)
　｢第1 Kronecker の極限公式｣ とは※2、１位の極を中心に Laurent 級数展開した実解析的 Eisenstein 級数の近似式

• 

のこと (通常は後者の方) を言う※3。
　一般の特殊線形群に関してもの固有関数となる保型形式が定義されており、それらは1948年の H. Maass による研究に因んで、Maass 形式と呼ばれている。その多くは、虚数方向が第2種変形 Bessel 関数等で変数分離された Fourier 級数で表わされる。実解析的 Eisenstein 級数はその特別な例であり、数論、特に Riemann 予想との対比を念頭に置いた Selberg ゼータ関数の研究で用いられる他、前述の Kronecker 極限公式が二次形式論や代数的整数論に現れる。

　を複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数のグラフ。この関数は、のときに偏角が2値しか取らないので、複素解析的な関数ではない。

• 
• 
• 
• 
• 

　実解析的 Eisenstein 級数は、に関するモジュラー変換で不変となる。

• 

　を複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数のグラフ。一般にのときでも、偏角は全ての値を取るものの複素解析的な関数のそれとは異なる。

• 
• 
• 
• 
• 

　を複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数のグラフ。この関数も、同様に複素解析的な関数ではない。

• 
• 
• 
• 
• 

　アニメーション（12.80MB）
　を複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数のグラフ。

• 

　上の実解析的 Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 

　を複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　上の実解析的 Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 

　を複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　上の実解析的 Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 

　を複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　上の実解析的 Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 

　を複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　上の実解析的 Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 

　を複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　上の実解析的 Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 

　を複素変数とする実解析的 Eisenstein 級数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
•