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Bessel 関数

Bessel 関数

日:Bessel関数ベッセル関数
英:Bessel function,仏:Fonction de Bessel,独:Besselsche funktion
日:円柱関数
英:Cylinder function,仏:Fonction cylindrique,独:Zylinderfunktion

 Helmholtz の方程式を円柱座標で変数分離すると、動径方向の満たす微分方程式は
Besselの微分方程式
の形になる。これは現在、Bessel の微分方程式と呼ばれている。上記とは別の方法で導かれる微分方程式も、その多くが Bessel の微分方程式に帰着される。例えば、(狭義の) Riccati の微分方程式がそれにあたる。
 Bessel の微分方程式は線形であるため、そのためのよく知られた種々の理論が適用できる。係数関数が発散する場所と位数を評価すると、Bessel の微分方程式はz=0に確定特異点、z=∞に1級の不確定特異点を持っていることが分かる。また、Bessel の微分方程式の一般解は、互いに線形独立な二つの解からなる線形結合式で表わされる。特に現在では、二つの基本解として
  • Bessel関数の定義
が採用され、順に、第1種、第2種の Bessel 関数(または円柱関数)と呼ばれる。第2種の Bessel 関数は Neumann 関数と呼ばれることもあり、しばしばNeumann関数とも表記される。第2種の定義式は、次数vが整数nのときに不定形となるが、l'Hôpital の定理を用いて極限をとると、数値的に意味のある式
  • 整数次の第2種Bessel関数
が得られる。ここにディガンマ関数はディガンマ関数である。
 次数vの第1種、第2種 Bessel 関数(と、後述の Hankel 関数第1種Hankel関数の記号,第2種Hankel関数の記号)、およびこれらの導関数は、次数がvから整数だけ異なった二つの同じ Bessel 関数を用いて
  • Bessel関数の線形漸化式
と表わされる。このような、次数が整数差である複数の関数が線形結合してできる漸化式(隣接関係式)は、Bessel 関数を含む超幾何関数系の特殊関数で共通に見られる、特徴的な公式の一つである。
 vが半奇数のときのみ、第1種、第2種の Bessel 関数は初等関数に還元される。しばしば、これに無理関数因子をかけた
  • 球Bessel関数の定義
が特別に定義され、第1種、第2種の球 Bessel 関数と呼ばれる。その名は、Helmholtz の方程式を球座標で変数分離すると、動径方向の満たす微分方程式の解として現れることに因む。
 一般に、Bessel 関数は無限多価関数であるが、第1種 Bessel 関数の多価性はz^vに由来する。すなわち、多価性を解消した第1種Bessel関数とすれば超越整関数になる。Bessel 関数は一般的に 、無限遠点とz=0に特異点を持ち、通常は-∞~0に分枝切断線を置く。また、合流型超幾何関数の特別な場合として表わせる。
 一般に Bessel 関数は複素零点を持つが、応用上は、第1種、第2種 Bessel 関数の有する実零点が重要である。これらを正の実軸上で絶対値の小さいものから順に番号付けしたとき、k番目の実零点は記号
  • Bessel関数の実零点
で表記される。上記の例では原点も零点になるが、(自明すぎるので) 常に原点の実零点は数え上げに含めず番号1としない。第1種、第2種 Bessel 関数は、変数z∞に近づくと三角関数に近づく (ただし、振幅は0に近づく) ので、実零点の並ぶ間隔は∞に近づくと等間隔に漸近するものの、有界なzの範囲では等間隔にならない。
 歴史的には、重い鎖の振動問題に関して、D. Bernoulli が初めて Bessel 関数を手掛けた。しかし、惑星の運動問題に関連して天文学者 F. W. Bessel が、この関数の組織的研究を行ったためこの名がある(→ Kepler の逆関数を参照)。
 円柱関数という別名があるとおり、境界条件が円柱となる種々の物理問題に Bessel 関数が現れる。例えば、磁界の影響によって、長い円柱形状(電線を示唆する)の媒質断面における高周波電流の分布が不均一になる現象(媒質が導電体のときの表皮効果、誘電体のときの中骨作用)の解析、(太鼓などの)円形膜の振動問題などがある。後者では、Bessel 関数の零点の位置が原因となって振動の節が等間隔にならず、音響における弦楽器と打楽器の本質的な違いが説明される。この他にも、電磁波伝播解析、光学の円孔スリット回折、航空機の非定常翼理論など、物理学での Bessel 関数の応用例は非常に多い。
 一方、判明している Bessel 関数の公式は膨大な数にのぼるので、単に数学的手法が関心になる問題の場合でも Bessel 関数はよく現れる。例えば、Mathieu 関数を Bessel 関数の無限級数で表わす式は、Bessel 関数が満たす積分方程式の一つを使用すると得られる。それどころか、(変形) Bessel 関数を用いる Maass 形式のように数論ですら現れる。その特殊関数の物理学色が極めて濃い場合に、同時に純粋数学でも多用されることは珍しく、その点で Bessel 関数の存在は際立っている。
 そのような背景もあって、多くの人が特殊関数の例として最初に Bessel 関数を挙げるほどこの関数は有名であり、特殊関数論の教科書や公式集でも、最も多くの頁数を割いているのは大抵 Bessel 関数である。一昔前によく作られた数表も、特に Bessel 関数のそれは詳しいものが出揃っている。

第1種Bessel関数の記号

 実変数の第1種 Bessel 関数のグラフ。①最も出現頻度が高い0次, 1次, 2次。②v=0次~10次 (+1)。

 実変数の第1種 Bessel 関数のグラフ。①v=0次~4次 (+0.1)。②v=-4次~0次 (+0.1)。

 実2変数の第1種 Bessel 関数のグラフ。
  • 第1種Bessel関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の第1種 Bessel 関数第1種Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Bessel 関数第1種Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Bessel 関数第1種Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Bessel 関数第1種Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Bessel 関数第1種Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数)

 アニメーション(8.24MB)
 複素変数の第1種 Bessel 関数のグラフ。v=-5次~5次 (+0.2)。
  • 第1種Bessel関数のグラフ(複素変数:動画)

【コラム】
 円柱座標円柱座標における関数
  • 円柱波
が表わす波形は 「円柱波」 と呼ばれ、角度方向が余弦関数、動径方向が第1種 Bessel 関数に由来した、点対称で放射状な波形となる。(グラフは次のとおり。)
  • 円柱波のグラフ

 このとき、すべての円柱波を総和 (合成振動) すると、平面波 (平行波) に変換される!。
アニメーション(6.08MB)
  • 円柱波から平面波への変換(動画)

 上記のアニメーションは、次の1番目の公式が意味するところを視覚化したものである。他の3個の公式も類似する意味を持っており、これらは第1種 Bessel 関数の重要な性質を表わしている (この公式は 「Jacobi-Anger expansion」 の特別な場合) 。
  • 円柱波を平面波に変換する公式群

第2種Bessel関数の記号

 実変数の第2種 Bessel 関数のグラフ。①最も出現頻度が高い0次, 1次, 2次。②v=0次~10次 (+1)。

 実変数の第2種 Bessel 関数のグラフ。①v=0次~4次 (+0.1)。②v=-4次~0次 (+0.1)。

 実2変数の第2種 Bessel 関数のグラフ。
  • 第2種Bessel関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の第2種 Bessel 関数第2種Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Bessel 関数第2種Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Bessel 関数第2種Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Bessel 関数第2種Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Bessel 関数第2種Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数)

 アニメーション(8.39MB)
 複素変数の第2種 Bessel 関数のグラフ。v=-5次~5次 (+0.2)。
  • 第2種Bessel関数のグラフ(複素変数:動画)

Bessel関数の漸近形(タイトル)

 ①Bessel関数の漸近形,②Bessel関数の漸近形,③Bessel関数の漸近形。 いずれもv=0~5 (+0.25)。
 次第に振幅が小さくなりながらも、円に近付いていることが分かる。すなわち、Bessel 関数は三角関数へ漸近する。

変形 Bessel 関数

日:変形Bessel関数変形ベッセル関数双曲線Bessel関数
英:Modified Bessel function,仏:Fonction de Bessel modifiée,独:Modifizierte Besselsche funktion

 Bessel の微分方程式を変形(一部の符号を変更)した微分方程式
変形されたBesselの微分方程式
を満たす、互いに線形独立な二つの基本解
  • 変形Bessel関数の定義
を、第1種、第2種の変形 Bessel 関数(または双曲線 Bessel 関数)という。「双曲線」なる別名は、Bessel 関数が三角関数の類似であると見た場合に、変形 Bessel 関数が双曲線関数に類似するからである。第2種の式は、第2種 Bessel 関数のときと同様に、次数vが整数nの場合は l'Hôpital の定理を適用して極限をとる。
 このほか、線形漸化式を満たすこと、vが半奇数のときは初等関数で表わされること、複素平面上、無限遠点とz=0に特異点を持ち、通常は-∞~0に分枝切断線を置くこと、また、合流型超幾何関数の特別な場合として表わせることは、Bessel 関数と同様である。
 変形 Bessel 関数は、Bessel 関数に比べると若干その応用例が少ないが、それでも高頻度で出現する。Bessel 関数の所でも説明したように、Fourier 級数展開の係数に第2種変形 Bessel 関数が現れる Maass 形式や、第1種変形 Bessel 関数の無限級数で表わされる分割数の評価式(「NIST Handbook of Mathematical Functions」のp.628にある公式26.10.17)など、数論への応用例も多く存在する点が大変興味深い。参考までに、D. Castellanos の論文「Rapidly Converging Expansions with Fibonacci Coefficients.」(The Fibonacci Quarterly No.24, (1986) p.70-82) にある公式を掲載する。
  • 変形Bessel関数の数論的な応用例
ここに、FnFibonacci 数である。
 なお、次数が負数である第2種変形Bessel関数であるため、以下の描画において、負数次の第2種変形 Bessel 関数は扱わない。

第1種変形Bessel関数の記号

 実変数の第1種変形 Bessel 関数のグラフ。v=0次~10次 (+1)。
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(実変数)

 実変数の第1種変形 Bessel 関数のグラフ。①v=0次~10次 (+0.2)。②v=-10次~0次 (+0.2)。

 実2変数の第1種変形 Bessel 関数のグラフ。
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の第1種変形 Bessel 関数第1種変形Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種変形 Bessel 関数第1種変形Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種変形 Bessel 関数第1種変形Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種変形 Bessel 関数第1種変形Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種変形 Bessel 関数第1種変形Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)

第2種変形Bessel関数の記号

 実変数の第2種変形 Bessel 関数のグラフ。①v=0次~10次 (+1)。②v=0次~10次 (+0.2)。

 実2変数の第2種変形 Bessel 関数のグラフ。
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の第2種変形 Bessel 関数第2種変形Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種変形 Bessel 関数第2種変形Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種変形 Bessel 関数第2種変形Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種変形 Bessel 関数第2種変形Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel関数のグラフ(複素変数)

Hankel 関数

日:Hankel関数ハンケル関数
英:Hankel function,仏:Fonction de Hankel,独:Hankel-funktion

 一般に、二階線形常微分方程式の二つの基本解として、どのような解を選定するかは本来任意である。Bessel の微分方程式の場合、原点付近での関数近似が簡単になるような基本解の選び方としてBessel関数の記号がある。一方、∞での関数近似(漸近級数)の形が簡単になるような基本解の選び方として、しばしば
Hankel関数の定義式
が定義される。これは、第1種、第2種の Hankel 関数(または、第3種、第4種の Bessel 関数)と呼ばれる。この定義式の形から、Bessel 関数が三角関数の類似とすれば、Hankel 関数は(虚変数の)指数関数の類似といえる。よって、Hankel 関数は実軸に対して鏡映対称にはならず、実変数のときは一般に複素数値をとる。
 Hankel 関数も、線形漸化式を満たすこと、vが半奇数のときは初等関数で表わされること、無限遠点とz=0に特異点を持ち、通常は-∞~0に分枝切断線を置くこと、また、合流型超幾何関数の特別な場合として表わせることは、Bessel 関数と同様である。
 歴史的に Hankel 関数は、複素変数の Bessel 関数論を展開するために H. Hankel がこれを導入したことに始まる。実際、漸近級数が簡単な形になり、ここから種々の積分表示式が得られるため都合が良い。現在でも多くの人は、まず積分表示式で Hankel 関数を定義し、これを経由して第2種 Bessel 関数を導くという論理展開の方を好んで採用する(整数次の第2種 Bessel 関数の複雑な定義に触れなくて済むことも、その理由の一つである)。
 応用においても Hankel 関数は、Bessel 関数と並んで多くの事例がある。特に0次の Hankel 関数は、原点を中心に無限遠に向かって伝播する2次元波動(境界のない水面の円形波紋など)を表わすのに用いられる。すなわち、半径rと時刻tによって決まる解U
  • Hankel関数の応用例
となる。
 前述のように第2種 Hankel 関数第2種Hankel関数の記号は、単に、第1種 Hankel 関数第1種Hankel関数の記号と共役複素数の関係にあるだけなので、複素変数の第2種Hankel関数の記号のグラフは、第1種Hankel関数の記号を実軸に対して鏡映反転し符号を変えた以外は、全く同じ形状となる。よって、第2種 Hankel 関数は描画しない。

第1種Hankel関数の記号

 複素変数の第1種 Hankel 関数第1種Hankel関数の記号のグラフ。
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Hankel 関数第1種Hankel関数の記号のグラフ。
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Hankel 関数第1種Hankel関数の記号のグラフ。
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Hankel 関数第1種Hankel関数の記号のグラフ。
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Hankel 関数第1種Hankel関数の記号のグラフ。
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel関数のグラフ(複素変数)

Airy 関数

日:Airy関数エアリー関数
英:Airy function,仏:Fonction d'Airy,独:Airysche funktion

 二階線形常微分方程式の中で、三角関数が満たすそれに次いで簡単な形である、Airy の微分方程式
Airyの微分方程式
を満たす互いに線形独立な二つの基本解を Airy 関数という。 Airy 関数は、1/3次と-1/3次の変形 Bessel 関数によって
  • Airy関数の定義式
と表わされる。引数zの実部が負数の場合は、上記の定義式ではなく、代わりに
  • 引数が負数のときのAiry関数
で定義される。二つの Airy 関数は超越整関数なので、∞のほかには複素平面上に特異点を持たない。
 歴史的に Airy 関数の導入は、Sir. G. B. Airy が光学の研究において「Airy 積分」
  • Airy積分
を考察したことに始まるが、後年、これが Bessel 関数の特別な場合で表わせることが判明し、現在に至っている。
 Airy 関数は、純粋数学で広く用いられるほか、物理学では電磁気学、量子力学の境界値問題などで出現する。
 このほか、Airy 関数に関連するものとして、Scorer 関数
  • Scorer関数の定義
が定義される。Scorer 関数は、それぞれ
Scorer関数の満たす微分方程式
なる、非斉次の Airy の微分方程式を満たす。

Airy関数の記号

 実変数の Airy 関数のグラフ。
  • 第1種・第2種Airy関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種 Airy 関数第1種Airy関数の記号のグラフ。
  • 第1種Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Airy関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Airy 関数第2種Airy関数の記号のグラフ。
  • 第2種Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Airy関数のグラフ(複素変数)

Airy導関数の記号

 実変数の Airy 導関数のグラフ。
  • 第1種・第2種Airy導関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種 Airy 導関数第1種Airy導関数の記号のグラフ。
  • 第1種Airy導関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Airy導関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Airy導関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Airy導関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Airy導関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Airy 導関数第2種Airy導関数の記号のグラフ。
  • 第2種Airy導関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Airy導関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Airy導関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Airy導関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Airy導関数のグラフ(複素変数)

Scorer関数の記号

 実変数の Scorer 関数のグラフ。
  • 第1種・第2種Scorer関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種 Scorer 関数第1種Scorer関数の記号のグラフ。
  • 第1種Scorer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Scorer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Scorer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Scorer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Scorer関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Scorer 関数第2種Scorer関数の記号のグラフ。
  • 第2種Scorer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Scorer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Scorer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Scorer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Scorer関数のグラフ(複素変数)

原点対称型Airy関数原点対称型Airy関数

 次の関数を独自に定義する。特に前者は、完全な原点対称になる。
  • 原点対称型Airy関数の定義
 実変数の Airy 関数(原点対称型)のグラフ。
  • 原点対称型の第1種・第2種Airy関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種 Airy 関数(原点対称型)原点対称型の第1種Airy関数の記号のグラフ。
  • 原点対称型の第1種Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 原点対称型の第1種Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 原点対称型の第1種Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 原点対称型の第1種Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 原点対称型の第1種Airy関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Airy 関数(原点対称型)原点対称型の第2種Airy関数の記号のグラフ。
  • 原点対称型の第2種Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 原点対称型の第2種Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 原点対称型の第2種Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 原点対称型の第2種Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 原点対称型の第2種Airy関数のグラフ(複素変数)

Kelvin 関数

日:Kelvin関数ケルヴィン関数Thomson関数
英:Kelvin function,仏:Fonction de Kelvin,独:Kelvin-funktion

 変形 Bessel 関数は、引数がizになったときの Bessel 関数であるが、応用面、特に電気工学などでは、引数がsqtr[i] zi sqtr[i] zになる場合がある。今では便宜上、この場合の関数をさらに実部と虚部に分けたものが、次のように定義されている。
  • Kelvin関数の定義
これらは、第1種、第2種 Kelvin 関数と呼ばれる。つまり Kelvin 関数はさしずめ、複素平面において原点を通り、傾きが±45°である直線上に引数をとったときの Bessel 関数と言ったところである。引数が正の実変数のとき、第1種 Kelvin 関数は指数関数的に増大(第2種の場合は減衰)しながら無限回振動する。
 この関数も、vが半奇数のときは初等関数で表わされること、無限遠点とz=0に特異点を持ち、通常は-∞~0に分枝切断線を置くこと、また、合流型超幾何関数の特別な場合として表わせることは、Bessel 関数と同様である。
 歴史的に Kelvin 関数の導入は、物理学者 Lord. Kelvin が電気工学に関してこれを研究したことに始まり、後年その名が冠せられた。なお、Kelvin は伯爵名であって、本名は W. Thomson であるため、希に Kelvin 関数を Thomson 関数と呼ぶこともある。
 応用は、前述のとおり電気工学が顕著であるが、他ではあまり遭遇しない。

第1種Kelvin関数の記号

 実変数の第1種 Kelvin 実部関数のグラフ。v=0次~10次 (+1)。
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(実変数)

 実変数の第1種 Kelvin 実部関数のグラフ。①v=0次~5次 (+0.1)。②v=-5次~0次 (+0.1)。

 複素変数の第1種 Kelvin 実部関数第1種Kelvin関数の記号のグラフ。
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Kelvin 実部関数第1種Kelvin関数の記号のグラフ。
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Kelvin 実部関数第1種Kelvin関数の記号のグラフ。
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Kelvin 実部関数第1種Kelvin関数の記号のグラフ。
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)

第1種Kelvin関数の記号

 実変数の第1種 Kelvin 虚部関数のグラフ。v=0次~10次 (+1)。
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(実変数)

 実変数の第1種 Kelvin 虚部関数のグラフ。①v=0次~5次 (+0.1)。②v=-5次~0次 (+0.1)。

 複素変数の第1種 Kelvin 虚部関数第1種Kelvin関数の記号のグラフ。
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Kelvin 虚部関数第1種Kelvin関数の記号のグラフ。
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Kelvin 虚部関数第1種Kelvin関数の記号のグラフ。
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Kelvin 虚部関数第1種Kelvin関数の記号のグラフ。
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)

第2種Kelvin関数の記号

 実変数の第2種 Kelvin 実部関数のグラフ。v=0次~10次 (+1)。
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(実変数)

 実変数の第2種 Kelvin 実部関数のグラフ。①v=0次~10次 (+0.1)。②v=-10次~0次 (+0.1)。

 複素変数の第2種 Kelvin 実部関数第2種Kelvin関数の記号のグラフ。
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Kelvin 実部関数第2種Kelvin関数の記号のグラフ。
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Kelvin 実部関数第2種Kelvin関数の記号のグラフ。
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Kelvin 実部関数第2種Kelvin関数の記号のグラフ。
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin実部関数のグラフ(複素変数)

第2種Kelvin関数の記号

 実変数の第2種 Kelvin 虚部関数のグラフ。v=0次~10次 (+1)。
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(実変数)

 実変数の第2種 Kelvin 虚部関数のグラフ。①v=0次~10次 (+0.1)。②v=-10次~0次 (+0.1)。

 複素変数の第2種 Kelvin 虚部関数第2種Kelvin関数の記号のグラフ。
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Kelvin 虚部関数第2種Kelvin関数の記号のグラフ。
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Kelvin 虚部関数第2種Kelvin関数の記号のグラフ。
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Kelvin 虚部関数第2種Kelvin関数の記号のグラフ。
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Kelvin虚部関数のグラフ(複素変数)

一般 Airy 関数

 一般 Airy 関数は、微分方程式
一般のAiryの微分方程式
を満たす互いに線形独立な二つの解であって、変形 Bessel 関数によって
  • 一般Airy関数の定義
と表わされる。引数が但し書きの領域を越える場合は、変形 Bessel 関数を解析接続するものとする。
 二つの一般 Airy 関数は、vが自然数の場合は超越整関数となるので∞のほかには複素平面上に特異点を持たない。そのほかの場合は、さらにz=0も特異点となり-∞~0に分枝切断線を持つ。
 明らかに、v=1のときは
  • 一般Airy関数が還元される場合
のように Airy 関数に還元される。
 より一般的な微分方程式
  • さらに一般的なAiry関数の微分方程式
の解は、n≧3のときに古典的な特殊関数では表わせないが、特別な場合として一般 Airy 関数を含んでいる。
 「一般 Airy 関数」という名称は、上記とは異なる定義の関数にもしばしば与えられ、一定していない。

一般Airy関数の記号

 実変数の一般 Airy 関数一般Airy関数の記号のグラフ。
  • 第1種・第2種一般Airy関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種一般 Airy 関数一般Airy関数の記号のグラフ。
  • 第1種一般Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種一般Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種一般Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種一般Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種一般Airy関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種一般 Airy 関数一般Airy関数の記号のグラフ。
  • 第2種一般Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種一般Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種一般Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種一般Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種一般Airy関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種一般 Airy 関数一般Airy関数の記号のグラフ。
  • 第1種一般Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種一般Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種一般Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種一般Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種一般Airy関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種一般 Airy 関数一般Airy関数の記号のグラフ。
  • 第2種一般Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種一般Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種一般Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種一般Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種一般Airy関数のグラフ(複素変数)

Bessel 次数関数

 Bessel 関数は、次数を変数と考えることもできる。すなわちzを変数とするときの
  • Bessel関数(次数を変数とする場合)
などである。それらは冪級数展開式の形によれば、ガンマ関数の逆数やポリガンマ関数の無限和とも解釈できるが、「Bessel 次数関数」と称し、この頁で取り扱うこととする。また、Bessel 関数の公式の多くが、形を変えずに変数と次数の意味を交換するだけで、そのまま Bessel 次数関数の公式とすることができる。特に、次数に関する漸化式
  • Bessel次数関数の関数等式
は、Bessel 次数関数の関数等式と解せられる。また、Bessel次数関数の記号および変形Bessel次数関数の記号の著しい性質として
  • Bessel次数関数の相補公式
があげられる。これは、ガンマ関数の相補公式の類似と見ることもできる。
 「NIST Handbook of Mathematical Functions」では、次数を変数化した Bessel 関数のグラフが多く掲載されている。

Bessel次数関数の記号

 実変数の第1種 Bessel 次数関数のグラフ。α=0.2~9 (+0.2)。
  • 第1種Bessel次数関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種 Bessel 次数関数Bessel次数関数の記号のグラフ。
  • 第1種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Bessel 次数関数Bessel次数関数の記号のグラフ。
  • 第1種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)

Bessel次数関数の記号

 実変数の第2種 Bessel 次数関数のグラフ。α=0.2~9 (+0.2)。
  • 第2種Bessel次数関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第2種 Bessel 次数関数Bessel次数関数の記号のグラフ。
  • 第2種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Bessel 次数関数Bessel次数関数の記号のグラフ。
  • 第2種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Bessel次数関数のグラフ(複素変数)

Bessel次数関数の記号

 実変数の第1種変形 Bessel 次数関数のグラフ。α=0.2~9 (+0.2)。
  • 第1種変形Bessel次数関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種変形 Bessel 次数関数Bessel次数関数の記号のグラフ。
  • 第1種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種変形 Bessel 次数関数Bessel次数関数の記号のグラフ。
  • 第1種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)

Bessel次数関数の記号

 実変数の第2種変形 Bessel 次数関数のグラフ。α=0.2~9 (+0.2)。
  • 第2種変形Bessel次数関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第2種変形 Bessel 次数関数Bessel次数関数の記号のグラフ。
  • 第2種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種変形 Bessel 次数関数Bessel次数関数の記号のグラフ。
  • 第2種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Bessel次数関数のグラフ(複素変数)

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