特殊関数 グラフィックスライブラリー
Graphics Library of Special functions

積分 Bessel 関数

積分 Bessel 関数

【始めに：頁全体の概要】
　特殊関数論では、既知の特殊関数をさらに積分すると得られる新しい関数の探索、またはその還元の可否について詳しい研究がなされ、その成果は公式集に収められている。殊に Bessel 関数のそれは充実しており、例えば M. Abramowitz & I. Stegun の ｢Handbook of Mathematical Functions｣ では、第11章の全体がこのテーマで占められている。また、数式処理システムの発達によって、このような積分が還元できる範囲は拡大されつつある。
　当サイトではこれを踏まえ、また分量上の理由もあって、Bessel 関数およびその関連関数とは異なる頁で、この種の積分関数を掲載することとした。しかしながら、ここで主に取り上げるのは、被積分関数と同等または簡単なクラスに還元できない事例で、しかも Bessel 関数を三角関数の類似と見た場合の、積分三角関数や Fresnel 関数に相当する関数である (これを当サイトでは、積分 Bessel 関数, および Bessel - Fresnel 関数と呼ぶ)。両者は被積分関数の形が比較的シンプルであり、特に、前者は過去に

• 

等の数表も作られていた事に鑑みて取り上げる (前述 A & S の第11章にも、それらの数表がある)。なお両者は、一般積分 Bessel 関数

• 

を介して、前頁の Lommel 関数とも関係がある。
　さらに、Airy 関数に対しても同様の類似を考え、独自定義関数として導入する。したがって、以上の積分関数に使用している関数記号は、すべて当サイト独自のものである。
　一方、これらとは異なり、応用上の必要から導入された Bickley - Naylor 関数についても触れる。

【積分 Bessel 関数】
　始めに、被積分関数の形が最も簡単な、

• 

について説明する (一部の例を除いて、後述のとおり積分 Bessel 関数と関係がある)。両者は、次数に関する漸化式

• 

を満たすので、もし、簡単な関数に還元される事例が二つ存在し、しかも互いの次数差が1であれば次々と還元事例が得られる。実際には、ならば Bessel 関数と Struve 関数の多項式、が半奇数ならば Bessel 関数と Fresnel 関数の多項式に還元される。同様には、ならば変形 Bessel 関数と変形 Struve 関数の多項式、が半奇数ならば変形 Bessel 関数と (無理関数因子を持つ) 誤差関数の多項式に還元される。(下方に、およびを掲載している。)
　積分三角関数または積分双曲線関数の類似

• 

は、ならば

• 

となるので、の還元規則はにも引き継がれる。よって、なるのうち、真に新しい関数はのときに限る (は関数自体が存在しない)。
　以上のことを踏まえ、当サイトではの方を扱う。次のとおり、改めて定義式を明記するとともに、二三の補助関数も導入し、積分 Bessel 関数および積分変形 Bessel 関数と呼ぶ。

• 

は超越整関数であるが、この他の関数はを一般に対数分岐点とする無限多価関数で、分枝切断線を実軸上の区間に置く。複数ある積分第1種 Bessel 関数は、互いに

• 

の関係にある。なお、との間に直接の関係は無い。
　積分 Bessel 関数および積分変形 Bessel 関数の、一般超幾何関数による閉形式

• 

は、実際の数値計算等に便利であるが※1、はならば別の方法を用いる。例えば、

• 

または

• 

を初期関数として、前述の漸化式からを求め、さらに関係式によってが得られる。
　最も厄介なのがの場合で、冪級数展開式

• 

等で得られる。このとき漸近級数の併用が望まれるが、数式の掲載は省略する※2。
　恐らく、積分 Bessel 関数の応用事例は存在しない。変形 Bessel 関数の積分 (Synchrotron function)
ならば、天体物理学で使用されることがある。

　を実変数とする、整数次の積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

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　を実変数とする、実数次の積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

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　を実変数とする、整数次の積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

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　を実変数とする、実数次の積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

• 

　前述のとおり、はと定数差の違いしかないので、の複素変数グラフは掲載数を削減する。
　 を複素変数とする、積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

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　実変数の積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

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　複素変数の積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

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　を実変数とする、整数次の積分第2種 Bessel 関数のグラフ。

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　を実変数とする、実数次の積分第2種 Bessel 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、積分第2種 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、積分第2種 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、積分第2種 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、積分第2種 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、積分第2種 Bessel 関数のグラフ。

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　パラメトリック曲線のグラフ。は実数次とする。

• 
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　を実変数とする、整数次の積分第1種変形 Bessel 関数のグラフ。

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　を実変数とする、実数次の積分第1種変形 Bessel 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、積分第1種変形 Bessel 関数のグラフ。は存在しない。

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　を複素変数とする、積分第1種変形 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、積分第1種変形 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、積分第1種変形 Bessel 関数のグラフ。

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　実変数の積分第1種変形 Bessel 関数のグラフ。

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　複素変数の積分第1種変形 Bessel 関数のグラフ。

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　を実変数とする、整数次の積分第2種変形 Bessel 関数のグラフ。

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　を実変数とする、実数次の積分第2種変形 Bessel 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、積分第2種変形 Bessel 関数のグラフ。となる。

• 

　を複素変数とする、積分第2種変形 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、積分第2種変形 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、積分第2種変形 Bessel 関数のグラフ。

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　を実変数とする、純虚数次の積分第2種変形 Bessel 関数のグラフ。ここに、である (以下同様)。

• 

　を実2変数とする、積分第2種変形 Bessel 関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする、積分第2種変形 Bessel 関数のグラフ。

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Bessel - Fresnel 関数

　後述する一般積分 Bessel 関数の特殊なケースとして表わせる、Fresnel 関数の類似、

• 

を独自に定義し、Bessel - Fresnel 関数および変形 Bessel - Fresnel 関数と呼ぶ。これらの関数はを一般に対数分岐点とする無限多価関数で、分枝切断線を実軸上の区間に置く。二つの第1種 Bessel - Fresnel 関数は、互いに

• 

の関係にある (およびは、のとき関数自体が存在しない)。
　Bessel - Fresnel 関数および変形 Bessel - Fresnel 関数の、正規化された一般超幾何関数による閉形式

• 

は、実際の数値計算等に便利であるが、条件式またはを満たさない場合は、積分三角関数や積分指数関数への還元式

• 

または、の閉形式およびの冪級数展開式

• 

を初期関数とする漸化式

• 

によって求める。
　恐らく、Bessel - Fresnel 関数の応用事例は存在しない。

　を実変数とする、整数次の第1種 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

• 

　を実変数とする、実数次の第1種 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

• 
• 

　を実2変数とする、第1種 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする、第1種 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

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　を実変数とする、整数次の第1種 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

• 

　を実変数とする、実数次の第1種 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

• 
• 

　を実2変数とする、第1種 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。の場合は関数自体が存在しない。

• 

　前述のとおり、はと定数差の違いしかないので、の複素変数グラフは掲載数を削減する。
　を複素変数とする、積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

• 
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　を複素変数とする、第1種 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

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　を実変数とする、整数次の第2種 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

• 

　を実変数とする、実数次の第2種 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする、第2種 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

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　パラメトリック曲線のグラフ。は実数次とする。

• 
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　を実変数とする、整数次の第1種変形 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

• 

　を実変数とする、実数次の第1種変形 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

• 
• 

　を実2変数とする、第1種変形 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。の場合は関数自体が存在しない。

• 

　を複素変数とする、第1種変形 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種変形 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種変形 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種変形 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

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　を実変数とする、整数次の第2種変形 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

• 

　を実変数とする、実数次の第2種変形 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

• 

　を実2変数とする、第2種変形 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。となる。

• 

　を複素変数とする、第2種変形 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種変形 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種変形 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

• 
• 
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• 

　を実変数とする、純虚数次の第2種変形 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。ここに、である (以下同様)。

• 

　を実2変数とする、第2種変形 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

• 

　を複素変数とする、第2種変形 Bessel - Fresnel 関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

一般積分 Bessel 関数

　積分 Bessel 関数と Bessel - Fresnel 関数は、より一般的な積分

• 

の特別な場合である。上記のうち、Lommel 関数によって表示可能な、

• 

を独自に定義し、一般積分 Bessel 関数と呼ぶ。両者はを一般に対数分岐点とする無限多価関数で、分枝切断線を実軸上の区間に置く。
　Lommel 関数の表示式が使用できない格子点または上では、

• 

を初期関数とする漸化式

• 

によって求める。
　一般積分第1種 Bessel 関数は、Bessel 関数項の級数

• 

に展開される。
　がの特別な定数差に一致するとき、一般積分 Bessel 関数はより簡単な関数に還元される。例えば、

• 

などがある。
　恐らく、一般積分 Bessel 関数の応用事例も存在しない。

　を実変数とする、一般積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

• 

　を実変数とする、一般積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

• 

　を実変数とする、一般積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

• 

　を実2変数とする、一般積分第1種 Bessel 関数のグラフ。
　色が断絶している直線上、すなわちが負の奇数となる場合は、関数自体が存在しない。
　３番目は、が正の実数を動く場合ののアニメーション（7.93MB）

• 
• 
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　を複素変数とする、一般積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、一般積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、一般積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、一般積分第1種 Bessel 関数のグラフ。

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　を実変数とする、一般積分第2種 Bessel 関数のグラフ。

• 

　を実変数とする、一般積分第2種 Bessel 関数のグラフ。

• 

　を実変数とする、一般積分第2種 Bessel 関数のグラフ。

• 

　を実2変数とする、一般積分第2種 Bessel 関数のグラフ。
　色が断絶している直線上、すなわちが負の奇数となる場合は、関数自体が存在しない。
　３番目は、が正の実数を動く場合ののアニメーション（8.31MB）

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　を複素変数とする、一般積分第2種 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、一般積分第2種 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、一般積分第2種 Bessel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、一般積分第2種 Bessel 関数のグラフ。

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Bickley - Naylor 関数

日：Bickley-Naylor関数※1，ビックリー･ネイラー関数
英：Bickley-Naylor function，仏：Fonction de Bickley-Naylor，独：Bickley-Naylor funktion

　第2種変形 Bessel 関数の Riemann - Liouville 積分※2に相当する

• 

を、Bickley - Naylor 関数という。積分表示式は上記以外にも、

• 

等が知られている。
　Bickley - Naylor 関数は、一般超幾何関数による閉形式

• 

で表わせる。の場合は逐次積分および逐次微分

• 

で定義されるが、実際の数値計算では、上記のおよび変形 Struve 関数等による閉形式

• 

を初期関数とする漸化式

• 

を用いた方が便利である。
　Bickley - Naylor 関数はを一般に対数分岐点とする無限多価関数で、分枝切断線を実軸上の区間に置く。が有限確定値 (または、の極限) のとき、

• 

となる。
　Bickley - Naylor 関数は、球または円柱の内部に封じ込められた熱放射 (輻射熱) の分布、円柱形状の原子炉内部における中性子束の計算等に現れ、それらの応用事例では、専らの場合が使用される。
　1935年に W. G. Bickley は強制対流を研究した際、併せてこの関数を導入し、同年には J. Nayler ※1と共同での数表を作成した。これが関数名称の由来となっている。

　を実変数とする、整数次の Bickley - Naylor 関数のグラフ。

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　を実変数とする、実数次の Bickley - Naylor 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、Bickley - Naylor 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Bickley - Naylor 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Bickley - Naylor 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Bickley - Naylor 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Bickley - Naylor 関数のグラフ。

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積分 Airy 関数

　比較的応用事例の多い Airy 関数は、その積分公式についても多数の結果が公式集に掲載されている。最も簡単な形の積分として、NISTの9.10(i)を例示すれば、

• 

となっている※1。以降では、これまでと同様に、Airy 関数に対しても積分三角関数および Fresnel 関数の類似を考える (後者については次節で扱う)。前者を具体的に、

• 

で独自に定義し、積分 Airy 関数と呼ぶ。ここに、はで Cauchy の主値をとることを意味し、積分の下端はとなる正の実数である。
　積分 Airy 関数は、正規化された一般超幾何関数によって、

• 

と表わすことができる。

　を実変数とする、積分第1種 Airy 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、積分第1種 Airy 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、積分第1種 Airy 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、積分第1種 Airy 関数のグラフ。

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　を実変数とする、積分第2種 Airy 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、積分第2種 Airy 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、積分第2種 Airy 関数のグラフ。

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　積分 Airy 関数によるパラメトリック曲線のグラフ。
　紫色の漸近線は、一次関数である。

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Airy - Fresnel 関数

　独自に定義した積分関数

• 

を、Airy - Fresnel 関数と呼ぶ。
　同様に、正規化された一般超幾何関数で表わすと、

• 

となる。両者はともに超越整関数である。

　を実変数とする、Airy - Fresnel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Airy - Fresnel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Airy - Fresnel 関数のグラフ。

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　を実変数とする、Airy - Fresnel 関数のグラフ。

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　Airy - Fresnel 関数によるパラメトリック曲線のグラフ。

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