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積分 Bessel 関数

積分 Bessel 関数

 Bessel 関数の積分は、被積分関数が比較的簡単な形をしているものであっても、一般に Bessel 関数と初等関数を有限個組み合わせたものでは表わせない。例えば、
還元されるBessel関数の積分の例(vは自然数) :各々同じ Bessel 関数の有限個の和。
還元されるBessel関数の積分の例:Bessel 関数と Struve 関数の有限個の和。
などの例外もあるが、大抵は、次のような簡単な積分形であっても、複雑な結果
  • Bessel関数の積分の例
になる。なお、この積分は Lommel 関数と関係がある。
 M. Abramowitz & I. Stegun 編「Handbook of Mathematical Functions」の11章 p. 480 には、様々な Bessel 関数の積分についての詳しい記述がある。以下では、その中から積分三角関数の類似とも言える
  • 積分Bessel関数の定義
を特に選んで取り扱い、これらを、第1種、第2種積分 Bessel 関数と呼ぶこととする。
 なおvが自然数の場合、第1種積分Bessel関数の記号は第1種 Bessel 関数の有限個の和となる。(したがって以下において、複素変数における自然数次の第1種積分 Bessel 関数は、描画しない。)
 一般に積分 Bessel 関数は無限多価関数である。無限遠点とz=0に特異点を持ち、通常は-∞~0に分枝切断線を置く。また、超幾何関数よりも高いクラスである一般超幾何関数の特別な場合として表わせる。
 今のところ、物理学等への直接的な応用例は無いと思われる。

第1種積分Bessel関数の記号

 実変数の第1種積分 Bessel 関数のグラフ。①v=0~10 (+1)。②v=0~5 (+0.1)。③v=-5~0 (+0.1)。

 複素変数の第1種積分 Bessel 関数第1種積分Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第1種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
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  • 第1種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種積分 Bessel 関数第1種積分Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第1種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)

第2種積分Bessel関数の記号

 実変数の第2種積分 Bessel 関数のグラフ。①v=0~10 (+1)。②v=0~5 (+0.1)。③v=-5~0 (+0.1)。

 複素変数の第2種積分 Bessel 関数第2種積分Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第2種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種積分 Bessel 関数第2種積分Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第2種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種積分 Bessel 関数第2種積分Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第2種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
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  • 第2種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種積分 Bessel 関数第2種積分Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第2種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
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  • 第2種積分Bessel関数のグラフ(複素変数)
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積分変形 Bessel 関数

 積分 Bessel 関数と同様に、変形 Bessel 関数に対しても
  • 積分変形Bessel関数の定義
が定義される。これらを、第1種、第2種積分変形 Bessel 関数と呼ぶこととする。
 なおvが自然数の場合、第1種積分変形Bessel関数の記号は第1種変形 Bessel 関数の有限個の和となる。(したがって以下において、複素変数における自然数次の第1種積分変形 Bessel 関数は、描画しない。)
 一般に積分変形 Bessel 関数は無限多価関数である。無限遠点とz=0に特異点を持ち、通常は-∞~0に分枝切断線を置く。また、超幾何関数よりも高いクラスである一般超幾何関数の特別な場合として表わせる。
 明らかに、Ki -v (z) = Ki v (z)であるため、負数次の第2種積分変形 Bessel 関数は描画しない。

第1種積分変形Bessel関数の記号

 実変数の第1種積分変形 Bessel 関数のグラフ。①v=0~10 (+1)。②v=0~5 (+0.1)。③v=-5~0 (+0.1)。

 複素変数の第1種積分変形 Bessel 関数第1種積分変形Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第1種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
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  • 第1種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種積分変形 Bessel 関数第1種積分変形Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第1種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
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  • 第1種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
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第2種積分変形Bessel関数の記号

 実変数の第2種積分変形 Bessel 関数のグラフ。①v=0~10 (+1)。②v=0~5 (+0.1)。

 複素変数の第2種積分変形 Bessel 関数第2種積分変形Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第2種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種積分変形 Bessel 関数第2種積分変形Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第2種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種積分変形 Bessel 関数第2種積分変形Bessel関数の記号のグラフ。
  • 第2種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分変形Bessel関数のグラフ(複素変数)

積分 Airy 関数

 Airy 関数についても、積分三角関数の類似
  • 積分Airy関数の定義
を考えて、これらを、第1種、第2種積分 Airy 関数と呼ぶこととする。ここにa=0.9515535714...とする。
 一般に積分 Airy 関数は無限多価関数である。無限遠点とz=0に特異点を持ち、通常は-∞~0に分枝切断線を置く。また、超幾何関数よりも高いクラスである一般超幾何関数の特別な場合として表わせる。

積分Airy関数の記号

 実変数の積分 Airy 関数のグラフ。
  • 第1種・第2種積分Airy関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種積分 Airy 関数第1種積分Airy関数の記号のグラフ。
  • 第1種積分Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種積分Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種積分Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種積分Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種積分Airy関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種積分 Airy 関数第2種積分Airy関数の記号のグラフ。
  • 第2種積分Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分Airy関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種積分Airy関数のグラフ(複素変数)


【 Petite Galerie 】

  • Airy関数の積分による平面曲線

「蝶の飛翔」
(原点からの距離を変数とする第2種 Airy 関数で曲率が定まる曲線)

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