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Legendre 関数

Legendre 関数

日:Legendre関数ルジャンドル関数
英:Legendre function,仏:Fonction de Legendre,独:Legendre-funktion
日:球関数
独:Kugelfunktion

 Laplace の方程式を球座標で変数分離すると、動径成分の解は三角関数となるが、角度成分では、Legendre の同伴(随伴)微分方程式
  • Legendreの同伴(随伴)微分方程式
を満たす解となる(この解は Legendre 陪関数と呼ばれるが、詳細は後述する)。
 Legendre の同伴(随伴)微分方程式は、z=±1, ∞の3箇所に確定特異点を持っている。 特に、この微分方程式においてμ=0となった
  • Legendreの微分方程式
は Legendre の微分方程式と呼ばれ、これの線形独立な二つの基本解
  • Legendre関数の定義
を、第1種、第2種の Legendre 関数、または (狭義の)球関数という。上記の被積分関数は、変数ζ平面上の区間区間(-∞, -1)に分枝切断線を持ち、第1種の積分路は、変数ζ上で1とzを内部に含み正の方向に一周する閉曲線とし、第2種の積分路は、変数ζ上で1を負の向きに一周し、-1を正の向きに一周する∞字形の閉曲線とする。(この積分を、Schläfli の積分表示式という。)
  • 第1種Legendre関数に対するSchläfli積分の経路
  • 第2種Legendre関数に対するSchläfli積分の経路
 第1種の Legendre 関数は、次数vが非負整数nのときに Rodrigues の公式
Legendre関数に関するRodriguesの公式
で表わされ、多項式に還元される。これは特に Legendre 多項式と呼ばれ、応用上重要とされる。Legendre 多項式は著しい性質として、直交性
  • Legendre多項式の直交性
を持つ。このため任意の関数は、区間区間(-1, +1)において Legendre 多項式の無限級数に展開可能である。
 また第2種の Legendre 関数も、次数vが非負整数nのときは、対数関数と多項式を組み合わせたものに還元される。
 v次の Legendre 関数は、線形漸化式によってv-1次及びv-2次の Legendre 関数で表わせる。その際、第2種は第1種と全く同じ形の漸化式で表わされる。
 一般に Legendre 関数は無限多価関数であり、複素平面上z=±1, ∞に特異点を持ち、通常は-∞~-1及び+1~+∞に分枝切断線を置く。また、超幾何関数の特別な場合として表わせる。特に、次数vが半奇数のとき、Legendre 関数は第1種・第2種完全楕円積分によって表わせる。
 この関数は、1784年に A. M. Legendre が回転楕円体の重力ポテンシャル問題を研究した際に初めて導入したので、その名がある。以後、数多くの数学者によって盛んに研究され、今では Bessel 関数と並んで有名な特殊関数となっている。
 なお、P -v-1 (z)=P v (z)であるので、以下の描画ではv<-1/2である負数次の場合を扱わない。また、vが負の整数であるとき、第2種Legendre関数の記号は存在しない(±∞になる)。

第1種Legendre関数の記号

 実変数の第1種 Legendre 関数のグラフ。
 ①最も出現頻度が高い「Legendre 多項式」v=0~10 (+1)の場合。②実数次v=-0.4~10 (+0.2)。

 ①犬井鉄郎著「超幾何関数・球関数・円筒関数」(1948)の566頁にある図と同等の描画。②拡大すると、等高線が直線「v=整数」に接していることが分かる。

 実2変数の第1種 Legendre 関数のグラフ。
  • 第1種Legendre関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の第1種 Legendre 関数第1種Legendre関数の記号のグラフ。
  • 第1種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Legendre 関数第1種Legendre関数の記号のグラフ。
  • 第1種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre関数のグラフ(複素変数)

第2種Legendre関数の記号

 実変数の第2種 Legendre 関数のグラフ。①最も出現頻度が高い整数次v=0~10 (+1)の場合。②実数次v=0~10 (+0.2)。③実数次v=-10~0 (+0.2)。

 ① 「超幾何関数・球関数・円筒関数」の図に準じた描画。②拡大すると、等高線が直線「v=半奇数」に接していることが分かる。

 実2変数の第2種 Legendre 関数のグラフ。2番目は、v≦-1の範囲を拡大した場合。
  • 第2種Legendre関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種Legendre関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の第2種 Legendre 関数第2種Legendre関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Legendre 関数第2種Legendre関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Legendre 関数第2種Legendre関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre関数のグラフ(複素変数)

Legendre 陪関数(Ferrers 型)

日:Legendre陪関数ルジャンドル陪関数
英:Associated Legendre function,仏:Fonction associée de Legendre,独:Assoziierten Legendre-funktion

 Laplace の方程式を球座標で変数分離すると、動径成分は三角関数となるが、角度成分は、Legendre の同伴(随伴)微分方程式
  • Legendreの同伴(随伴)微分方程式
を満たす解になる。この微分方程式は、z=±1, ∞の3箇所に確定特異点を持っており、その線形独立な二つの基本解第1種・第2種Legendre陪関数の記号は、第1種、第2種の Legendre 陪関数、または (広義の)球関数と呼ばれる。
 一般に Legendre 陪関数は無限多価関数であり、複素平面上z=±1, ∞に特異点を持つ。分枝切断線のとり方は本来任意であるが、通常は-∞~-1及び+1~+∞に分枝切断線を置く「Ferrers 型」と、-∞~+1に分枝切断線を置く「Hobson 型」が知られている。(区別のため、Hobson 型である場合は第1種・第2種Legendre陪関数の記号と表記する。)
 Ferrers 型を採用した場合、二つの基本解は超幾何関数を用いて
  • 第1種・第2種Legendre陪関数の定義
と定義される。第2種Legendre陪関数の記号においてμが整数mの場合は、上記の代わりに次の公式(なお、これはQPに変えても成り立つ)を用いる。
  • 第2種Legendre陪関数の定義(μ=整数)
ただし、v=-μ-m(mは自然数)であるときの第2種Legendre陪関数の記号は存在しない(±∞になる)ので、この場合はすべての定義から除かれる。
 Legendre 陪関数は、次数vが整数の場合、またはμが半奇数の場合に、初等関数に還元される。これも前述と同様、定義されない第2種の場合は除かれる※1。
 次数が非負整数で、かつmも非負整数である二つの第1種 Legendre 陪関数は、直交性
  • 第1種Legendre陪関数の直交性
を持つ。このため任意の関数は、区間区間(-1, +1)において第1種 Legendre 陪関数の無限級数に展開可能である。例えば回転楕円体波動関数の級数展開式は、この一例である。
 v次の Legendre 陪関数は、線形漸化式によってv-1次及びv-2次の Legendre 陪関数で表わせる。その際、第2種は第1種と全く同じ形の漸化式で表わされる。
 Legendre 陪関数(Legendre 関数を含む)の応用事例の多くは物理学で、その規模は Bessel 関数と双璧を成す。中でも、3次元空間内の電磁気・重力ポテンシャル、熱平衡固体の温度分布、流体力学、量子力学等において、境界条件が球面で決まるような問題がその一例として挙げられる。特に、Legendre 陪関数を用いて定義される後述の球面調和関数は、このうちの量子力学に関連している。
 なお、P -v-1,μ(z)=P v,μ(z)であるので、以下の描画ではv<-1/2である負数次の場合を扱わない。

【註記】
※1 : この条件は文章では分かりづらいので、参考までに、初等関数へ還元されるときの範囲、および関数の定義が存在しないときの範囲等を、v-μ平面上の領域として次のように図示した。(Hobson 型も全く同じ状況になるので、一緒の図にまとめている。)
 なおこの図では、視覚上の理由で整数部分の幅を誇張しているが、本来それは無限小である。

  • 第1種Legendre陪関数が還元される条件の範囲
  • 第2種Legendre陪関数が還元される条件の範囲

第1種Legendre陪関数の記号

 実変数の第1種 Legendre 陪関数第1種Legendre陪関数の記号のグラフ。①最も出現頻度が高い「Legendre 陪多項式」v=0~10 (+1)の場合。②実数次v=-0.4~10 (+0.2)。

 実2変数の第1種 Legendre 陪関数第1種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の第1種 Legendre 陪関数第1種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Legendre 陪関数第1種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

 実変数の第1種 Legendre 陪関数第1種Legendre陪関数の記号のグラフ。①最も出現頻度が高い「Legendre 陪多項式」v=0~10 (+1)の場合。②実数次v=-0.4~10 (+0.2)。

 実2変数の第1種 Legendre 陪関数第1種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の第1種 Legendre 陪関数第1種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Legendre 陪関数第1種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

第2種Legendre陪関数の記号

 実変数の第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数の記号のグラフ。①最も出現頻度が高い整数次v=0~10 (+1)の場合。②実数次v=0~10 (+0.2)。③実数次v=-10~0 (+0.2)。

 実2変数の第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数の記号のグラフ。2番目は、v≦-2の範囲を拡大した場合。
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

 実変数の第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数の記号のグラフ。①最も出現頻度が高い整数次v=0~10 (+1)の場合。②実数次v=0~10 (+0.2)。③実数次v=-10~0 (+0.2)。

 実2変数の第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数の記号のグラフ。2番目は、v≦-11/4の範囲を拡大した場合。
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

Legendre 陪関数(Hobson 型)

 前述のように Legendre 陪関数は、-∞~+1に分枝切断線を置く「Hobson 型」も定義される。これは、Bessel 関数に対する Hankel 関数に類似した役割を担う。
 Hobson 型を採用した場合、二つの基本解は超幾何関数を用いて
  • Legendre陪関数(Hobson型)の定義
と定義される。ただし、v=-μ-m(mは自然数)であるときの第2種Legendre陪関数の記号は存在しない(±∞になる)ので、この場合はすべての定義から除かれる。
 なお、後述の球面調和関数で用いられる Legendre 陪関数は Ferrers 型であって、Hobson 型ではない。その他の応用事例においても、Hobson 型は Ferrers 型とは内容の異なった問題で現れ、比較的その頻度も少ない。
 なお、P -v-1,μ(z)=P v,μ(z)であるので、以下の描画ではv<-1/2である負数次の場合を扱わない。

第1種Legendre陪関数の記号

 実変数の第1種 Legendre 陪関数第1種Legendre陪関数の記号のグラフ。
 ①最も出現頻度が高い整数次v=0~10 (+1)の場合。②実数次v=-0.4~10 (+0.2)。

 複素変数の第1種 Legendre 陪関数第1種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Legendre 陪関数第1種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

 実変数の第1種 Legendre 陪関数第1種Legendre陪関数の記号のグラフ。
 ①最も出現頻度が高い整数次v=0~10 (+1)の場合。②実数次v=-0.4~10 (+0.2)。

 複素変数の第1種 Legendre 陪関数第1種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Legendre 陪関数第1種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

第2種Legendre陪関数の記号

 実変数の第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数(Hobson型)の記号のグラフ。①最も出現頻度が高い整数次v=0~10 (+1)の場合。②実数次v=0~10 (+0.2)。③実数次v=-10~0 (+0.2)。

 複素変数の第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

 第2種 Legendre 陪関数(Hobson 型)はμが非整数の場合、実変数であっても実数値をとらないので、実変数のグラフは描画しない。
 複素変数の第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre陪関数のグラフ(複素変数)

球面調和関数

日:球面調和関数
英:Spherical harmonics,仏:Harmonique sphérique,独:Kugelflächenfunktionen

 3次元空間内のある領域で、Laplace の方程式
Laplaceの方程式
を満たす関数調和関数の記号を調和関数という。このとき、
  • 球調和関数の定義
を満たす次数vの同次関数を、v次の球調和関数(体球関数)という。座標座標(x,y,z)を、球座標球座標(r,θ,φ)に変換すると、v次の球調和関数はv次の球調和関数の形という形に変形される。さらにw=Y v (θ,φ)は偏微分方程式
  • 球面調和関数の微分方程式
を満たす。球面調和関数の記号は球面調和関数と呼ばれ、これはさらにθ,φを変数分離した関数形に持ち込める。特にvが非負整数の場合は、具体的に固有関数が
  • 球面調和関数
2n+1個になる。なお、このうち Legendre 関数Legendre多項式で表わされる最初の関数を帯球関数、Legendre 陪関数Legendre陪多項式で表わされる残りの2n個の関数を縞球関数という。さらに、後者のうちでm=nとなる場合を特別に扇球関数という。
 この2n+1個の関数をまとめて記述し、正規直交系
  • 球面調和関数の直交性
を成すように定数規格化した
  • 球面調和関数の定義
を、球面調和関数ともいう。以下の描画では、これを採用している。
 球面調和関数は正規直交系を成すため、球座標上の任意の関数は、球面調和関数の級数で表わすことができる。これは、Fourier 級数の一般化にもなっており、その応用範囲は広い。物理学では、電磁気学や量子力学でよく用いられる。特に後者では、水素原子核の周辺における電子の存在確率を表わすために、Laguerre 陪関数とともに用いられる(詳細は、別頁「特殊関数応用編」を参照)。

球面調和関数の記号

 実変数θの球面調和関数のグラフ。順に、①球面調和関数の記号,②球面調和関数の記号,③球面調和関数の記号の場合。

 実2変数θ,φの球面調和関数の球座標グラフ(絶対値を原点からの距離、偏角を色相環で表現した場合)。
 順に、①球面調和関数の記号,②球面調和関数の記号,③球面調和関数の記号,④球面調和関数の記号,⑤球面調和関数の記号,⑥球面調和関数の記号,⑦球面調和関数の記号の場合。

 実2変数θ,φの球面調和関数の球座標グラフ(絶対値を色彩の明度で表現した場合 : 暗色ほど原点に近い)。
 順に、①球面調和関数の記号,②球面調和関数の記号,③球面調和関数の記号,④球面調和関数の記号,⑤球面調和関数の記号,⑥球面調和関数の記号,⑦球面調和関数の記号の場合。

Legendre 次数関数

 Legendre 関数は、次数を変数と考えることもできる。すなわちzを変数とするときの
Legendre次数関数の記号
である。それらは冪級数展開式の形によれば、ガンマ関数の逆数やポリガンマ関数の無限和とも解釈できるが、「Legendre 次数関数」と称し、この頁で取り扱うこととする。また、Legendre 関数の公式の多くが、形を変えずに変数と次数の意味を交換するだけで、そのまま Legendre 次数関数の公式とすることができる。特に、次数に関する漸化式
  • Legendre次数関数の関数等式
は、Legendre 次数関数の関数等式と解せられる。また、Legendre次数関数の記号およびLegendre次数関数の記号の著しい性質として
  • Legendre次数関数の性質
があげられる。

Legendre次数関数の記号

 実変数の第1種 Legendre 次数関数Legendre次数関数の記号のグラフ。α=-0.9~0.9 (+0.1)。
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種 Legendre 次数関数Legendre次数関数の記号のグラフ。
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Legendre 次数関数Legendre次数関数の記号のグラフ。
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)

Legendre次数関数の記号

 実変数の第2種 Legendre 次数関数Legendre次数関数の記号のグラフ。α=-0.9~0.9 (+0.1)。
  • 第2種Legendre次数関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第2種 Legendre 次数関数Legendre次数関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Legendre 次数関数Legendre次数関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)

Legendre次数関数の記号

 実変数の第1種 Legendre 次数関数Legendre次数関数の記号のグラフ。α=1.2~9 (+0.2)。
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種 Legendre 次数関数Legendre次数関数の記号のグラフ。
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Legendre 次数関数Legendre次数関数の記号のグラフ。
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)

Legendre次数関数の記号

 実変数の第2種 Legendre 次数関数Legendre次数関数の記号のグラフ。α=1.2~9 (+0.2)。
  • 第2種Legendre次数関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第2種 Legendre 次数関数Legendre次数関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第2種 Legendre 次数関数Legendre次数関数の記号のグラフ。
  • 第2種Legendre次数関数のグラフ(複素変数)
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