特殊関数 グラフィックスライブラリー
Graphics Library of Special functions

Legendre 関数

Legendre 関数

日：Legendre関数，ルジャンドル関数
英：Legendre function，仏：Fonction de Legendre，独：Legendre-funktion

　二階の線形常微分方程式

• 

は超幾何微分方程式の特別な場合であり、を確定特異点とする。これを Legendre の微分方程式といい、その解の基本系を成す二つの関数は、超幾何関数で表わすと

• 

となる。これを順に、第1種および第2種 Legendre 関数という。このうち、第1種は常にとなるように選んだ特別な解であって、一般にを対数分岐点とし、実軸上の区間に分枝切断線が置かれる。第2種は一般にを対数分岐点とし、実軸上の区間およびに分枝切断線が置かれる。分枝切断線を越える解析接続は、

• 

によって成される。
　Legendre 関数はこの他にも、次数に関する整数差の線形漸化式 (隣接関係式)、の符号を変える公式等を満たすが、次節で扱う Legendre 陪関数の特別な場合が Legendre 関数になるので、併せて次節も参照して欲しい。
　である第1種 Legendre 関数は、前述の分岐点まわりでの多価性が消えて、多項式

• 

に還元される。しかし、これは応用面での出現頻度が高いため重要とされ、Legendre 多項式と呼ばれる。Legendre 多項式の上記以外の表現方法としては、母関数表示式および ｢Rodrigues の公式｣
が有名である。尤も、およびを初期関数として漸化式を用いても容易に得られる※1。Legendre 多項式は、が偶数 (奇数) ならば偶関数 (奇関数) となる。直交多項式としてのの性質は、同様に次節でまとめて触れる。
　である第2種 Legendre 関数はで表わせるが、対数因子を持つ項も伴い

• 

となる。第2種に対しても、母関数表示式

• 

が知られている。また、はが偶数 (奇数) ならば奇関数 (偶関数) となる。
　が半奇数のとき、Legendre 関数は完全楕円積分で表わせる。特に、

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となるので、漸化式からこの事が従う。
　Legendre 関数の積分表示式も多数得られており、理論の審美的観点等から、これを Legendre 関数の導入定義とすることもある。そのような一例として、Schläfli 積分

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がある※2。ここに、被積分関数は平面上の直線区間およびに分枝切断線を持ち、積分経路またはの形と進路は下図のとおりとする。
　Legendre 関数 (特に Legendre 多項式) は、多くが Legendre 陪関数の応用事例に伴って現れる。Legendre 関数に顕著な応用事例としては、質点での重力ポテンシャル、点電荷によって生じる静電位分布を極座標で表わす問題等がある。例えば、極座標上の位置に点電荷が1個あるとき、その周辺における静電位は、母関数表示式を示唆する形

• 

で与えられる。これは、電気双極子 (位置に正負の点電荷)、電気多重極子 (極座標または球座標の遠方で正負が打ち消されるよう点電荷を4個または8個配置する等) に拡張すると、上記級数で寄与が最も大きくなる初項のインデックスが、からまたは等に変わる。よって、原点から遠い位置での静電位の分布状況は、無理関数で明示するよりも級数展開した方が把握しやすくなる※3。

　歴史的に Legendre 関数の萌芽は、1748年の D. Bernoulli による惑星などの回転楕円体における重力の研究に見出される。この問題は J. L. Lagrange, P. S. Laplace 等による研究を経て、1785年に A. M. Legendre が極座標に移行する前述の方法 (静電の場合と同じ方法) によって解を母関数で表示するアイデアに至り、そこに現れる係数自体の性質についても詳しく研究した。これが Legendre 関数の正式な導入時期とされ、関数名称の由来にもなっている。も含めて、その後も E. Heine (1842年), P. L. Chebyshev (1855年), L. Schläfli (1881年) 等による研究が続く。記号は、1875年に I. Todhunter が初めて導入した。

　を実変数とする、第1種 Legendre 関数のグラフ。①整数次 (Legendre 多項式)。②実数次。

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　を実2変数とする、第1種 Legendre 関数のグラフ。
　①公式によって、このグラフはに対称となる。
　②これに類似したグラフが、犬井鉄郎 著 ｢超幾何関数・球関数・円筒関数｣ (1948年) の566頁にも掲載されている。
　③等高線は直線に接し、等高線は直線に接する。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第1種 Legendre 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種 Legendre 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 関数のグラフ。

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　アニメーション（10.4MB）
　を複素変数とする、第1種 Legendre 関数のグラフ。は実数を動く。

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　を実変数とする、第1種 Legendre 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種 Legendre 関数のグラフ。①整数次。②実数次。③完全楕円積分で表わされる半奇数次のは、となる。

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　を実2変数とする、第2種 Legendre 関数のグラフ。
　①では関数が定義されない。
　②の範囲を拡大した場合。
　③｢超幾何関数・球関数・円筒関数｣ にある図に準じたグラフ。
　④等高線は直線に接し、等高線は直線に接する。
　⑤白点は等高線の共有点で、その座標はの実数根と一致する。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 関数のグラフ。

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　アニメーション（10.1MB）
　を複素変数とする、第2種 Legendre 関数のグラフ。は実数を動く。

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　を実変数とする、第2種 Legendre 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 関数のグラフ。

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Legendre 陪関数（Ferrers 型）

日：Legendre陪関数，ルジャンドル陪関数，Legendre同伴関数
英：Associated Legendre function，仏：Fonction associée de Legendre，独：Assoziierten Legendre-funktion
日：球関数
独：Kugelfunktion

　Legendre 陪関数 (Ferrers 型) の定義は、Legendre 関数を逐次微分して無理関数因子を掛けた、

• 

が元になっている※1。しかし、両者がともに満たす微分方程式とその解の表示によって、階数は複素数にまで拡張可能である。二階の線形常微分方程式

• 

は Legendre の陪微分方程式と呼ばれ、を確定特異点とする。その解の基本系を成す二つの関数は、超幾何関数で表わすと

• 

となる。これを順に、第1種および第2種 Legendre 陪関数 (Ferrers 型) という※2。両者はが非負整数ならば、前述の逐次微分による定義と一致する。なお、ならばは関数自体が存在しない。
　第1種は一般にが対数分岐点およびが代数 (が非有理数ならば対数) 分岐点となり、第2種は一般にが対数分岐点となる。よって、両者ともに実軸上の区間およびに分枝切断線が置かれる。このうち、分枝切断線を越える解析接続は、

• 

によって成される。
　Legendre 陪関数は、次数に関する整数差の線形漸化式 (隣接関係式)

• 

を満たす。ここには、に関して1を周期とする任意の周期関数である。また、の符号を変える公式

• 

が成り立つ。
　に対して極限を取った Legendre 陪関数は、Bessel 関数と

• 

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の関係にある。
　特に重要なのがかつである第1種 Legendre 陪関数であり、Legendre 陪多項式と呼ばれる。正確にはが偶数ならば多項式となるが、が奇数ならば多項式にを掛けたものになる。このとき、は直交性

• 

を満たす※3。
　球座標 (三次元の極座標)を用いて、Helmholtz 方程式の解を変数分離すると、天頂角の方向に Legendre 陪関数が現れることは、既に球 Bessel 関数の頁で触れた。同様に、球座標で Laplace 方程式の解をの形に変数分離すれば、各座標方向は、

• 

となる。それゆえ、Legendre 陪関数は ｢球関数｣ なる別名を持つ。Legendre 陪関数の物理学等への応用事例は、多くがこれらの方程式の解に由来する。例えば、帯電し回転している球面の周辺に生じる電磁界、球体まわりでの電磁波の回折、非圧縮な理想状態にある渦なし流体の速度分布、原子核の液滴モデルなどがある。後述の球面調和関数も上記 Laplace 方程式の解に由来し、これは量子力学等で多用される。
　さらに、扁長回転楕円体座標を用いて、Laplace 方程式の解をの形に変数分離した場合にも Legendre 陪関数が現れ、

• 

となる。扁平回転楕円体座標ならば、Laplace 方程式の解は

• 

となる※4。これは、境界条件が回転楕円体である諸問題に現れ、一部は球座標のそれに類似する。よって、(Legendre 関数を含めた) Legendre 陪関数の応用事例数は、恐らく Bessel 関数に比肩するほど多いと思われる。
　Legendre 関数の節で挙げた数学者の他にも、F. E. Neumann (1848年)※5, R. Olbricht (1888年), E. Hobson (1896年) 等が Legendre 陪関数の研究を手掛けている。"Ferrers 型" なる名称は、球面調和関数を研究した N. M. Ferrers (1877年) に由来する。

　を実変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。①整数次。②実数次。

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　を実2変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を実変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。①整数次。②実数次。

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　を実2変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　アニメーション（11.2MB）
　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。は実数を動く。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を実変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を実変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。①。②。

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　を実変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。①整数次。②実数次。

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　を実2変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。
　①では関数が定義されない。
　②負数の方向を拡大した場合。
　③｢超幾何関数・球関数・円筒関数｣ にある図に準じたグラフ。
　④白点は等高線の共有点で、その座標はの実数根と一致する。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。①整数次。②実数次。

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　を実2変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。
　①では関数が定義されない。
　②負数の方向を拡大した場合。
　③｢超幾何関数・球関数・円筒関数｣ にある図に準じたグラフ。
　④白点は等高線の共有点で、その座標はの実数根と一致する。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　アニメーション（10.8MB）
　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。は実数を動く。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。①。②。

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Legendre 陪関数（Hobson 型）

　Legendre の陪微分方程式を満たすが、実軸上の区間に分枝切断線が置かれるように選んだ、新しい解の基本系を成す二つの関数

• 

を順に、第1種および第2種 Legendre 陪関数 (Hobson 型) という。これも、はならば関数自体が存在しない。分枝切断線を越える解析接続は、

• 

によって成される。
　Hobson 型は、Ferrers 型の分枝と

• 

の関係にある。特に、第1種の公式で条件区分が不要となるのは、

• 

のみであって、しかもこの場合に限りの分岐点が消えるので、分枝切断線はに変わる。
　Legendre 陪関数は、次数に関する整数差の線形漸化式 (隣接関係式)

• 

を満たす※1。ここには、に関して1を周期とする任意の周期関数である。また、の符号を変える公式

• 

が成り立つ。
　に対して極限を取った Legendre 陪関数は、変形 Bessel 関数と

• 

の関係にある。
　も直交性

• 

を満たすが※2、自体は直交区間で実関数にならない。
　Hobson 型が物理学等で応用される事例は少なく、むしろ複素関数論的な場面で現れることが多い。実際、変数を区間の実数に限定した Ferrers 型では、複素変数の Hobson 型に対して実軸に上下から近付く極限を取った

• 

が、しばしば定義として採用される。
　"Hobson 型" なる名称は、Legendre 陪関数を研究した E. Hobson (1896年) に由来する。

　を実変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。①整数次。②実数次。

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　を実2変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を実変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。①整数次。②実数次。

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　を実2変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　アニメーション（11.1MB）
　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。は実数を動く。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とし、とを固定する場合の第1種 Legendre 陪関数は、を倍したものに過ぎないので、グラフの描画は省略する。

　を実変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種 Legendre 陪関数のグラフ。
　（因みには、で実数値を取らないことに注意する。）

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　を実変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。①整数次。②実数次。

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　を実2変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。
　①では関数が定義されない。
　②負数の方向を拡大した場合。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を実変数、およびを実2変数とする第2種 Legendre 陪関数は、で実数値を取らない。
　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　アニメーション（11.0MB）
　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。は実数を動く。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を実変数、およびを実2変数とする第2種 Legendre 陪関数は、で実数値を取らない。
　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Legendre 陪関数のグラフ。

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　は、であっても一般に実数値を取らない。よっての実2変数グラフは省略する。

球面調和関数

日：球面調和関数
英：Spherical harmonics，仏：Harmonique sphérique，独：Kugelflächenfunktion

　球座標によって変数分離された Laplace 方程式の解のうち、応用面で特に重要となるのはを含まない (となる) 場合である※1。また、(ただしのみ) との基底関数は、正規直交性

• 

を持つよう、予め正規化因子も含めた定義にしておくと、その分が煩雑にならなくて済む。一方、の基底関数は直交性を持たないので取り除くと、結局、二変数の関数

• 

を導入するのが良いことになる。これを、球面調和関数という。併せて、の符号を変える公式

• 

がしばしば必要になる。
　かくして球面調和関数は、単位球面全体で三次元の正規直交性

• 

を満たす。したがって、球面上で定義された任意の連続関数は、

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に展開できる。これは Laplace 級数と呼ばれる。
　なお量子力学では、3個の球面調和関数の積に対する、単位球面全体での積分

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も現れる。ここに

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は、｢Wigner の 3-j 記号｣ と呼ばれる※2。
　実 Fourier 級数に準じて、の基底関数が余弦, 正弦関数となるように選んだ球面調和関数

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が、特に古典的な (量子力学でない) 物理問題等で必要となることがある。さらに、これら種類の球面調和関数を細分して、の場合を帯球調和関数 (Zonal spherical harmonics)、の場合を扇球調和関数 (Sectorial sph. har.)、その他種類の場合を縞球調和関数 (Tesseral sph. har.) と呼ぶことがある※3。
　球面調和関数は、これまでに述べた電磁気学･重力に関する問題の他、多重極モーメントの各テンソル成分への分離、周辺光による間接照明の輝度測定等に現れるが、20世紀になると量子力学での応用事例が多数得られ、その重要性が一段と増した。そのうち特に有名なのが、水素原子核の周囲における電子の存在確率であり、Laguerre 陪関数とともに現れる (詳細は、別頁 ｢特殊関数応用編｣ を参照)。
　球面調和関数なる名称は、1867年に W. Thomson (Lord. Kelvin) と P. G. Tait が初めて使用した。

　に由来する複素数因子が消えるため常に実数値をとる、実変数の球面調和関数のグラフ。

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　が小さい場合の球面調和関数のグラフ。

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　が小さい場合の球面調和関数のグラフ。

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　が小さい場合の球面調和関数のグラフ。

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　が比較的大きい球面調和関数のグラフ。

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　が比較的大きい球面調和関数のグラフ。

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　が比較的大きい球面調和関数のグラフ。

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　球面調和関数を原点から (原点中心の) 球面へ射影すると、帯球調和関数, 縞球調和関数, 扇球調和関数なる名称の意味が明らかになる。それをで例示する。

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　かつ変数が実数を動くときの曲線を、上で確認する。

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　球面調和関数の合成 (有限級数)

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に対する、のグラフ。

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　球面調和関数の合成 (有限級数)

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に対する、のグラフ。ここに、は Riemann のゼータ関数である。

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　を整2変数とする、Wigner の 3-j 記号のグラフ。

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　を半奇数の2変数とする、Wigner の 3-j 記号のグラフ。

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　を整2変数とする、Wigner の 3-j 記号のグラフ。これは、となっている場合である。

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　を整2変数とする、Wigner の 3-j 記号のグラフ。これも、となっている場合である。

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　を整2変数とする、Wigner の 3-j 記号のグラフ。

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