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Chebyshev 関数

Chebyshev 関数

日:Chebyshev関数チェビシェフ関数
英:Chebyshev function,仏:Fonction de Tchebychev,独:Tschebyschow-funktion ※1

 2階の線形常微分方程式
  • Chebyshevの微分方程式(T, V)
は超幾何微分方程式の特別な場合であり、z = ±1, ∞を確定特異点とする。これを Chebyshev の微分方程式といい、その解の基本系w = a・T[ν](z)+b・V[ν](z)(a, b ∈ C)を成す二つの関数は、
  • 第1種, 第2種Chebyshev関数(T, V)
となる※2。これを順に、第1種および第2種 Chebyshev 関数という。このうち、第1種は常にT[ν](1) = 1となるように選んだ特別な解であって、一般にz = -1, ∞を対数分岐点とし、実軸上の区間z = -1, ∞に分枝切断線が置かれる。第2種は常にlimmit[V[ν](x), x→1-] = 0となる解であり、一般にz = ±1, ∞を対数分岐点とし、実軸上の区間z = -1, ∞ およびlimmit[V[ν](x), x→1-] = 0に分枝切断線が置かれる。
 後述のとおりT[ν](z)が多項式となる次数νのとき、同時に第2種に相当する関数も多項式となるよう、
  • 第2種Chebyshev関数(U)
が定義されている。通常はこれを第2種 Chebyshev 関数と呼ぶが、U[ν](z)が満たす微分方程式は、
  • Chebyshevの微分方程式(U)
となり若干形が異なる。このとき、U[ν](z)は常にU[ν](1) = ν+1となる特別な解であって、一般にz = -1, ∞を対数分岐点とし、実軸上の区間z = -1, ∞ に分枝切断線が置かれる。
 Chebyshev 関数は、超幾何微分方程式の特別な場合の解であり、具体的に超幾何関数を用いれば
  • Chebyshev関数の超幾何関数表示式
と表わせる。このことから導かれる性質のうち、線形漸化式および微分漸化式
  • Chebyshev関数の漸化式
は代表的であるが、多くは三角関数による定義式から導く方が容易である。例えば、次数の反転性
  • Chebyshev関数の次数反転性
および入れ子関係性 (Nesting property)
Chebyshev関数の入れ子関係性
が、直ちに確認できる。
 また、Chebyshev 関数は Legendre 陪関数 (Ferrers 型) の特別な場合を用いて、
  • Chebyshev関数のLegendre陪関数表示式
と表わせる。
 Chebyshev 関数は次数がν = n ∈ N≧0ならば、多項式
  • Chebyshev多項式
に還元され、第1種および第2種 Chebyshev 多項式と呼ばれる。両者はnが偶数 (奇数) ならば偶関数 (奇関数) となる。また、母関数表示式および Rodrigues の公式
  • 母関数表示式とRodriguesの公式
によっても表わせる。Chebyshev 多項式は直交性を持つが、これについては次節で触れる。なお、V[n](z)は因子Sqrt[1-z^2]が掛かる分、多項式ではない。
 他の古典的直交多項式と異なり、Chebyshev 多項式は零点の位置が明示的に
  • Chebyshev多項式の零点の位置
と求められる。つまり、実数領域での明示的な因数分解が可能で、
  • Chebyshev多項式の因数分解
と表わせる。
 Chebyshev 関数は上記以外にも、少しずつ異なった定義が存在する。例えば、NISTの18.5(i)では、
  • NISTのChebyshev関数
が掲載されている。(V[ν](z)と記号が被るため、当サイトでは関数記号をNISTと異なるフォントに変えている。)
 Chebyshev 関数の名称は、蒸気機関の制御問題に関連して、1853年に Chebyshev 多項式による関数近似を論じた P. L. Chebyshev に由来する※1。
 現在でも、Chebyshev 多項式の主要な応用分野は数値解析であって、より高速で低計算コストの演算技法を開発するために利用されてきた。例えば、Fourier 級数等に現れる三角関数は計算コストが高くなりやすいが、Chebyshev 多項式を介すればこれを冪関数に置き換えることができる。また、区間[-1, 1]で無限回微分可能な任意関数を直交多項式の無限級数に展開するとき、Chebyshev 多項式を選ぶと収束の速い級数になることが多い。さらに、多項式補間法 (任意関数の値が有限個のサンプル点のみで判明しているとき、その離散値を結ぶ連続化 (内挿) に相応しい多項式を見出す方法) で Chebyshev 多項式を用いると、最も極端誤差が小さくなる 「最適補間法」 に非常に近い方法が得られる。
 Chebyshev 多項式は物理学や工学にも現れ、高次元 Laplace 方程式の角度方向の固有関数、量子色力学、相対論的効果を取り入れた調和振動子、電子回路設計 (後述の Chebyshev フィルター) 等に応用事例がある。

【註記】
 ※1:ロシア人数学者の名は、キリル文字をラテン文字に転記するのが (西側諸国の?) 慣例となっているが、大抵は複数の転記法が存在する。Chebyshev の場合は特にそれが著しく、Chebyshov, Tchebychev, Tchebycheff, Tschebyscheff など多数ある。関数記号T[ν](z)はこのうちの "T" から始まる名に由来する。

 ※2:この定義式から、いかなる次数νであっても Chebyshev 関数は初等関数になる。また、T[ν](x), V[ν](x) (x ∈ R)のグラフは常に、ある Lissajous 曲線の一部分になることが分かる。
  • 第1種Chebyshev関数と一致するLissajous曲線
  • 第1種Chebyshev関数と一致するLissajous曲線
  • 第1種Chebyshev関数と一致するLissajous曲線
一部分が Chebyshev 関数と一致する Lissajous 曲線の例 (オシロスコープ風)

T[ν](z)

 xを実変数とする、第1種 Chebyshev 関数のグラフ。整数次T[n](x)(Chebyshev 多項式)。実数次T[ν](x)
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(実変数)
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(実変数)

 アニメーション(10.9MB)
 第1種 Chebyshev 関数T[ν](x)のグラフは、単位円柱面に貼り付けた余弦波を、平面上に正射影したものである。
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(実変数:動画)

 複数の第1種 Chebyshev 関数T[ν](x)のグラフが、同じ交点を何度も通る様子。
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、第1種 Chebyshev 関数T[ν](x)のグラフ。-1 ≦ x < 1のときν方向は余弦関数、x > 1のときν方向は双曲線余弦関数となる。
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(実2変数)

 zを複素変数とする、第1種 Chebyshev 関数T[2.7](z)のグラフ。
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第1種 Chebyshev 関数T[3-2i](z)のグラフ。
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

 xを実変数とする、純虚数次の第1種 Chebyshev 関数T[iν](x)のグラフ。正の方向で無限回振動する。
 なお、明示的な式で表わせばT[iν](z) = cosh(2ν*arccos(Sqrt[(1+z)/2]))となる。
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、第1種 Chebyshev 関数T[iν](x)のグラフ。
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(実2変数)

 zを複素変数とする、第1種 Chebyshev 関数T[5.7i](z)のグラフ。
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

V[ν](z)

 xを実変数とする、第2種 Chebyshev 関数のグラフ。整数次V[n](x)実数次V[ν](x)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(実変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(実変数)

 アニメーション(11.0MB)
 第2種 Chebyshev 関数V[ν](x)のグラフは、単位円柱面 (の半分) に貼り付けた正弦波を、平面上に正射影したものである。
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(実変数:動画)

 複数の第2種 Chebyshev 関数V[ν](x)のグラフが、同じ交点を何度も通る様子。
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、第2種 Chebyshev 関数V[ν](x)のグラフ。-1 ≦ x < 1のときν方向は正弦関数となる。
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(実2変数)

 zを複素変数とする、第2種 Chebyshev 関数V[2.7](z)のグラフ。
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第2種 Chebyshev 関数V[3-2i](z)のグラフ。
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第2種 Chebyshev 関数V[5.7i](z)のグラフ。
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

U[ν](z)

 xを実変数とする、第2種 Chebyshev 関数のグラフ。整数次U[n](x)(Chebyshev 多項式)。実数次U[ν](x)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(実変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(実変数)

 複数の第2種 Chebyshev 関数U[ν](x)のグラフが、同じ交点を何度も通る様子。
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、第2種 Chebyshev 関数U[ν](x)のグラフ。ν方向ではU[ν-1](x)ならば奇関数、つまりU[-ν](x) = -U[ν-2](x)となる。特に、-1 ≦ x < 1のときνの正弦関数、x > 1のときνの双曲線正弦関数で表わされる。
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(実2変数)

 zを複素変数とする、第2種 Chebyshev 関数U[2.7](z)のグラフ。
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第2種 Chebyshev 関数U[3-2i](z)のグラフ。
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第2種 Chebyshev 関数U[5.7i](z)のグラフ。
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

Vnist[ν](z)

 zを複素変数とする Chebyshev 関数Vnist[ν](z)のグラフは、概形がこれまでの Chebyshev 関数とほとんど変わらないので省略し、実変数および実2変数のグラフのみ掲載する。
 xを実変数とする、Chebyshev 関数のグラフ。整数次Vnist[n](x)(Chebyshev 多項式)。実数次Vnist[ν](x)
  • NISTのChebyshev関数(V)のグラフ(実変数)
  • NISTのChebyshev関数(V)のグラフ(実変数)

 複数の Chebyshev 関数Vnist[ν](x)のグラフが、同じ交点を何度も通る様子。
  • NISTのChebyshev関数(V)のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、Chebyshev 関数Vnist[ν](x)のグラフ。ν方向ではVnist[ν-1/2](x)ならば奇関数、つまりVnist[-ν](x) = -Vnist[ν-1](x)となる。特に、-1 ≦ x < 1のときνの正弦関数、x > 1のときνの双曲線正弦関数で表わされる。
  • NISTのChebyshev関数(V)のグラフ(実2変数)
  • NISTのChebyshev関数(V)のグラフ(実2変数)

Wnist[ν](z)

 zを複素変数とする Chebyshev 関数Wnist[ν](z)のグラフも同様に省略し、実変数および実2変数のグラフのみ掲載する。
 xを実変数とする、Chebyshev 関数のグラフ。整数次Wnist[n](x)(Chebyshev 多項式)。実数次Wnist[ν](x)
  • NISTのChebyshev関数(W)のグラフ(実変数)
  • NISTのChebyshev関数(W)のグラフ(実変数)

 複数の Chebyshev 関数Wnist[ν](x)のグラフが、同じ交点を何度も通る様子。
  • NISTのChebyshev関数(W)のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、Chebyshev 関数Wnist[ν](x)のグラフ。ν方向ではWnist[ν-1/2](x)ならば偶関数、つまりWnist[-ν](x) = Wnist[ν-1](x)となる。特に、-1 ≦ x < 1のときνの余弦関数、x > 1のときνの双曲線余弦関数で表わされる。
  • NISTのChebyshev関数(W)のグラフ(実2変数)
  • NISTのChebyshev関数(W)のグラフ(実2変数)

Chebyshev多項式補間

 ここでは Chebyshev 多項式補間と Lagrange 多項式補間を取り上げ、各々の概要を説明するとともに関数近似の実例を比較する。以降では、近似しようとする任意 (実) 関数をf(x)と表記する。
 互いに相異なるサンプル点の集合を{x[1], x[2],…, x[k],…, x[n]}とするとき、一般の Lagrange 多項式補間は、
  • Lagrange多項式補間
で与えられる。
 ただし、以降で扱う Lagrange 多項式補間は、サンプル点の配置規則 (これは 「ノード (node) 」 と呼ばれる) が等間隔ノードであり、しかも区間[-1, 1]内で次のように分布する場合に限定する。(この比較が結果の違いを明確にする事を目的としている以上、なるべく両者の条件は揃えたいと考えたからである。)
  • 等間隔ノードのLagrange多項式
  • 等間隔ノードの図

このとき、有限積から除外する項(m = k)が現れないよう、強制的にkを実数に置き換えた Lagrange 多項式L[0.78, n](x)を描画すると、零点が等間隔に並ぶ多項式になっていることが分かる。
  • Lagrange多項式L[0.78, n](x)のグラフ

 さて、f(x) = 1/(1+10 x^2)に上記の Lagrange 多項式補間を適用した結果は、次のようになる。
  • Lagrange多項式補間の図

補間区間の中央では良い近似になっているが、両端では誤差が極端に大きくなる。実は厄介な事に、この誤差は多項式の次数nを増やすほど著しくなる。これは 「Runge の現象」 と呼ばれ、特にf(x) = 1/(1+α x^2)は Runge の現象が起きる例としてよく知られている。
 Chebyshev 多項式補間は、第1種 Chebyshev 多項式を用いた
  • Chebyshev多項式補間
で与えられる。f(x) = 1/(1+10 x^2)に Chebyshev 多項式補間を適用すると、次のようになる。
  • Chebyshev多項式補間の図

Runge の現象が抑えられ、極端に突出した誤差が無くなったことが分かる。これは、サンプル点をT[k](x)の零点の間隔 (Chebyshev ノード) に取ったことによる効果である。(尤も、予め値が判明しているサンプル点が Chebyshev ノードになる数値計算の実例は少ないと思われるが…。)
 次の図は、区間[-1, 1]内に分布する Chebyshev ノードのサンプル点である。
  • Chebyshevノードの図

Chebyshevフィルター

 Chebyshev フィルター (Filter:濾波器) の特性に基づく利得 (Gain:電圧等の出力/入力の比) は、角周波数ωを変数とする2種類の関数
  • Chebyshevフィルターの利得関数
で表わされる。ここに、nは電子回路中の抵抗部品の個数、εはリップル係数 (ripple:通過帯域または遮断帯域に生じる電圧等の変動)、ω[0]は遮断周波数 (Cutoff frequency) である。電気信号の特定周波数帯に対する通過帯域 (Passband) にリップルが生じる場合はG[n,(1)](ε, ω)で利得が算出され、そのときのフィルターは第1種 Chebyshev フィルターと呼ばれる。一方、遮断帯域 (Stopband) にリップルが生じる場合はG[n,(2)](ε, ω)で算出され、フィルターは第2種 Chebyshev フィルターと呼ばれる。
 ただし以降では、関数としてのG[n,(1)](ε, ω)およびG[n,(2)](ε, ω)の振る舞いのみを関心事とし、電気工学の話には全く触れない。上記の各用語と詳細については、Wikipedia 等の記事を参照して欲しい。
 なお、簡単のためグラフは全てω[0] = 1として描画する。つまり、周波数の遮断がグラフのω = 1にあるとする。

 ωを実変数とする、第1種 Chebyshev フィルター特性の利得関数G[n,(1)](0.6, ω)のグラフ。
  • G[n,(1)](0.6, ω)のグラフ(実変数)

 ωを複素変数とする、第1種 Chebyshev フィルター特性の利得関数G[9,(1)](0.1, ω)のグラフ。
 因みに、Wikipedia に掲載されている同様の図は、変数にiが掛かる伝達関数のグラフであり、当サイトとは90°回転の相違がある。
  • G[9,(1)](0.1, ω)のグラフ(複素変数)
  • G[9,(1)](0.1, ω)のグラフ(複素変数)
  • G[9,(1)](0.1, ω)のグラフ(複素変数)

 ωを実変数とする、第2種 Chebyshev フィルター特性の利得関数G[n,(2)](0.2, ω)のグラフ。
  • G[n,(2)](0.2, ω)のグラフ(実変数)

 ωを複素変数とする、第2種 Chebyshev フィルター特性の利得関数G[9,(2)](0.1, ω)のグラフ。
 同様に、Wikipedia にある伝達関数のグラフと90°回転の相違がある。
  • G[9,(2)](0.1, ω)のグラフ(複素変数)
  • G[9,(2)](0.1, ω)のグラフ(複素変数)
  • G[9,(2)](0.1, ω)のグラフ(複素変数)

Chebyshev 関数(正規化)

 第1種および第2種 Chebyshev 多項式T[n](x), U[n](x)は、直交区間を[-1, 1]とする直交多項式であり、重み関数を伴う直交性
  • Chebyshev多項式の直交性
を持っている。これは、三角関数の直交性
  • 三角関数の直交性
の別表現(x = cosθ)であり、置換積分によって交互に移り変われるため都合が良い。
 当サイトでは Chebyshev 関数に対しても、独自に
  • 正規化Chebyshev関数
を導入し、第1種および第2種の正規化 Chebyshev 関数と呼ぶ※1。よって、{Tn[n](x)}および{Un[n](x)}(n ∈ N≧0)正規直交関数系を成すとともに、重み関数が現れない直交性
  • 正規化Chebyshev関数の直交性
を満たす。
 Chebyshev 多項式の直交性は、区間[-1, 1]の定積分の数値計算、Fourier 級数論から発展した偏微分方程式のスペクトル理論等に応用されている。

【註記】
 ※1:関数記号は正規化 (Normalization) に基づく。また、当サイトではνzを複素数まで許容する。

Tn[ν](z)

 xを実変数とする、第1種正規化 Chebyshev 関数のグラフ。整数次Tn[n](x)実数次Tn[ν](x)
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(実変数)
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、第1種正規化 Chebyshev 関数Tn[ν](x)のグラフ。
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(実2変数)

 zを複素変数とする、第1種正規化 Chebyshev 関数Tn[2.7](z)のグラフ。
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第1種正規化 Chebyshev 関数Tn[3-2i](z)のグラフ。
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第1種正規化 Chebyshev 関数Tn[5.7i](z)のグラフ。
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

Un[ν](z)

 xを実変数とする、第2種正規化 Chebyshev 関数のグラフ。整数次Un[n](x)実数次Un[ν](x)
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(実変数)
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、第2種正規化 Chebyshev 関数Un[ν](x)のグラフ。
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(実2変数)

 zを複素変数とする、第2種正規化 Chebyshev 関数Un[2.7](z)のグラフ。
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第2種正規化 Chebyshev 関数Un[3-2i](z)のグラフ。
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第2種正規化 Chebyshev 関数Un[5.7i](z)のグラフ。
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種正規化Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

楕円有理関数

日:楕円有理関数
英:Elliptic rational function,仏:Fonction rationnelle elliptique,独:Rational elliptische funktion

 第1種 Chebyshev 関数の定義式に現れる三角関数を、Jacobi の楕円関数cd(z, m) = cn(z, m)/dn(z, m)に置き換えた関数
  • 楕円有理関数
は※1、次数νが非負整数のときにzの有理関数となるので、楕円有理関数と呼ばれている※2。ここに、ξは選択係数 (selectivity factor) と呼ばれるパラメーターである。ただし、当サイトではν, ξを複素数にまで拡張するが、その場合R[ν](ξ, z)z = -1, -ξ, ∞を分岐点とする多価関数となり、有理関数ではなくなる。分枝切断線はz = -1, -ξのそれぞれから∞に向かう偏角π, Arg(-ξ)の二直線となるが、特別な場合における分枝切断線の消失パターンは複雑である。例えば、νが整数でない実数で、かつξ > 1なる実数のとき、分枝切断線は実軸上の区間[-ξ, -1]のみに置かれる。
 L[ν](ξ)は弁別係数 (discrimination factor) と呼ばれ、超越方程式
  • 弁別係数が満たす超越方程式
を満たすものと定義される。これは、両辺にiを掛けて楕円モジュラー・ラムダ関数を用いれば、
  • 弁別係数
のとおり解ける※3。ただし、下半平面でも値を取り偶関数になるλ2(τ)を採用した理由は、第1種 Chebyshev 関数に類似した次数の反転性
  • 楕円有理関数と弁別係数の次数反転性
が、上記の制限を除いた広範囲のνで成り立つようにするためであって、解析接続とは異なる。
 楕円有理関数は、特殊値
  • 楕円有理関数の特殊値
を持ち、引数の逆数性 (Inversion relationship)
楕円有理関数の逆数性
を満たす。また第1種 Chebyshev 関数と同様、入れ子関係性
  • 楕円有理関数の入れ子関係性
が成り立つ (Not[ν, ξ ∈ Z]の場合は一部領域のみで成立する)。
 楕円有理関数w = R[ν](ξ, z)は、2階の非線形常微分方程式
  • 楕円有理関数が満たす微分方程式
の解である。
 楕円有理関数の (恐らく唯一の) 応用事例として、電子回路設計における楕円フィルターが知られている。これは極限として Chebyshev フィルターを含み、さらに一般的な場合のフィルター特性にも適用できるよう、W. Cauer が考案したものである。

【註記】
 ※1:当サイトでは、母数に Abramowitz & Stegun および Mathematica 流の表記法を採用しているので、K(m)等の引数は、より一般的な表記法と2乗の違いがある。

 ※2:特に、次数がν = 2^m*3^n(m, n ∈ N≧1)であるときの具体的な有理関数の表示は、Wikipedia および Wolfram MathWorld 等の記事に出ているが、当サイトでの掲載は省略する。
 因みに、「Chebyshev 有理関数」
Chebyshev有理関数
は、楕円有理関数と異なる関数で、互いに関連は無い。

 ※3:したがって、νを変数とするL[ν](ξ)のグラフは、λ(ν)^-1/2の定義域を拡大・縮小および回転したものに過ぎないので、掲載を省略する。
 なお、余分な分枝切断線が現れないよう、R[ν](ξ, z)の定義式に現れるK(1/L[ν](ξ)^2)の部分は、
  • 楕円有理関数の解析接続
  • 楕円有理関数の解析接続の図
のように解釈する (楕円テータ関数の第2変数の表記法に注意)。
 楕円モジュラー・ラムダ関数で解ける事については、Wikipedia 「楕円有理関数」 の冒頭でも "楕円ノーム関数の逆関数の値として求まる" との示唆がある。

R[ν](ξ, z)

 xを実変数とする、楕円有理関数のグラフ。整数次 (本来の楕円有理関数)R[n](1.05, x)実数次R[ν](1.05, x)広範囲でR[ν](1.05, x)を描画する (値域を逆双曲線正弦的に圧縮していることに注意)。
  • 楕円有理関数のグラフ(実変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(実変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(実変数)

 xを実変数とする、楕円有理関数R[7](ξ, x)のグラフ。区間[-1, 1]の近く。もっと広範囲で描画する (ただし、値域を逆双曲線正弦的に圧縮する)。
 グラフのとおり、R[ν](ξ, x)(ν, ξ, x ∈ R)x > 0 (またはx < 0) にある零点と極の位置は、ξ → 1+のときx = 1 (またはx = -1) に近付く。
  • 楕円有理関数のグラフ(実変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(実変数)

 zを複素変数とする、楕円有理関数R[8.3](1.05, z)のグラフ。
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、楕円有理関数R[6.3](1.6, z)のグラフ。
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、楕円有理関数R[-4+4i](-1-i, z)のグラフ。
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、楕円有理関数R[7+6i](i, z)のグラフ。
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、楕円有理関数R[-7i](2i, z)のグラフ。
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数)

 アニメーション(41.4MB)
 zを複素変数とする、楕円有理関数R[ν](1.3, z)のグラフ。ここに次数は、複素ν平面上を2番目の図のように動く。
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数:動画)
  • 楕円有理関数のグラフ(次数の経路図)

R[ν](ξ, z) (変数ν)

 νを実変数とする、楕円有理関数R[ν](1.05, x)のグラフ。ただし、値域を逆双曲線正弦的に圧縮する。
  • 楕円有理関数のグラフ(実変数ν)

 νを複素変数とする、楕円有理関数R[ν](1.02, 0.5)のグラフ。
 6番目は虚軸の近くを拡大したグラフ (等高線を入れないようにしている)。
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ν)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ν)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ν)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ν)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ν)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ν)

 νを複素変数とする、楕円有理関数R[ν](0.5+0.5i, -1-i)のグラフ。
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ν)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ν)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ν)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ν)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ν)

 νを複素変数とする、楕円有理関数R[ν](-2i, 1+i)のグラフ。
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ν)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ν)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ν)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ν)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ν)

R[ν](ξ, z) (変数ξ)

 ξを実変数とする、楕円有理関数のグラフ。R[ν](ξ, 1.5)R[3.4](ξ, x)。ただし、いずれも値域を逆双曲線正弦的に圧縮する。
  • 楕円有理関数のグラフ(実変数ξ)
  • 楕円有理関数のグラフ(実変数ξ)

 ξを複素変数とする、楕円有理関数R[10.3](ξ, 1.5)のグラフ。
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ξ)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ξ)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ξ)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ξ)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ξ)

 ξを複素変数とする、楕円有理関数R[2i](ξ, -0.9)のグラフ。
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ξ)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ξ)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ξ)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ξ)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ξ)

 ξを複素変数とする、楕円有理関数R[-4+5i](ξ, -1-i)のグラフ。
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ξ)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ξ)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ξ)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ξ)
  • 楕円有理関数のグラフ(複素変数ξ)

L[ν](ξ)

 ξを実変数とする、弁別係数L[ν](ξ)のグラフ。
  • 弁別係数のグラフ(実変数)

 ξを複素変数とする、弁別係数L[3.3](ξ)のグラフ。
  • 弁別係数のグラフ(複素変数)
  • 弁別係数のグラフ(複素変数)
  • 弁別係数のグラフ(複素変数)
  • 弁別係数のグラフ(複素変数)
  • 弁別係数のグラフ(複素変数)

 ξを複素変数とする、弁別係数L[2.7i](ξ)のグラフ。
  • 弁別係数のグラフ(複素変数)
  • 弁別係数のグラフ(複素変数)
  • 弁別係数のグラフ(複素変数)
  • 弁別係数のグラフ(複素変数)
  • 弁別係数のグラフ(複素変数)

 ξを複素変数とする、弁別係数L[-4+5i](ξ)のグラフ。
  • 弁別係数のグラフ(複素変数)
  • 弁別係数のグラフ(複素変数)
  • 弁別係数のグラフ(複素変数)
  • 弁別係数のグラフ(複素変数)
  • 弁別係数のグラフ(複素変数)

 アニメーション(31.1MB)
 ξを複素変数とする、弁別係数L[ν](ξ)のグラフ。ここに次数は、複素ν平面上を2番目の図のように動く。
  • 弁別係数のグラフ(複素変数:動画)
  • 弁別係数のグラフ(次数の経路図)

楕円フィルター

 前述のとおり、電子回路において特定周波数の通過帯域または遮断帯域のどちらかでリップル (電圧等の変動) が生じるならば、濾波器の特性は Chebyshev フィルターで表わされるのであった。もっと一般的に、通過帯域・遮断帯域の両方でリップルが生じる場合を包含し、ある極限を取れば第1種または第2種 Chebyshev フィルターに移行する、拡張された濾波器の特性は楕円フィルターと呼ばれ、その利得 (電圧等の出力/入力比) は楕円有理関数を用いて
  • 楕円フィルターの利得関数
で表わされる。ここに Chebyshev フィルターと同様、nは抵抗部品の個数、εはリップル係数、ω[0]は遮断周波数である。ξは (楕円有理関数における用語と同じく) 選択係数と呼ばれる。楕円フィルターは、代わりに考案者の名を冠して Cauer フィルターと呼ばれることもある。
 なお、ここでも電気工学の話には深入りせず、以降での関心事は関数の振る舞いのみとする。また、同様にグラフは全てω[0] = 1として描画し、周波数の遮断がグラフのω = 1にあるとする。

 ωを実変数とする、楕円フィルター特性の利得関数のグラフ。G[n](0.6, 1.02, ω)G[n](0.4, 1.1, ω)
  • 楕円フィルターの利得関数のグラフ(実変数)
  • 楕円フィルターの利得関数のグラフ(実変数)

 ωを複素変数とする、楕円フィルター特性の利得関数G[9](0.1, 1.3, ω)のグラフ。
 2番目は値域を常用対数目盛にした場合 (次も同様)。
  • 楕円フィルターの利得関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円フィルターの利得関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円フィルターの利得関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円フィルターの利得関数のグラフ(複素変数)

 ωを複素変数とする、楕円フィルター特性の利得関数G[10](0.5, 1.02, ω)のグラフ。
  • 楕円フィルターの利得関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円フィルターの利得関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円フィルターの利得関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円フィルターの利得関数のグラフ(複素変数)

楕円 Chebyshev 関数

 楕円有理関数は確かに Chebyshev 関数の拡張になっているものの、その導入が始めから楕円フィルターへの応用を目的としていた理由もあって、かなり複雑な形で定義されている。
 そこで当サイトでは、もっと単純な形の関数
  • 楕円Chebyshev関数
を独自に定義し、第1種・第2種の楕円 Chebyshev 関数と称する※1。
 一般にTe[ν](z, m)は、分岐点z = 1, ±Sqrt[1-1/m]のそれぞれから∞に向かう偏角0, Arg(±Sqrt[1-1/m])の三直線を分枝切断線とする。またVe[ν](z, m)は、分岐点z = ±1, ±Sqrt[1-1/m]のそれぞれから∞に向かう偏角0, π, Arg(±Sqrt[1-1/m])の四直線を分枝切断線とする。ただし両者とも、偏角が一致して複数の分枝切断線が重なるmの場合、または特別な次数νの場合は、分枝切断線の全長または一部区間が消失する。
 Chebyshev 関数に類似する、楕円 Chebyshev 関数の性質として、次数の反転性
  • 楕円Chebyshev関数の次数反転性
および、入れ子関係性
  • 第1種楕円Chebyshev関数の入れ子関係性
が挙げられる。また、特殊値および極限値
  • 楕円Chebyshev関数の特殊値および極限値
を持っている。
 次数がn ∈ N≧0ならば、Te[n](z, m)は有理関数になる。Ve[n](z, m)は有理関数に無理関数を掛けたものになり、具体的にはnが奇数ならばSqrt[1-z^2]nが偶数ならばSqrt[1-z^2]*Sqrt[1-m+m z^2]が無理関数因子となる。例えば、
  • 楕円Chebyshev関数の有理関数還元例
となっている※2。
 楕円 Chebyshev 関数は、2階の非線形常微分方程式
  • 楕円Chebyshev関数が満たす微分方程式
の解である。

【註記】
 ※1:以降では、νを変数とするグラフは (楕円関数と同じになるので) 掲載しない。

 ※2:したがって、整数次のときに常に有理関数となるような第2種 Chebyshev 関数U[ν](z)の類似Ue[ν](z, m)は、唯一の式で定義できない。つまり、
  • 楕円Chebyshev関数Ue[ν](z, m)
の二通りに分けなければならない。(当サイトでUe[ν](z, m)を定義しなかった理由。)

Te[ν](z, m)

 xを実変数とする、第1種楕円 Chebyshev 関数のグラフ。Te[ν](x, 0.8)Te[ν](x, -0.8)Te[ν](x, 1.5)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(実変数)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(実変数)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(実変数)

 zを複素変数とする、第1種楕円 Chebyshev 関数Te[8](z, 0.5)のグラフ。
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第1種楕円 Chebyshev 関数Te[5.5i](z, 0.3)のグラフ。
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第1種楕円 Chebyshev 関数Te[4.5+4i](z, 0.1+0.3i)のグラフ。
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

 アニメーション(22.3MB)
 zを複素変数とする、第1種楕円 Chebyshev 関数Te[10](z, m)のグラフ。
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数:動画)

Te[ν](z, m) (変数m)

 mを実変数とする、第1種楕円 Chebyshev 関数のグラフ。Te[ν](0.6, m)Te[ν](-0.6, m)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(実変数m)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(実変数m)

 mを複素変数とする、第1種楕円 Chebyshev 関数Te[15.2](0.6, m)のグラフ。
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)

 mを複素変数とする、第1種楕円 Chebyshev 関数Te[5.5i](-0.9, m)のグラフ。
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)

 mを複素変数とする、第1種楕円 Chebyshev 関数Te[4.5+4i](4i, m)のグラフ。
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第1種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)

Ve[ν](z, m)

 xを実変数とする、第2種楕円 Chebyshev 関数のグラフ。Ve[ν](x, 0.8)Ve[ν](x, -0.8)Ve[ν](x, 1.5)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第2種楕円 Chebyshev 関数Ve[8](z, 0.5)のグラフ。
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第2種楕円 Chebyshev 関数Ve[5.5i](z, 0.3)のグラフ。
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第2種楕円 Chebyshev 関数Ve[4.5+4i](z, 0.1+0.3i)のグラフ。
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数)

 アニメーション(16.3MB)
 zを複素変数とする、第2種楕円 Chebyshev 関数Ve[ν](z, 0.5)のグラフ。
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数:動画)

Ve[ν](z, m) (変数m)

 mを実変数とする、第2種楕円 Chebyshev 関数のグラフ。Ve[ν](0.6, m)Ve[ν](-0.6, m)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(実変数m)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(実変数m)

 mを複素変数とする、第2種楕円 Chebyshev 関数Ve[15.2](0.6, m)のグラフ。
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)

 mを複素変数とする、第2種楕円 Chebyshev 関数Ve[5.5i](-0.9, m)のグラフ。
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)

 mを複素変数とする、第2種楕円 Chebyshev 関数Ve[4.5+4i](4i, m)のグラフ。
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
  • 第2種楕円Chebyshev関数のグラフ(複素変数m)
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