超幾何関数：特殊関数グラフィックスライブラリー Special Functions

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超幾何関数

日：超幾何関数
英：Hypergeometric function，仏：Fonction hypergéométrique，独：Hypergeometrische funktion

　二階線形常微分方程式

は、３個の確定特異点

を持つ。これを、(Gauss の)超幾何微分方程式といい、この解を超幾何関数という。
　そのうち、原点で有限となる基本解

を、第1種超幾何関数という。特に、この級数は超幾何級数と呼ばれその収束半径は１であるため、実際には、これに線形接続公式

等による解析接続を施して定義域を拡張したものが、本来の第1種超幾何関数である。｢超幾何級数｣という名称は、幾何級数(等比級数)を含む形で一般化した級数という意味を持つ (Hyper geometric series の意訳)。記号

は、Pochhammer 記号が分子に２個、分母に１個あることを示している。第1種超幾何関数は、

または

が負の整数

のとき、

次の多項式(Jacobi 多項式)となる。
　第1種超幾何関数に対して、ガンマ関数因子に由来する不定性を取り除いた｢正規化された超幾何関数｣

は、数値計算等で好都合なため多用される。
　一方、原点で無限大となる、

とは線形独立な基本解

を、第2種超幾何関数と呼ぶ。ただし、

の値によって発散する場合は極限をとる。この極限によって生じる無限級数は対数項を含む。第2種超幾何関数の標準的な定義の形、および関数記号は存在していない (上記は、第2種 Jacobi 関数から類推される独自定義の関数。超幾何関数系の第2種関数の定義方法に対する当サイトでの方針は、別頁「Questions」を参照)。
　一般に超幾何関数は、複素平面上

に特異点を持つ無限多価関数であって、通常は

及び

に分枝切断線を置く。前述の二つの基本解は、これらの特異点のうち原点を近似の中心とした場合である。残り二つの特異点を近似の中心にした場合もそれぞれ考えることができるので、根本的には６種類の基本解(２基本解

３特異点)があり、さらに６種類の基本解それぞれに対する代数関数因子が４種類あるので、合計24種類の基本解を定め得る。これらの解の具体的な関数形は、1836年に E. E. Kummer によって求められた。
　超幾何微分方程式の一般解は、このような基本解の２個の線形結合式となるが、その係数(関数)は

の指数関数およびガンマ関数で表わせる。なお、これよりも高度なクラス (確定特異点が４個以上など) の線形微分方程式になると、一般解の係数の具体的表示は現在でも知られていないか、または極めて複雑な関数となる。
　

が１だけ互いに異なる３個の超幾何関数は、種々の線形漸化式によって結ばれる。これを「隣接関係式」という。よく知られた特殊関数の多くで、異なる次数の関数間に漸化式が存在するのは、これらが超幾何関数の特別な場合になっているからである。隣接関係式は、元々の超幾何関数から異なる

の超幾何関数が次々と得られるため、非常に便利である。例えば、

のような、特殊値の一群を求めることができる。
　超幾何関数の特別な場合として表わされる関数は非常に多く、Jacobi 関数、Gegenbauer 関数、Legendre 陪関数、完全楕円積分などがある。また、(

が特定条件での)二つの線形独立な超幾何関数の比を逆関数にすると、保型関数が生じる。
　超幾何微分方程式の確定特異点のうち１を

と合流させ、１級の不確定特異点にした微分方程式の解は、合流型超幾何関数と呼ばれ、これの特殊形として表わされる関数も非常に多い。
　なお、超幾何関数と直接関係は無いが、超幾何微分方程式の極限として表わされる微分方程式から生じる関数として、Lamé 関数、Mathieu 関数、回転楕円体波動関数などがある。これらは超幾何関数よりも高いクラスの関数であるが、比較的整った諸性質(隣接関係式など)を持っていない。言いかえれば、超幾何関数はそれら「美しい」性質を持つ関数としては、最も高度なものの例である。
　超幾何関数は、1748年に L. Euler によって得られた積分表示式

で表わされ、逆にこれをもって超幾何関数の定義とする場合もある。この積分は

を変数と見た場合、明らかにベータ関数の拡張にもなっている。超幾何関数は、この他にも様々な積分表示式で表わせることが知られている。
　超幾何関数は、単独で物理学等に用いられることは少なく、むしろ応用上重要な種々の特殊関数どうしの関係、特殊関数の一般論的な側面が問題となる場合に用いられることが多い。
　歴史的には、18世紀に Euler が初めて超幾何微分方程式とその解の研究を手掛けた。19世紀初頭になると、J. C. F. Gauss や N. H. Abel 等によって級数の収束性についての厳密な理論が展開され、特に｢Gauss の収束判定法｣は超幾何級数のために開発された。19世紀中葉では複素解析学が整備され、G. F. B. Riemann などの著名な数学者によって、複素領域で定義された線形常微分方程式の解となる関数の大域的理論や多価関数としての構造が深く研究された。ここでも超幾何微分方程式および超幾何関数が理論の具体的な雛形であり、発展の原動力となっている。その後、超幾何関数自体も一般化や多変数化など様々な拡張が考えられ、今なお盛んに研究されている特殊関数の一つになっている。

　実変数の第1種超幾何関数のグラフ。順に、①

。②

。③

。④

。⑤

。⑥

，いずれも、

＝－6～6 (+0.2)。

　複素変数の第1種超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第1種超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第1種超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第1種超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第1種超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第1種超幾何関数

のグラフ。

　実変数の第2種超幾何関数のグラフ。順に、①

。②

。③

。④

。⑤

。⑥

，いずれも、

＝－6～6 (+0.2)。

　複素変数の第2種超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第2種超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第2種超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第2種超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第2種超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第2種超幾何関数

のグラフ。

Riemann のＰ関数

日：RiemannのP関数，リーマンのP関数
英：Riemann P-function，仏：Fonction P de Riemann，独：Riemannsche P-funktion

　２階の線形常微分方程式

を、Riemann の微分方程式という。またその基本解(の代表)

は Riemann のＰ関数と呼ばれ

と表記される。これは、Riemann の微分方程式の確定特異点

における特性指数が

であることを明示した形となっている。すなわち、Riemann の微分方程式の２基本解

を、分岐点

の近傍において

のように振る舞う関数に選定することができる。なお、確定特異点が無限遠点になる場合は、

と解釈する。
　Riemann のＰ関数は、超幾何関数を用いて

と表わされる。逆に、超幾何関数は Riemann のＰ関数の特別な場合

である。Riemann の微分方程式の形によって、Riemann のＰ関数は、パラメータの列を入れ替えても、また

を入れ替えても不変であることが分かる。
　Riemann のＰ関数は、変数に一次分数変換を施した

なる関係を満たす。この他にも、

を満たす。より一般的に、

の３個の関数は、

の多項式を係数とする線形関係式で結ばれており、これは Riemann の定理と呼ばれる。
　Riemann のＰ関数は、超幾何関数の多価性を解明するために、G. F. B. Riemann が導入した※1。３個の確定特異点、およびこれらのいくつかを合流して得られる不確定特異点を持つ線形常微分方程式の解は、すべて Riemann のＰ関数によって表わすことができる。
　なお、Riemann のＰ関数ではないが、確定特異点が３個よりも多い場合の解を、Riemann のＰ関数の記法に倣って記述することがある。例えば４個ならば、