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Mittag - Leffler 関数

Mittag - Leffler 関数

日：Mittag-Leffler関数，ミッタク＝レフラー関数
英：Mittag-Leffler function，仏：Fonction de Mittag-Leffler，独：Mittag-Leffler-funktion

　Mittag - Leffler 関数は、無限級数
  • Mittag-Leffler関数の定義
で表わされる。ここに、ガンマ関数が∞となるとき、係数は０であると解釈する。Mittag - Leffler 関数は超越整関数のため無限遠点以外には特異点を持たない。
　特に、一般超幾何関数によって表わされる次の場合は
  • 一般超幾何関数で表されたMittag-Leffler関数
のように略記された関数記号も用いられる。したがって、このときは一般超幾何関数の特別な場合、例えば誤差関数などを含む。また、α,βがともに整数である場合、Mittag - Leffler 関数は初等関数で表わされる。すなわち Mittag - Leffler 関数は、指数関数に対するある種の一般化に相当する。しかし、冪級数の係数にあるガンマ関数が任意値αの等差数列上を動くため、αが整数でない Mittag - Leffler 関数は、特別な場合を除いて、相当する関数が超幾何関数系内には存在しない※1。
　Mittag - Leffler 関数は、α,βに対して関数等式
  • Mittag-Leffler関数の関数等式
を満たす。
　Mittag - Leffler 関数は、1903年に初めてこれを導入した M. G. Mittag - Leffler に因んで、その名が冠せられている。
　Mittag - Leffler 関数は、非整数階微積分学(fractional calculus)などで応用がある。

【註記】
※1 ： E. M. Wright は、このようなガンマ関数の係数を持った、ある種の一般化された超幾何級数(関数)を1935年に考察している。後述の Wright 関数もその際に定義されたものである。

Mittag-Leffler関数の記号

　実変数の Mittag - Leffler 関数のグラフ。順に、①Mittag-Leffler関数の記号, ②Mittag-Leffler関数の記号。いずれもβ＝－3～3 (+0.1)。

　実変数の Mittag - Leffler 関数のグラフ。順に、①Mittag-Leffler関数の記号, ②Mittag-Leffler関数の記号。いずれもα＝0.1～5 (+0.1)。

　複素変数の Mittag - Leffler 関数Mittag-Leffler関数の記号のグラフ。
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）

　複素変数の Mittag - Leffler 関数Mittag-Leffler関数の記号のグラフ。
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）

　複素変数の Mittag - Leffler 関数Mittag-Leffler関数の記号のグラフ。
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）

　複素変数の Mittag - Leffler 関数Mittag-Leffler関数の記号のグラフ。
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）

　複素変数の Mittag - Leffler 関数Mittag-Leffler関数の記号のグラフ。
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler関数のグラフ（複素変数）

Mittag - Leffler 三角関数

　Mittag - Leffler 関数を指数関数に相当するものと考えて、「Mittag - Leffler 三角関数」
Mittag-Leffler三角関数の定義
を独自に定義する。すなわち、無限級数によって
  • Mittag-Leffler三角関数の無限級数
と表わされる。

Mittag-Leffler正弦関数の記号

　実変数の Mittag - Leffler 正弦関数のグラフ。順に、①Mittag-Leffler正弦関数の記号, ②Mittag-Leffler正弦関数の記号。いずれもβ＝－3～3 (+0.1)。

　実変数の Mittag - Leffler 正弦関数のグラフ。順に、①Mittag-Leffler正弦関数の記号, ②Mittag-Leffler正弦関数の記号。いずれもα＝0.1～5 (+0.1)。

　複素変数の Mittag - Leffler 正弦関数Mittag-Leffler正弦関数の記号のグラフ。
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）

　複素変数の Mittag - Leffler 正弦関数Mittag-Leffler正弦関数の記号のグラフ。
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）

　複素変数の Mittag - Leffler 正弦関数Mittag-Leffler正弦関数の記号のグラフ。
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）

　複素変数の Mittag - Leffler 正弦関数Mittag-Leffler正弦関数の記号のグラフ。
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）

　複素変数の Mittag - Leffler 正弦関数Mittag-Leffler正弦関数の記号のグラフ。
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler正弦関数のグラフ（複素変数）

Mittag-Leffler余弦関数の記号

　実変数の Mittag - Leffler 余弦関数のグラフ。順に、①Mittag-Leffler余弦関数の記号, ②Mittag-Leffler余弦関数の記号。いずれもβ＝－3～3 (+0.1)。

　実変数の Mittag - Leffler 余弦関数のグラフ。順に、①Mittag-Leffler余弦関数の記号, ②Mittag-Leffler余弦関数の記号。いずれもα＝0.1～5 (+0.1)。

　複素変数の Mittag - Leffler 余弦関数Mittag-Leffler余弦関数の記号のグラフ。
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）

　複素変数の Mittag - Leffler 余弦関数Mittag-Leffler余弦関数の記号のグラフ。
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）

　複素変数の Mittag - Leffler 余弦関数Mittag-Leffler余弦関数の記号のグラフ。
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）

　複素変数の Mittag - Leffler 余弦関数Mittag-Leffler余弦関数の記号のグラフ。
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）

　複素変数の Mittag - Leffler 余弦関数Mittag-Leffler余弦関数の記号のグラフ。
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）
  • Mittag-Leffler余弦関数のグラフ（複素変数）

Wright 関数

　Wright 関数は、Mittag - Leffler 関数を第1種変形 Bessel 関数化したものに相当し、無限級数
  • Wright関数の定義
で表わされる。このため、一般化 Bessel 関数と呼ばれることもある。ここに、ガンマ関数が∞となるとき係数は０であると解釈する。Wright 関数は超越整関数のため無限遠点以外には特異点を持たない。
　Wright 関数は、1935年に初めてこれを導入した E. M. Wright に因んで、その名が冠せられている。
　Wright 関数も、非整数階微積分学などで応用がある。

Wright関数の記号

　実変数の Wright 関数のグラフ。順に、①Wright関数の記号, ②Wright関数の記号。いずれもβ＝－3～3 (+0.1)。

　実変数の Wright 関数のグラフ。順に、①Wright関数の記号, ②Wright関数の記号。いずれもα＝0.1～5 (+0.1)。

　複素変数の Wright 関数Wright関数の記号のグラフ。
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）

　複素変数の Wright 関数Wright関数の記号のグラフ。
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）

　複素変数の Wright 関数Wright関数の記号のグラフ。
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）

　複素変数の Wright 関数Wright関数の記号のグラフ。
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）

　複素変数の Wright 関数Wright関数の記号のグラフ。
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）
  • Wright関数のグラフ（複素変数）

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