特殊関数 グラフィックスライブラリー
Graphics Library of Special functions

Questions

多項間算術幾何平均

　Gauss の算術幾何平均()を拡張した、項間平均の極限

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を(勝手に)多項間算術幾何平均と呼んでいる。Gauss の算術幾何平均と同様に、何らかの積分値と一致するような気がするが、これが全く分からない。
　Gauss の場合から推測すると、項間のときは、変数のうちの一つは「１」としても一般性を失わないので、本質的には変数の楕円モジュラー関数(Riemann テータ関数の特殊値)が満たす関数等式によって、表現できるのではないかと考えている。例えば、

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のような形の？…。
　つまり、項間算術幾何平均の値は、種数の超楕円積分や Abel 積分の値と関連があるのではないかと推測している。
　しかし、現在も不明である。

双子素数階段関数の近似

　実数以下の素数の個数を表わす素数階段関数は、グラフにすると次のようになる。

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　同様に、実数以下の素数の組(双子素数)の個数を表わす双子素数階段関数は、グラフにすると次のようになる。

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　また、この双子素数の分布に関連して、次の関数を考える。

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ここに、は Hardy - Littlewood 定数とする。
　実際の計算においては、これを Gram 級数化した、

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を用いる。これは、通常の素数計数関数から Gram 級数を導く方法(積分対数関数の冪級数展開式を代入して総和の順序を交換する)と同じ方法で得られる。
　このとき、
となるであろうか？。
　双子素数階段関数の増加状況 (黒) を、次の関数と比較する。

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　因みに、を複素変数のグラフで見ると次のようになる。

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　は、複素関数としての素性がより広範囲で分かる。

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　（ 双子素数階段関数および Gram 級数のコードを、｢Mathematica Code｣ の頁に掲載しています。）

関数の定義における謎

　現在定着している関数の定義について、当サイト管理人が長らく抱いている疑問点の数々。

第2種Legendre関数

　個人的には、第2種 Legendre 陪関数は倍したほうが良いと思っている。その理由は、倍すると第1種 Legendre 陪関数と同じ包絡線を持つようになるからである。グラフで確認すれば一目瞭然である。

しかし、実際に定着している定義はこれではない (理由は不明)。
　因みに、第1種と第2種の Bessel 関数は、同じ包絡線を持つ。

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　第2種の Hermite 関数、Laguerre 関数、Gegenbauer 関数、および Jacobi 関数の定義は(あまり応用されないこともあって)一定していない。実は、当サイトで採用しているこれらの第2種関数は、すべて第1種関数と同じ包絡線を持つような定義となっている (文献等を調べても、恐らく同じ定義は載っていないと思われる※)。

ガンマ関数

　ガンマ関数は階乗の連続化であるが、正確には１ずれている。Euler の業績を分析・整理していた A. M. Legendre が、Euler の定義した階乗関数を「ガンマ関数」と呼ぶことにした際、１ずれた形で定義したためである。その理由はよく分からないが、Legendre はガンマ関数の積分表示形(第2種 Euler 積分)を考察したときに、広義積分のの区間をとに分けるよりも、とに分けるほうを好んだためではないかと推測している。
　なお、H. Jeffreys など一部の数学者は、階乗と一致した
の使用を提唱したらしい※。このほうが確かに美しく、合理的でもある (好みの問題かもしれないが…)。
　しかし、余程のことがない限り、変更されることは無いだろう。

｢連分数＋級数｣ 型の表示式

(2019年8月29日 掲載記事)
　次は、S. Ramanujan によって得られた、大変美しい式である。

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　しかし、連分数と級数に現れる数字のパターンから、何となく合流型超幾何関数系の公式との関連が窺える。実際、これは誤差関数を用いて導くことができる。
　NISTの公式：7.6.2の冪級数展開式から、

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　また、NISTの公式：7.9.1の連分数展開式をやや変形すると、

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となる。因みに Ramanujan は、これとほとんど同じ連分数展開式を (自力で) 求めている。
　よって、ゆえ、

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が得られる (このような種明かしは、むしろ ｢Ramanujan 的な神秘性が損なわれて興ざめ｣ かもしれない…)。
　当サイト管理人は、この方法を不完全ガンマ関数にも適用した。第1種不完全ガンマ関数の冪級数展開式から、

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　また、第2種不完全ガンマ関数の連分数展開式から、

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　よって、ゆえ、無限遠点を除く全体で収束するガンマ関数の表示式

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が得られた。導出方法自体に注目すべき所は何もないが、この表示式は結構美しい (？)。
　次のグラフは、この表示式 (両辺をで割る) の連分数を段、級数を項まで計算した近似関数と、ガンマ関数との差の絶対値を視覚化したものである。

• 

　ガンマ関数の頁に掲載した漸近級数と組み合わせて (複素平面上で適用範囲を区分して) コードを記述すれば、割合効率的な実装になるのではなかろうか。
　さて、ほとんど終わりに近付いたが、ここからが本題の "妄想" である。
　他の特殊値や関数についても、｢連分数＋級数｣ または ｢連分数＋連分数｣ の表示式があるだろうか？。しかも、それらが数値計算法上も有用で、関数等の性質について洞察を与え、かつ、規則性がある表示式であれば更に都合が良い。例えば、
に対して、そのような表示式が得られないだろうか？。(②のうち Riemann ゼータ関数の表示式を、当サイト管理人は Debye 関数 (不完全ゼータ関数) から求めようとしたが、現在は行き詰まっている。)

【工事中】

　工事中：ここに新規項目の追加を計画しています。
　Under construction：I'm planning to add a new contents here.