特殊関数 グラフィックスライブラリー
Graphics Library of Special functions

Hermite 関数

Hermite 関数

日：Hermite関数，エルミート関数
英：Hermite function，仏：Fonction d'Hermite，独：Hermitesche funktion

　二階の線形常微分方程式

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は Hermite の微分方程式と呼ばれ、を2級の不確定特異点とし、その他の特異点を持たない。その解の基本系を成す二つの関数, を、第1種および第2種 Hermite 関数という。具体的には、合流型超幾何関数で表わされた、

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を採用する※1。両者は常にの超越整関数で、であるを除いて必ず複素零点を持つ。ただし、はが負の整数ならば関数自体が存在しない。
　Hermite の微分方程式は、二つの線形独立な解としてとが選べる。これに従えば、第2種 Hermite 関数は

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で表わされる。
　第1種 Hermite 関数は、複素線積分の表示式

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によっても定義できる。ここに、被積分関数は平面上の直線区間に分枝切断線を持ち、積分経路の形と進路は上図のとおりとする。
　Hermite 関数は、次数に関する整数差の線形漸化式 (隣接関係式)、および導関数の公式

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を満たす。ここには、に関して1を周期とする任意の周期関数である。また、第1種と第2種は関係式

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で結ばれる。
　である第1種 Hermite 関数は、多項式

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に還元される。しかし、これは応用面での出現頻度が高いため重要とされ、Hermite 多項式と呼ばれる。Hermite 多項式の上記以外の表現方法としては、母関数表示式および ｢Rodrigues の公式｣
が有名である。尤も、およびを初期関数として漸化式を用いても容易に得られる※2。Hermite 多項式は、が偶数 (奇数) ならば偶関数 (奇関数) となる。直交多項式としてのの性質は、次節でまとめて触れる。
　歴史的に、Hermite 関数の萌芽は P. S. Laplace (1810年) の研究に見出されるが、明確に Hermite 関数自体を取り上げて、その詳細な結果を導いた最初の研究は P. L. Chebyshev (1859年) による。少し遅れて独立に C. Hermite (1864年) も同様の研究を行い、後者の方が広く知られたため、以後その名を冠して呼ばれるようになった。
　Hermite 関数 (特に Hermite 多項式) の応用事例として最も有名なものは、恐らく量子力学的調和振動子の波動関数であるが、この他にも確率論および統計学、(正規分布に従う複素乱数の) ランダム行列理論、数値積分計算法 (Gauss 求積法)、可積分系 (戸田方程式の解※3、Painlevé 方程式の古典関数解) 等が知られている。それらの多くが、Rodrigues の公式や逐次微分を介した誤差関数との関係式、線形漸化式、直交性に由来する。Hermite 関数は、後述の放物柱関数で記述することができるので、その応用事例とも被っている。

　を実変数とする、第1種 Hermite 関数のグラフ。①整数次 (Hermite 多項式), ②実数次。

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　を実2変数とする、第1種 Hermite 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第1種 Hermite 関数のグラフ。①整数次 (Hermite 多項式), ②実数次。等よりも関数値の増加が緩やかである。

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　を実2変数とする、第1種 Hermite 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Hermite 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Hermite 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Hermite 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Hermite 関数のグラフ。

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　アニメーション（12.0MB）
　を複素変数とする、第1種 Hermite 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第1種 Hermite 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Hermite 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Hermite 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種 Hermite 関数のグラフ。①整数次, ②実数次。

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　を実2変数とする、第2種 Hermite 関数のグラフ。では関数が定義されない。
　2番目は、の範囲を拡大した場合。

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　を実変数とする、第2種 Hermite 関数のグラフ。①整数次, ②実数次。等よりも関数値の増加が緩やかである。

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　を実2変数とする、第2種 Hermite 関数のグラフ。では関数が定義されない。
　2番目は、の範囲を拡大した場合。

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　を複素変数とする、第2種 Hermite 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Hermite 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Hermite 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Hermite 関数のグラフ。

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　アニメーション（12.4MB）
　を複素変数とする、第2種 Hermite 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種 Hermite 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Hermite 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Hermite 関数のグラフ。

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　余弦･正弦関数に類似した、との関係。このとき、両者の包絡線はとなる。

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Hermite 関数（正規化）

【関数の直交性とは？】
　を実変数の実関数の列、を (に依存せず区間上で負にならない) ｢重み関数 (weight function)｣ とするとき、関数との内積を

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で定義する※1。もし、常に
となるならば、は ｢直交関数系｣ を成すと言い、は ｢直交性を持つ｣ または ｢直交関数である｣ と言う。ここに、は直交関数の ｢ノルム｣ と呼ばれる。
　新たに、定数倍されたを導入すれば、
となる。この調整を直交関数の ｢正規化｣ と言い、は ｢正規直交関数系｣ を成すと言う。
　区間で積分可能な関数は、級数
に展開される。特に、

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となった場合が Fourier 級数であるが、むしろ歴史的には、Fourier 級数を雛形として直交関数系の理論が発展した。また、最小二乗法から生じる高次連立方程式を解く過程で、元々は線形代数に現れる ｢内積｣ や ｢直交｣ の概念が (ベクトルの成分を関数、列全体に渡る和を積分に) 拡張され、ここでも直交関数系の理論が展開された※2。
　さて、(重み関数を除いた)が、多項式

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になる直交関数系は、Fourier 級数の場合に並んで重要とされ、このときは ｢直交多項式｣ と呼ばれる。直交多項式の零点は、すべて単根であり直交区間内に存在する。また、との零点は必ず交互に並び、その位置は重複しない。
　Legendre 多項式は重み関数を伴わない (となる) 直交多項式の例であるが、この頁以降で触れる Hermite 多項式, Laguerre 多項式, Chebyshev 多項式, Gegenbauer 多項式, および Jacobi 多項式は、いずれも重み関数を伴う直交多項式である。これらは、超幾何関数や合流型超幾何関数の特別な場合として19世紀末までに出揃ったため ｢古典的直交多項式｣ と総称され、他にも多数ある直交多項式とは区別される。
　古典的直交多項式を特別視する理由は、共通する二三の重要な性質を持つ事にもある。例えば、

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の形に一括された線形漸化式を満たす。また、一般的な表記の Rodrigues の公式

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で表わせる。さらに、は二階の線形常微分方程式

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の解となる※3。一方、古典的でない直交多項式は、これらに相当する性質を持たないか、表示式の形が異なる。

【Hermite多項式の直交性と正規化】
　Hermite 多項式は、を重み関数とし、直交区間をとする直交多項式であり、具体的に

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なる直交性を持っている。
　そこで、当サイトでは独自に関数

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を導入する※4。よって、は正規直交関数系を成すとともに、重み関数が現れない直交性

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を満たす。関数は後述の放物柱関数と、明らかに

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の違いしかないが、量子力学的調和振動子の問題で本質的な微分方程式
の (第1種) 解となる。

　を実変数とする、正規化 Hermite 関数のグラフ。①整数次, ②実数次。

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　を実2変数とする、正規化 Hermite 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、正規化 Hermite 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、正規化 Hermite 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、正規化 Hermite 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、正規化 Hermite 関数のグラフ。

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　を実変数とする、正規化 Hermite 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、正規化 Hermite 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、正規化 Hermite 関数のグラフ。

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放物柱関数

日：放物柱関数
英：Parabolic cylinder function，仏：Fonction cylindre parabolique，独：Parabolischezylinderfunktion

　やや一般的な形の二階線形常微分方程式

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は、より簡単な形の微分方程式

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のいずれかに帰着できる。ただし、①は②に変換を施すと直ちに得られ、③は②に変換およびを施すと得られる。これらの微分方程式は、後述のとおり Helmholtz の方程式または Laplace の方程式を放物柱座標で変数分離すると現れるため、①～③の解はいずれも ｢放物柱関数｣ と呼ばれている。放物柱関数はすべての超越整関数である。
　①に対する放物柱関数は、Hermite 関数を用いて
と定義され、H. F. Weber (1869年) の研究に因み、｢Weber 関数｣ または ｢Weber - Hermite 関数｣ とも呼ばれる。ただし、の記号は 1902年に E. T. Whittaker が導入した。①に対して解の基本系を成し、いかなるであっても互いに線形独立となる二つの関数として、, または, の組が選べる※1。
　一方、②に対して解の基本系を成し、いかなるであっても互いに線形独立となる二つの関数

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が定義されており、第1種および第2種の放物柱関数と呼ばれる。両者は合流型超幾何関数を用いて、

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とも表わせる。したがって, の性質は、多くが合流型超幾何関数から導かれる。そのうち、積分表示式と線形漸化式は特に重要である。前者は

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を始め、多数の表示式が知られており、特殊関数の漸近展開等に応用される。また、後者は具体的に

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となり、導関数も得られる。これらを援用すれば、放物柱関数はが半奇数のときに2次変数の指数関数, 誤差関数, Hermite 多項式, およびそれらの組合せに還元できる事が分かる。同様に

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となるので、放物柱関数はが整数のときに第2種変形 Bessel 関数の組合せに還元できる事も分かる。
　ところで、③に対して解の基本系を成し、いかなるであっても互いに線形独立となる二つの放物柱関数

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も定義されている (ただしは解析接続が必要)。この放物柱関数はが実変数ならば常に実数値をとり、しかも漸近的に

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のごとく振る舞う点で著しい。当サイトでは、さらに (常に偶関数･奇関数となり) 余弦･正弦関数に相当する、互いに線形独立な二つの放物柱関数 (第1種, 第2種)

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並びに、純虚指数関数に相当する、互いに線形独立な二つの放物柱関数 (第3種, 第4種)

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を独自に導入する。次のとおり、これらの関数は Helmholtz 方程式等の解を記述する際に大変都合が良い。
　放物柱座標を用いて、Helmholtz 方程式の解をの形に変数分離すれば、各座標方向は

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となり※2、放物柱関数が現れる。Laplace 方程式の場合は、単に Helmholtz 方程式でとすれば得られるが、解を求める段階では、なる変形および変換を経て、

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となる※3。これらの方程式の解は、放物線または放物柱を境界とする領域内における、多数の物理問題に応用される。例えば、物体の振動、電磁波の散乱、極低温状態にある素粒子の分布等がある。
　また、Hermite 関数の応用事例として知られる直交関数系の固有値問題、量子力学における調和振動子等を、若干異なったアプローチで論じる場合にも放物柱関数は使用される。
　超幾何関数および Whittaker 関数の助変数、並びに Legendre 関数等の次数が大きい場合の漸近展開式では、それらの関数の大域的振る舞いを決める主要因子として、放物柱関数が現れる※4。

　を実変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を実変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。

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　を実変数とする、放物柱関数のグラフ。

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　を実2変数とする、放物柱関数のグラフ。

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　を実変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。

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　とは、の漸近形が揃うような定数倍になっている。(グラフはの場合。)

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　を複素変数とする、放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、放物柱関数のグラフ。

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　アニメーション（14.8MB）
　を複素変数とする、放物柱関数のグラフ。

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　を実変数とする、放物柱関数のグラフ。

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　を実変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、放物柱関数のグラフ。この場合は複素解析的な関数ではない。また、正の実軸上に分枝切断線があるように見えるが、値が急激に変化しているだけで実は分枝切断線ではない。

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　を複素変数とする、放物柱関数のグラフ。この場合も複素解析的な関数ではない。

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　を実変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種放物柱関数のグラフは、のそれと似ているので省略する。

　を実変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。この場合は複素解析的な関数ではない。虚軸上の区間に分枝切断線がある。

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　を複素変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。この場合も複素解析的な関数ではない。虚軸上の区間に分枝切断線がある。

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　アニメーション（9.28MB）
　を複素変数とする、第1種放物柱関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種放物柱関数のグラフは、のそれと概形が似ているので省略する。同様に、第2種放物柱関数のグラフも、と似ているので省略する。

　を実変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。この場合は複素解析的な関数ではない。虚軸上の区間に分枝切断線がある。

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　を複素変数とする、第2種放物柱関数のグラフ。この場合も複素解析的な関数ではない。虚軸上の区間に分枝切断線がある。

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　を実変数とする第3種放物柱関数は、一般に実数値を取らないので省略する。

　を複素変数とする第3種放物柱関数は、グラフの概形がおよびに似ているので、すべて省略する。(このうち、は比較的異なるが、の方を掲載するので省略する。)

　を実変数とする第3種放物柱関数は、一般に実数値を取らないので省略する。

　を複素変数とする第3種放物柱関数は、グラフの概形がおよびに似ているので、すべて省略する。

　を実変数とする第4種放物柱関数は、一般に実数値を取らないので省略する。

　を複素変数とする、第4種放物柱関数のグラフ。

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　を実変数とする第4種放物柱関数は、一般に実数値を取らないので省略する。

　を複素変数とする、第4種放物柱関数のグラフ。この場合は複素解析的な関数ではない。虚軸上の区間に分枝切断線がある。

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　を複素変数とする、第4種放物柱関数のグラフ。この場合も複素解析的な関数ではない。虚軸上の区間に分枝切断線がある。一方、負の実軸上にも分枝切断線があるように見えるが、値が急激に変化しているだけで実は分枝切断線ではない。

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