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合流型超幾何関数

合流型超幾何関数

日：合流型超幾何関数
英：Confluent hypergeometric function，仏：Fonction hypergéométrique confluente，
独：Konfluente hypergeometrische funktion

　変数についての冪級数 (これは ｢合流型超幾何級数｣ と呼ばれる)

• 

で定義される関数を、｢第1種合流型超幾何関数｣ という。さらに、ガンマ関数因子に由来する制限を取り除いた ｢正規化された第1種合流型超幾何関数｣

• 

は、全てので定義されるため取り扱いやすい。
　2階の線形常微分方程式

• 

は、を確定特異点、を1級の不確定特異点とする。これを ｢合流型超幾何微分方程式｣ という。その二つの基本解のうち、は常にでの多価性を持たない超越整関数であり、かつとなる特別な解である。もう一つの基本解はになるが、種々の理由から、現在では ｢第2種合流型超幾何関数｣ を両者の線形結合式

• 

で定義するのが標準となっている。この関数はでも存在するが、その場合は、上記の式に対して l'Hôpital の定理を適用して得られた別の式で定義する。はで対数分岐点を持つ無限多価関数であり、実軸上の区間に分枝切断線が置かれる。総合すれば、合流型超幾何微分方程式の一般解はとなる※1。
　当サイトでは、合流型超幾何微分方程式を満たすがとは異なる形の第2種解

• 

を、併せて定義する。この関数はでも存在するが、その場合は上記の式に対して l'Hôpital の定理を適用して得られた別の式で定義する。もで対数分岐点を持つ無限多価関数であり、実軸上の区間に分枝切断線が置かれる。
　第2種合流型超幾何関数の分枝切断線を越える解析接続は、

• 

によって成される。この式を用いておよびを解析接続した関数は、常に超越整関数となる。
　"合流型" とは、超幾何微分方程式の3個の確定特異点のうち、がに合流して不確定特異点に変わることを意味する。これは、超幾何関数に対する極限

• 

によって、合流型超幾何関数が得られることと同じである※2。
　合流型超幾何関数のを線形変換する公式は数多く存在する。そのうち、｢Kummer の変換式｣ と呼ばれる

• 

と、線形漸化式 (超幾何関数系では、これを ｢隣接関係式｣ とも言う。)

• 

が有名である。ここには、変数について1を周期とする任意の周期関数である。が満たす線形漸化式は、上記と形が異なり、

• 

となる。
　合流型超幾何関数のに関する導関数は、

• 

となる。これを先の線形漸化式に適用すれば、種々の微分漸化式が得られる。
　さらに、合流型超幾何関数の導関数については、第1種と第2種の間でロンスキアン型の関係式

• 

を満たす。
　合流型超幾何関数の数値計算では、漸近級数展開式

• 

が重要となる。特には、での振る舞いが簡単になる特別な解であることが分かる※3。
　合流型超幾何関数は多くの積分表示式を持っているが、そのうち

• 

は、最も基本的な式として知られる。また、Mellin - Barnes 型の積分表示式

• 

は留数定理に基づいており、同様の考え方が Meijer のG関数に拡張される。
　合流型超幾何関数の Laplace 変換のうち、

• 

は、結果がより高い (超幾何関数の) クラスに上がる例である。
　さらに特筆すべき合流型超幾何関数の性質は、連分数展開式

• 

を持つことである。
　多くの特殊関数は、合流型超幾何関数によって表わすことができる。具体的な表示式は、既に不完全ガンマ関数、積分指数関数、誤差関数、Bessel 関数、Hermite 関数、放物柱関数、Laguerre 陪関数、および Coulomb 波動関数の頁に掲載した※4。さらに、この頁の後半では Whittaker 関数、二三の関連関数についても触れる。
　また、合流型超幾何関数はこれらの還元された特殊関数どうしの関係も明らかにする。例えば、整数次の Hermite 関数と (パラメータがの) Laguerre 陪関数の関係式は、合流型超幾何関数を介すると容易に得られる。
　合流型超幾何関数が初等関数に還元される事例として、

• 

が知られている。また、はの (Laguerre 陪) 多項式、の有理関数になる。
　合流型超幾何関数は、上記で列挙した特殊関数の総括・一般論で扱われる事が多く、これらの特殊関数の性質は合流型超幾何関数のそれに由来する。数式処理システムでは、それらの関係式を網羅的に実装して、できるだけ多くの積分計算、級数総和の結果が還元できるよう、年々改良が施されている。応用事例も多くがこれらの特殊関数と共通するが、統計学、極限ブラックホールへの摂動、断層撮影法など、合流型超幾何関数を直接用いる研究も増えつつある。また、現在では合流型超幾何関数の様々な類似も考案されている。例えば q-類似、有限体上での定義、行列変数などがある。
　第1種合流型超幾何関数は、1836年に E. Kummer が初めて導入した※5。ただし、関数記号はを用いた (現在でもを採用している例は多い)。関数記号は後に現れた一般超幾何関数の記法に則ったものである。NIST および Abramowitz & Stegun 等では、第1種の関数記号にを採用している。
　第2種合流型超幾何関数は、1927年に F. Tricomi が初めて導入した※5。ただし、関数記号はを用いた。

　を実変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。
　①, ②, ③, ④。

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　を実2変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　アニメーション（18.2MB）
　を複素変数とする、第1種合流型超幾何関数, のグラフ。ただし複素数は、2番目の図の経路に沿って動く。

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　を実変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。
　①, ②, ③, ④。

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　を実2変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。
　①, ②, ③, ④。

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　を複素変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実変数とする、正規化された第1種合流型超幾何関数のグラフ。①, ②。

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　を実2変数とする、正規化された第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、正規化された第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、正規化された第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、正規化された第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実変数とする、正規化された第1種合流型超幾何関数のグラフ。
　①, ②, ③, ④。

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　を複素変数とする、正規化された第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、正規化された第1種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。
　①, ②, ③, ④。

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　を実2変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　アニメーション（18.2MB）
　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数, のグラフ。ただし複素数は、2番目の図の経路に沿って動く。

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　を実変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。①, ②, ③。

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　を実2変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。①, ②, ③。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。
　①, ②, ③, ④。

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　を実2変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。①, ②, ③。

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　を実2変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。①, ②, ③。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種合流型超幾何関数のグラフ。

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Whittaker 関数

日：Whittaker関数，ホイッタカー関数
英：Whittaker function，仏：Fonction de Whittaker，独：Whittakersche funktion

　｢Whittaker の微分方程式｣ と呼ばれる、2階の線形常微分方程式

• 

も、を確定特異点、を1級の不確定特異点とし、本質的には合流型超幾何微分方程式と同じクラスに属する。その解の基本系を成す二つの関数は、合流型超幾何関数で表わせて、

• 

となる。これを順に、第1種および第2種 Whittaker 関数という。因みに Whittaker の微分方程式は、ならばとを基本解の組としても良いが、ならば線形独立にならない。したがって、両者を用いたの表示式

• 

は、ならば l'Hôpital の定理を適用する。なお、第2種 Whittaker 関数は常に

• 

を満たす。このように Whittaker 関数はについて対称性を持ち、さらに Whittaker の微分方程式は自己随伴形であるため直交関数系の理論が適用しやすい※1。それゆえ、応用事例によっては合流型超幾何関数よりも Whittaker 関数の方が好まれる。
　1903年に E. T. Whittaker が、超幾何関数系の合流型関数から導かれる特殊関数の全貌を調べた論文で、およびを導入したので、その名が冠せられている※2。論文中の特筆すべき公式として、直交性

• 

と、この帰結としての任意実関数の固有関数展開式 (Whittaker はの場合のみを求めた)

• 

がある。ただし、現在ではほとんどの場合 Laguerre 陪関数で記述されている※3。
　当サイトでは、独自の第2種 Whittaker 関数

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を併せて定義する。

　を実変数とする、第1種 Whittaker 関数のグラフ。①, ②, ③, ④。

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　を実2変数とする、第1種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第1種 Whittaker 関数のグラフ。①, ②, ③。

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　を実2変数とする、第1種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第1種 Whittaker 関数のグラフ。①, ②, ③。

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　を複素変数とする、第1種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。①, ②, ③, ④。

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　を実2変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。①, ②。

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　を実2変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。①, ②, ③。

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　を複素変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。①, ②, ③, ④。

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　を実2変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。①, ②, ③。

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　を実2変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。①, ②, ③。

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　を複素変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Whittaker 関数のグラフ。

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合流型超幾何関数に関連する関数

　歴史的に見ると、合流型超幾何関数はそれ自体よりも、研究目的に合わせて変形を施した関数の方が好まれる傾向にあり、それゆえ派生した関数の種類は多い。そのうちの幾つかは現在でも命脈を保っており、前述の Whittaker 関数や Coulomb 波動関数が代表的な例であるが、ここでは更に Toronto 関数, Cunningham 関数 および Poisson - Charlier 関数を取りあげる。
　ただし、現在の書籍等が Toronto 関数 および Cunningham 関数に言及する事は少なく、また、Poisson - Charlier 関数は多項式に還元される場合のみが注目されている。したがって当サイトでも、説明文や数式およびグラフの掲示は大幅に削減する。

【Toronto 関数】
　本質的に第1種合流型超幾何関数であって、

• 

なる関数を Toronto 関数という※1。元々は、1929年に A. Wagner が突風における風力と風向の分布および乱流の理論を研究した際に現れたもので、1943年以降 A. H. Heatley がこの関数の数表作成と改良を手掛けた。さらに Toronto 関数は、荷電された楕円体の電位分布に関する研究にも用いられる。
　Toronto 関数は、積分表示式

• 

で定義されることもある。ここに、は第1種変形 Bessel 関数である。

【Poisson - Charlier 関数】
　本質的に第1種合流型超幾何関数であって、

• 

なる関数を Poisson - Charlier 関数という。これはのとき、を変数とする多項式になる。現在では、さらに定数因子を調整した

• 

を、Poisson - Charlier 多項式という※2。ここに、は第1種 Laguerre 陪関数である。この多項式は C. Charlier によって導入され、Poisson 過程に現れるのでその名がある。変数は合流型超幾何関数の第2変数、Laguerre 陪関数の上付きパラメーターに相当する。このような多項式の一群は、古典的直交多項式とは異なる方向に分岐したものと解され ｢Hahn クラス｣ と呼ばれる※3。Poisson - Charlier 多項式は、Hahn クラスに含まれる多項式のうち最も簡単な具体例である。

【Cunningham 関数】
　本質的に第2種合流型超幾何関数であって、

• 

なる関数を Cunningham 関数 (Pearson - Cunningham 関数) という※4。1906年に K. Pearson がランダム移動の分布を研究した際、の場合に相当する関数を導入し、これを多変量化した上記の関数を1908年に E. Cunningham が導入したので、その名がある。

　を実変数とする、Toronto 関数のグラフ。①, ②, ③, ④。

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　を複素変数とする、Toronto 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Toronto 関数のグラフ。

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　を実変数とする、Poisson - Charlier 関数のグラフ。①, ②。

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　を複素変数とする、Poisson - Charlier 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Poisson - Charlier 関数のグラフ。

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　を実変数とする、Poisson - Charlier 関数のグラフ。① (多項式になるの場合), ②。

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　を実変数とする、Poisson - Charlier 関数のグラフ。① (多項式になるの場合), ②。

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　パラメーターがならば、Cunningham 関数は正の実軸上で実数値をとる。ただし、このうちのの場合は恒等的に0になるので描画しない。
　を実変数とする、Cunningham 関数のグラフ。
　①(), ②()。

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　を複素変数とする、Cunningham 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Cunningham 関数のグラフ。

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