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Coulomb 波動関数

Coulomb 波動関数

日：Coulomb波動関数，クーロン波動関数
英：Coulomb wave function，仏：Fonctions d'ondes de Coulomb，独：Coulomb-wellenfunktion

　2階の線形常微分方程式

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は合流型超幾何微分方程式 (または Laguerre の陪微分方程式) の別表現であって、を確定特異点、を1級の不確定特異点とする。これを Coulomb 波動方程式といい、その解の基本系を成す二つの関数は、虚変数の合流型超幾何関数

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で表わせる。およびを、第1種および第2種 Coulomb 波動関数という※1。ここに、の複号はどちらを選択しても関数値は変わらない。また、は Coulomb 正規化因子、は Coulomb 位相シフト、は単に (Coulomb 波動関数の) 位相と呼ばれ、

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で定義される (グラフは末尾の節を参照)。なお、を ｢Sommerfeld parameter｣ と呼ぶことがある。
　一般解の Coulomb 波動関数はを対数分岐点とする無限多価関数で、分枝切断線を実軸上の区間に置く。の近傍において、はのごとく振る舞う。はのごとく振る舞うが対数項も含む。特に、はに限って超越整関数になり、はに関わらず常に超越整関数である。また、Coulomb 波動関数はのときに、漸近近似式

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に近付く。これは、の漸近公式

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において、のみを取ると得られる。(導関数に対する漸近公式は、NISTの33.11を参照。)
　Coulomb 波動関数は、に関して線形漸化式および微分漸化式

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を満たす。ここには、の二変数について1を周期とする任意の周期関数である。また、第1種と第2種の間で関係式

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を満たす。
　Coulomb 波動関数の積分表示式として、

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等が知られている。（これは、後述の Hankel - Coulomb 波動関数を示唆する。）
　のとき、Coulomb 波動関数は球 Bessel 関数

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に還元される。
　冒頭の定義式における合流型超幾何関数の部分は、Whittaker 関数または Laguerre 陪関数で書き換えることもできる。結局のところ、Coulomb 波動関数はこれらの関数と同クラスであるが、実変数で Bessel 関数的に振る舞う解として、後述する応用事例で特別に導入された。その理由もあって、Coulomb 波動関数の式は若干複雑である。
　回転放物体座標を用いて、Helmholtz 方程式の解がの形に変数分離されるとき、各座標方向は

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となり、との方向に Coulomb 波動関数が現れる。ただし、この事実を物理学等へ応用した事例は、球座標や円柱座標の場合に比べるとずっと少ない。
　むしろ、球座標を用いて Schrödinger 方程式を変数分離し、動径方向に現れる解を Coulomb 波動関数で記述した量子力学での事例が、この関数を導入する発端になったのであって、そこから派生した応用事例の方がより重要で数も多い。例えば、原子核の Rutherford 散乱および Coulomb 励起、水素原子内における電子の相対論的運動、Coulomb 斥力が働くポテンシャル障壁の透過性、が複素数になる場合に拡張された原子核共鳴などが挙げられる※2。
　Coulomb 波動関数の発端となった前述の事例について具体的に触れる。Coulomb ポテンシャル (原点からの距離に反比例するポテンシャル) 下にある二つの荷電粒子が同符号の電荷を持つため、互いの間に Coulomb 斥力が働く (Coulomb 散乱状態と呼ばれる) 場合、その Schroedinger 方程式

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を球座標で変数分離すると、解は

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となり、方向の解に第1種 Coulomb 波動関数が現れる (ただしの正規化定数は任意とする)。すなわち、電荷の積が正となるため、虚変数かつ複素次数の Laguerre 陪関数に相当するが現れることになる※3。

　を実変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。
　M. Abramowitz & I. Stegun 編 ｢Handbook of Mathematical Functions｣ の541頁にあるものと同等または同様の図。

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　を実変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。①, ②, ③。

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　を実変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。①, ②。

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　を実変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフは、のときに近付く。

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　を実2変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　アニメーション（8.38MB）
　を複素変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。ただし複素数は、2番目の図の経路に沿って動く。

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　を実変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。①, ②。

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　を実変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を実変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。に限り、曲線はの位置で不連続になる。
　②は、の曲線が不連続になると、それに近いを確認する。

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　を複素変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　アニメーション（12.7MB）
　を複素変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Coulomb 波動関数のグラフを、Wikipedia に掲載されているそれ (2024年3月7日現在) と、ほぼ同じ体裁で描画する。(つまり、それはを複素変数とするグラフではないことに注意する。)

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　を実変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。
　M. Abramowitz & I. Stegun 編 ｢Handbook of Mathematical Functions｣ の541頁にあるものと同等または同様の図。

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　を実変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。①, ②, ③。

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　を実変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。①, ②。

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　を実変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフは、のときに近付く。

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　を実2変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　アニメーション（11.4MB）
　を複素変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。ただし複素数は、2番目の図の経路に沿って動く。

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　を実変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。①, ②。

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　を実変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。に限り、曲線はの位置で不連続になる。
　②は、の曲線が不連続になると、それに近いを確認する。

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　を複素変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

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　正弦･余弦関数に類似したとの関係。このとき、両者の包絡線はとなる。

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　が 0 に近いとき、を実変数とするとのグラフは、負数方向で細かく振動する。しかし、はそれでも振動しない ! 。

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　実2変数のとおよびの関係。

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Hankel - Coulomb 波動関数

　Coulomb 波動方程式の二つの基本解は、原点での振る舞いに着目して選ぶととなるが、無限遠点での振る舞いに着目すると、Hankel 関数に類似した定義

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を選ぶことになる。つまり、一般解をと表記しても良い。およびを、第1種および第2種 Hankel - Coulomb 波動関数という※1。結局のところ、の表示式や性質の多くは上記の定義式から導かれるが、以下ではその幾つかについて具体的に触れる。
　Hankel - Coulomb 波動関数は、虚変数の合流型超幾何関数

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で表わせる。ここに、およびは前節で述べた式と同じである。
　第1種・第2種ともに、Hankel - Coulomb 波動関数はを対数分岐点とする無限多価関数で、分枝切断線を実軸上の区間に置く。また、両者はの近傍において対数項を含む形で振る舞う。
　Hankel - Coulomb 波動関数はのときに、漸近近似式

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に近付く。これも、の漸近公式

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において、のみを取ると得られる。ここに、およびは前節の式と全く同じである。
　Hankel - Coulomb 波動関数は、Coulomb 波動関数と全く同じ形の、に関する線形漸化式および微分漸化式を満たす。また、第1種と第2種の間またはとの間で、関係式

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を満たす。
　前節での示唆によれば、Hankel - Coulomb 波動関数の積分表示式は、

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となることが容易に分かる。
　のとき、Hankel - Coulomb 波動関数は球 Hankel 関数

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に還元される。
　応用または数値計算において、Hankel - Coulomb 波動関数は Coulomb 波動関数とともに現れるが、特に、前節の球座標で変数分離したときの問題における動径方向の解を、は中心に向かう球面波として、は外部に向かう球面波として表わす応用事例がある。

　を複素変数とする、第1種 Hankel - Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Hankel - Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Hankel - Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Hankel - Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Hankel - Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Hankel - Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Hankel - Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Hankel - Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Hankel - Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Hankel - Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Hankel - Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Hankel - Coulomb 波動関数のグラフ。

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　アニメーション（11.2MB）
　を複素変数とする、第2種 Hankel - Coulomb 波動関数のグラフ。ただし複素数は、2番目の図の経路に沿って動く。

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　を複素変数とする、第2種 Hankel - Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Hankel - Coulomb 波動関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Hankel - Coulomb 波動関数のグラフ。

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Coulomb 補助関数

　以下では、既に冒頭で説明した Coulomb 正規化因子、Coulomb 位相シフト、および位相のグラフを参考までに掲載する。ただし、これらは本質的にの対数ガンマ関数、およびの対数関数であるから、掲載数は最小限に留める。

　を実変数とする、Coulomb 正規化因子のグラフ。

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　を実変数とする、Coulomb 正規化因子のグラフ。に限り、曲線はの位置で不連続になる。
　②は、の曲線が不連続になると、それに近いを確認する。

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　を実2変数とする、Coulomb 正規化因子のグラフ。

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　を複素変数とする、Coulomb 正規化因子のグラフ。

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　を複素変数とする、Coulomb 正規化因子のグラフ。

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　を実変数とする、Coulomb 位相シフトのグラフ。

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　を実2変数とする、Coulomb 位相シフトのグラフ。

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　を複素変数とする、Coulomb 位相シフトのグラフ。

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　を複素変数とする、Coulomb 位相シフトのグラフ。

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　Coulomb 波動関数の位相は、について初等関数 (一次関数＋対数関数) であり、についても "一次関数＋" の形になっている。よって、を実変数とするのグラフのみを掲載する。
　を実変数とする、Coulomb 波動関数の位相のグラフ。①, ②。

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