特殊関数 グラフィックスライブラリー
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超幾何関数

超幾何関数

日：超幾何関数
英：Hypergeometric function，仏：Fonction hypergéométrique，独：Hypergeometrische funktion

　変数についての冪級数 (これは ｢超幾何級数｣ と呼ばれる※1)

• 

で定義され、その収束範囲を超えて解析接続された関数を ｢第1種超幾何関数｣ という。明らかにはを入れ替えても不変である。ある項以降の係数が全て0となって多項式に還元される場合を除き、超幾何級数のでの収束はの値によって異なり、

• 

となる。
　第1種超幾何関数における制限はガンマ関数因子に由来するが、この影響を取り除いた ｢正規化された第1種超幾何関数｣

• 

は、全てので定義されるため取り扱いやすい。
　2階の線形常微分方程式

• 

を ｢超幾何微分方程式｣ といい、を確定特異点とする。その二つの解のうち、第1の基本解はでの多価性を常に持たず、となる特別な解であるが、では多価性を持ち、実軸上の区間に分枝切断線が置かれる。一方、周りでの第2の基本解 (第2種超幾何関数) はであって、これは一般にで対数分岐点を持つ無限多価関数になり、実軸上の区間およびに分枝切断線が置かれる。なお、二つの基本解はの場合、超幾何級数に対して l'Hôpital の定理を適用すると得られる別の式で定義される。
　超幾何微分方程式の一般解はとなるが、特異点またはの周囲を正の向き (反時計周り) に回り、分枝切断線またはを越える解析接続が施されると、係数もその都度 (周回数に応じて) 定まる。超幾何関数はこれを具体的に記述することが可能で、周回の変換を、周回の変換をとすると、

• 

となり、これは ｢接続公式｣ と呼ばれる※2。接続公式を用いると、楕円モジュラー･ラムダ関数を代入した超幾何関数および等を、上半平面上の変数の1価関数にすることができる (後に掲載のグラフを参照)。また、特異点を任意回数周回する無数の解析接続の経路は、それぞれの1周回を行列

• 

の作用に同一視 (時計周りの周回は上記の逆行列に同一視) できて群を成す。これは ｢モノドロミー群｣ と呼ばれている※3。
　前述の二つの基本解が超幾何級数から与えられた場合は、収束半径がとなるので ｢を中心とする解｣ と呼ばれる。一方、を超える解析接続として、既に ｢を中心とする解｣ と ｢を中心とする解｣ も得られており、三つの場合を (係数も含めて) 例示すると

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となる。表示可能な基本解の種類は上記のみではなく、全部で24種類 (特異点の3種類×代数関数因子4種類×2基本解) の異なる表示があり、これを1836年に E. E. Kummer が求めたので ｢Kummer の24種の解｣ と呼ばれている※4。つまり、24種類中から互いに線形独立な基本解の組を選び、前述同様にその線形結合式として超幾何微分方程式の一般解を記述することができる。
　この他、第1種超幾何関数に対してはでの特殊値

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が知られている (これは ｢Gauss の超幾何定理｣ と呼ばれ、を周回した接続分枝上でも正しい)。
　当サイトでは、超幾何微分方程式を満たすがとは異なる形の ｢第2種超幾何関数｣

• 

を、併せて定義する。もで対数分岐点を持つ無限多価関数であり、上記のとおり実軸上の区間およびに分枝切断線が置かれる。
　とは、ともに同じ形の線形漸化式 (または ｢隣接関係式｣ ともいう)

• 

を満たす※5。ここには、について1を周期とする任意の周期関数である。
　超幾何関数のに関する導関数は、

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となる。これを先の線形漸化式に適用すれば、種々の微分漸化式が得られる。
　さらに、超幾何関数の導関数については、第1種と第2種の間でロンスキアン型の関係式

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を満たす。
　超幾何関数は多くの積分表示式を持っているが、そのうち、1748年に L. Euler によって得られた

• 

は、最も基本的な式として知られ、超幾何微分方程式と同様にここから種々の公式が導かれる。また、Mellin - Barnes 型の積分表示式

• 

は留数定理に基づいており、同様の考え方が Meijer のG関数に拡張される。
　超幾何関数の Laplace 変換のうち、

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は、結果がより高い (一般化超幾何関数の) クラスに上がる例である。
　さらに特筆すべき超幾何関数の性質は、連分数展開式

• 

を持つことである。これは、C. F. Gauss が1812年に求めた。
　超幾何関数が初等関数に還元される事例として、

• 

等が知られている。また、はの多項式、の有理関数になる。
　超幾何関数によって表わすことができる特殊関数は、不完全ベータ関数、完全楕円積分、Legendre 陪関数、Chebyshev 関数、Gegenbauer 関数、および Jacobi 関数などがあり、既に各頁でその表示式を取りあげた。また (円内部の) 楕円モジュラー関数や保型関数の逆関数は、前述の2基本解の商で表わされるのであった。さらに、二つの確定特異点を合流させる極限を取ることによって合流型超幾何関数が現れ、前述とは別系統の特殊関数が多数生じる事も既にその頁で触れた。これらの関数はいずれも応用上重要で、しかも楕円体関数系と異なり明快な性質を持つ。この意味で、超幾何関数は特殊関数の頂点に位置する。
　超幾何関数 (級数) は、二項係数やベータ関数とともに種々の面積を無限級数で求める試みが起源となっており、この種の級数は17世紀中葉から J. Wallis 等が研究している※1。18世紀中葉になると、Euler が前述のとおり超幾何関数の積分表示式を求め、1769年には超幾何微分方程式も導出した。同時代には、J. F. Pfaff および A-T. Vandermonde 等が種々の変換式や特殊値を求め、超幾何関数の諸性質が明らかにされ始めた。19世紀前半に入ると、Gauss が初めて超幾何関数を複素変数で考察し、超幾何級数を含む冪級数の収束性について理論を展開した。また、線形漸化式とそれから導かれる連分数展開式、後年に定義される級数解の解析接続を示唆する等、多くの寄与を成した。それゆえ、その名を冠して ｢Gauss の超幾何関数｣ と呼ぶこともある。1836年に Kummer は、それまで部分的に判明していた解の変換式を全て解明し、さらに変数に二次有理関数が代入された

• 

等の複雑な変換式も多数求めた。変数に三次式が現れる例は、1881年に É. J-B. Goursat が初めて求めた。1857年に G. F. Riemann は、始めから Riemann 球面上における3個の確定特異点および特性指数の組をパラメーターとして持ち、3枚の分枝間で定係数の線形結合式を満たす Riemann の P関数を導入し、これが本質的に超幾何関数と同一であることを示して、その多価性の幾何学的解釈を可能にした。1873年に H. A. Schwarz は、超幾何微分方程式の解が代数関数になる場合を全て求める問題に取り組み、その過程で言わば副産物的に、の逆関数が楕円関数や保型関数となる場合の存在を示唆した※6。
　19世紀中葉以降、超幾何関数の様々な類似も考案されており、1846年の H. E. Heine による q-超幾何関数、1870年の L. A. Pochhammer による一般化超幾何関数と、1936年の C. S. Meijer および1937年の T. M. MacRobert による更なる一般化、1880年の P. É. Appell による二変数化、1893年の G. Lauricella による三変数化、1937年の K. de Fériet による一般化超幾何関数の二変数化などが、初期の例として著名である。現在も深化の一途にあるこれらの研究は、超幾何関数が明快な性質を多数持つ理由を解明する目的もあり、20世紀以降の超幾何関数論では、量子群、無限次元 Lie 群の表現論、ホモロジー代数など、新しい理論からのアプローチが盛んになる。20世紀後半には行列変数の超幾何関数も研究され始め、これはランダム行列など確率論でよく現れる。
　超幾何関数の直接的な応用事例としては、天体核物理学、量子色力学、重力物理学、統計力学、統計学などがある。また、数式処理システムにおける積分計算、級数総和、式の変換･簡約規則は、超幾何関数の取扱可能範囲に大きく依存する。
　第1種超幾何関数の記号は、大抵がまたはを採用しており、合流型超幾何関数ほど相違は少ない。一方、第2種超幾何関数の記号を定めている事例は、ほとんど存在しない※7。

　を実変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。
　①, ②, ③, ④,
　⑤, ⑥, ⑦, ⑧

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　を実2変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　アニメーション（25.9MB）
　を複素変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。ただし複素数は、2番目の図の経路に沿って動く。

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　を実変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。
　①, ②, ③, ④
　⑤, ⑥, ⑦, ⑧

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　を実2変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。
　①, ②, ③, ④
　⑤, ⑥, ⑦, ⑧

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　を複素変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実変数とする、正規化された第1種超幾何関数のグラフ。
　①, ②, ③, ④

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　を実2変数とする、正規化された第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、正規化された第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実変数とする、正規化された第1種超幾何関数のグラフ。
　①, ②, ③, ④

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　を実2変数とする、正規化された第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、正規化された第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、正規化された第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、正規化された第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実変数とする、正規化された第1種超幾何関数のグラフ。
　①, ②, ③, ④,
　⑤, ⑥, ⑦, ⑧

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　を複素変数とする、正規化された第1種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、正規化された第1種超幾何関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。
　①, ②, ③, ④,
　⑤, ⑥, ⑦, ⑧

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　を実2変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　アニメーション（27.1MB）
　を複素変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。ただし複素数は、2番目の図の経路に沿って動く。

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　を実変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。
　①, ②, ③, ④

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　を実2変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。
　①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥

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　を複素変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種超幾何関数のグラフ。

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　二つの基本解の比

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は、Schwarz の保型関数の逆関数である。ここに、およびをパラメーターで表わす明示式は Schwarz の保型関数の頁を参照願います。

　を実変数とする、すなわち Schwarz の保型関数の逆関数のグラフ。ここに、である。

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　を複素変数とする、すなわち Schwarz の保型関数の逆関数のグラフ。

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　を実変数とする、すなわち Schwarz の保型関数の逆関数のグラフ。ここに、である。

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　を複素変数とする、すなわち Schwarz の保型関数の逆関数のグラフ。

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　の一部が純虚数となる場合は、いずれもインパクトに欠けるグラフとなるので、省略する。

Riemann のＰ関数

日：RiemannのP関数，リーマンのP関数
英：Riemann P-function，仏：Fonction P de Riemann，独：Riemannsche P-funktion

【始めに：線形常微分方程式の特異点と特性指数】
　を Riemann 球面上の複素変数とし、係数が有理関数となっている (階の) 微分方程式

• 

を、線形常微分方程式という。
　は上の互いに異なる孤立点であって、は上で極を持つ事が少なくとも一つのについて起こるとする。このとき、

• 

が上で正則となる事が全てのについて起こるならば、点を ｢確定特異点｣ という。確定特異点上で、解は一般に対数分岐点を持つが、真性特異点は持たない。
　一方、が上で極を持つ事が少なくとも一つのについて起こるならば、点を ｢不確定特異点｣ という※2。不確定特異点上で、解は真性特異点を持つ。
　もし、線形常微分方程式が確定特異点のみを特異点として持つ場合、｢Fuchs 型の微分方程式｣ と呼ばれる。超幾何微分方程式および Riemann の微分方程式は、Fuchs 型の微分方程式の例である。
　(階) Fuchs 型の微分方程式の基本解は、確定特異点の周りで

• 

なる表示を持つ。ここに、は ｢特性指数｣ と呼ばれ、その値は本の ｢決定方程式｣

• 

の根になる※3。ここに特性指数は、｢Fuchs の関係式｣

• 

を満たす。

【例：超幾何微分方程式の場合】
　2階微分演算子の係数が1となるよう、超幾何微分方程式を

• 

の形にする。の少なくとも一つが極となるのはのみであり、そこでは有限値

• 

を取り※1、極を持たないので、はいずれも確定特異点である。
　したがって、超幾何微分方程式の決定方程式は

• 

となり、それぞれの決定方程式の2根からなる組として、特性指数を記すと

• 

となる。に含まれているパラメーターが、特性指数で全て現れており、それ以外のパラメーターは無いので、超幾何微分方程式はアクセサリーパラメーターを持たない※3。なお、となるので、超幾何微分方程式の特性指数は Fuchs の関係式を満たす。

【RiemannのP関数】
　G. F. Riemann は、を Riemann 球面上の変数とする多価関数 (の分枝の集合)

• 

を1857年に導入した。ここに、パラメーターは確定特異点、は特性指数の組が (理論展開の結果として) 暗示されている。現在これは ｢Riemann の P関数｣ と呼ばれている。
　さらに、Riemann はこの関数に次の3条件を課す：① 関数はを分岐点とする以外では正則。② 分岐点でおよびのごとく振る舞う分枝をおよび、接続係数をおよびと記すと、関数の集合はP[λ[j]]＋c[λ'[j]] P[λ'[j]] の形をした要素から成る。③ この集合から選んだ任意の3個の分枝をとすると、適当な定係数を用いて3項間の線形結合式が作れる。
　ここから Riemann は、接続係数の (モノドロミー群を示唆した) 計算と、当時すでに判明していた複素関数論を駆使して、関数が Fuchs 型で2階の線形常微分方程式を満たし、本質的に超幾何関数と同一であることを示した。実際にとしても Riemann の P関数は一般性を失わず、特に

• 

となり、逆に

• 

が、後述する線形常微分方程式の特別な基本解となる※4。
　Riemann の P関数は、パラメーターの列を入れ替えても、とを入れ替えても (分枝の集合が) 不変である。また、パラメーターと変数に一次分数変換を施した

• 

なる関係を満たす。この他にも、

• 

等の関係式を満たす。
　Riemann の P関数は、2階の線形常微分方程式

• 

の基本解となる。この微分方程式は1885年に J. E. Papperitz が初めて求めたのであって、Riemann が求めた訳ではないが ｢Riemann の微分方程式｣ と呼ばれる事が多い (Riemann - Papperitz の微分方程式と呼ぶ事もある)。また、確定特異点および特性指数の組を行列のように表記する前述の関数記号は、｢Papperitz の記号｣ と呼ばれる。Riemann の P関数および Papperitz の記号は、専ら超幾何関数論の中で現れ、物理学などの応用面で現れることはほとんど無い。

　を複素変数とする、Riemann の P関数のグラフ。ここに、である。(3番目は、2番目のグラフを Riemann 球面上に移したものである ― 以下同様。)

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　を複素変数とする、Riemann の P関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Riemann の P関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Riemann の P関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Riemann の P関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Riemann の P関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Riemann の P関数のグラフ。

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