特殊関数 グラフィックスライブラリー
Graphics Library of Special functions

Bessel 関数に関連する関数

Struve 関数

日：Struve関数，ストルーヴェ関数
英：Struve function，仏：Fonction de Struve，独：Struvesche funktion

　Struve 関数は、非斉次の Bessel の微分方程式

• 

の一般解として、の形で現れ、冪級数展開式

• 

で定義される。は異なる次数の間で、非斉次の線形漸化式 (隣接関係式)

• 

を満たす。希に、の代わりにを基本解として採用することがある (｢NIST－Handbook of Mathematical Functions｣ の Chapter11：p.287～)。
　一方、変形 Struve 関数は、非斉次の変形された Bessel の微分方程式

• 

の一般解として、の形で現れ、冪級数展開式およびとの関係式

• 

で定義される。は異なる次数の間で、非斉次の線形漸化式 (隣接関係式)

• 

を満たす。希に、の代わりにを基本解として採用することがある (同様に、｢NIST｣ の Chapter11：p.287～)。
　Struve 関数および変形 Struve 関数は、正規化された一般超幾何関数の特別な場合

• 

として表わせる。また、両者は次数が半奇数のときに限り初等関数に還元される。特に、

• 

となる。
　一般に Struve 関数および変形 Struve 関数は、複素平面上に特異点を持つ無限多価関数で、通常は実軸上の区間に分枝切断線を置くが、その多価性はに由来する。すなわち、およびとすれば常に超越整関数となる。
　Struve 関数は、光学望遠鏡の改良に関連して K. H. Struve が1882年に導入した。また変形 Struve 関数は、J. W. Nicholson が1911年に導入した。Struve 関数の応用事例は徐々に増えつつあり、流体力学 (非定常空気力学、流体中の物体の振動など)、光の回折現象、電磁気学、量子力学 (デコヒーレンス、ナノチューブ) 等が知られている。

　を実変数とする、Struve 関数のグラフ。①整数次, ②正の実数次, ③負の実数次。

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　Struve 関数が正の実軸上で無限個の2重根を持つ実次数はのみであって、しかもその場合は初等関数に還元される。

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　を実2変数とする、Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Struve 関数のグラフ。

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　Struve 関数による等角写像図。

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　アニメーション（11.4MB）
　を複素変数とする、Struve 関数のグラフ。

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　を実変数とする、Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Struve 関数のグラフ。

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　を実変数とする、Struve 関数のグラフ。①正の実数次, ②負の実数次。

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　を実2変数とする、Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Struve 関数のグラフ。

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　を実変数とする、Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Struve 関数のグラフ。

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　を実変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。①整数次, ②正の実数次, ③負の実数次。

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　を実2変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。

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　アニメーション（7.24MB）
　を複素変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。

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　を実変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。

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　を実変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。①正の実数次, ②負の実数次。

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　を実2変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。

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　を実変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、変形 Struve 関数のグラフ。

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Anger - Weber 関数

日：Anger関数，アンガー関数
英：Anger function，仏：Fonction d'Anger，独：Angersche funktion
日：Weber関数，ウェーバー関数
英：Weber function，仏：Fonction de Weber，独：Webersche funktion

　Anger 関数および Weber 関数は、積分表示式

• 

で定義され※1、非斉次の Bessel の微分方程式

• 

を満たす。希に、Anger - Weber 同伴関数

• 

が導入されることもある (｢NIST－Handbook of Mathematical Functions｣ の Chapter11：p.287～)。ただし、2番目の式は l'Hôpital の定理を適用して極限をとれば、が整数のときでも意味を持つ (第2種 Bessel 関数と同じ要領)。
　それぞれの関数は互いに、

• 

等の関係にある。また、非斉次の線形漸化式 (隣接関係式)

• 

を満たす。
　特に、が整数のとき、Anger 関数 および Weber 関数は

• 

のように Bessel 関数、Struve 関数で表わされる。
　Anger 関数および Weber 関数は、の値に係わらず常に超越整関数である。一方、Anger - Weber 同伴関数はに対数分岐点を持つ無限多価関数であって、通常は実軸上の区間に分枝切断線を置く。
　上記の公式等からも推察されるように、応用上は Struve 関数とともに用いられることが多い。Anger 関数の名称は C. T. Anger (1855年)、Weber 関数の名称は H. F. Weber (1879年) の研究結果に因む。Weber 関数は、Weber - Lommel 関数と呼ばれることもある。

　を実変数とする、Anger 関数のグラフ。①正の実数次, ②負の実数次。

• 
• 

　を実2変数とする、Anger 関数のグラフ。

• 

　以降では、ゆえ、が負の実数である複素変数グラフは省略する。
　を複素変数とする、Anger 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Anger 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Anger 関数のグラフ。

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　を実変数とする、Anger 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Anger 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Anger 関数のグラフ。

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　を実変数とする、Weber 関数のグラフ。①正の実数次, ②負の実数次。

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　を実2変数とする、Weber 関数のグラフ。

• 

　以降では、ゆえ、が負の実数である複素変数グラフは省略する。
　を複素変数とする、Weber 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Weber 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Weber 関数のグラフ。

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　を実変数とする、Weber 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Weber 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Weber 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、Anger 関数と Weber 関数で構成された関数のグラフ。

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　を実変数とする、実数次の Anger - Weber 同伴関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Anger - Weber 同伴関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Anger - Weber 同伴関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Anger - Weber 同伴関数のグラフ。

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　アニメーション（10.8MB）
　を複素変数とする、Anger - Weber 同伴関数のグラフ。ここに次数は、複素平面上を2番目の図のように動く。

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　を実変数とする、Anger - Weber 同伴関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Anger - Weber 同伴関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Anger - Weber 同伴関数のグラフ。

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Whittaker 積分関数

日：Whittaker積分関数，ホイッタカーの積分
英：Whittaker's integral，仏：Intégrale de Whittaker，独：Whittakersche Integrale

　Whittaker 積分関数は、積分表示式

• 

で定義される。ここに、は第1種 Legendre 関数である。
　また、Whittaker 積分関数は正規化された一般超幾何関数、およびその部分を冪級数に展開した式

• 

でも表わされる。冪級数展開式のガンマ関数係数がとなる場合、その項は０であると解釈する。上記の式の形から、明らかに
であることが分かる。Whittaker 積分関数は、非斉次の線形漸化式 (隣接関係式)

• 

を満たす。特に、が半奇数のときに限り、Whittaker 積分関数は Bessel の微分方程式を満たす。
　Whittaker 積分関数は複素平面上に代数特異点を持ち、通常は実軸上の区間に分枝切断線を置く。ただし、その多価性はに由来する。また、Whittaker 積分関数は実軸に対して共役対称にならない。したがって、この関数は実軸上で専ら複素数値を取る。
　Whittaker 積分関数は、E. T. Whittaker が Bessel 関数と Legendre 関数の関係を論じた1902年の論文で初めて導入した関数であって※1、合流型超幾何微分方程式の一般解として有名な Whittaker 関数とは異なる。

　を複素変数とする、Whittaker 積分関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Whittaker 積分関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Whittaker 積分関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Whittaker 積分関数のグラフ。

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　アニメーション（17.2MB, 8.89MB）
　を複素変数とする、Whittaker 積分関数のグラフ。2番目は虚数方向に素早く動く零点が現れる次数の周辺。

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　を複素変数とする、Whittaker 積分関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Whittaker 積分関数のグラフ。

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Airy - Hardy 積分関数

日：Airy-Hardy積分関数，エアリー･ハーディー積分
英：Airy-Hardy integral，仏：Intégrale d'Airy-Hardy，独：Airy-Hardy Integrale

　多項式が、超幾何関数または第1種 Chebyshev 関数によって

• 

と表わされるとき、積分

• 

を Airy - Hardy 積分関数という。これは、Airy 関数 (の積分表示式) の拡張を意図して、G. H. Hardy が1910年に導入した※1。
　Airy - Hardy 積分関数は、次のとおり Bessel 関数, 変形 Bessel 関数, Anger 関数, および Weber 関数で表わされる。

• 

ただし、冪関数が代入された Bessel 関数と変形 Bessel 関数は解析接続されているとし、そのとき上記の関数は全て超越整関数になる。
　のとき Airy - Hardy 積分関数は、Scorer 関数および Airy 関数

• 

に還元される。
　Airy - Hardy 積分関数は、斉次または非斉次の線形常微分方程式

• 

を満たす。特に、が偶数の、および全てのは微分方程式が斉次形となり、その解は一般 Airy 関数で表わされる。それら以外では非斉次形となり、解は一般 Airy 関数のクラスを超える※2。

　を実変数とする、Airy - Hardy 積分関数のグラフ。

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　を実変数とする、Airy - Hardy 積分関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Airy - Hardy 積分関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Airy - Hardy 積分関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Airy - Hardy 積分関数のグラフ。

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　を実変数とする、Airy - Hardy 積分関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Airy - Hardy 積分関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Airy - Hardy 積分関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Airy - Hardy 積分関数のグラフ。

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　を実変数とする、Airy - Hardy 積分関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Airy - Hardy 積分関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Airy - Hardy 積分関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Airy - Hardy 積分関数のグラフ。

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Lommel 関数

日：Lommel関数，ロンメル関数
英：Lommel function，仏：Fonction de Lommel，独：Lommelsche funktion

　Lommel 関数は、一般超幾何関数を用いて

• 

と定義され、非斉次の Bessel の微分方程式

• 

を満たす、第1種･第2種 Bessel 関数とは線形独立な解である。ただし、はが負の奇数になるとき定義されない。また、およびとなることが分かる。
　特に、は一般超幾何関数の代わりに、Bessel 関数の積分を用いた表示式

• 

によっても定義できる。また、Lommel 関数は第1種 Bessel 関数項の無限級数

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によっても表わせる。
　一般に Lommel 関数は、複素平面上に特異点を持つ無限多価関数で、通常は実軸上の区間に分枝切断線を置く。
　Lommel 関数は、Bessel 関数の詳細な研究をおこなった E. von Lommel によって1880年に導入された。現在、Bessel 関数系の公式には Lommel の名を冠するものが多く、その影響の大きさを窺わせる。

　Lommel 関数のグラフ。①実変数, ②実2変数。

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　Lommel 関数のグラフ。①実変数, ②実2変数。

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　Lommel 関数のグラフ。①実変数, ②実2変数。

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　Lommel 関数のグラフ。①実変数, ②実2変数。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　を実変数とする、Lommel 関数のグラフ。①, ②。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　を実変数とする、Lommel 関数のグラフ。①, ②。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　Lommel 関数のグラフ。①実変数, ②実2変数。

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　Lommel 関数のグラフ。①実変数, ②実2変数。

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　Lommel 関数のグラフ。①実変数, ②実2変数。

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　Lommel 関数のグラフ。①実変数, ②実2変数。

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　Lommel 関数のグラフ。①実変数, ②実2変数。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　を実変数とする、Lommel 関数のグラフ。①, ②。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　を実変数とする、Lommel 関数のグラフ。①, ②。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、Lommel 関数のグラフ。

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　Lommel 関数のグラフ。①実変数, ②実2変数。

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　を実2変数とする、Lommel 関数①と②のグラフ。②はのとき０になるので、を描画する。

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　を実2変数とする、Lommel 関数①と②のグラフ。同様に、②はのとき０になるので、を描画する。

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