q-Bessel 関数
次の無限級数で定義される関数
を、(第1種・第2種) q-Bessel 関数という。ただし、第2種 q-Bessel 関数において
![v](siki_specq040/centuryoldst_v_16.png)
が整数の場合は極限をとるものとする。また、全複素平面で収束する後述の
q-Bessel 関数 (第二の定義) との
なる関係によって、
![Abs(z)<2](siki_specq040/qbessel030.png)
の制限を超えることができる。
q-Bessel 関数は、極限操作
![q→1](siki_specq040/qbessel040.png)
によって
のように
Bessel 関数に還元される。
複素解析関数としての q-Bessel 関数は、一位の極を虚数軸上に持っている。また一般に q-Bessel 関数は無限多価関数であるが、(第1種)
q-Bessel 関数の多価性は
![z^v](siki_specq040/qbessel060.png)
に由来する。これにより複素平面上、無限遠点と
![z=0](siki_specq040/qbessel070.png)
に特異点を持ち、通常は
![-∞~0](siki_specq040/qbessel080.png)
に分枝切断線を置く。また
q-合流型超幾何関数の特別な場合として表わせる。
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel190.png)
実変数の第1種 q-Bessel 関数のグラフ。順に、①
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel090.png)
, ②
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel091.png)
, ③
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel092.png)
。 いずれも、
![q](siki_specq040/centuryoldst_q_down_16.png)
=0.02~0.98 (+0.02)。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第1種 q-Bessel 関数
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel100.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第1種 q-Bessel 関数
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel110.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第1種 q-Bessel 関数
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel120.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第1種 q-Bessel 関数
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel130.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第1種 q-Bessel 関数
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel140.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第1種 q-Bessel 関数
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel150.png)
のグラフ。
![q](siki_specq040/centuryoldst_q_down_16.png)
を複素変数とする第1種 q-Bessel 関数
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel160.png)
のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
![q](siki_specq040/centuryoldst_q_down_16.png)
を複素変数とする第1種 q-Bessel 関数
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel170.png)
のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
![q](siki_specq040/centuryoldst_q_down_16.png)
を複素変数とする第1種 q-Bessel 関数
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel180.png)
のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel300.png)
実変数の第2種 q-Bessel 関数のグラフ。順に、①
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel200.png)
, ②
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel201.png)
, ③
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel202.png)
。 いずれも、
![q](siki_specq040/centuryoldst_q_down_16.png)
=0.02~0.98 (+0.02)。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第2種 q-Bessel 関数
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel210.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第2種 q-Bessel 関数
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel220.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第2種 q-Bessel 関数
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel230.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第2種 q-Bessel 関数
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel240.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第2種 q-Bessel 関数
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel250.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第2種 q-Bessel 関数
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel260.png)
のグラフ。
![q](siki_specq040/centuryoldst_q_down_16.png)
を複素変数とする第2種 q-Bessel 関数
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel270.png)
のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
![q](siki_specq040/centuryoldst_q_down_16.png)
を複素変数とする第2種 q-Bessel 関数
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel280.png)
のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
![q](siki_specq040/centuryoldst_q_down_16.png)
を複素変数とする第2種 q-Bessel 関数
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel290.png)
のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
次の無限級数で定義される関数
を、異なる定義の (第1種・第2種) q-Bessel 関数として採用することができる。ただし、第2種 q-Bessel 関数において
![v](siki_specq040/centuryoldst_v_16.png)
が整数の場合は、極限をとるものとする。
q-Bessel 関数は、極限操作
![q→1](siki_specq040/qbessel040.png)
によって
のように Bessel 関数に還元される。
複素解析関数としての q-Bessel 関数
![q-Bessel関数(第2定義)](siki_specq040/qbessel330.png)
は、q-Bessel 関数
![q-Bessel関数(第1定義)](siki_specq040/qbessel340.png)
のように虚数軸上で一位の極は持っていないが、一般に無限多価関数であること、第1種の多価性は
![z^v](siki_specq040/qbessel060.png)
に由来すること、複素平面上、無限遠点と
![z=0](siki_specq040/qbessel070.png)
に特異点を持ち、通常
![-∞~0](siki_specq040/qbessel080.png)
に分枝切断線を置くこと、q-合流型超幾何関数の特別な場合として表わせること等は同様である。
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel450.png)
実変数の第1種 q-Bessel 関数のグラフ。順に、①
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel350.png)
, ②
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel351.png)
, ③
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel352.png)
。 いずれも、
![q](siki_specq040/centuryoldst_q_down_16.png)
=0.02~0.98 (+0.02)。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第1種 q-Bessel 関数
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel360.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第1種 q-Bessel 関数
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel370.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第1種 q-Bessel 関数
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel380.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第1種 q-Bessel 関数
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel390.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第1種 q-Bessel 関数
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel400.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第1種 q-Bessel 関数
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel410.png)
のグラフ。
![q](siki_specq040/centuryoldst_q_down_16.png)
を複素変数とする第1種 q-Bessel 関数
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel420.png)
のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
![q](siki_specq040/centuryoldst_q_down_16.png)
を複素変数とする第1種 q-Bessel 関数
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel430.png)
のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
![q](siki_specq040/centuryoldst_q_down_16.png)
を複素変数とする第1種 q-Bessel 関数
![第1種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel440.png)
のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel560.png)
実変数の第2種 q-Bessel 関数のグラフ。順に、①
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel460.png)
, ②
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel461.png)
, ③
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel462.png)
。 いずれも、
![q](siki_specq040/centuryoldst_q_down_16.png)
=0.02~0.98 (+0.02)。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第2種 q-Bessel 関数
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel470.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第2種 q-Bessel 関数
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel480.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第2種 q-Bessel 関数
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel490.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第2種 q-Bessel 関数
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel500.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第2種 q-Bessel 関数
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel510.png)
のグラフ。
![z](siki_specq040/centuryoldst_z_16.png)
を複素変数とする第2種 q-Bessel 関数
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel520.png)
のグラフ。
![q](siki_specq040/centuryoldst_q_down_16.png)
を複素変数とする第2種 q-Bessel 関数
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel530.png)
のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
![q](siki_specq040/centuryoldst_q_down_16.png)
を複素変数とする第2種 q-Bessel 関数
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel540.png)
のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
![q](siki_specq040/centuryoldst_q_down_16.png)
を複素変数とする第2種 q-Bessel 関数
![第2種q-Bessel関数の記号](siki_specq040/qbessel550.png)
のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。