特殊関数 グラフィックスライブラリー
Graphics Library of Special functions

q-初等関数

q-二項展開

　通常の二項展開

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を q-類似した次の式を、q-二項展開という。

• 

　q-二項展開は極限操作によって
のように二項展開に還元される。q-二項展開は関数等式および特殊値

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を満たす。また、が整数のときは初等関数になる。
　複素解析関数としての q-二項展開は、一位の極をに有する有理型関数である。また零点をに持っている。

　実変数の q-二項展開のグラフ。順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝0.02～0.8 (+0.02)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　を複素変数とする q-二項展開のグラフ。

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　を複素変数とする q-二項展開のグラフ。

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　を複素変数とする q-二項展開のグラフ。

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　を複素変数とする q-二項展開のグラフ。

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　を複素変数とする q-二項展開のグラフ。

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　を複素変数とする q-二項展開のグラフ。

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q-シフト因子

日：q-シフト因子，q-シフト階乗
英：q-shifted factorial，仏：q-décalé factorielle，独：q-verschoben fakultät
日：q-Pochhammer記号，q-ポッホハンマー記号
英：q-Pochhammer symbol，仏：q-symbole de Pochhammer，独：q-Pochhammer-symbol

　q-解析学において頻繁に現れる有限積あるいは無限積

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は、q-シフト因子 (q-shifted factorial) と呼ばれ、一つの因数のように扱って計算を簡略化する。有限積は初等関数であるが、無限積は初等関数ではない。よって、ここでは後者のみグラフを描画する。
　q-シフト因子は、q-Pochhammer 記号と呼ばれることも多い。しかし、Pochhammer 記号の無限積は発散するため存在しない。
　変数の関数とした場合の q-シフト因子は超越整関数であり、q-指数関数はこの場合の逆数に相当する。一方、変数の関数とした場合の q-シフト因子は、単位円を自然境界とし、その内部のみで定義される関数で、楕円モジュラー形式との関連がある※1。
　前述の無限積においてが負数になった場合は、正数の場合のそれと
の関係にある。
　しばしば、q-解析学においては複数の q-シフト因子の積を

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のように表記する。
　q-解析学に現れる q-特殊関数には、多くの q-シフト因子が連なった複雑な式で定義されるものが多い。

　を実変数とする q-シフト因子のグラフ。＝0.02～0.98 (+0.02)。

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　を複素変数とする q-シフト因子のグラフ。

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　を複素変数とする q-シフト因子のグラフ。

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　を実変数とする q-シフト因子のグラフ。 ＝－0.98～0.98 (+0.02)。

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　を複素変数とする q-シフト因子のグラフ。

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　を複素変数とする q-シフト因子のグラフ。

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q-指数関数

　指数関数を q-類似した

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を、q-指数関数という。ここに、冪級数に現れた係数は「q-階乗」と呼ばれる。(→ q-ガンマ関数を参照。)
　q-指数関数は極限操作によって
のように指数関数に還元される。「q-微分」を
と定義すれば、指数関数と同様の
が成立する。すなわち q-指数関数は関数等式 (差分方程式)
を満たす。さらに、変数が非可換な関係を満たす量子平面上の変数ならば、指数法則

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も成立することとなる。(通常の数の場合は成立しない。)
　複素解析関数としての q-指数関数は、一位の極をに有する有理型関数である。また、零点は持っていない。

　実変数の q-指数関数のグラフ。＝0.02～0.98 (+0.02)。

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　を複素変数とする q-指数関数のグラフ。

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　を複素変数とする q-指数関数のグラフ。

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　を複素変数とする q-指数関数のグラフ。②は、①のグラフの垂直軸を、常用対数目盛にした場合。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  
• 　⑤
  
• 　⑥
  

　次は、前掲の ①, ②, ④, ⑤のグラフにおいて、描画範囲を単位円内部に限った場合。

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　を複素変数とする q-指数関数のグラフ。②は、①のグラフの垂直軸を、常用対数目盛にした場合。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  
• 　⑤
  
• 　⑥
  

　次は、前掲の ①, ②, ④, ⑤のグラフにおいて、描画範囲を単位円内部に限った場合。

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q-対数関数

　q-二項展開に対し、C. J. Thomae の ｢q-積分｣ を適用して導くことができる、

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を、q-対数関数という (これとはかなり異なる定義も存在する)。
　q-対数関数は極限操作によって
のように対数関数に還元される。しかし、この定義による q-対数関数は、q-指数関数の逆関数とはなっていない。
　複素解析関数としての q-対数関数は、一位の極を負の実軸上に持つ有理型関数である。

　実変数の q-対数関数のグラフ。＝0.02～0.98 (+0.02)。

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　を複素変数とする q-対数関数のグラフ。

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　を複素変数とする q-対数関数のグラフ。

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　を複素変数とする q-対数関数のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を、常用対数目盛にした場合。

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　を複素変数とする q-対数関数のグラフ。 2番目は、1番目のグラフの垂直軸を、常用対数目盛にした場合。

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q-三角関数

　Euler の公式に倣い、q-指数関数から定義される

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を、q-三角関数 (q-正弦関数, q-余弦関数) という。
　q-三角関数は極限操作によって
のように三角関数に還元される。q-三角関数は関数等式 (差分方程式)

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を満たす。このほか、通常の三角関数に倣って q-正接関数, q-余接関数, q-正割関数, および q-余割関数

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が定義される。
　複素解析関数としての q-三角関数は、一位の極をに有する有理型関数である。
　なお、上記とは異なる定義である

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を q-三角関数とすることもある。しかしこれは楕円テータ関数そのものであり、グラフは既にその箇所で触れているので、ここでの描画は省略する (ただし、別頁の ｢q-超幾何関数｣ 系の関数を定義する際に、係数として現れる)。この関数についても、前述と同様に q-正接関数, q-余接関数等が定義される。

　実変数の q-三角関数のグラフ。＝0.02～0.98 (+0.02)。

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　を複素変数とする q-三角関数のグラフ。

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　を複素変数とする q-三角関数のグラフ。

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　アニメーション（6.00MB）
　を複素変数とする q-三角関数のグラフ。＝1/50～1 。

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　を複素変数とする q-三角関数のグラフ。
　②は、①のグラフの垂直軸を、常用対数目盛にした場合。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  
• 　⑤
  
• 　⑥
  

　次は、前掲の ①, ②, ④, ⑤のグラフにおいて、描画範囲を単位円内部に限った場合。

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　実変数の q-三角関数のグラフ。＝0.02～0.98 (+0.02)。

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　を複素変数とする q-三角関数のグラフ。

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　を複素変数とする q-三角関数のグラフ。

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　を複素変数とする q-三角関数のグラフ。
　②は、①のグラフの垂直軸を、常用対数目盛にした場合。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  
• 　⑤
  
• 　⑥
  

　次は、前掲の ①, ②, ④, ⑤のグラフにおいて、描画範囲を単位円内部に限った場合。

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　実変数の q-三角関数のグラフ。＝0.02～0.98 (+0.02)。

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　を複素変数とする q-三角関数のグラフ。

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　を複素変数とする q-三角関数のグラフ。

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　を複素変数とする q-三角関数のグラフ。

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q-円周率

　q-円周率とは、q-ガンマ関数を用いて
と表わされる定数 (を変数と見れば関数) である。
　q-円周率は極限操作によって
のように円周率に還元される。
　複素関数としての q-円周率は、を分枝切断線とし単位円を真性特異線 (真性特異点が集積した線分) とする。したがって厳密には、単位円の内部と外部は互いに他方からの解析接続ではない。

　実変数、および複素変数の q-円周率のグラフ。

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