q-特殊関数 Menu

q-初等関数

q-二項展開

 通常の二項展開
  • 二項展開
を q-類似した次の式を、q-二項展開という。
  • q-二項展開
 q-二項展開は極限操作q→1によって
q-二項展開の還元
のように二項展開に還元される。q-二項展開は関数等式および特殊値
  • q-二項展開の関数等式
を満たす。また、αが整数のときは初等関数になる。
 複素解析関数としての q-二項展開は、一位の極をq-二項展開の極に有する有理型関数である。また零点をq-二項展開の零点に持っている。

q-二項展開の記号

 実変数の q-二項展開のグラフ。順に、①q-二項展開の記号, ②q-二項展開の記号, ③q-二項展開の記号, ④q-二項展開の記号。いずれもq=0.02~0.8 (+0.02)。

 zを複素変数とする q-二項展開q-二項展開の記号のグラフ。
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする q-二項展開q-二項展開の記号のグラフ。
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする q-二項展開q-二項展開の記号のグラフ。
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする q-二項展開q-二項展開の記号のグラフ。
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)

 qを複素変数とする q-二項展開q-二項展開の記号のグラフ。
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)

 qを複素変数とする q-二項展開q-二項展開の記号のグラフ。
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)
  • q-二項展開のグラフ(複素変数)

q-シフト因子

日:q-シフト因子q-シフト階乗
英:q-shifted factorial,仏:q-décalé factorielle,独:q-verschoben fakultät
日:q-Pochhammer記号q-ポッホハンマー記号
英:q-Pochhammer symbol,仏:q-symbole de Pochhammer,独:q-Pochhammer-symbol

 q-解析学において頻繁に現れる有限積あるいは無限積
  • q-シフト因子(q-Pochhammer記号)
は、q-シフト因子 (q-shifted factorial) と呼ばれ、一つの因数のように扱って計算を簡略化する。有限積q-シフト因子の記号は初等関数であるが、無限積q-シフト因子の記号は初等関数ではない。よって、ここでは後者のみグラフを描画する。
 q-シフト因子は、q-Pochhammer 記号と呼ばれることも多い。しかし、Pochhammer 記号Pochhammer記号の無限積Pochhammer記号は発散するため存在しない。
 変数aの関数とした場合の q-シフト因子は超越整関数であり、q-指数関数はこの場合の逆数に相当する。一方、変数qの関数とした場合の q-シフト因子は、単位円を自然境界線とし単位円の内部で定義される関数で、楕円モジュラー形式との関連がある。
 前述の無限積においてaが負数になった場合は、正数の場合のそれと
aが負数の場合のq-シフト因子
の関係にある。
 しばしば、q-解析学においては複数の q-シフト因子の積を
  • q-シフト因子の多重積
のように表記する。
 q-解析学に現れる q-特殊関数には、多くの q-シフト因子が連なった複雑な式で定義されるものが多い。

q-シフト因子の記号

 aを実変数とする q-シフト因子q-シフト因子の記号のグラフ。q=0.02~0.98 (+0.02)。
  • q-シフト因子のグラフ(実変数)

 aを複素変数とする q-シフト因子q-シフト因子の記号のグラフ。
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)

 aを複素変数とする q-シフト因子q-シフト因子の記号のグラフ。
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)

 qを実変数とする q-シフト因子q-シフト因子の記号のグラフ。 a=-0.98~0.98 (+0.02)。
  • q-シフト因子のグラフ(実変数)

 qを複素変数とする q-シフト因子q-シフト因子の記号のグラフ。
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)

 qを複素変数とする q-シフト因子q-シフト因子の記号のグラフ。
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)
  • q-シフト因子のグラフ(複素変数)

q-指数関数

 指数関数を q-類似した
  • q-指数関数の定義
を、q-指数関数という。ここに、冪級数に現れた係数は「q-階乗」と呼ばれる。(→ q-ガンマ関数を参照。)
 q-指数関数は極限操作q→1によって
q-指数関数が還元される場合
のように指数関数に還元される。「q-微分」を
q-微分
と定義すれば、指数関数と同様の
q-指数関数のq-微分
が成立する。すなわち q-指数関数は関数等式 (差分方程式)
q-指数関数の関数等式
を満たす。さらに、変数非可換変数z1、z2が非可換な関係q*z1*z2=z2*z1を満たす量子平面上の変数ならば、指数法則
  • q-指数関数の指数法則
も成立することとなる。(通常の数の場合は成立しない。)
 複素解析関数としての q-指数関数は、一位の極をq-指数関数の極に有する有理型関数である。また、零点は持っていない。

q-指数関数の記号

 実変数の q-指数関数q-指数関数の記号のグラフ。q=0.02~0.98 (+0.02)。
  • q-指数関数のグラフ(実変数)

 zを複素変数とする q-指数関数q-指数関数の記号のグラフ。
  • q-指数関数のグラフ(複素変数)
  • q-指数関数のグラフ(複素変数)
  • q-指数関数のグラフ(複素変数)
  • q-指数関数のグラフ(複素変数)
  • q-指数関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする q-指数関数q-指数関数の記号のグラフ。
  • q-指数関数のグラフ(複素変数)
  • q-指数関数のグラフ(複素変数)
  • q-指数関数のグラフ(複素変数)
  • q-指数関数のグラフ(複素変数)
  • q-指数関数のグラフ(複素変数)

 qを複素変数とする q-指数関数q-指数関数の記号のグラフ。②は、①のグラフの垂直軸を、常用対数目盛にした場合。
 次は、前掲の ①, ②, ④, ⑤のグラフにおいて、描画範囲を単位円内部に限った場合。
  • q-指数関数のグラフ(複素変数)
  • q-指数関数のグラフ(複素変数)
  • q-指数関数のグラフ(複素変数)
  • q-指数関数のグラフ(複素変数)

 qを複素変数とする q-指数関数q-指数関数の記号のグラフ。②は、①のグラフの垂直軸を、常用対数目盛にした場合。
 次は、前掲の ①, ②, ④, ⑤のグラフにおいて、描画範囲を単位円内部に限った場合。
  • q-指数関数のグラフ(複素変数)
  • q-指数関数のグラフ(複素変数)
  • q-指数関数のグラフ(複素変数)
  • q-指数関数のグラフ(複素変数)

q-対数関数

 q-二項展開に対し、C. J. Thomae の 「q-積分」 を適用して導くことができる、
  • q-対数関数の定義
を、q-対数関数という (これとはかなり異なる定義も存在する)。
 q-対数関数は極限操作q→1によって
q-対数関数が還元される場合
のように対数関数に還元される。しかし、この定義による q-対数関数は、q-指数関数q-指数関数の記号の逆関数とはなっていない。
 複素解析関数としての q-対数関数は、一位の極を負の実軸上に持つ有理型関数である。

q-対数関数の記号

 実変数の q-対数関数q-対数関数の記号のグラフ。q=0.02~0.98 (+0.02)。
  • q-対数関数のグラフ(実変数)

 zを複素変数とする q-対数関数q-対数関数の記号のグラフ。
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする q-対数関数q-対数関数の記号のグラフ。
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)

 qを複素変数とする q-対数関数q-対数関数の記号のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を、常用対数目盛にした場合。
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)

 qを複素変数とする q-対数関数q-対数関数の記号のグラフ。 2番目は、1番目のグラフの垂直軸を、常用対数目盛にした場合。
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)
  • q-対数関数のグラフ(複素変数)

q-三角関数

 Euler の公式に倣い、q-指数関数から定義される
  • q-三角関数の定義
を、q-三角関数 (q-正弦関数, q-余弦関数) という。
 q-三角関数は極限操作q→1によって
q-三角関数が還元される場合
のように三角関数に還元される。q-三角関数は関数等式 (差分方程式)
  • q-三角関数の関数等式
を満たす。このほか、通常の三角関数に倣って q-正接関数, q-余接関数, q-正割関数, および q-余割関数
  • その他のq-三角関数の定義
が定義される。
 複素解析関数としての q-三角関数は、一位の極をq-三角関数の極に有する有理型関数である。
 なお、上記とは異なる定義である
  • q-三角関数の異なる定義(楕円テータ関数)
を q-三角関数とすることもある。しかしこれは楕円テータ関数そのものであり、グラフは既にその箇所で触れているので、ここでの描画は省略する (ただし、別頁の 「q-超幾何関数」 系の関数を定義する際に、係数として現れる)。この関数についても、前述と同様に q-正接関数, q-余接関数等が定義される。

q-三角関数の記号

 実変数の q-三角関数q-三角関数の記号のグラフ。q=0.02~0.98 (+0.02)。
  • q-三角関数のグラフ(実変数)

 zを複素変数とする q-三角関数q-三角関数の記号のグラフ。
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする q-三角関数q-三角関数の記号のグラフ。
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)

 アニメーション(6.00MB)
 zを複素変数とする q-三角関数q-三角関数の記号のグラフ。q=1/50~1 。
  • q-三角関数のグラフ(複素変数:動画)

 qを複素変数とする q-三角関数q-三角関数の記号のグラフ。
 ②は、①のグラフの垂直軸を、常用対数目盛にした場合。
 次は、前掲の ①, ②, ④, ⑤のグラフにおいて、描画範囲を単位円内部に限った場合。
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)

q-三角関数の記号

 実変数の q-三角関数q-三角関数の記号のグラフ。q=0.02~0.98 (+0.02)。
  • q-三角関数のグラフ(実変数)

 zを複素変数とする q-三角関数q-三角関数の記号のグラフ。
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする q-三角関数q-三角関数の記号のグラフ。
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)

 qを複素変数とする q-三角関数q-三角関数の記号のグラフ。
 ②は、①のグラフの垂直軸を、常用対数目盛にした場合。
 次は、前掲の ①, ②, ④, ⑤のグラフにおいて、描画範囲を単位円内部に限った場合。
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)

q-三角関数の記号

 実変数の q-三角関数q-三角関数の記号のグラフ。q=0.02~0.98 (+0.02)。
  • q-三角関数のグラフ(実変数)

 zを複素変数とする q-三角関数q-三角関数の記号のグラフ。
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする q-三角関数q-三角関数の記号のグラフ。
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)

 qを複素変数とする q-三角関数q-三角関数の記号のグラフ。
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)
  • q-三角関数のグラフ(複素変数)

q-円周率

 q-円周率とは、q-ガンマ関数を用いて
q-円周率の定義
と表わされる定数 (qを変数と見れば関数) である。
 q-円周率は極限操作q→1によって
q-円周率が還元される場合
のように円周率に還元される。
 複素関数としての q-円周率は、-∞~0を分枝切断線とし単位円を真性特異線 (真性特異点が集積した線分) とする。

q-円周率の記号

 実変数、および複素変数の q-円周率のグラフ。
  • q-円周率のグラフ(実変数)
  • q-円周率のグラフ(複素変数)
  • q-円周率のグラフ(複素変数)
  • q-円周率のグラフ(複素変数)
  • q-円周率のグラフ(複素変数)
  • q-円周率のグラフ(複素変数)

q-特殊関数 Menu