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モックテータ関数

位数2のモックテータ関数

日:モックテータ関数擬テータ関数モック-モジュラー形式
英:Mock theta functionMock modular form※1,仏:Fonction thêta moquer,独:Mock-Thetafunktion

 モックテータ関数は、S. Ramanujan が1920年に G. H. Hardy へ宛てた最後の手紙、および Ramanujan の「失われたノート」と呼ばれる草稿中で、初めて言及した関数である。
 Ramanujan は、楕円テータ関数 (の零値) に似ているがそれで表わすことができない特定の q-級数一般的なモックテータ関数は、単位円周上にある特異点 (尖点) で漸近近似すると、指数関数の引数が有限多項式になること、すなわち現在では
  • 一般的なモックテータ関数の漸近近似式
として知られる漸近近似式を持つような例があることを主張し、これをモックテータ関数と呼んだ。Ramanujan は17例の具体的なモックテータ関数を示して、これらを位数 (Order) によって分類した。特に、位数3と位数5のモックテータ関数は、同一位数の関数どうしに線形な関係式があること、逆に、位数7には線形関係式が存在しないこと等を併せて示した。Ramanujan は、前述の具体的な漸近近似式として、位数3のモックテータ関数位数3のモックテータ関数:F(q)
  • F(q)の漸近近似式
となることを例示し、このようになる q-級数の種類は限られていると手紙の中で主張した。
 Ramanujan の主張は厳密な証明を伴っていなかったが、その後、G. N. Watson,A. Selberg,G. E. Andrews,L. A. Doragonette,D. Hickerson,R. J. McIntosh 等の研究を経て、すべて肯定的に証明された。
 なお位数は、2, 3, 5, 6, 7, 8 および 10がある。これらはモックテータ関数の特性に基づく分類規則ではなく、単なるインデックス的な意味の番号である。Ramanujan も、この番号付けの意味は明らかにしていない。
 Ramanujan 以後、モックテータ関数は楕円モジュラー形式の場合と似ている何らかの関数等式を満たすだろうと予想されたが、長年の間不明であった。しかし、S. P. Zwegers は2002年に、位数3, 5および7のモックテータ関数が、重み1/2の実解析的モジュラー形式である弱 Maass - wave 形式の正則部分として表わせることを示した。その際に用いられた Appell - Lerch 級数
  • Apell-Lerch級数
はモックテータ関数そのものではないが、示唆に富む次の関数等式を満たす。
  • Apell-Lerch級数の関数等式
実際、Zwegers はこの級数を、より一般的な有理型 Jacobi 形式 (Meromorphic Jacobi forms) と呼ばれる拡張されたモジュラー形式で解釈し、位数3, 5および7のモックテータ関数が満たす、楕円モジュラー形式に類似する関数等式を具体的に導いた。(→ 式の例は、位数7の箇所を参照。)
 モックテータ関数はより一般的に、重みが半奇数の実解析的保型形式と何らかの関係があると考えられており、実際、K. Bringmann,Ken Ono 等は重み3/2の場合について、いくつかの成果を得ている。また、分割数に対して定義される「rank」と呼ばれる指標は、これを係数とするある q-級数を構成すると、位数3のモックテータ関数が現れる。
 ある特別なモックテータ関数の Fourier 展開係数は、散在型有限単純群の一種である Mathieu 群Mathieu群:M24の既約指標と関係がある (これは 「Mathieu Moonshine」 と呼ばれ、Klein の楕円モジュラー関数に対する 「Monstrous Moonshine」 に類似した現象として注目されている)※2。
 このように、近年は数論や組み合わせ論との結びつきも明らかになりつつあるが、Ramanujan による発見から派生した分野のうちでも、特にモックテータ関数は未だ不明な点が多く、それゆえに世界中の数学者によって活発な研究がなされている。しばしば、Ramanujan の最高の業績として「モックテータ関数の発見」が挙げられる所以でもある。
 ここでは以降、位数 2, 3, 5, 6 および7のモックテータ関数についてグラフを描画する。
 McIntosh によって2007年に導入された、位数2のモックテータ関数は
  • 位数2のモックテータ関数の定義
の3種類で定義される。ただし位数2のモックテータ関数μ(q)は、Ramanujan が既に「失われたノート」で言及していたものである。
 位数2のモックテータ関数は、位数8のモックテータ関数 (現在、当サイト未掲載。) を含む線形関係式を満たす。

【註記】
※1:現在ではモジュラー形式との類似性から「Mock modular form」の名称が一般的になりつつある。

※2:T. Eguchi, H. Ooguri, Y. Tachikawa, 「Notes on the K3 surface and the Mathieu group M24」, Exp.Math. 20 (2011), No.1, p.91-96.

位数2のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数2) のグラフ。
  • 位数2のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数2のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数2のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数2のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数2のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数2のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数2) のグラフ。
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  • 位数2のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数2のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数2) のグラフ。
  • 位数2のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
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  • 位数2のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数2のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数2のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数3のモックテータ関数

 Ramanujan が Hardy 宛ての手紙および「失われたノート」で言及した、位数3のモックテータ関数は
  • 位数3のモックテータ関数の定義
の7種類で定義される。Ramanujan および Watson によって発見・証明された線形関係式
  • 位数3のモックテータ関数の関係式
を満たす。

位数3のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数3) のグラフ。
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  • 位数3のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
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位数3のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数3) のグラフ。
  • 位数3のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
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位数3のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数3) のグラフ。
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位数3のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数3) のグラフ。
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  • 位数3のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
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位数3のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数3) のグラフ。
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位数3のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数3) のグラフ。
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位数3のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数3) のグラフ。
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  • 位数3のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数5のモックテータ関数

 Ramanujan が Hardy 宛ての手紙で言及した、位数5のモックテータ関数は
  • 位数5のモックテータ関数の定義
の10種類で定義される。位数5のモックテータ関数は
  • 位数5のモックテータ関数の関係式
の他、多くの線形関係式を満たすが、ここにすべてを記載することは省略する。

位数5のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数5) のグラフ。
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
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  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数5のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数5) のグラフ。
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  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
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  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数5のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数5) のグラフ。
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数5のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数5) のグラフ。
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数5のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数5) のグラフ。
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
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  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数5のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数5) のグラフ。
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位数5のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数5) のグラフ。
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
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位数5のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数5) のグラフ。
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
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  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数5のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数5) のグラフ。
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  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数5のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数5) のグラフ。
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数5のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数6のモックテータ関数

 位数6のモックテータ関数はいずれも、Ramanujan の「失われたノート」に言及があることが後に判明して追加されたもので、
  • 位数6のモックテータ関数の定義
の7種類で定義される。さらに、この他にも2種類の位数6のモックテータ関数が、B. C. Berndt および S. H. Chan による発見で2007年に追加されたが、ここでは扱わない (最初の2個の関数に類似した役割を担う関数)。
 ただし、位数6のモックテータ関数μ(q)の無限級数は通常の意味では収束せず、その極限では二つの値を交互にとる。現在は、この二値を平均したものが位数6のモックテータ関数μ(q)であるとの解釈が一般的になっている。このとき位数6のモックテータ関数μ(q)
  • 位数6のモックテータ関数μ(q)とφ(q)の関係式
なる恒等式によっても定義できる。他の位数6のモックテータ関数の間にも、これとよく似た形の恒等式が存在することを Andrews および Hickerson が1991年に証明した※1。

【註記】
※1:G. E. Andrews and D. Hickerson 「Ramanujan's "Lost" Notebook VII : The Sixth Order Mock Theta Functions」,
Advances in Mathematics 89, p.60-105 (1991)

位数6のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数6) のグラフ。
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数6のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数6) のグラフ。
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数6のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数6) のグラフ。
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数6のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数6) のグラフ。
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数6のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数6) のグラフ。
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数6のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数6) のグラフ。
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数6のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数6) のグラフ。
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数6のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数7のモックテータ関数

 位数7のモックテータ関数は、Ramanujan が Hardy 宛ての手紙で言及した
  • 位数7のモックテータ関数の定義
の3種類で定義される。Ramanujan が手紙で主張したように、(位数3および5とは異なり) 位数7の3種類の間には線形関係式が存在しない。
 Selberg は1938年に、位数7のモックテータ関数の単位円周の近傍における漸近的性質を明らかにした。
 Zwegers が導出したモックテータ関数の満たす関数等式は非常に複雑な形であるが、具体的に位数7の場合を表記すると、
  • 位数7のモックテータ関数の関数等式
となる。

位数7のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数7) のグラフ。
  • 位数7のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数7のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数7のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数7のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数7のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数7のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数7) のグラフ。
  • 位数7のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数7のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数7のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数7のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数7のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

位数7のモックテータ関数の記号

 複素変数のモックテータ関数 (位数7) のグラフ。
  • 位数7のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数7のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数7のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数7のモックテータ関数のグラフ(複素変数)
  • 位数7のモックテータ関数のグラフ(複素変数)

Appell - Lerch 級数

 Appell - Lerch 級数 (Appell - Lerch sum) は、P. É. Appell および M. Lerch の研究に始まる。Watson は、位数3のモックテータ関数の満たす線形関係式を求めるとともに、Appell - Lerch 級数との関連を調べた。また冒頭で述べたとおり、Zwegers は、モックテータ関数が満たす楕円モジュラー形式に類似した関数等式を解明するために、Appell - Lerch 級数を用いた。
 Appell - Lerch 級数μ(u, v; τ)と、変形 Appell - Lerch 級数μ^(u, v; τ)
  • Appell-Lerch級数および変形Appell-Lerch級数の定義
で定義される。特に、楕円テータ関数の特殊値の有理式に還元される場合の
  • 楕円テータ関数の特殊値の有理式に還元される場合のAppell-Lerch級数
を含む。変形 Appell - Lerch 級数は、変数τ, uについて次の関数等式を満たす。
  • Appell-Lerch級数の満たす関数等式
Appell - Lerch 級数の関数等式も上記の関係式から求められるが、R(z; τ)を含むため複雑な形になる。
 なお、Appell - Lerch 級数、および変形 Appell - Lerch 級数は、モックテータ関数と関連があるためここで扱ったが、関数等式からも分かるように、本来は楕円モジュラー形式の変形と捉えられる。

Appell-Lerch級数の記号

 虚変数の Appell - Lerch 級数Appell-Lerch級数の記号 (上半平面) のグラフ。
  • Appell-Lerch級数のグラフ(虚変数)

 複素変数の Appell - Lerch 級数Appell-Lerch級数の記号 (上半平面) のグラフ。
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Appell - Lerch 級数Appell-Lerch級数の記号 (単位円内部) のグラフ。
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)

 虚変数の Appell - Lerch 級数Appell-Lerch級数の記号 (上半平面) のグラフ。
  • Appell-Lerch級数のグラフ(虚変数)

 複素変数の Appell - Lerch 級数Appell-Lerch級数の記号 (上半平面) のグラフ。
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Appell - Lerch 級数Appell-Lerch級数の記号 (単位円内部) のグラフ。
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)

 虚変数の Appell - Lerch 級数Appell-Lerch級数の記号 (上半平面) のグラフ。
  • Appell-Lerch級数のグラフ(虚変数)

 複素変数の Appell - Lerch 級数Appell-Lerch級数の記号 (上半平面) のグラフ。
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Appell - Lerch 級数Appell-Lerch級数の記号 (単位円内部) のグラフ。
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)

 次は、楕円テータ関数の特殊値の有理式に還元される Appell - Lerch 級数のうち、特に極と零点の位置が、
  • 還元される場合のAppell-Lerch級数の極と零点の位置
となる場合である。このことは、楕円テータ関数の無限積表示式によって分かる。
 虚変数の Appell - Lerch 級数Appell-Lerch級数の記号 (上半平面) のグラフ。
  • Appell-Lerch級数のグラフ(虚変数)

 複素変数の Appell - Lerch 級数Appell-Lerch級数の記号 (上半平面) のグラフ。
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)

 この特別な場合では、極 (白) と零点 (黒) が水平・垂直な直線上のみならず、斜行する直線上にも並ぶ。
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Appell - Lerch 級数Appell-Lerch級数の記号 (単位円内部) のグラフ。
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)

変形Appell-Lerch級数の記号

 虚変数の変形 Appell - Lerch 級数変形Appell-Lerch級数の記号 (上半平面) のグラフ。
  • Appell-Lerch級数のグラフ(虚変数)

 複素変数の変形 Appell - Lerch 級数変形Appell-Lerch級数の記号 (上半平面) のグラフ。
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)

 複素変数の変形 Appell - Lerch 級数変形Appell-Lerch級数の記号 (単位円内部) のグラフ。
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)

 虚変数の変形 Appell - Lerch 級数変形Appell-Lerch級数の記号 (上半平面) のグラフ。
  • Appell-Lerch級数のグラフ(虚変数)

 複素変数の変形 Appell - Lerch 級数変形Appell-Lerch級数の記号 (上半平面) のグラフ。
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)
  • Appell-Lerch級数のグラフ(複素変数)

 複素変数の変形 Appell - Lerch 級数変形Appell-Lerch級数の記号 (単位円内部) のグラフ。
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