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q-超幾何関数

q-超幾何関数

日:q-超幾何関数
英:Basic hypergeometric function※1, q-hypergeometric function,仏:q-fonction hypergéométrique
独:q-hypergeometrische funktion

 Gauss の超幾何関数を q-類似 (極限q→1によって第1種超幾何関数に還元されるように類似) した
  • 第1種q-超幾何関数
を Heine の q-超幾何関数という。q-超幾何関数は2階の q-差分方程式を満たし、これから関数等式
  • 第1種q-超幾何関数の満たす差分方程式
を満たすことが分かる。逆に、この2階 q-差分方程式を満たす一般解f(z)は、A, Bを任意の複素定数とするとき、
  • 2階q-差分方程式
となる。
 q-超幾何関数は、超幾何関数における Euler の変換式や Euler の積分表示式の q-類似に相当する
  • 第1種q-超幾何関数の変換式と積分表示式
を満たす。ここに積分は 「Thomae 積分」 であるとする。
 最初に述べた無限級数では収束しない領域へ解析接続するために、関係式
  • 第1種q-超幾何関数の解析接続公式
を用いることができる。
 さらに、前述の2階 q-差分方程式を満たす2φ1とは異なる基本解
  • 第2種q-超幾何関数の定義
を、第2種 q-超幾何関数として独自に定義する。ここにq-余接関数の記号は楕円テータ関数で表わされるほうの q-余接関数である。第2種 q-超幾何関数は、極限q→1によって第2種超幾何関数2G1に還元される。
 q-超幾何関数は、1846年に H. E. Heine によって通常の複素関数の意味で導入された特殊関数であったが、1980年代に現れた量子群で解釈することによって、より本質的な性質が明らかとなった。
 現在は、Gauss の超幾何関数と並んで様々な観点から盛んに研究されており、q-一般超幾何関数などの拡張された関数が、q-解析学を中心とする純粋数学において頻繁に用いられる※2。

【註記】
※1:英訳の”Basic”は 「基本」 という意味ではない。これは、q を”Base”と呼ぶ流儀が歴史的に定着したもので、「名詞+ic」 からなる造語である。それでも、我が国では希に 「基本超幾何関数」 と称することがある。

※2:この流れに沿うならば、q-解析学でよく出現し一般に関心の高い関数である、q-Hahn 多項式, Big q-Jacobi 多項式, Askey-Wilson 多項式などを本来はここで扱うべきだが、まだ計画していない。(将来、追加するかもしれない。)

第1種q-超幾何関数の記号

 実変数の第1種 q-超幾何関数のグラフ。順に、①第1種q-超幾何関数の記号, ②第1種q-超幾何関数の記号, ③第1種q-超幾何関数の記号, ④第1種q-超幾何関数の記号, ⑤第1種q-超幾何関数の記号, ⑥第1種q-超幾何関数の記号, ⑦第1種q-超幾何関数の記号, ⑧第1種q-超幾何関数の記号。いずれも a=-3.99~4.01 (+0.2)。

 zを複素変数とする第1種 q-超幾何関数第1種q-超幾何関数の記号のグラフ。
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 qを複素変数とする第1種 q-超幾何関数第1種q-超幾何関数の記号のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
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第2種q-超幾何関数の記号

 実変数の第2種 q-超幾何関数のグラフ。順に、①第2種q-超幾何関数の記号, ②第2種q-超幾何関数の記号, ③第2種q-超幾何関数の記号, ④第2種q-超幾何関数の記号, ⑤第2種q-超幾何関数の記号, ⑥第2種q-超幾何関数の記号, ⑦第2種q-超幾何関数の記号, ⑧第2種q-超幾何関数の記号。いずれも a=-3.99~4.01 (+0.2)。

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