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q-超幾何関数
q-超幾何関数
日:q-超幾何関数英:Basic hypergeometric function※1, q-hypergeometric function,仏:q-fonction hypergéométrique
独:q-hypergeometrische funktion
Gauss の超幾何関数を q-類似 (極限によって第1種超幾何関数に還元されるように類似) した
を Heine の q-超幾何関数という。q-超幾何関数は2階の q-差分方程式を満たし、これから関数等式
を満たすことが分かる。逆に、この2階 q-差分方程式を満たす一般解は、を任意の複素定数とするとき、
となる。
q-超幾何関数は、超幾何関数における Euler の変換式や Euler の積分表示式の q-類似に相当する
を満たす。ここに積分は 「Thomae 積分」 であるとする。
最初に述べた無限級数では収束しない領域へ解析接続するために、関係式
を用いることができる。
さらに、前述の2階 q-差分方程式を満たすとは異なる基本解
を、第2種 q-超幾何関数として独自に定義する。ここには楕円テータ関数で表わされるほうの q-余接関数である。第2種 q-超幾何関数は、極限によって第2種超幾何関数に還元される。
q-超幾何関数は、1846年に H. E. Heine によって通常の複素関数の意味で導入された特殊関数であったが、1980年代に現れた量子群で解釈することによって、より本質的な性質が明らかとなった。
現在は、Gauss の超幾何関数と並んで様々な観点から盛んに研究されており、q-一般超幾何関数などの拡張された関数が、q-解析学を中心とする純粋数学において頻繁に用いられる※2。
【註記】
※1:英語名の”Basic”は 「基本」 という意味ではない。これは、q を”Base”と呼ぶ流儀が歴史的に定着したもので、「名詞+ic」 からなる造語である。それでも日本では、これを 「基本超幾何関数」 と訳している場合がある。
※2:この流れに沿うならば、q-解析学でよく出現し一般に関心の高い関数である、q-Hahn 多項式, Big q-Jacobi 多項式, Askey-Wilson 多項式などを本来はここで扱うべきだが、まだ計画していない。(将来、追加するかもしれない。)
実変数の第1種 q-超幾何関数のグラフ。順に、①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥, ⑦, ⑧。いずれも =-3.99~4.01 (+0.2)。※1:英語名の”Basic”は 「基本」 という意味ではない。これは、q を”Base”と呼ぶ流儀が歴史的に定着したもので、「名詞+ic」 からなる造語である。それでも日本では、これを 「基本超幾何関数」 と訳している場合がある。
※2:この流れに沿うならば、q-解析学でよく出現し一般に関心の高い関数である、q-Hahn 多項式, Big q-Jacobi 多項式, Askey-Wilson 多項式などを本来はここで扱うべきだが、まだ計画していない。(将来、追加するかもしれない。)
を複素変数とする第1種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第1種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第1種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第1種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第1種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第1種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第1種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第1種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第1種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第1種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第1種 q-超幾何関数のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
を複素変数とする第1種 q-超幾何関数のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
を複素変数とする第1種 q-超幾何関数のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
を複素変数とする第1種 q-超幾何関数のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
を複素変数とする第1種 q-超幾何関数のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
実変数の第2種 q-超幾何関数のグラフ。順に、①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥, ⑦, ⑧。いずれも =-3.99~4.01 (+0.2)。
を複素変数とする第2種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第2種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第2種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第2種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第2種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第2種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第2種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第2種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第2種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第2種 q-超幾何関数のグラフ。
を複素変数とする第2種 q-超幾何関数のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
を複素変数とする第2種 q-超幾何関数のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
を複素変数とする第2種 q-超幾何関数のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
を複素変数とする第2種 q-超幾何関数のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。
を複素変数とする第2種 q-超幾何関数のグラフ。2番目は、1番目のグラフの垂直軸を常用対数目盛にした場合。