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その他のq-級数

Rogers - Ramanujan 恒等式

日:Rogers - Ramanujan恒等式ロジャース - ラマヌジャン恒等式
英:Rogers-Ramanujan identities,仏:Identités de Rogers-Ramanujan,独:Rogers-Ramanujan-Identitäten

 この頁では、q-解析学でよく現れる無限乗積と無限級数との関係を表わす恒等式を、関数として見るとともに複素領域でグラフ描画する。
 これらの恒等式は、L. Euler による五角数に関連する q-級数 (→ Dedekind のエータ関数) と、C. G. J. Jacobi によるその簡易な証明法とを起源とするが、現在では他にもおびただしい種類の恒等式が発見されている。それらは主に、q-一般超幾何関数の特殊値として導びかれる。そのほとんどは一見して非自明な恒等式であり、多くの人々が「美しい数式」と評することで知られる。
 数論、組み合わせ論での応用がほとんどであるが、中には超弦理論などの物理学に現れるものもある。
 Rogers - Ramanujan 恒等式とは、
  • Rogers-Ramanujan恒等式の定義
なる q-級数 (の関係を示す恒等式) である。(因子q^(-1/60), q^(11/60)を除く場合が多いが、ここでは上記の式を採用する。)
 また、この二つの級数の商は、連分数によって
  • Rogers-Ramanujan連分数の定義
と表わされる。これを特に、Rogers - Ramanujan の連分数という。
 この恒等式は、1894年に L. J. Rogers が初めて証明し、独立に S. Ramanujan によっても発見されたものである。さらに、Ramanujan はRogers-Ramanujan連分数の記号の性質として、
  • Rogers-Ramanujan連分数の諸性質
を主張した。これらは後に、Rogers 等が証明を与えた。
 統計力学における三角形格子上の粒子模型 (Hard Hexagon Model) では、粒子の局所状態密度を表わす解を求めると Rogers - Ramanujan 恒等式 (の q-級数) が現れることを、1980年に R. J. Baxter が示した。

Rogers-Ramanujan恒等式の記号

 複素変数の Rogers - Ramanujan 恒等式のグラフ。
  • Rogers-Ramanujan恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Ramanujan恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Ramanujan恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Ramanujan恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Ramanujan恒等式のグラフ(複素変数)

Rogers-Ramanujan恒等式の記号

 複素変数の Rogers - Ramanujan 恒等式のグラフ。
  • Rogers-Ramanujan恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Ramanujan恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Ramanujan恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Ramanujan恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Ramanujan恒等式のグラフ(複素変数)

Rogers-Ramanujan連分数の記号

 実変数の Rogers - Ramanujan 連分数のグラフ。
  • Rogers-Ramanujan連分数のグラフ(実変数)

 複素変数の Rogers - Ramanujan 連分数のグラフ。単位円の外部は、正20面体方程式に付随する楕円モジュラー関数を単位円の内部から外部へ反転した関数と一致する。
  • Rogers-Ramanujan連分数のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Ramanujan連分数のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Ramanujan連分数のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Ramanujan連分数のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Ramanujan連分数のグラフ(複素変数)

Rogers - Selberg 恒等式

 以降は、Wolfram MathWorld の q-級数の頁 (http://mathworld.wolfram.com/topics/q-Series.html) に記述のある、いくつかの恒等式について考察する。
 Rogers - Selberg 恒等式とは、
  • Rogers-Selberg恒等式の定義
なる q-級数 (の関係を示す恒等式) である。
 (以下同様に、q-シフト因子の有限積の略記号q-シフト因子の有限積の略記号なる記法とする。また、関数記号は独自に定めたものである。)

Rogers-Selberg恒等式の記号

 複素変数の Rogers - Selberg 恒等式のグラフ。
  • Rogers-Selberg恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Selberg恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Selberg恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Selberg恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Selberg恒等式のグラフ(複素変数)

Rogers-Selberg恒等式の記号

 複素変数の Rogers - Selberg 恒等式のグラフ。
  • Rogers-Selberg恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Selberg恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Selberg恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Selberg恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Selberg恒等式のグラフ(複素変数)

Rogers-Selberg恒等式の記号

 複素変数の Rogers - Selberg 恒等式のグラフ。
  • Rogers-Selberg恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Selberg恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Selberg恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Selberg恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Selberg恒等式のグラフ(複素変数)

Jackson - Slater 恒等式

 Jackson - Slater 恒等式とは、
  • Jackson-Slater恒等式の定義
なる q-級数 (の関係を示す恒等式) である。

Jackson-Slater恒等式の記号

 複素変数の Jackson - Slater 恒等式のグラフ。
  • Jackson-Slater恒等式のグラフ(複素変数)
  • Jackson-Slater恒等式のグラフ(複素変数)
  • Jackson-Slater恒等式のグラフ(複素変数)
  • Jackson-Slater恒等式のグラフ(複素変数)
  • Jackson-Slater恒等式のグラフ(複素変数)

Göllnitz - Gordon 恒等式

 Göllnitz - Gordon 恒等式とは、
  • Göllnitz-Gordon恒等式の定義
なる q-級数 (の関係を示す恒等式) である。

Göllnitz-Gordon恒等式の記号

 複素変数の Göllnitz - Gordon 恒等式のグラフ。
  • Göllnitz-Gordon恒等式のグラフ(複素変数)
  • Göllnitz-Gordon恒等式のグラフ(複素変数)
  • Göllnitz-Gordon恒等式のグラフ(複素変数)
  • Göllnitz-Gordon恒等式のグラフ(複素変数)
  • Göllnitz-Gordon恒等式のグラフ(複素変数)

Göllnitz-Gordon恒等式の記号

 複素変数の Göllnitz - Gordon 恒等式のグラフ。
  • Göllnitz-Gordon恒等式のグラフ(複素変数)
  • Göllnitz-Gordon恒等式のグラフ(複素変数)
  • Göllnitz-Gordon恒等式のグラフ(複素変数)
  • Göllnitz-Gordon恒等式のグラフ(複素変数)
  • Göllnitz-Gordon恒等式のグラフ(複素変数)

Bailey Mod9恒等式

 Bailey Mod9恒等式とは、
  • Bailey-Mod9恒等式の定義
なる q-級数 (の関係を示す恒等式) である。

Bailey-Mod9恒等式の記号

 複素変数の Bailey Mod9恒等式のグラフ。
  • Bailey-Mod9恒等式のグラフ(複素変数)
  • Bailey-Mod9恒等式のグラフ(複素変数)
  • Bailey-Mod9恒等式のグラフ(複素変数)
  • Bailey-Mod9恒等式のグラフ(複素変数)
  • Bailey-Mod9恒等式のグラフ(複素変数)

Bailey-Mod9恒等式の記号

 複素変数の Bailey Mod9恒等式のグラフ。
  • Bailey-Mod9恒等式のグラフ(複素変数)
  • Bailey-Mod9恒等式のグラフ(複素変数)
  • Bailey-Mod9恒等式のグラフ(複素変数)
  • Bailey-Mod9恒等式のグラフ(複素変数)
  • Bailey-Mod9恒等式のグラフ(複素変数)

Bailey-Mod9恒等式の記号

 複素変数の Bailey Mod9恒等式のグラフ。
  • Bailey-Mod9恒等式のグラフ(複素変数)
  • Bailey-Mod9恒等式のグラフ(複素変数)
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  • Bailey-Mod9恒等式のグラフ(複素変数)
  • Bailey-Mod9恒等式のグラフ(複素変数)

Rogers Mod14恒等式

 Rogers Mod14恒等式とは、
  • Rogers-Mod14恒等式の定義
なる q-級数 (の関係を示す恒等式) である。

Rogers-Mod14恒等式の記号

 複素変数の Rogers Mod14恒等式のグラフ。
  • Rogers-Mod14恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Mod14恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Mod14恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Mod14恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Mod14恒等式のグラフ(複素変数)

Rogers-Mod14恒等式の記号

 複素変数の Rogers Mod14恒等式のグラフ。
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  • Rogers-Mod14恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Mod14恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Mod14恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Mod14恒等式のグラフ(複素変数)

Rogers-Mod14恒等式の記号

 複素変数の Rogers Mod14恒等式のグラフ。
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  • Rogers-Mod14恒等式のグラフ(複素変数)
  • Rogers-Mod14恒等式のグラフ(複素変数)

Dyson Mod27恒等式

 Dyson Mod27恒等式とは、
  • Dyson-Mod27恒等式の定義
なる q-級数 (の関係を示す恒等式) である。

Dyson-Mod27恒等式の記号

 複素変数の Dyson Mod27恒等式のグラフ。
  • Dyson-Mod27恒等式のグラフ(複素変数)
  • Dyson-Mod27恒等式のグラフ(複素変数)
  • Dyson-Mod27恒等式のグラフ(複素変数)
  • Dyson-Mod27恒等式のグラフ(複素変数)
  • Dyson-Mod27恒等式のグラフ(複素変数)

Dyson-Mod27恒等式の記号

 複素変数の Dyson Mod27恒等式のグラフ。
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Dyson-Mod27恒等式の記号

 複素変数の Dyson Mod27恒等式のグラフ。
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  • Dyson-Mod27恒等式のグラフ(複素変数)

Dyson-Mod27恒等式の記号

 複素変数の Dyson Mod27恒等式のグラフ。
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