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特殊関数 応用編

水素原子における電子の存在確率

　3次元直交直線座標{x, y, z}における (時間に依存しない) Schrödinger 方程式は、
  • ポテンシャルV(r)のSchrödinger方程式(直交直線座標)
である。ただし、具体的なV(r)は後に定める。
　上記の Schrödinger 方程式を、球座標{x, y, z}={r*sin(θ)*cos(φ),r*sin(θ)*sin(φ), r*cos(θ)}でのラプラシアン
  • ラプラシアン(球座標)
によって変換すれば、
  • ポテンシャルV(r)のSchrödinger方程式(球座標)
となる。さらに、解が変数分離形ψ(r, θ, φ)=R(r)*Θ(θ)*Φ(φ)になると仮定すれば、
  • Schrödinger方程式(球座標での変数分離後)
となり、各々の座標方向が独立に変動しても恒等的に成り立つ式になる。つまり、各項が定数に等しいと置いて式全体が０となるように定めることができる。そこで、解が既知の関数に帰着されるよう定数l*(l＋1)およびm^2を導入すると、3本の微分方程式
  • 変数分離後に得られる3本の微分方程式
が得られる。
　まず①において、V(r)が原点 (原子核) からの距離rに反比例する引力で定まると仮定し、Eを次のように定める (のが慣例となっている)※1。
  • 具体的なV(r)とEの表示
よって、物理的にZ=1, 2, 3,…およびn=1, 2, 3,…である※2。(一方、lは方位量子数 (azimuthal quantum number)、mは磁気量子数 (magnetic quantum number) の意味を持ち、l=0, 1, 2,…, n－1およびm=－l,…, －1, 0, 1,…, lでなければならない)。すると①は、
  • R(r)が満たす微分方程式
となり、さらに変換r ⇒ a･n･ρ/Zを施すと、
  • R(ρ)が満たす微分方程式
となる。この微分方程式の有界な解が、正規化 Laguerre 陪関数によって
  • 正規化Laguerre陪関数によるR(ρ)の表示式
と表わされるためには、2μ/(h^2)*e^2/(4π･ε[0])*a=2でなければならない。すなわち、Bohr 半径およびエネルギー固有値の具体的な表示式
  • 具体的なaの表示とEの別表示
が得られる※3。逆変換ρ ⇒ Z･r/(a･n)を施せば、元々の解は
  • 正規化Laguerre陪関数によるR(r)の表示式
となる。R(r)は (極座標における動径方向での) 正規直交性に基づく条件
  • R(r)に課せられる正規直交性条件
が課せられるので、ここからC[1]が
  • 具体的なC[1]の表示
と求まる※4。
　②は単に式変形すれば
  • Θ(θ)が満たす微分方程式
となり、その解は Legendre 陪関数 (Ferrers 型) に余弦関数を代入したものになるが、このうち有界な解として第2種 Legendre 陪関数を含まない、
  • Θ(θ)の表示式
を選ばなければならない。
　同様に、③も簡単な式変形によって、
  • Φ(φ)が満たす微分方程式とその一般解
となることが直ちに分かるが、m=－l,…, lであるから基本解のどちらか一方を採用すれば良い。ここでは、
  • Φ(φ)の表示式
を選ぶ。このときC[2]およびC[3]は、(極座標におけるθ, φ方向での) 正規直交性に基づく条件から求められるが、これは既に球面調和関数の頁で得られている。すなわち、
  • 具体的なC[2]とC[3]の表示
となっている。
　よって、ψ(r, θ, φ)は (併せて、量子数n, l, mを添字で明示するように改めると)
  • Schrödinger方程式の解ψ
となる※5。この解の全体に対して絶対値を取って2乗した式が、水素原子における電子の存在確率を表わす※6。

【註記】
　※1：一般的な原子の場合は、いわゆる ｢多体問題｣ が生じる等の理由からV(r)の式が複雑になるため、既知の関数で明示された形に解くことが難しい。しかし水素原子の場合は、陽子と電子が１個ずつの単純な構造であるため多体問題が生じず、しかも陽子は電子の約1836倍の質量があるため、陽子は原点に固定されていると仮定できる。それゆえ、この場合は上記のように解くことができる。(ただし、水素原子に外力が与えられていないとか、相対性理論からの効果を無視する等、他にもいくつかの仮定を含む。)

　※2：Z≧2の場合とは、電子を１個のままで原子核を一般的な元素のそれに置き換えた想像上の原子に相当する。これは ｢水素様原子｣ (水素型原子 ＝ Hydrogen-like atom) と呼ばれる。

　※3：むしろ本来の順序では、この式が Bohr 半径の (国際量体系での) 定義として先に与えられる。Bohr 半径は、基底 (最低エネルギー) 状態の水素原子における電子の軌道半径に相当する長さの単位であって、概ねa≒0.529177210903*10^(-10)mとされる。名称は、N. H. D. Bohr に由来する。

　※4：この定積分は次の方法で求める。まず、Laguerre 陪関数が満たす漸化式
  • Laguerre陪関数が満たす漸化式
から、正規化 Laguerre 陪関数が満たす漸化式
  • 正規化Laguerre陪関数が満たす漸化式
を得る。この両辺にLn[ν, α](r)を掛けて積分すると、
  • 正規化Laguerre陪関数が満たす積分漸化式
となるが、右辺にある定積分は重み関数が現れない正規直交性ゆえ１または０になる。よって、
  • 正規化Laguerre陪関数の定積分
が得られる。(当サイトでは、解の導出にあたって正規化 Laguerre 陪関数を介したが、勿論これは必須ではなく、通常は Laguerre 陪多項式で求める。)

　※5：特に、ψ[n, 0, 0]は角運動量が零になる ｢s 状態｣ の軌道を表わす。古典力学で s 状態を説明しようとすると、電子が原子核に落下して軌道が潰れてしまうとの結論が導かれてしまう。これは、現実とも矛盾する。しかし量子力学によれば、s 状態でも固有エネルギーを持ち、確率分布にしたがって電子は存在するとの結論になり、軌道が潰れないことを上手く説明できる。

　※6：以下のグラフは全て、Bohr 半径をa=1, 陽子数をZ=1として描画する。
　（Mathematica Code グラフのコードは ｢Mathematica Code｣ の頁に掲載しています。）

動径方向の波動関数

　動径方向R(r)で電子の存在確率を見る場合は、極座標に由来してrをかけることに留意する。次は、以降のグラフで使用する色の凡例である。
  • 動径方向の波動関数：色の凡例

　K 殻 (n=1) における動径方向の電子分布Abs(r * R[n, l](r))^2のグラフ (l=0)。
  • K殻における動径方向の電子分布のグラフ

　L 殻 (n=2) における動径方向の電子分布Abs(r * R[n, l](r))^2のグラフ (l=0, 1)。
  • L殻における動径方向の電子分布のグラフ

　M 殻 (n=3) における動径方向の電子分布Abs(r * R[n, l](r))^2のグラフ (l=0, 1, 2)。
  • M殻における動径方向の電子分布のグラフ

　N 殻 (n=4) における動径方向の電子分布Abs(r * R[n, l](r))^2のグラフ (l=0, 1, 2, 3)。
  • N殻における動径方向の電子分布のグラフ

　O 殻 (n=5) における動径方向の電子分布Abs(r * R[n, l](r))^2のグラフ (l=0, 1, 2, 3, 4)。
  • O殻における動径方向の電子分布のグラフ

　P 殻 (n=6) における動径方向の電子分布Abs(r * R[n, l](r))^2のグラフ (l=0, 1, 2, 3, 4, 5)。
  • P殻における動径方向の電子分布のグラフ

　Q 殻 (n=7) における動径方向の電子分布Abs(r * R[n, l](r))^2のグラフ (l=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)。
  • Q殻における動径方向の電子分布のグラフ

電子の存在確率の｢雲｣

　前述の解ψ(r, θ, φ)は、量子数n, l, mを様々に変えることによって、一般の (水素に限らない) 元素の電子配置が従う個々の原子軌道 (Atomic orbital) に対しても、電子雲の状態を近似的に表わす。以降のグラフはそれを視覚化している事になる。
　なお、電子雲の色は疑似カラーであって、現実とは異なる (可視光線の波長は原子半径の概ね数千倍もあるので、原子の規模について色を問うこと自体が無意味)。また、原点にある原子核を強調するため赤点を置いたが、その電子雲に対する実際の大きさは、図よりも遙かに小さい。

【色の凡例】
　以下のグラフで使用する色の凡例。赤字は、Og (オガネソン) までの元素の電子配置には現れないと推定されている原子軌道。
　（表中の文字をクリックすると、当該グラフの掲載箇所にジャンプします。）
  s p d f g h i
K 1s            
L 2s 2p          
M 3s 3p 3d        
N 4s 4p 4d 4f      
O 5s 5p 5d 5f 5g    
P 6s 6p 6d 6f 6g 6h  
Q 7s 7p 7d 7f 7g 7h 7i


【1s： K殻･s状態】
　Abs(ψ[1, 0, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[1, 0, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[1, 0, 0]の電子雲(3次元)

【2s： L殻･s状態】
　Abs(ψ[2, 0, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[2, 0, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[2, 0, 0]の電子雲(3次元)

【2p： L殻･p状態】
　Abs(ψ[2, 1, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[2, 1, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[2, 1, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[2, 1, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[2, 1, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[2, 1, 1]の電子雲(3次元)

【3s： M殻･s状態】
　Abs(ψ[3, 0, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[3, 0, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[3, 0, 0]の電子雲(3次元)

【3p： M殻･p状態】
　Abs(ψ[3, 1, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[3, 1, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[3, 1, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[3, 1, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[3, 1, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[3, 1, 1]の電子雲(3次元)

【3d： M殻･d状態】
　Abs(ψ[3, 2, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[3, 2, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[3, 2, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[3, 2, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[3, 2, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[3, 2, 1]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[3, 2, 2](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[3, 2, 2]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[3, 2, 2]の電子雲(3次元)

【4s： N殻･s状態】
　Abs(ψ[4, 0, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[4, 0, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[4, 0, 0]の電子雲(3次元)

【4p： N殻･p状態】
　Abs(ψ[4, 1, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[4, 1, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[4, 1, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[4, 1, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[4, 1, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[4, 1, 1]の電子雲(3次元)

【4d： N殻･d状態】
　Abs(ψ[4, 2, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[4, 2, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[4, 2, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[4, 2, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[4, 2, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[4, 2, 1]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[4, 2, 2](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[4, 2, 2]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[4, 2, 2]の電子雲(3次元)

【4f： N殻･f状態】
　Abs(ψ[4, 3, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[4, 3, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[4, 3, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[4, 3, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[4, 3, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[4, 3, 1]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[4, 3, 2](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[4, 3, 2]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[4, 3, 2]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[4, 3, 3](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[4, 3, 3]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[4, 3, 3]の電子雲(3次元)

【5s： O殻･s状態】
　Abs(ψ[5, 0, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[5, 0, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[5, 0, 0]の電子雲(3次元)

【5p： O殻･p状態】
　Abs(ψ[5, 1, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[5, 1, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[5, 1, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[5, 1, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[5, 1, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[5, 1, 1]の電子雲(3次元)

【5d： O殻･d状態】
　Abs(ψ[5, 2, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[5, 2, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[5, 2, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[5, 2, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[5, 2, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[5, 2, 1]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[5, 2, 2](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[5, 2, 2]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[5, 2, 2]の電子雲(3次元)

【5f： O殻･f状態】
　Abs(ψ[5, 3, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[5, 3, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[5, 3, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[5, 3, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[5, 3, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[5, 3, 1]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[5, 3, 2](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[5, 3, 2]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[5, 3, 2]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[5, 3, 3](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[5, 3, 3]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[5, 3, 3]の電子雲(3次元)

【5g： O殻･g状態】
　Abs(ψ[5, 4, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[5, 4, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[5, 4, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[5, 4, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[5, 4, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[5, 4, 1]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[5, 4, 2](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[5, 4, 2]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[5, 4, 2]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[5, 4, 3](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[5, 4, 3]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[5, 4, 3]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[5, 4, 4](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[5, 4, 4]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[5, 4, 4]の電子雲(3次元)

【6s： P殻･s状態】
　Abs(ψ[6, 0, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 0, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 0, 0]の電子雲(3次元)

【6p： P殻･p状態】
　Abs(ψ[6, 1, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 1, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 1, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[6, 1, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 1, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 1, 1]の電子雲(3次元)

【6d： P殻･d状態】
　Abs(ψ[6, 2, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 2, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 2, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[6, 2, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 2, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 2, 1]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[6, 2, 2](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 2, 2]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 2, 2]の電子雲(3次元)

【6f： P殻･f状態】
　Abs(ψ[6, 3, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 3, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 3, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[6, 3, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 3, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 3, 1]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[6, 3, 2](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 3, 2]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 3, 2]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[6, 3, 3](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 3, 3]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 3, 3]の電子雲(3次元)

【6g： P殻･g状態】
　Abs(ψ[6, 4, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 4, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 4, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[6, 4, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 4, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 4, 1]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[6, 4, 2](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 4, 2]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 4, 2]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[6, 4, 3](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 4, 3]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 4, 3]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[6, 4, 4](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 4, 4]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 4, 4]の電子雲(3次元)

【6h： P殻･h状態】
　Abs(ψ[6, 5, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 5, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 5, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[6, 5, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 5, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 5, 1]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[6, 5, 2](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 5, 2]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 5, 2]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[6, 5, 3](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 5, 3]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 5, 3]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[6, 5, 4](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 5, 4]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 5, 4]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[6, 5, 5](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[6, 5, 5]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[6, 5, 5]の電子雲(3次元)

【7s： Q殻･s状態】
　Abs(ψ[7, 0, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 0, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 0, 0]の電子雲(3次元)

【7p： Q殻･p状態】
　Abs(ψ[7, 1, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 1, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 1, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 1, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 1, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 1, 1]の電子雲(3次元)

【7d： Q殻･d状態】
　Abs(ψ[7, 2, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 2, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 2, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 2, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 2, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 2, 1]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 2, 2](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 2, 2]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 2, 2]の電子雲(3次元)

【7f： Q殻･f状態】
　Abs(ψ[7, 3, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 3, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 3, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 3, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 3, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 3, 1]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 3, 2](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 3, 2]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 3, 2]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 3, 3](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 3, 3]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 3, 3]の電子雲(3次元)

【7g： Q殻･g状態】
　Abs(ψ[7, 4, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 4, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 4, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 4, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 4, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 4, 1]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 4, 2](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 4, 2]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 4, 2]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 4, 3](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 4, 3]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 4, 3]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 4, 4](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 4, 4]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 4, 4]の電子雲(3次元)

【7h： Q殻･h状態】
　Abs(ψ[7, 5, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 5, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 5, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 5, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 5, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 5, 1]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 5, 2](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 5, 2]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 5, 2]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 5, 3](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 5, 3]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 5, 3]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 5, 4](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 5, 4]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 5, 4]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 5, 5](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 5, 5]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 5, 5]の電子雲(3次元)

【7i： Q殻･i状態】
　Abs(ψ[7, 6, 0](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 6, 0]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 6, 0]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 6, 1](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 6, 1]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 6, 1]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 6, 2](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 6, 2]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 6, 2]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 6, 3](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 6, 3]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 6, 3]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 6, 4](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 6, 4]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 6, 4]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 6, 5](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 6, 5]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 6, 5]の電子雲(3次元)

　Abs(ψ[7, 6, 6](r, θ, φ))^2のグラフ。
  • ψ[7, 6, 6]の電子雲(x-z断面)
  • ψ[7, 6, 6]の電子雲(3次元)


【 Petite Galerie 】

  • 量子力学的太極図(動画)
"量子力学的" 太極図
（N. H. D. Bohr は自身の紋章に太極図を採用している。）

調和振動子の存在確率

　結晶内の原子が、熱エネルギーによって振動する場合などの格子振動現象は、古典力学における単振り子やバネの運動を、量子力学の (時間に依存しない) Schrödinger 方程式
  • (時間に依存しない)Schrödinger方程式の一般形
によって量子化したもので説明される。ここに、Eは固有エネルギーである。
　最も簡単な事例として、原子が1次元的に並び、しかも原点からの距離に比例する引力が各原子に影響している場合を考える。古典力学的な1次元調和振動子のポテンシャルエネルギー関数V(x)は、
  • 1次元調和振動子のポテンシャル関数
となるのでそのまま代入し、ラプラシアンの部分は (1次元ゆえ) 単なる2階の常微分演算子になる。よって、Schrödinger 方程式は
  • 1次元調和振動子のSchrödinger方程式
に変形される※1。
　上記の Schrödinger 方程式は、正規化 Hermite 多項式が満たす微分方程式と実質同じ形であるから、解が正規化 Hermite 多項式で表わされる事を期待するならば、固有エネルギーは
1次元調和振動子の固有エネルギーEの式
に定めなければならない事が分かる。さらに、波動関数は無限遠点で０になるという条件を持つべきであるから、正規化 Hermite 関数の振る舞いを考慮すれば必然的にnは整数でなければならない事になる。因みにこの結論から、最もエネルギーが低いn=0の状態でも、固有エネルギーは０ではなく調和振動子の最低固有エネルギーになる。つまり、絶対零度でも格子上の原子は振動している。
　よって、前掲の Schrödinger 方程式の解
  • 1次元調和振動子のSchrödinger方程式の解
が得られる。この解の全体に対して絶対値を取り、さらに2乗した式が、1次元調和振動子の存在確率を表わす。
　多次元調和振動子は、Schrödinger 方程式が変数分離形になるため、次元数個の1次元調和振動子の (上記の) 解を掛け合わせた形になる。具体的に、2次元ならば
  • 2次元調和振動子のSchrödinger方程式等
となり、3次元ならば
  • 3次元調和振動子のSchrödinger方程式等
となる。いずれの場合も同様に、存在確率は解の絶対値の2乗となる。
　以下では、1次元, 2次元, および3次元調和振動子の存在確率のグラフを掲載しているが、簡単のため全てのグラフを、バネ定数についてはm=1, ω=1, 換算 Planck 定数はh=1として描画する。
　（Mathematica Code グラフのコードは ｢Mathematica Code｣ の頁に掲載しています。）

【註記】
※1：古典的な Newton 力学に従う1次元運動の場合、その物理系の Hamilton 関数Hamilton関数は、ポテンシャルエネルギー関数をV(x)とするとき、
Hamilton関数
となる (右辺の第1項は、運動エネルギーを表わす)。この場合、Hamilton 関数を量子化した ｢Hamilton 演算子｣
  • Hamilton演算子
によって、Newton 方程式を置き換えた、
Schrödinger方程式
が Schrödinger 方程式となる。

1次元調和振動子

　1次元調和振動子の存在確率を表わす波動関数1次元調和振動子の波動関数のグラフ。
  • 1次元調和振動子の波動関数のグラフ

　1次元調和振動子の波動関数のグラフを、取り得るエネルギーの位置に並べて描画する。
  • 1次元調和振動子の波動関数のグラフ

nが大きくなるほど、1次元調和振動子の波動関数の振動の平均は古典力学による解1次元調和振動子の古典物理学の解に近くなる。(グラフは1次元調和振動子の古典物理学の解の場合。)
  • 1次元調和振動子の波動関数のグラフ

2次元調和振動子

　2次元調和振動子の存在確率を表わす波動関数2次元調和振動子の波動関数のグラフ。
　(格子の内部より、辺や頂点に位置する原子の周辺の方が、電子の存在確率は高くなることが分かる。)
  • 2次元調和振動子の波動関数のグラフ
  • 2次元調和振動子の波動関数のグラフ

　2次元調和振動子の存在確率を表わす波動関数2次元調和振動子の波動関数のグラフ。
  • 2次元調和振動子の波動関数のグラフ
  • 2次元調和振動子の波動関数のグラフ

　2次元調和振動子の存在確率を表わす波動関数2次元調和振動子の波動関数のグラフ。
  • 2次元調和振動子の波動関数のグラフ
  • 2次元調和振動子の波動関数のグラフ

3次元調和振動子

　3次元調和振動子の存在確率を表わす波動関数3次元調和振動子の波動関数のグラフ。
　2番目は、1番目の一部領域を切り取って、内部が分かるようにしたグラフである (以下同様)。
  • 3次元調和振動子の波動関数のグラフ
  • 3次元調和振動子の波動関数のグラフ

　3次元調和振動子の存在確率を表わす波動関数3次元調和振動子の波動関数のグラフ。
  • 3次元調和振動子の波動関数のグラフ
  • 3次元調和振動子の波動関数のグラフ

楕円形膜の振動

　太鼓などの膜の振動現象は、膜の形状が簡単であれば特殊関数を用いて表わせる。円形膜の場合は、動径方向に第1種 Bessel 関数が現れる事例として、多くの書籍・ウェブサイト等で詳しい解説がある。
　ここでは、比較的取り上げられることが少ない事例として、第1種 Mathieu 関数が現れる楕円形膜の場合を扱う (方法そのものは円形膜の場合と変わらない)。
　速さcの振動が、任意の２次元形状の膜を伝わる場合を考える (cは、膜の張力によって決まる定数とも言える)。膜における位置を(x, y)、時刻をtとするとき、振動の変位V=V(x, y, t)は、２次元波動方程式
2次元波動方程式
に従う。振動の周波数をωとするとき、Vは
波動方程式の解
とすることができる。[2]を[1]に代入し、変数x, yに関する部分を分離すれば、Uの偏微分方程式 (Helmholtz方程式)
変数分離後のUの波動方程式
が得られる。ここで膜の形状を、x方向の半長径が１、y方向の半短径がbの楕円とする。すなわち、その焦点が楕円の焦点f(ここに、焦点fとbの関係)であるときの楕円座標
  • 楕円座標
を用いれば、[3]は
  • Uの偏微分方程式
に変形される。このとき解Uを
Uの解（変数分離形）
とすれば、[5]は変数分離形
  • 変数分離形
になる。これはξ, ηの値に係わらず成り立つので、両辺を未知定数変数分離定数に等しいと置くと、２本の線形常微分方程式
  • Mathieuの微分方程式等
が得られる。[8]は変形された Mathieu の微分方程式、[9]は Mathieu の微分方程式に他ならない。よって、固有振動関数Uのうち、偶関数であるものをUe、奇関数であるものをUoとすると、
  • 偶関数解と奇関数解
となる。ここに正規化定数は、正規化定数相当に相当する定数で、それぞれ超越方程式
  • 正規化定数の定義
の正の実数解qのうち、絶対値の小さいほうからm番目の解である。
　より一般的な楕円形膜の振動は、bが等しいUeとUoの級数で表わされる。すなわち、
  • 解Vの一般的な表示
となる。ここに定数a, c, s等は初期条件によって決まる定数で、これらがある項数以降０となる等によって消える場合は有限級数、そうでなければ無限級数となる。

固有振動関数（偶関数・奇関数）

　固有振動関数は、時刻tによらない(時刻０の)場合である。以下のグラフはこれを描画しており (アニメーションは除く)、それぞれの固有振動関数について、振動膜の立体形状図と、それを真上から見た平面図からなる。
　（Mathematica Code 下記グラフの一部について、コードを ｢Mathematica Code｣ の頁に掲載しています。）

　①②：楕円形膜の固有振動（偶関数），③④：楕円形膜の固有振動（偶関数）

　①②：楕円形膜の固有振動（偶関数），③④：楕円形膜の固有振動（偶関数）

　①②：楕円形膜の固有振動（奇関数），③④：楕円形膜の固有振動（奇関数）

　①②：楕円形膜の固有振動（奇関数），③④：楕円形膜の固有振動（奇関数）

　①②：楕円形膜の固有振動（偶関数），③④：楕円形膜の固有振動（偶関数）

　①②：楕円形膜の固有振動（偶関数），③④：楕円形膜の固有振動（偶関数）

　①②：楕円形膜の固有振動（奇関数），③④：楕円形膜の固有振動（奇関数）

　①②：楕円形膜の固有振動（奇関数），③④：楕円形膜の固有振動（奇関数）

　アニメーション（2.14MB）
　楕円形膜の固有振動 (偶関数)。楕円形膜の固有振動（偶関数）の時刻tによる変化。
  • 楕円形膜の固有振動(偶関数:動画)

固有振動関数の和

　楕円形膜の振動の一般的な例として、複数個の固有振動関数を足し合わせた場合を以下に示す。これは、時刻tによらない[14]が有限級数になる例に相当する。
　①②：楕円形膜の振動(合成)楕円形膜の振動(合成)，
　③④：楕円形膜の振動(合成)楕円形膜の振動(合成)楕円形膜の振動(合成)

　①②：楕円形膜の振動(合成)楕円形膜の振動(合成)楕円形膜の振動(合成)，
　③④：楕円形膜の振動(合成)

　①②：楕円形膜の振動(合成)楕円形膜の振動(合成)楕円形膜の振動(合成)楕円形膜の振動(合成)，
　③④：楕円形膜の振動(合成)楕円形膜の振動(合成)楕円形膜の振動(合成)楕円形膜の振動(合成)楕円形膜の振動(合成)

【工事中】

　工事中：ここに新規項目の追加を計画しています。
　Under construction：I'm planning to add a new contents here.
工事中

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