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Questions

特殊関数についての、個人的な未解決事項・疑問・および妄想 …。

多項間算術幾何平均

 Gauss の算術幾何平均(n=2)を拡張した、n項間平均の極限
  • 多項間算術幾何平均の定義
を(勝手に)多項間算術幾何平均と呼んでいる。Gauss の算術幾何平均と同様に、何らかの積分値と一致するような気がするが、これが全く分からない。
 Gauss の場合から推測すると、n項間のときは、n変数のうちの一つは「1」としても一般性を失わないので、本質的には(n-1)変数の楕円モジュラー関数(Riemann テータ関数の特殊値)が満たす関数等式によって、表現できるのではないかと考えている。例えば、
  • 多項間算術幾何平均の関数等式?
のような形の?…。
 つまり、n項間算術幾何平均の値は、種数(n-1)の超楕円積分や Abel 積分の値と関連があるのではないかと推測している。
 しかし、現在も不明である。

双子素数階段関数の近似

 実数x以下の素数の個数を表わす素数階段関数π(x)は、グラフにすると次のようになる。
  • 素数階段関数のグラフ

 同様に、実数x以下の素数の組{p, p+2}(双子素数)の個数を表わす双子素数階段関数双子素数階段関数π2(x)は、グラフにすると次のようになる。
  • 双子素数階段関数のグラフ

 また、この双子素数の分布に関連して、次の関数を考える。
  • 双子素数計数関数?
ここに、Hardy-Littlewood定数は Hardy - Littlewood 定数とする。
 実際の計算においては、これを Gram 級数化した、
  • 双子素数計数関数のGram級数?
を用いる。これは、通常の素数計数関数から Gram 級数を導く方法(積分対数関数Li(x)の冪級数展開式を代入して総和の順序を交換する)と同じ方法で得られる。
 このとき、
π2(x)≒R2(x) (x→∞)
となるであろうか?。
*******
 双子素数階段関数双子素数階段関数π2(x)の増加状況 (黒) を、次の関数と比較する。
双子素数階段関数π2(x)との近似関数双子素数階段関数π2(x)との近似関数双子素数階段関数π2(x)との近似関数
  • 双子素数階段関数との近似比較グラフ

 因みに、R2(z)を複素変数のグラフで見ると次のようになる。
  • 複素変数の双子素数計数関数(?)のグラフ

 R2(exp(z))は、複素関数としての素性がより広範囲で分かる。
  • 複素変数の双子素数計数指数関数(?)のグラフ

関数の定義における謎

 現在定着している関数定義についての、非常に細かい疑問点について。

第2種Legendre関数

 個人的には、第2種 Legendre 陪関数2/π倍したほうが良いと思っている。その理由は、2/π倍すると第1種 Legendre 陪関数と同じ包絡線を持つようになるからである。グラフで確認すれば一目瞭然である。
  • 第1種・第2種Legendre関数のグラフ
  • 第1種・第2種Legendre関数のグラフ
  • 第1種・第2種Legendre関数のグラフ

しかし、実際に定着している定義はこれではない (理由は不明)。
 因みに、第1種と第2種の Bessel 関数は、同じ包絡線を持つ。
  • 第1種・第2種Bessel関数のグラフ

 第2種の Hermite 関数Laguerre 関数Gegenbauer 関数、および Jacobi 関数の定義は(あまり応用されないこともあって)一定していない。実は、当サイトで採用しているこれらの第2種関数は、すべて第1種関数と同じ包絡線を持つような定義となっている (そのため文献等で検索しても、恐らく同一の定義には遭遇しないだろう※)。

【註記】
※ 第2種 Hermite 関数については、森口繁一・宇田川銈久・一松 信「岩波 数学公式Ⅲ 特殊関数」p.94 に当サイトと同じ定義の記述がある。

ガンマ関数

 ガンマ関数は階乗の連続化であるが、正確には1ずれている。Euler の業績を分析・整理していた A. M. Legendre が、Euler の定義した階乗関数を「ガンマ関数」と呼ぶことにした際、1ずれた形で定義したためである。その理由はよく分からないが、Legendre はガンマ関数の積分表示形(第2種 Euler 積分)を考察したときに、広義積分のtの区間を[-1, 0][0, ∞)に分けるよりも、[0, 1][1, ∞)に分けるほうを好んだためではないかと推測している。
 なお、Sir H. Jeffreys など一部の数学者は、階乗と一致した
階乗関数z!に対する第2種Euler積分
の使用を提唱したらしい※。このほうが確かに美しく、合理的でもある (好みの問題かもしれないが…)。
 しかし、余程のことがない限り、変更されることは無いだろう。

【註記】
※ G. B. Arfken 著,権平健一郎・神原武志・小山直人:共訳「基礎物理数学2 関数論」p.279。

ガンマ関数の定義にまつわる謎

【工事中】

 工事中:ここに新規項目の追加を計画しています。
 Under creation:I'm planning to add a new contents here.
工事中

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