Gegenbauer 関数
日:
Gegenbauer関数,
ゲーゲンバウアー関数
英:
Gegenbauer function,仏:
Fonction de Gegenbauer,独:
Gegenbauersche funktion
日:
超球関数
英:
Ultraspherical function,仏:
Fonction ultrasphérique,独:
Ultrasphärische funktion,
Ultrakugelfunktion
2階の線形常微分方程式
は超幾何微分方程式の特別な場合であり、
![z = ±1, ∞](siki_spec210/gegenbauer00200.png)
を確定特異点とする。これを Gegenbauer の微分方程式といい、その解の基本系
![w = a*C[ν, (μ)](z)+b*S[ν, (μ)](z)](siki_spec210/gegenbauer00300.png)
![(a, b ∈ C)](siki_spec210/gegenbauer00400.png)
を成す二つの関数を
超幾何関数で表わせば、
となる。これを順に、第1種および第2種 Gegenbauer 関数という※1。このうち、第1種は
![z = -1, ∞](siki_spec210/gegenbauer00600.png)
を一般に対数分岐点とし、実軸上の区間
![(-∞, -1]](siki_spec210/gegenbauer00700.png)
に分枝切断線が置かれる。第2種は
![z = ±1, ∞](siki_spec210/gegenbauer00200.png)
を一般に対数分岐点とし、実軸上の区間
![(-∞, -1]](siki_spec210/gegenbauer00700.png)
および
![[1, ∞)](siki_spec210/gegenbauer00800.png)
に分枝切断線が置かれる。
Gegenbauer 関数は、
Legendre 陪関数 (Ferrers 型) と本質的に同じクラスの関数であって、
と表わせる。また、この表示式と Legendre 陪関数 (Ferrers 型) の性質を用いれば、
が導かれる。
Gegenbauer 関数は、
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
に関して線形漸化式および微分漸化式
を満たす。同様に、
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
に関する漸化式は
となる。ここに
![a(ν, μ), b(ν, μ)](siki_spec210/gegenbauer01300.png)
は、
![ν, μ](siki_spec210/gegenbauer01400.png)
の二変数について1を周期とする任意の周期関数である。
Gegenbauer 関数は
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
が特別な値のとき、定数関数,
Chebyshev 関数, および Legendre 関数
に還元される。また、
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
に対して極限を取ると、Chebyshev 関数または
Hermite 関数
に近付く※2。
第1種 Gegenbauer 関数は次数が
![ν = n ∈ N≧0](siki_spec210/gegenbauer01700.png)
ならば、多項式
に還元され、Gegenbauer 多項式と呼ばれる。Gegenbauer 多項式は
![n](siki_spec210/gegenbauer_n.png)
が偶数 (奇数) ならば偶関数 (奇関数) となり、母関数表示式および Rodrigues の公式
によっても表わせる。Gegenbauer 多項式は直交性を持つが、これについては
次節で触れる。
第2種 Gegenbauer 関数については、当サイトと異なる定義がいくつか存在する。例えば 「Higher Transcendental Functions vol.1」 の178~179頁では、
が掲載されている※3。これは、
Legendre 陪関数 (Hobson 型) と本質的に同じクラスの関数であり、
となる。さらに、
![C[ν, (μ)](z)](siki_spec210/gegenbauer02200.png)
と
![S[ν, (μ)](z)](siki_spec210/gegenbauer02300.png)
の線形結合式
でも表わせるので、
![D[ν, (μ)](z)](siki_spec210/gegenbauer02500.png)
は前述と全く同じ線形常微分方程式および
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
に関する漸化式を満たす。一方、
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
に関する漸化式は若干形が異なり、
となる。また、
![D[ν, (μ)](z)](siki_spec210/gegenbauer02500.png)
は実軸上の区間
![(-∞, 1]](siki_spec210/gegenbauer02700.png)
に分枝切断線を置くことが
![C[ν, (μ)](z), S[ν, (μ)](z)](siki_spec210/gegenbauer02800.png)
と異なる。
![d](siki_spec210/gegenbauer_d.png)
次元 Euclid 空間内の直交直線座標
![{x[1], x[2], …, x[d]}](siki_spec210/gegenbauer02900.png)
を、極座標 (超球座標)
で表わすとき、多変数関数
![ψ = ψ(r, θ[1], …, θ[d-1])](siki_spec210/gegenbauer03100.png)
に超球座標でのラプラシアンを作用させたものは、
となる。このとき、Laplace 方程式
![(Δ[d]^2)ψ = 0](siki_spec210/gegenbauer03300.png)
の解は変数分離が可能で、具体的に
となり、
![(d-2)](siki_spec210/gegenbauer03500.png)
個の天頂角方向で Gegenbauer 関数が現れる※4。それゆえ、Gegenbauer 関数を 「超球関数」 と呼ぶことも多い。Gegenbauer 関数は、高次元空間内で境界条件が超球で定まる物理問題のほか、高次元幾何学、群論に応用される。例えば、量子色力学、相対論的効果を取り入れた調和振動子などが挙げられ、これらは Chebyshev 関数の応用事例とも共通している。
Gegenbauer 関数の名称は、1893年にこの関数を論じた L. B. Gegenbauer に由来する。
【註記】
※1:第2種 Gegenbauer 関数
![S[ν, (μ)](z)](siki_spec210/gegenbauer02300.png)
は当サイトが独自に定義したものであって、
![C[ν, (μ)](z)](siki_spec210/gegenbauer02200.png)
が余弦関数に相当すると見たとき、
![S[ν, (μ)](z)](siki_spec210/gegenbauer02300.png)
は正弦関数に相当する。(この事は、後にグラフでも確認する。また、第2種関数の定義に対する当サイトの方針は、別頁
Questions に掲示している。)
※2:
![C[ν](z)](siki_spec210/gegenbauer03600.png)
は第1種 Gegenbauer 関数の "繰込形式" と呼ばれる。書籍によっては
![C[ν](z)](siki_spec210/gegenbauer03600.png)
を
![C[ν, (0)](z)](siki_spec210/gegenbauer03700.png)
と表記することもあるが、明らかに両者は同一ではなく、混乱を避けるため当サイトでは区別する。
※3:同著での関数記号は
![D[ν, μ](z)](siki_spec210/gegenbauer03800.png)
であるが、当サイトでは他の記法に合わせて
![D[ν, (μ)](z)](siki_spec210/gegenbauer02500.png)
と表記する。また同著では、正規化していない超幾何関数の閉形式で掲載している。
※4:Gegenbauer 関数の代わりに、Legendre 陪関数 (Ferrers 型) で解を表示することもできる。具体的には
となり、むしろこの方が簡明な形になる。ただし、
![d ≧ 4](siki_spec210/gegenbauer04000.png)
では Legendre 陪関数の次数が半奇数になる場合が現れるため、直交性が適用できない。
![C[ν,(μ)](z)](siki_spec210/gegenbauer06600.png)
![x](siki_spec210/gegenbauer_x.png)
を実変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。
①整数次
![C[n, (0.75)](x)](siki_spec210/gegenbauer04100.png)
(Gegenbauer 多項式)。
②実数次
![C[ν, (0.75)](x)](siki_spec210/gegenbauer04200.png)
。
![ν, x](siki_spec210/gegenbauer04300.png)
を実2変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[ν, (0.75)](x)](siki_spec210/gegenbauer04200.png)
のグラフ。
![ν = -1.5, -2.5, -3.5, …](siki_spec210/gegenbauer04400.png)
では関数が定義されない。
2番目は、
![ν ≦ -1.5](siki_spec210/gegenbauer04500.png)
の範囲を拡大した場合。
![x](siki_spec210/gegenbauer_x.png)
を実変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。
①整数次
![C[n, (4.3)](x)](siki_spec210/gegenbauer04600.png)
(Gegenbauer 多項式)。
②実数次
![C[ν, (4.3)](x)](siki_spec210/gegenbauer04700.png)
。
![ν, x](siki_spec210/gegenbauer04300.png)
を実2変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[ν, (4.3)](x)](siki_spec210/gegenbauer04700.png)
のグラフ。
![ν = -8.6, -9.6, -10.6, …](siki_spec210/gegenbauer04800.png)
では関数が定義されない。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[2.7, (4.3)](z)](siki_spec210/gegenbauer04900.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[-0.4, (4.3)](z)](siki_spec210/gegenbauer05000.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[4-3i, (4.3)](z)](siki_spec210/gegenbauer05100.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[5.7i, (4.3)](z)](siki_spec210/gegenbauer05200.png)
のグラフ。
アニメーション
(9.77MB)
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[ν, (4.3)](z)](siki_spec210/gegenbauer05300.png)
のグラフ。
![x](siki_spec210/gegenbauer_x.png)
を実変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[ν, (-1.7)](x)](siki_spec210/gegenbauer05400.png)
のグラフ。
![ν, x](siki_spec210/gegenbauer04300.png)
を実2変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[ν, (-1.7)](x)](siki_spec210/gegenbauer05400.png)
のグラフ。
![ν = 3.4, 2.4, 1.4, 0.4](siki_spec210/gegenbauer05500.png)
並びに
![ν = -0.6, -1.6, -2.6, …](siki_spec210/gegenbauer05600.png)
では関数が定義されない。
2番目は、
![-6.6 ≦ ν ≦ 3.4](siki_spec210/gegenbauer05700.png)
の範囲を拡大した場合。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[2.7, (-1.7)](z)](siki_spec210/gegenbauer05800.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[-0.4, (-1.7)](z)](siki_spec210/gegenbauer05900.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[4-3i, (-1.7)](z)](siki_spec210/gegenbauer06000.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[5.7i, (-1.7)](z)](siki_spec210/gegenbauer06100.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[2.7, (3+2i)](z)](siki_spec210/gegenbauer06200.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[-0.4, (3+2i)](z)](siki_spec210/gegenbauer06300.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[4-3i, (3+2i)](z)](siki_spec210/gegenbauer06400.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[5.7i, (3+2i)](z)](siki_spec210/gegenbauer06500.png)
のグラフ。
![C[ν,(μ)](z) (変数ν)](siki_spec210/gegenbauer07300.png)
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を実変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。
①![C[ν, (2.3)](x)](siki_spec210/gegenbauer06700.png)
,
②![C[ν, (-1.6)](x)](siki_spec210/gegenbauer06800.png)
。
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[ν, (2.3)](0.7)](siki_spec210/gegenbauer06900.png)
のグラフ。
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[ν, (2.3)](0.8i)](siki_spec210/gegenbauer07000.png)
のグラフ。
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[ν, (-1-i)](0.7)](siki_spec210/gegenbauer07100.png)
のグラフ。
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[ν, (-1-i)](-0.8i)](siki_spec210/gegenbauer07200.png)
のグラフ。
![C[ν,(μ)](z) (変数μ)](siki_spec210/gegenbauer08100.png)
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を実変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。
①![C[3.2, (μ)](x)](siki_spec210/gegenbauer07400.png)
,
②![C[-1.6, (μ)](x)](siki_spec210/gegenbauer07500.png)
。
![μ, x](siki_spec210/gegenbauer07600.png)
を実2変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。
①![C[3.2, (μ)](x)](siki_spec210/gegenbauer07400.png)
,
②![C[-1.6, (μ)](x)](siki_spec210/gegenbauer07500.png)
。
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[2.7, (μ)](0.7)](siki_spec210/gegenbauer07700.png)
のグラフ。
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[2.7, (μ)](0.4i)](siki_spec210/gegenbauer07800.png)
のグラフ。
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[4-3i, (μ)](0.7)](siki_spec210/gegenbauer07900.png)
のグラフ。
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数
![C[4-3i, (μ)](0.4i)](siki_spec210/gegenbauer08000.png)
のグラフ。
![C[ν,(μ)](z) (変数ν,μ)](siki_spec210/gegenbauer08500.png)
![ν, μ](siki_spec210/gegenbauer01400.png)
を実2変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。
①,
②![C[ν, (μ)](0.2)](siki_spec210/gegenbauer08300.png)
。
③,
④![C[ν, (μ)](-0.8)](siki_spec210/gegenbauer08400.png)
。
![C[ν](z), C[ν,(μ)](z)/μ](siki_spec210/gegenbauer09000.png)
冒頭で触れたとおり、繰込形式の Gegenbauer 関数
![C[ν](z)](siki_spec210/gegenbauer03600.png)
は実質的に第1種 Chebyshev 関数である。よって、
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする
![C[ν](z)](siki_spec210/gegenbauer03600.png)
のグラフは省略する。
![x](siki_spec210/gegenbauer_x.png)
を実変数とする、繰込形式の Gegenbauer 関数のグラフ。
①整数次
![C[n](x)](siki_spec210/gegenbauer08600.png)
(Gegenbauer 多項式),
②実数次
![C[ν](x)](siki_spec210/gegenbauer08700.png)
。
![ν, x](siki_spec210/gegenbauer04300.png)
を実2変数とする、繰込形式の Gegenbauer 関数
![C[ν](x)](siki_spec210/gegenbauer08700.png)
のグラフ。
極限を取る前の、繰込形式の Gegenbauer 関数
![C[n,(μ)](x)/μ](siki_spec210/gegenbauer08800.png)
と、その
![μ = 0](siki_spec210/gegenbauer08900.png)
への連続的な推移。
![S[ν,(μ)](z)](siki_spec210/gegenbauer10900.png)
![x](siki_spec210/gegenbauer_x.png)
を実変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。
①整数次
![S[n, (0.75)](x)](siki_spec210/gegenbauer09100.png)
,
②実数次
![S[ν, (0.75)](x)](siki_spec210/gegenbauer09200.png)
。
![ν, x](siki_spec210/gegenbauer04300.png)
を実2変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[ν, (0.75)](x)](siki_spec210/gegenbauer09200.png)
のグラフ。
![ν = -1.5, -2.5, -3.5, …](siki_spec210/gegenbauer04400.png)
では関数が定義されない。
2番目は、
![ν ≦ -1.5](siki_spec210/gegenbauer04500.png)
の範囲を拡大した場合。
![x](siki_spec210/gegenbauer_x.png)
を実変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。
①整数次
![S[n, (4.3)](x)](siki_spec210/gegenbauer09300.png)
,
②実数次
![S[ν, (4.3)](x)](siki_spec210/gegenbauer09400.png)
。
![ν, x](siki_spec210/gegenbauer04300.png)
を実2変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[ν, (4.3)](x)](siki_spec210/gegenbauer09400.png)
のグラフ。
![ν = -8.6, -9.6, -10.6, …](siki_spec210/gegenbauer04800.png)
では関数が定義されない。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[2.7, (4.3)](z)](siki_spec210/gegenbauer09500.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[-0.4, (4.3)](z)](siki_spec210/gegenbauer09600.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[4-3i, (4.3)](z)](siki_spec210/gegenbauer09700.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[5.7i, (4.3)](z)](siki_spec210/gegenbauer09800.png)
のグラフ。
アニメーション
(11.0MB)
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[ν, (4.3)](z)](siki_spec210/gegenbauer09900.png)
のグラフ。
![x](siki_spec210/gegenbauer_x.png)
を実変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[ν, (-1.7)](x)](siki_spec210/gegenbauer10000.png)
のグラフ。
![ν, x](siki_spec210/gegenbauer04300.png)
を実2変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[ν, (-1.7)](x)](siki_spec210/gegenbauer10000.png)
のグラフ。
![ν = 3.4, 2.4, 1.4, 0.4](siki_spec210/gegenbauer05500.png)
並びに
![ν = -0.6, -1.6, -2.6, …](siki_spec210/gegenbauer05600.png)
では関数が定義されない。
2番目は、
![-6.6 ≦ ν ≦ 3.4](siki_spec210/gegenbauer05700.png)
の範囲を拡大した場合。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[2.7, (-1.7)](z)](siki_spec210/gegenbauer10100.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[-0.4, (-1.7)](z)](siki_spec210/gegenbauer10200.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[4-3i, (-1.7)](z)](siki_spec210/gegenbauer10300.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[5.7i, (-1.7)](z)](siki_spec210/gegenbauer10400.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[2.7, (3+2i)](z)](siki_spec210/gegenbauer10500.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[-0.4, (3+2i)](z)](siki_spec210/gegenbauer10600.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[4-3i, (3+2i)](z)](siki_spec210/gegenbauer10700.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[5.7i, (3+2i)](z)](siki_spec210/gegenbauer10800.png)
のグラフ。
![S[ν,(μ)](z) (変数ν)](siki_spec210/gegenbauer11600.png)
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を実変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。
①![S[ν, (2.3)](x)](siki_spec210/gegenbauer11000.png)
,
②![S[ν, (-1.6)](x)](siki_spec210/gegenbauer11100.png)
。
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[ν, (2.3)](0.7)](siki_spec210/gegenbauer11200.png)
のグラフ。
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[ν, (2.3)](0.8i)](siki_spec210/gegenbauer11300.png)
のグラフ。
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[ν, (-1-i)](0.7)](siki_spec210/gegenbauer11400.png)
のグラフ。
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[ν, (-1-i)](-0.8i)](siki_spec210/gegenbauer11500.png)
のグラフ。
![S[ν,(μ)](z) (変数μ)](siki_spec210/gegenbauer12300.png)
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を実変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。
①![S[3.2, (μ)](x)](siki_spec210/gegenbauer11700.png)
,
②![S[-1.6, (μ)](x)](siki_spec210/gegenbauer11800.png)
。
![μ, x](siki_spec210/gegenbauer07600.png)
を実2変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。
①![S[3.2, (μ)](x)](siki_spec210/gegenbauer11700.png)
,
②![S[-1.6, (μ)](x)](siki_spec210/gegenbauer11800.png)
。
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[2.7, (μ)](0.7)](siki_spec210/gegenbauer11900.png)
のグラフ。
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[2.7, (μ)](0.4i)](siki_spec210/gegenbauer12000.png)
のグラフ。
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[4-3i, (μ)](0.7)](siki_spec210/gegenbauer12100.png)
のグラフ。
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![S[4-3i, (μ)](0.4i)](siki_spec210/gegenbauer12200.png)
のグラフ。
![S[ν,(μ)](z) (変数ν,μ)](siki_spec210/gegenbauer12600.png)
![ν, μ](siki_spec210/gegenbauer01400.png)
を実2変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。
①,
②![S[ν, (μ)](0.2)](siki_spec210/gegenbauer12400.png)
。
③,
④![S[ν, (μ)](-0.8)](siki_spec210/gegenbauer12500.png)
。
![C[ν,(μ)](z)とS[ν,(μ)](z)の関係](siki_spec210/gegenbauer13000.png)
余弦・正弦関数に類似した
![C[ν, (μ)](x)](siki_spec210/gegenbauer12700.png)
と
![S[ν, (μ)](x)](siki_spec210/gegenbauer12800.png)
の関係。このとき、両者の包絡線は
![±Sqrt(C[ν,(μ)](z)^2+S[ν,(μ)](z)^2)](siki_spec210/gegenbauer12900.png)
となる。
実2変数
![ν, x](siki_spec210/gegenbauer04300.png)
の場合。
![D[ν,(μ)](z)](siki_spec210/gegenbauer14000.png)
![x](siki_spec210/gegenbauer_x.png)
を実変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。
①![D[ν, (0.75)](x)](siki_spec210/gegenbauer13100.png)
,
②![D[ν, (4.3)](x)](siki_spec210/gegenbauer13200.png)
。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![D[2.7, (4.3)](z)](siki_spec210/gegenbauer13300.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![D[-0.4, (4.3)](z)](siki_spec210/gegenbauer13400.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![D[4-3i, (4.3)](z)](siki_spec210/gegenbauer13500.png)
のグラフ。
アニメーション
(22.9MB)
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![D[ν, (4.3)](z)](siki_spec210/gegenbauer13600.png)
のグラフ。ここに次数は、複素
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
平面上を2番目の図のように動く。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![D[2.7, (3+2i)](z)](siki_spec210/gegenbauer13700.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![D[4-3i, (3+2i)](z)](siki_spec210/gegenbauer13800.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![D[5.7i, (3+2i)](z)](siki_spec210/gegenbauer13900.png)
のグラフ。
![D[ν,(μ)](z) (変数ν)](siki_spec210/gegenbauer14600.png)
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を実変数とする第2種 Gegenbauer 関数
![D[ν, (μ)](x)](siki_spec210/gegenbauer14100.png)
は、
![μ, x](siki_spec210/gegenbauer07600.png)
が実数であっても一般に実数値を取らない。よって、そのグラフは省略する。
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![D[ν, (2.3)](0.7)](siki_spec210/gegenbauer14200.png)
のグラフ。
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![D[ν, (2.3)](0.8i)](siki_spec210/gegenbauer14300.png)
のグラフ。
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![D[ν, (-1-i)](0.7)](siki_spec210/gegenbauer14400.png)
のグラフ。
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![D[ν, (-1-i)](-0.8i)](siki_spec210/gegenbauer14500.png)
のグラフ。
![D[ν,(μ)](z) (変数μ)](siki_spec210/gegenbauer15100.png)
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を実変数とする第2種 Gegenbauer 関数
![D[ν, (μ)](x)](siki_spec210/gegenbauer14100.png)
は、
![ν, x](siki_spec210/gegenbauer04300.png)
が実数であっても一般に実数値を取らない。よって、そのグラフは省略する。
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![D[2.7, (μ)](0.7)](siki_spec210/gegenbauer14700.png)
のグラフ。
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![D[2.7, (μ)](0.4i)](siki_spec210/gegenbauer14800.png)
のグラフ。
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![D[4-3i, (μ)](0.7)](siki_spec210/gegenbauer14900.png)
のグラフ。
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数
![D[4-3i, (μ)](0.4i)](siki_spec210/gegenbauer15000.png)
のグラフ。
Gegenbauer 多項式
![C[n,(μ)](x)](siki_spec210/gegenbauer15200.png)
は、直交区間を
![[-1, 1]](siki_spec210/gegenbauer15300.png)
とする直交多項式であり、重み関数を伴う直交性
を持っている。超球面調和関数の正規化因子を求める場合等では、上記に
![x = cos(θ)](siki_spec210/gegenbauer15500.png)
の置換積分を施した
の形が必要になる※1。Gegenbauer 多項式は、超幾何関数系で Jacobi 多項式に次いで複雑な直交性を持つ古典的直交多項式であり、その q-類似も含めて組合せ論的な研究が進展している。
さて、当サイトでは Gegenbauer 関数に対しても、独自に
を導入し、正規化 Gegenbauer 関数と呼ぶ※2。よって、
![{Cn[n,(μ)](x)} (n ∈ N≧0)](siki_spec210/gegenbauer15800.png)
は
正規直交関数系を成すとともに、重み関数が現れない直交性
を満たす。
これまでに現れた関係式から、正規化 Gegenbauer 関数は Legendre 陪関数と、
の違いしかないことが分かる※3。
【註記】
※1:Legendre 陪関数と異なり、この直交性は
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
が正の実数ならば成立するので、超球面調和関数を構成するときに大変都合が良い。(Gegenbauer 関数を導入する意義は、正にこの事に尽きる。)
※2:関数記号は正規化 (Normalization) に基づく。また、当サイトでは
![ν, μ](siki_spec210/gegenbauer01400.png)
および
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素数まで許容する。
※3:したがって、グラフの掲載数を若干削減する。
![Cn[ν,(μ)](z)](siki_spec210/gegenbauer17600.png)
![x](siki_spec210/gegenbauer_x.png)
を実変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。
①整数次
![Cn[n, (0.75)](x)](siki_spec210/gegenbauer16100.png)
,
②実数次
![Cn[ν, (0.75)](x)](siki_spec210/gegenbauer16200.png)
。
![ν, x](siki_spec210/gegenbauer04300.png)
を実2変数とする、正規化 Gegenbauer 関数
![Cn[ν, (0.75)](x)](siki_spec210/gegenbauer16200.png)
のグラフ。
![ν < -0.75](siki_spec210/gegenbauer16300.png)
では関数が実数値を取らない
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
の帯状領域がある。
![x](siki_spec210/gegenbauer_x.png)
を実変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。
①整数次
![Cn[n, (4.3)](x)](siki_spec210/gegenbauer16400.png)
,
②実数次
![Cn[ν, (4.3)](x)](siki_spec210/gegenbauer16500.png)
。
![ν, x](siki_spec210/gegenbauer04300.png)
を実2変数とする、正規化 Gegenbauer 関数
![Cn[ν, (4.3)](x)](siki_spec210/gegenbauer16500.png)
のグラフ。
![ν < -1](siki_spec210/gegenbauer16600.png)
では関数が実数値を取らない
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
の帯状領域がある。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数
![Cn[2.7, (4.3)](z)](siki_spec210/gegenbauer16700.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数
![Cn[-0.4, (4.3)](z)](siki_spec210/gegenbauer16800.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数
![Cn[4-3i, (4.3)](z)](siki_spec210/gegenbauer16900.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数
![Cn[5.7i, (4.3)](z)](siki_spec210/gegenbauer17000.png)
のグラフ。
![x](siki_spec210/gegenbauer_x.png)
を実変数とする、正規化 Gegenbauer 関数
![Cn[ν, (-1.7)](x)](siki_spec210/gegenbauer17100.png)
のグラフ。
![ν, x](siki_spec210/gegenbauer04300.png)
を実2変数とする、正規化 Gegenbauer 関数
![Cn[ν, (-1.7)](x)](siki_spec210/gegenbauer17100.png)
のグラフ。
![ν < 3.4](siki_spec210/gegenbauer17200.png)
では関数が実数値を取らない
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
の帯状領域がある。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数
![Cn[-0.4, (-1.7)](z)](siki_spec210/gegenbauer17300.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数
![Cn[2.7, (3+2i)](z)](siki_spec210/gegenbauer17400.png)
のグラフ。
![z](siki_spec210/gegenbauer_z.png)
を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数
![Cn[-0.4, (3+2i)](z)](siki_spec210/gegenbauer17500.png)
のグラフ。
![Cn[ν,(μ)](z) (変数ν)](siki_spec210/gegenbauer18300.png)
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を実変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。
①![Cn[ν, (2.3)](x)](siki_spec210/gegenbauer17700.png)
,
②![Cn[ν, (-1.6)](x)](siki_spec210/gegenbauer17800.png)
。
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数
![Cn[ν, (2.3)](0.7)](siki_spec210/gegenbauer17900.png)
のグラフ。
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数
![Cn[ν, (2.3)](0.8i)](siki_spec210/gegenbauer18000.png)
のグラフ。
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数
![Cn[ν, (-1-i)](0.7)](siki_spec210/gegenbauer18100.png)
のグラフ。
![ν](siki_spec210/gegenbauer_nu.png)
を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数
![Cn[ν, (-1-i)](-0.8i)](siki_spec210/gegenbauer18200.png)
のグラフ。
![Cn[ν,(μ)](z) (変数μ)](siki_spec210/gegenbauer18900.png)
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を実変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。
①![Cn[3.2, (μ)](x)](siki_spec210/gegenbauer18400.png)
,
②![Cn[-2.2, (μ)](x)](siki_spec210/gegenbauer18500.png)
。
![μ, x](siki_spec210/gegenbauer07600.png)
を実2変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。
①![Cn[3.2, (μ)](x)](siki_spec210/gegenbauer18400.png)
,
②![Cn[-2.2, (μ)](x)](siki_spec210/gegenbauer18500.png)
。
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数
![Cn[2.7, (μ)](0.7)](siki_spec210/gegenbauer18600.png)
のグラフ。
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数
![Cn[4-3i, (μ)](0.7)](siki_spec210/gegenbauer18700.png)
のグラフ。
![μ](siki_spec210/gegenbauer_mu.png)
を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数
![Cn[4-3i, (μ)](0.4i)](siki_spec210/gegenbauer18800.png)
のグラフ。
![Cn[ν,(μ)](z) (変数ν,μ)](siki_spec210/gegenbauer19200.png)
![ν, μ](siki_spec210/gegenbauer01400.png)
を実2変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。
①,
②![Cn[ν, (μ)](0.2)](siki_spec210/gegenbauer19000.png)
。
③,
④![Cn[ν, (μ)](-0.8)](siki_spec210/gegenbauer19100.png)
。
日:
超球面調和関数,
高次元球面調和関数
英:
Ultraspherical harmonics,
Hyperspherical harmonics,仏:
Harmonique ultrasphérique,独:
Ultrakugelflächenfunktion
![d](siki_spec210/gegenbauer_d.png)
次元超球座標で変数分離した Laplace 方程式の一般解
![ψ](siki_spec210/gegenbauer_psi.png)
は、すでに冒頭の節で与えられている。このうち、方位角および天頂角方向の解は第1種の基本解のみ (つまり、
![B[l] = 0 (l = 1, 2, …, d-1))](siki_spec210/gegenbauer19300.png)
となる場合) を採用した特別な固有関数解を選び、しかも動径方向
![Ρ(r)](siki_spec210/gegenbauer19400.png)
を除外した多変数関数
を考える。超球面全体にわたる積分が1となる要請
のうち、さらに具体的な条件
を課せば、正規化因子
![A[l]](siki_spec210/gegenbauer19800.png)
が決定される。特に
![A[1] = 1/Sqrt(2π)](siki_spec210/gegenbauer19900.png)
となるが、
![A[k] (k = 2, 3, …, d-1)](siki_spec210/gegenbauer20000.png)
は前述の Gegenbauer 多項式の直交性から求められ、
となる。以上の手順を経て、超球面調和関数
が導かれる※1。名称については、高次元球面調和関数 (または特定の次元数を冠して
![d](siki_spec210/gegenbauer_d.png)
次元球面調和関数) と呼ぶこともある。
既に述べた公式および
ガンマ関数の倍数公式等を用いれば、Gegenbauer 多項式の部分を Legendre 陪関数および
球面調和関数に書き換えて (つまり、Legendre 陪関数の直交性を経由せずに)、
と表示することもできる。特に
![d = 3](siki_spec210/gegenbauer20400.png)
の超球面調和関数は、球面調和関数と Condon - Shortley の位相だけ異なることが分かる※2。
通常、球面調和関数の次数は整数に限定されるが、これが半奇数の場合でも (階乗をガンマ関数で置き換えて) 計算可能であると定義するならば、超球面調和関数を球面調和関数の有限積
で表わすことができる※2。
超球面調和関数をそのままグラフで視覚化するのは難しい。当サイトでは、
![d = 4](siki_spec210/gegenbauer20600.png)
の場合のみを扱い、しかも
![θ[1], θ[2], θ[3]](siki_spec210/gegenbauer20700.png)
のいずれかを動かしたときのアニメーションを中心に掲載する。
また、球面調和関数に付随して
Wigner の 3-j 記号が現れたように、
![d = 4](siki_spec210/gegenbauer20600.png)
の超球面調和関数では 「6-j 記号」 並びに 「9-j 記号」 が現れるが、当サイトでは詳述しない※3。
【註記】
※1:この表示式は、サイト管理人が上記の手順に則って独自に求めたものである。したがって、論文等で採用されている表示式および記号と、見かけが異なるかもしれない。
※2:つまり
![Y[n1, n2](θ[1], θ[2]) = (-1)^n[1]*Y[n2, n1](θ[2], θ[1])](siki_spec210/gegenbauer20800.png)
となる。(次数および変数の順序が逆になる不都合は、当サイトが採用した超球座標の表記法に由来する。)
※3:6-j 記号, 9-j 記号自体の詳細は、
NIST の Chapter34 にある。
![Y[n1,n2,n3](θ1,θ2,θ3)](siki_spec210/gegenbauer22000.png)
![θ[1], θ[2]](siki_spec210/gegenbauer20900.png)
を変数とする超球面調和関数
①![Abs(Y[5, 10, 13](θ[1], θ[2], θ[3]))](siki_spec210/gegenbauer21000.png)
,
②![Abs(Re(Y[5, 10, 13](θ[1], θ[2], θ[3])))](siki_spec210/gegenbauer21200.png)
,
③![Abs(Im(Y[5, 10, 13](θ[1], θ[2], θ[3])))](siki_spec210/gegenbauer21300.png)
のグラフを、
![0 ≦ θ[3] ≦ π](siki_spec210/gegenbauer21100.png)
で動かした場合のアニメーション
(2.96~3.26MB)。末尾の図は座標の取り方を示す (以下同様)。
![θ[1], θ[3]](siki_spec210/gegenbauer21400.png)
を変数とする超球面調和関数
①![Abs(Y[5, 10, 13](θ[1], θ[2], θ[3]))](siki_spec210/gegenbauer21000.png)
,
②![Abs(Re(Y[5, 10, 13](θ[1], θ[2], θ[3])))](siki_spec210/gegenbauer21200.png)
,
③![Abs(Im(Y[5, 10, 13](θ[1], θ[2], θ[3])))](siki_spec210/gegenbauer21300.png)
のグラフを、
![0 ≦ θ[2] ≦ π](siki_spec210/gegenbauer21500.png)
で動かした場合のアニメーション
(3.27~3.50MB)。
![θ[2], θ[3]](siki_spec210/gegenbauer21600.png)
を変数とする超球面調和関数
①![Abs(Y[5, 10, 13](θ[1], θ[2], θ[3]))](siki_spec210/gegenbauer21000.png)
,
②![Abs(Re(Y[5, 10, 13](θ[1], θ[2], θ[3])))](siki_spec210/gegenbauer21200.png)
,
③![Abs(Im(Y[5, 10, 13](θ[1], θ[2], θ[3])))](siki_spec210/gegenbauer21300.png)
のグラフを、
![0 ≦ θ[1] ≦ 2π/5](siki_spec210/gegenbauer21700.png)
で動かした場合のアニメーション
(3.06~5.94MB)。
(
![0 ≦ θ[1] ≦ 2π/5](siki_spec210/gegenbauer21700.png)
が周期ゆえ、
![0 ≦ θ[1] ≦ 2π](siki_spec210/gegenbauer21800.png)
で動かすと5周期 ― コマ数が冗長 ― となる。)
![θ[1], θ[2], θ[3]](siki_spec210/gegenbauer20700.png)
を変数とする超球面調和関数
①![Abs(Y[5, 10, 13](θ[1], θ[2], θ[3]))](siki_spec210/gegenbauer21000.png)
,
②![Abs(Re(Y[5, 10, 13](θ[1], θ[2], θ[3])))](siki_spec210/gegenbauer21200.png)
,
③![Abs(Im(Y[5, 10, 13](θ[1], θ[2], θ[3])))](siki_spec210/gegenbauer21300.png)
のグラフを、直交直線座標
![{θ[1], θ[2], θ[3]}](siki_spec210/gegenbauer21900.png)
で描画する。