特殊関数 グラフィックスライブラリー
Graphics Library of Special functions

Gegenbauer 関数

Gegenbauer 関数

日：Gegenbauer関数，ゲーゲンバウアー関数
英：Gegenbauer function，仏：Fonction de Gegenbauer，独：Gegenbauersche funktion
日：超球関数
英：Ultraspherical function，仏：Fonction ultrasphérique，独：Ultrasphärische funktion，Ultrakugelfunktion

　2階の線形常微分方程式

• 

は超幾何微分方程式の特別な場合であり、を確定特異点とする。これを Gegenbauer の微分方程式といい、その解の基本系を成す二つの関数を超幾何関数で表わせば、

• 

となる。これを順に、第1種および第2種 Gegenbauer 関数という※1。このうち、第1種はを一般に対数分岐点とし、実軸上の区間に分枝切断線が置かれる。第2種はを一般に対数分岐点とし、実軸上の区間およびに分枝切断線が置かれる。
　Gegenbauer 関数は、Legendre 陪関数 (Ferrers 型) と本質的に同じクラスの関数であって、

• 

と表わせる。また、この表示式と Legendre 陪関数 (Ferrers 型) の性質を用いれば、

• 

が導かれる。
　Gegenbauer 関数は、に関して線形漸化式および微分漸化式

• 

を満たす。同様に、に関する漸化式は

• 

となる。ここには、の二変数について1を周期とする任意の周期関数である。
　Gegenbauer 関数はが特別な値のとき、定数関数, Chebyshev 関数, および Legendre 関数

• 

に還元される。また、に対して極限を取ると、Chebyshev 関数または Hermite 関数

• 

に近付く※2。
　第1種 Gegenbauer 関数は次数がならば、多項式

• 

に還元され、Gegenbauer 多項式と呼ばれる。Gegenbauer 多項式はが偶数 (奇数) ならば偶関数 (奇関数) となり、母関数表示式および Rodrigues の公式

• 

によっても表わせる。Gegenbauer 多項式は直交性を持つが、これについては次節で触れる。
　第2種 Gegenbauer 関数については、当サイトと異なる定義がいくつか存在する。例えば ｢Higher Transcendental Functions vol.1｣ の178～179頁では、

• 

が掲載されている※3。これは、Legendre 陪関数 (Hobson 型) と本質的に同じクラスの関数であり、

• 

となる。さらに、との線形結合式

• 

でも表わせるので、は前述と全く同じ線形常微分方程式およびに関する漸化式を満たす。一方、に関する漸化式は若干形が異なり、

• 

となる。また、は実軸上の区間に分枝切断線を置くことがと異なる。
　次元 Euclid 空間内の直交直線座標を、極座標 (超球座標)

• 

で表わすとき、多変数関数に超球座標でのラプラシアンを作用させたものは、

• 

となる。このとき、Laplace 方程式の解は変数分離が可能で、具体的に

• 

となり、個の天頂角方向で Gegenbauer 関数が現れる※4。それゆえ、Gegenbauer 関数を ｢超球関数｣ と呼ぶことも多い。Gegenbauer 関数は、高次元空間内で境界条件が超球で定まる物理問題のほか、高次元幾何学、群論に応用される。例えば、量子色力学、相対論的効果を取り入れた調和振動子などが挙げられ、これらは Chebyshev 関数の応用事例とも共通している。
　Gegenbauer 関数の名称は、1893年にこの関数を論じた L. B. Gegenbauer に由来する。

　を実変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。①整数次(Gegenbauer 多項式)。②実数次。

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　を実2変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。では関数が定義されない。
　2番目は、の範囲を拡大した場合。

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　を実変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。①整数次(Gegenbauer 多項式)。②実数次。

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　を実2変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。では関数が定義されない。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　アニメーション（9.77MB）
　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。並びにでは関数が定義されない。
　2番目は、の範囲を拡大した場合。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。①, ②。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。①, ②。

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　を実2変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。①, ②。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第1種 Gegenbauer 関数のグラフ。①,②。③,④。

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　冒頭で触れたとおり、繰込形式の Gegenbauer 関数は実質的に第1種 Chebyshev 関数である。よって、を複素変数とするのグラフは省略する。

　を実変数とする、繰込形式の Gegenbauer 関数のグラフ。①整数次(Gegenbauer 多項式), ②実数次。

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　を実2変数とする、繰込形式の Gegenbauer 関数のグラフ。

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　極限を取る前の、繰込形式の Gegenbauer 関数と、そのへの連続的な推移。

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　を実変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。①整数次, ②実数次。

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　を実2変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。では関数が定義されない。
　2番目は、の範囲を拡大した場合。

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　を実変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。①整数次, ②実数次。

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　を実2変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。では関数が定義されない。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　アニメーション（11.0MB）
　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。並びにでは関数が定義されない。
　2番目は、の範囲を拡大した場合。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。①, ②。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を実変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。①, ②。

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　を実2変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。①, ②。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。①,②。③,④。

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　余弦･正弦関数に類似したとの関係。このとき、両者の包絡線は となる。

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　実2変数の場合。

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　を実変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。①, ②。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　アニメーション（22.9MB）
　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。ここに次数は、複素平面上を2番目の図のように動く。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を実変数とする第2種 Gegenbauer 関数は、が実数であっても一般に実数値を取らない。よって、そのグラフは省略する。

　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を実変数とする第2種 Gegenbauer 関数は、が実数であっても一般に実数値を取らない。よって、そのグラフは省略する。

　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、第2種 Gegenbauer 関数のグラフ。

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Gegenbauer 関数（正規化）

　Gegenbauer 多項式は、直交区間をとする直交多項式であり、重み関数を伴う直交性

• 

を持っている。超球面調和関数の正規化因子を求める場合等では、上記にの置換積分を施した

• 

の形が必要になる※1。Gegenbauer 多項式は、超幾何関数系で Jacobi 多項式に次いで複雑な直交性を持つ古典的直交多項式であり、その q-類似も含めて組合せ論的な研究が進展している。
　さて、当サイトでは Gegenbauer 関数に対しても、独自に

• 

を導入し、正規化 Gegenbauer 関数と呼ぶ※2。よって、は正規直交関数系を成すとともに、重み関数が現れない直交性

• 

を満たす。
　これまでに現れた関係式から、正規化 Gegenbauer 関数は Legendre 陪関数と、

• 

の違いしかないことが分かる※3。

　を実変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。①整数次, ②実数次。

• 
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　を実2変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。では関数が実数値を取らないの帯状領域がある。

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• 

　を実変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。①整数次, ②実数次。

• 
• 

　を実2変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。では関数が実数値を取らないの帯状領域がある。

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　を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を実変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。では関数が実数値を取らないの帯状領域がある。

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　を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を実変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。①, ②。

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　を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を実変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。①, ②。

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　を実2変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。①, ②。

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　を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を複素変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。

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　を実2変数とする、正規化 Gegenbauer 関数のグラフ。①,②。③,④。

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超球面調和関数

日：超球面調和関数，高次元球面調和関数
英：Ultraspherical harmonics，Hyperspherical harmonics，仏：Harmonique ultrasphérique，独：Ultrakugelflächenfunktion

　次元超球座標で変数分離した Laplace 方程式の一般解は、すでに冒頭の節で与えられている。このうち、方位角および天頂角方向の解は第1種の基本解のみ (つまり、となる場合) を採用した特別な固有関数解を選び、しかも動径方向を除外した多変数関数

• 

を考える。超球面全体にわたる積分が1となる要請

• 

のうち、さらに具体的な条件

• 

を課せば、正規化因子が決定される。特にとなるが、は前述の Gegenbauer 多項式の直交性から求められ、

• 

となる。以上の手順を経て、超球面調和関数

• 

が導かれる※1。名称については、高次元球面調和関数 (または特定の次元数を冠して次元球面調和関数) と呼ぶこともある。
　既に述べた公式およびガンマ関数の倍数公式等を用いれば、Gegenbauer 多項式の部分を Legendre 陪関数および球面調和関数に書き換えて (つまり、Legendre 陪関数の直交性を経由せずに)、

• 

と表示することもできる。特にの超球面調和関数は、球面調和関数と Condon - Shortley の位相だけ異なることが分かる※2。
　通常、球面調和関数の次数は整数に限定されるが、これが半奇数の場合でも (階乗をガンマ関数で置き換えて) 計算可能であると定義するならば、超球面調和関数を球面調和関数の有限積

• 

で表わすことができる※2。
　超球面調和関数をそのままグラフで視覚化するのは難しい。当サイトでは、の場合のみを扱い、しかものいずれかを動かしたときのアニメーションを中心に掲載する。
　また、球面調和関数に付随して Wigner の 3-j 記号が現れたように、の超球面調和関数では ｢6-j 記号｣ 並びに ｢9-j 記号｣ が現れるが、当サイトでは詳述しない※3。

　を変数とする超球面調和関数①, ②, ③のグラフを、で動かした場合のアニメーション (2.96～3.26MB)。末尾の図は座標の取り方を示す (以下同様)。

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　を変数とする超球面調和関数①, ②, ③のグラフを、で動かした場合のアニメーション (3.27～3.50MB)。

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　を変数とする超球面調和関数①, ②, ③のグラフを、で動かした場合のアニメーション (3.06～5.94MB)。
　（が周期ゆえ、で動かすと5周期 ― コマ数が冗長 ― となる。）

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　を変数とする超球面調和関数①, ②, ③のグラフを、直交直線座標で描画する。

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