特殊関数 Menu

Gegenbauer 関数

Gegenbauer 関数

日:Gegenbauer関数ゲーゲンバウアー関数
英:Gegenbauer function,仏:Fonction de Gegenbauer,独:Gegenbauer-funktion

 二階線形常微分方程式
  • Gegenbauerの微分方程式
の基本解であるGegenbauer関数の記号を、第1種・第2種 Gegenbauer 関数(または、超球関数)という。後者の名称は、この関数がμ+2次元空間の超球を境界値とする調和関数として現れ、球関数(Legendre 陪関数)の拡張となっていることによる。
 特に第1種 Gegenbauer 関数は、vが負でない整数nで、μが整数または半奇数のときは Gegenbauer 多項式となる。これらの多項式は、μが整数のとき第2種 Chebyshev 多項式Uμが半奇数のとき Legendre 陪多項式で表わされるが、母関数表示や Rodrigues の公式
  • Gegenbauer多項式
によっても簡潔に表わせる。また、Gegenbauer 多項式は直交多項式でもあるが、この点については後述する。
 Gegenbauer 関数は、超幾何関数や Legendre 陪関数を用いて
  • Gegenbauer関数の定義
と表わされる。なお、第2種 Gegenbauer 関数はほとんど応用面がないこともあって、定義自体されないことが多い。したがって、それが仮に定義されていても、上記と同等である可能性はほとんどない (超幾何関数系の第2種関数の定義方法に対する当サイトでの方針は、別頁「Questions」を参照)。
 一般に Gegenbauer 関数は、複素平面上z=±1,∞に特異点を持ち、通常は-∞~-1及び+1~+∞に分枝切断線を置く。
 また、v次の Gegenbauer 関数は、線形漸化式によってv-1次及びv-2次の Gegenbauer 関数で表わせる。
 なお、Gegenbauer関数の記号μ=0のとき常に0となってしまうが、
  • Gegenbauer関数の定義
を代わりに定義することがある(常に初等関数である)。その場合でもこれをGegenbauer関数の記号と表記することがある。

第1種Gegenbauer関数の記号

 実変数の第1種 Gegenbauer 関数第1種Gegenbauer関数の記号のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②非整数次v=0~9 (+0.2)。③非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の第1種 Gegenbauer 関数第1種Gegenbauer関数の記号のグラフ。
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Gegenbauer 関数第1種Gegenbauer関数の記号のグラフ。
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)

 実変数の第1種 Gegenbauer 関数第1種Gegenbauer関数の記号のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②:①の一部を拡大。③非整数次v=0~9 (+0.2)。④:③の一部を拡大。⑤非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の第1種 Gegenbauer 関数第1種Gegenbauer関数の記号のグラフ。
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Gegenbauer 関数第1種Gegenbauer関数の記号のグラフ。
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)

第1種Gegenbauer関数の記号

 実変数の第1種 Gegenbauer 関数第1種Gegenbauer関数の記号のグラフ。
 ①整数次v=1~9 (+1)。②非整数次v=0.2~9 (+0.2)。③非整数次v=-9~-0.2 (+0.2)。

 複素変数の第1種 Gegenbauer 関数第1種Gegenbauer関数の記号のグラフ。
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)

第2種Gegenbauer関数の記号

 実変数の第2種 Gegenbauer 関数第2種Gegenbauer関数の記号のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②非整数次v=0~9 (+0.2)。③非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の第2種 Gegenbauer 関数第2種Gegenbauer関数の記号のグラフ。
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Gegenbauer 関数第2種Gegenbauer関数の記号のグラフ。
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)

 実変数の第2種 Gegenbauer 関数第2種Gegenbauer関数の記号のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②:①の一部を拡大。③非整数次v=0~9 (+0.2)。④:③の一部を拡大。⑤非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の第2種 Gegenbauer 関数第2種Gegenbauer関数の記号のグラフ。
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Gegenbauer 関数第2種Gegenbauer関数の記号のグラフ。
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)

Gegenbauer 関数(正規化)

 第1種 Gegenbauer 関数は、次数vが負でない整数m,nのときは、Gegenbauer 多項式となり、直交性
  • 第1種Gegenbauer関数の直交性
を有する。このため任意の関数は、区間区間(-1,+1)において Gegenbauer 多項式の無限級数に展開可能である。通常、直交関数系の理論では、m=nの場合に積分値が1になるように定数倍の調節をする。(これを正規化という。)
 これに示唆を受けて、ここでは始めから正規化され、次数vも整数に限らないとした関数
  • (正規化)Gegenbauer関数の定義
を定義する。特に第2番目の式から、(正規化)Gegenbauer関数の記号は Legendre 陪関数の定数倍にすぎないことが分かる。この関数を用いれば先の積分は
  • (正規化)Gegenbauer関数の直交性
となる(この関数記号は、正規化の旨を明示するため独自に導入したものである)。

(正規化)Gegenbauer関数の記号

 実変数の(正規化)第1種 Gegenbauer 関数(正規化)Gegenbauer関数の記号のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②非整数次v=0~9 (+0.2)。③非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の(正規化)第1種 Gegenbauer 関数(正規化)Gegenbauer関数の記号のグラフ。
  • (正規化)第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の(正規化)第1種 Gegenbauer 関数(正規化)Gegenbauer関数の記号のグラフ。
  • (正規化)第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Gegenbauer関数のグラフ(複素変数)

特殊関数 Menu