特殊関数 グラフィックスライブラリー
Graphics Library of Special functions

楕円関数

Gauss の楕円関数

日：Gaussの楕円関数，レムニスケート関数
英：Gauss's elliptic function，仏：Fonction elliptique de Gauss，独：Lemniskatische funktion

【始めに：楕円関数の概要】
　現在では、楕円関数の定義が ｢複素平面上の二重周期有理型関数｣ という簡潔な言葉で与えられる。ここに二重周期とは、二つの線形独立な基本周期を持ち、その比が実数にならない (つまり、周期が作る平行四辺形が潰れていない) ことを言う。また、その平行四辺形に含まれる極の位数の和は、２位を最小とする。これらの特徴にしたがって、楕円関数の具体的な表示式も直接与えられる。後述する Weierstrass の楕円関数がそのような例である。以上の理論は、専ら19世紀に整備された。
　しかしながら、歴史的には別の方向 ― 第1種楕円積分の逆関数 ― から (２位の) 楕円関数が発見された。先行する楕円積分の発展史をも含めれば、楕円関数の萌芽自体は17世紀末から存在したと言える。実際、楕円関数が満たす代数的加法公式は、まず楕円積分の超越的加法公式として (逆楕円関数の形で) 求められていた。ただし、楕円積分の多価性から楕円関数の二重周期性を説明する Riemann 面や楕円曲線等の理論は、19世紀以降に属する。
　楕円積分が元々は物理学等に起源を持ち、その応用範囲が広いことから、楕円関数も同様に有用である。しかし、楕円関数が一層重要な理由は、その高い対称性 ― それは単周期関数である三角関数よりも高い ― にある。それら整った形状の基本領域を持つ関数は、必然的に群論と結び付く。楕円関数の対称性は周期平行四辺形に留まらない。何というべき幸運 ｢楕円関数の基本周期の比も、逆関数にするとモジュラー関数になる事実｣ に、我々は恵まれている。複素解析学が19世紀から急速に進展した理由には、楕円関数が人々に神秘的な印象を抱かせる、魅力ある研究題材であった事も原因の一つとして挙げられる。
　更なる幸運：楕円関数は比較的階数の低い非線形微分方程式を満たし※1、その解は常に分岐点を持たない。しかも二重周期性を用いて容易に複素平面全体に (極を除いて) 解析接続できる。非線形微分方程式の解としては申し分の無い性質を有する、まさに "特殊な" 関数と言えよう。
　19世紀に発祥した数学理論のほとんどがそうであったが、特に楕円関数論は現代数学の源流と呼ぶに相応しく、代数幾何学、代数的整数論などの純粋数学のみならず、格子模型や共形場理論などの数理物理学にも影響を及ぼしている。保型関数論と Abel 関数論を広義の楕円関数論と考えれば、その流域は更に大きくなる。
　(以降、この頁では、歴史的経過にある程度沿った順で説明する。すなわち、Gauss → Jacobi → Weierstrass の名を冠した楕円関数の順に進む。)

【Gauss の楕円関数】
　1796年頃に C. F. Gauss が、楕円積分
の逆関数として発見した、史上初の楕円関数である。
　上記の楕円積分自体は、積分計算が伴う種々の具体的な問題中に、17世紀末から現れていた。まず、弾性を持つ物体の一端に偶力が加えられた時に生じる、エラスティカ (Elastica) なる曲線を求める問題があり、これをもっと簡単な代数曲線に関連付けたいという動機から、この楕円積分が現れた※2。一方で、種々の代数曲線の長さを求める問題 (求長問題と呼ばれる) では、楕円や双曲線およびレムニスケート (連珠形) の曲線長が楕円積分で表わされ、それらの相互関係が研究された。後者の結果は、主に G. C. Fagnano によって得られた。

　当時から初等関数で表わせないと推測された楕円積分は、これに興味を抱いた L. Euler, Bernoulli 一家, J. L. Lagrange および A. M. Legendre 等によって盛んに研究され、(虚数乗法に繋がる) 変換理論、加法公式、標準形への分類など、やがて楕円関数論でも重要となる事柄に肉薄したが、なぜか "楕円積分の逆関数" には思い至らなかった※3。Gauss は、逆正弦関数の積分表示式
との類似性から、上記の楕円積分は逆関数を研究する方が自然であるというアイデアに到達し、さらにそれを複素変数でも考察して、楕円関数の二重周期性を看破した。(Gauss はこの時、複素線積分など複素解析学の知識をある程度自前で持っていた。)
　Gauss の楕円関数とは、三角関数の正弦と余弦に類似した、

• 

の関係を持つように定義される。ただし、Gauss はこれらを楕円関数ではなく ｢レムニスケート関数｣ と称したので、現在でもをレムニスケート正弦関数、をレムニスケート余弦関数と呼ぶ習慣が残っている。
　Gauss の楕円関数は、代数的加法公式

• 

を満たす (楕円積分の超越的加法公式としてならば、Euler もこの公式を求めていた)。また併せて、虚数変数のときに

• 

となるので※4、Gauss の楕円関数は二重周期性
を満たすことが (複素関数論の ｢一致の定理｣ を根拠に) 分かる。
　なお、Gauss の楕円関数は、後述する Jacobi の楕円関数の特別な場合として、

• 

と表わせる。
　Gauss が楕円関数を複素変数で考察し始めた理由の一つに、レムニスケートの等分問題がある。円の等分問題でも古代ギリシャ時代から大きく飛躍した成果 ― が素数ならば、円周は定規とコンパスのみで等分できる ― を証明した Gauss は、これをレムニスケートに拡張した。円の場合は三角関数の多倍角公式が根拠となるが実数解しか生じない。ところが、レムニスケートの場合すなわち楕円関数のそれからは余分な複素数解も生じたので、これが Gauss の考察を促すこととなった。(すべての実数解が四則演算と平方根のみで明示可能なとき、定規とコンパスのみで等分できる。レムニスケート (片側：第1･第4象限内) は、３等分, ４等分, ５等分, 17等分,… が可能となる。)

　Gauss は1810年代までに、一般周期の楕円関数、テータ関数、果てはモジュラー･ラムダ関数をも手中にし、約半世紀を先んじていた。しかし、完璧主義者の Gauss はこれらの成果の公表を逡巡し続け、結局すべてが明るみになったのは死後の1860年代であった。
　楕円関数の重要な応用先に数論があるが、Gauss の楕円関数で著しいその一例として、４乗剰余 (Biquadratic reciprocity) の相互法則が挙げられる。４乗剰余は平方剰余の拡張であって、４乗剰余記号

• 

で表記される。ここに、は (複素数でない) 整数、は環内の複素素数、は内のと素な複素整数とする。４乗剰余の相互法則とは、その補助法則をも含めた公式

• 

のことを言う。ここに、とはで割り切れず、かつと合同な、内の複素素数とする。４乗剰余の相互法則は、1844～1845年に F. G. M. Eisenstein が５通りの方法で証明したが、その内の一つはを直接的に用いる方法であった。(Gauss は1801年の自著 ｢Disquisitiones Arithmeticae (数論研究)｣ 中で、レムニスケートに由来する数論の豊かさに言及し、４乗剰余の相互法則も経験的に知っていたが、証明自体はできなかった。)

【Dixon の楕円関数】
　これは、1890年に A. Dixon が代数曲線
を研究した際に、その曲線を媒介変数表示する関数として導入した楕円関数であって、そのうち、特にの場合を Dixon の楕円関数と称するようになった。(導入時期は比較的新しく歴史的に前後するが、Gauss の楕円関数と若干共通点もあるので、ここで取り挙げる。)
　Dixon の楕円関数は、Abel 積分
の逆関数で、Weierstrass の楕円関数を用いて、

• 

と定義される、位数３の楕円関数である※5。両者は互いに
の関係にあり、ともに二重周期性

• 

を持つ。
　Dixon の楕円関数は、基本領域 (の半分) が正多角形になるという点で、Gauss の楕円関数と類似する。

　実変数の Gauss の楕円関数およびのグラフ。三角関数に似ているが、波のスロープが三角関数よりも直線的である。

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　複素変数の Gauss の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Gauss の楕円関数のグラフ。

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　実変数の Dixon の楕円関数およびのグラフ。

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　複素変数の Dixon の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Dixon の楕円関数のグラフ。

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Jacobi の楕円関数

日：Jacobiの楕円関数，ヤコビの楕円関数
英：Jacobi's elliptic function，仏：Fonction elliptique de Jacobi，独：Jacobische elliptische funktion

　前述のとおり、Gauss は研究結果を公表しなかったので、正式な楕円関数の ｢先取得権｣ は、1827年のほぼ同時期に論文を提出した N. H. Abel と C. G. J. Jacobi に与えられている。両者による楕円関数発見の知らせは、当時の数学界に衝撃をもたらした。多くの数学者が一斉に楕円関数論に取り組むようになり、やがて ｢19世紀数学の主要なテーマ｣ となっていくのである。この成果を高く評価したパリ科学アカデミーは、1830年に Abel と Jacobi へ賞を授けたが、このとき Abel は結核により既に故人となっていた。
　両者が定義した楕円関数は、のちに Legendre - Jacobi の標準形と呼ばれるようになる (第1種) 楕円積分の逆関数であったが、Abel のそれは被積分関数の形が僅かに異なる※1。現在では Jacobi の流儀が定着しており、ここでもそれを扱う。
　すなわち、Jacobi の楕円関数は楕円積分

• 

の逆関数であり、と表記される。 併せて, が Jacobi の楕円関数に追加される。これらは、三角関数に似た関係式
を満たすように定義される (これは、楕円積分の根号内にある多項式の形によって示唆される)。 また、の値に係わらず、は常に奇関数、, は常に偶関数である。
　Jacobi 楕円関数の導関数は、それ自身を用いて

• 

と表わされる。よって、楕円関数を逐次微分して得られる任意位数の楕円関数、一般の基本周期を持つ楕円関数など、すべての楕円関数はこの３種類の関数で表わすことができる。
　Jacobi の楕円関数は、三角関数と同様に代数的加法公式を満たすが※2、

• 

のように若干複雑である。(式中に現れる第2変数が皆同じである場合は、上記のように関数記号からその表示を省略することも多い。)
　この代数的加法公式 (並びに ｢一致の定理｣ 等) を用いると、それぞれの Jacobi 楕円関数は、次のような２個の基本周期を持っていることが分かる。(ここに、, は第1種完全楕円積分である。)
ただし、これらの基本周期はある種の取り決めであって、いかなるの場合でも長さが最小の周期となる訳ではない。
　３種類の Jacobi 楕円関数はともに、基本周期の点で囲まれた平行四辺形の内部で、すべての複素数値を２個ずつとり、１位の極と１位の零点とが各々２個分含まれるので、２位の楕円関数である。
　Jacobi の楕円関数は、が０または１のときに初等関数

• 

に還元される (冗長ながら、Gudermann 関数との関係にも注目して下さい)。便宜的な理由等で、第2変数の範囲を実数に制限することが多いが、実数に対しては

• 

で定義される。また、実数に対しても, , のいずれかを平行移動、定義域の拡大縮小、定数倍したものになる。が複素数の場合はこの限りではない。
　Jacobi 楕円関数の級数展開式では、についての冪級数、

• 

がよく知られている。このとき、, , はいずれもの多項式となる。ただし、この冪級数は原点に最も近い極より小さな絶対値の範囲 (収束半径内部) でしか収束せず、その速さも遅い。他にも、についての冪級数展開式 (このときの係数は三角関数等の多項式となる)、Fourier 級数展開式などがあるが、いずれも同様な収束条件上の問題を持っている。
　Jacobi の楕円関数は、２個の楕円テータ関数の商によって

• 

と表わせる。楕円テータ関数は級数の収束が極めて速く、極などの特異点を持たないので扱い易い。Jacobi 楕円関数の数値計算では、前掲の冪級数等ではなく、楕円テータ関数の公式を介した方が便利である。
　論文提出の前後、互いの研究内容が近いことに気付いた Abel と Jacobi は、半ば競争状態で持論の深化を目指すようになる。Jacobi は前述の楕円テータ関数をも発見し、その膨大な数の公式を導いて楕円関数の計算を容易にするとともに、数論や組合せ論に応用した。楕円テータ関数の対数微分 (第2種楕円関数) を追加して、一般の楕円積分が解けるようにした事も Jacobi の功績である。Abel はより複素領域での楕円関数の性質に傾倒し、虚数乗法論を創始した功績が大きい※3。(虚数乗法の概要については ｢Weierstrass の楕円関数｣ の所で触れるが) Abel は1827年に、虚数乗法の因子が虚二次体の数に取れること等を示しながら、具体的な例も挙げている (次の図はその事例の一つ)。

• 

　を実変数とする Jacobi の楕円関数, およびのグラフ。
　① の場合。曲線上の点はの変曲点であり、でその個数が増える。
　② の場合。曲線上の点はの変曲点であり、でその個数が増える。
　③ の場合。曲線上の点はの変曲点であり、でその個数が増える。(なおの場合、Jacobi の楕円関数は実軸上で実数値をとるが、第1種完全楕円積分の値は複素数になる。)

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　を実変数とする Jacobi の楕円関数のグラフ。が０から離れるにしたがって、は正弦関数から離れるように変形する。

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　実2変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。この場合、となる。

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　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。この場合、となる。

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　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。この場合、となる。

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　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。この場合、となる。

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　アニメーション（10.5MB）
　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。＝0～1 (+0.02)。

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　を実変数とする Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　を実変数とする Jacobi の楕円関数のグラフ。が０から離れるにしたがって、は余弦関数から離れるように変形する。

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　実2変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　アニメーション（14.4MB）
　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。＝－1～2 (+0.05)。

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　を実変数とする Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　を実変数とする Jacobi の楕円関数のグラフ。が０から離れるにしたがって、は定数(関数)１から離れるように変形する。

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　実2変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　を実変数とする Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。

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Jacobi の楕円振幅関数

日：Jacobiの楕円振幅関数，ヤコビの振幅関数
英：Jacobi's amplitude function，仏：Fonction amplitude de Jacobi，独：Jacobische amplitude funktion

　現在定着している Jacobi の楕円関数の記号, , は、1835年に C. Gudermann が初めて使用した。一方、Jacobi が1827年の論文、1829年の著書 ｢Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (楕円関数論の新しい基礎)｣ 等で用いた記号はそれと異なる。
　Jacobi は物理学等での応用事例を意識して、

• 

の逆関数である楕円振幅関数を考え、これを用いて楕円関数を

• 

と表記していた※1。特に第3番目の式から、楕円振幅関数の定義とも言うべき
が得られる。また、第1と第2番目の式および Euler の公式から、

• 

も得られる。
　楕円振幅関数自体は楕円関数ではないが、二重の擬周期性

• 

を持つ無限多価関数である※2。また、楕円振幅関数は奇関数で、が０または１のときに初等関数

• 

に還元される。
　単振り子の周期運動は、実変数の楕円振幅関数で表わせる。振り子の腕 (大きく振ることも可能なように剛体棒であると考える) の長さを、重力加速度を、最大振幅角をとするとき、単振り子の振幅角を時刻の関数とすれば、

• 

となる (ただし、空気抵抗や支点部分の摩擦を無視し、振幅が減衰しないと考える)。これは、の値によって周期が異なるので、振幅が大きくなると ｢振り子の等時性｣ は成り立たないことが導かれる。が実数であればとなることは無いが、逆にを最大振幅角に代わるパラメータとすれば、の場合 (鉄棒の大車輪のような状態) も含めて扱うことができる※3。

このうち(図③) の場合とは、時刻を中心に振り子が１回の回転を起こしたが、その開始は無限の過去、終了は無限の未来になる状態をいう。
　現在定着しているこの関数名称の ｢振幅 (Amplitude)｣ とは、物理学における上記の応用事例に因むものである。

　を実変数とする Jacobi の楕円振幅関数のグラフ。
　(Mathematica (Ver.11以前) の分枝切断線の場合。単振り子の周期運動はこれを用いるべきである。もし、当サイト独自の分枝切断線を採用したならば、でグラフが異なる。)

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　実2変数の Jacobi の楕円振幅関数のグラフ。(Mathematica (Ver.11以前) の分枝切断線の場合。)

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　複素変数の Jacobi の楕円振幅関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円振幅関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円振幅関数のグラフ。(Mathematica (Ver.11以前) の分枝切断線の場合：比較用。)

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　複素変数の Jacobi の楕円振幅関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円振幅関数のグラフ。

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　を実変数とする Jacobi の楕円振幅関数のグラフ。(Mathematica (Ver.11以前) の分枝切断線の場合。)

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　複素変数の Jacobi の楕円振幅関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の楕円振幅関数のグラフ。

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Jacobi の第2種楕円関数

　比較的簡単な Jacobi の楕円関数であっても、積分すると本質的に異なる新しい関数が現れる例として、

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がある。これを Jacobi の第2種楕円関数※1、または Jacobi の楕円イプシロン関数という。
　また、と同じクラスの関数として、

• 

が定義される。これも Jacobi の第2種楕円関数であり、Jacobi の楕円ゼータ関数ともいう※2。更にこれらの関数は、後述する Weierstrass の楕円ゼータ関数とも同クラスであり、互いに他で表わすことができる。
　上記の定義式のとおり、第2種楕円積分は楕円関数を代入することによって、初めてその多価性が解消可能となる。換言すれば、(第1種～第3種の) 一般的な楕円積分を解く場合、楕円関数だけでは不足しており、第2種楕円関数や後述の第3種楕円関数 (から導かれる楕円テータ関数) を援用する必要が生じる。
　, はともに楕円関数ではないが、周期の格子点に１位の極を持つ有理型関数となるため重要である。さらに、両者は奇関数で、二重の擬周期性

• 

を持っている。また、超越的な加法公式

• 

を満たす。(関数記号から第2変数の表示を省略している。)

　を実変数とする Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。

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　実2変数の Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。

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　を実変数とする Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。

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　を実変数とする Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。
　完全楕円積分係数の付加項を持つため、と異なりでは実数値を取らない。

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　実2変数の Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。２番目は実部と虚部に分けたグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。

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　を実変数とする Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。

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Jacobi の第3種楕円関数

　Jacobi の楕円関数を積分すると生じ、第3種楕円積分に楕円関数を代入して得られる新しい関数

• 

を Jacobi の第3種楕円関数、または Jacobi の楕円パイ関数という※1。特に、上記の第３番目の式から、

• 

が導かれる。この公式は、変数と助変数との間に可換性があることを示しており、É. Galois がこれを「Jacobi 氏の最も美しい発見」と称賛したことで知られる※2。また以上のことから、はの奇関数であると同時に、の奇関数でもあることが分かる。
　は楕円関数ではないが、二重の擬周期性

• 

を持つ無限多価関数である※3。また、超越的な加法公式

• 

を満たす。(同様に、関数記号からの表示を省略している。)
　の多価性は対数関数に由来するので、さらに指数関数へ代入すればその多価性は解消される。すなわち、

• 

となる (よって、Weierstrass の楕円シグマ関数や、楕円テータ関数のクラスを、第3種楕円関数という場合も多い)。
　応用事例として、第3種楕円関数は剛体力学に現れる。特に、独楽の回転運動を記述する目的のために、Jacobi はこの関数を導入した。

　を実変数とする Jacobi の第3種楕円関数のグラフ。①, ②

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　を実2変数とする Jacobi の第3種楕円関数のグラフ。①, ②

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　複素変数の Jacobi の第3種楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第3種楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第3種楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第3種楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第3種楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第3種楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第3種楕円関数のグラフ。

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　を実変数とする Jacobi の第3種楕円関数のグラフ。①, ②

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　複素変数の Jacobi の第3種楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Jacobi の第3種楕円関数のグラフ。

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Weierstrass の楕円関数

日：Weierstrassの楕円関数，ワイエルシュトラスのペー関数
英：Weierstrass's elliptic function，仏：Fonction elliptique de Weierstrass，独：Weierstraßsche p-funktion

　19世紀中盤になると、次第に楕円関数論は複素領域での研究に主軸が置かれるようになり、また論考の動機や目的も、より純粋数学的な主題から発せられるものが増えていった。そこから理論的に美しく構成された ｢Weierstrass の楕円関数 ― 関数｣ が現れ※1、すぐに数論や群論等での有用性が実証されることとなった。
　参考までに、関数の導入へ至る主要な出来事を列挙し、その歴史的経過を鳥瞰する。

　現在では、複素平面上で二重周期を持つ有理型関数を、総称して楕円関数という。その周期全体は、二つの基本周期の整係数線形結合式

• 

で網羅され、平行四辺形の編み目構造を作るので、格子またはラティス (Lattice) と呼ばれる。格子のうち、特にを頂点とする領域を、基本周期平行四辺形 (Fundamental period parallelogram＝FPP) といい、不等式で表わせば、

• 

• 

となる。この基本周期平行四辺形内にある極の位数の和を、その楕円関数の位数という。つまり、基本周期が共通であっても、互いに位数の異なる楕円関数が無数に存在する。これらの楕円関数は、次の ｢Liouville の第１～４定理｣ で特徴付けられる。これによれば、１位の楕円関数は存在しない (最小の位数は２である) こと等が分かる。

　同じ基本周期を持った楕円関数どうしの四則演算から得られる関数の集合、または任意の楕円関数とそれを逐次微分して得られる関数の集合は、共通の基本周期を持つ楕円関数を要素とする。この集合は、数体と同じ構造を持つので ｢楕円関数体｣ と呼ばれる。
　さて、Weierstrass の楕円関数 (関数) とは、

• 

で定義される楕円関数である (上記の総和記号は、以下同様とする)。の有理関数項級数は、絶対収束し二重周期を持つことがその形から明らかなので、これを項別積分すればの級数も同様であることが導かれる。ここに、

• 

は不変量と呼ばれる保型形式の一種である。Weierstrass の楕円関数を Laurent 級数展開したときの係数にも、この不変量が現れる (Laurent 級数展開式および不変量の詳細は、楕円モジュラー形式を参照)。
　また、不変量の代わりに ｢半周期｣ (基本周期を２で割った値) を明示して、Weierstrass の楕円関数をのように表記することも多い (むしろ、その方が自然かもしれない)。例えば、この表記法のもとで、斉次性

• 

を満たす。また、公式

• 

は、モジュラー形式としての性質がより鮮明になる。なお、これらの補助変数は、明示しなくても判断できる場合では度々と略記される (以下、Weierstrass の楕円ゼータ関数およびシグマ関数でも同様とする)。
　関数は偶関数で、基本周期平行四辺形の内部に２位の極を１個分含むので、２位の楕円関数である。なお、基本周期平行四辺形に含まれる零点は、一般に１位のそれが２個分となるが、特殊な場合には２位の零点が１個分となることもある (後述する ｢Lemniscatic case｣ 等が後者の例である)。一方、関数は奇関数で、基本周期平行四辺形の内部に３位の極を１個分、１位の零点を３個分持っているので、３位の楕円関数である。
　関数および関数は、ともに二重周期性

• 

を持ち、両者は互いに

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なる非線形微分方程式で結ばれる。ここに、３次方程式の解と係数の関係から、
が即座に導かれる。
　上記のことは、言い換えれば数論等で重要な ｢楕円曲線｣

• 

が、関数と関数とでパラメータ表示可能であることを示している※3。したがって、前述の楕円関数体は関数のみで構成され、しかもその元はすべて関数の初等代数関数で表わせる。これはとの２変数代数関数から成る体と見ることもできて、その場合は一つの具体的な ｢代数関数体｣ の例を与える。
　また、非線形微分方程式によって、関数の逆関数は第1種楕円積分 (Weierstrass の標準形) となることも分かる。
　関数は代数的加法公式

• 

を満たす。
　とし、倍に拡大された格子が、の真部分集合になる場合を考える。もしを周期とする楕円関数とを周期とする楕円関数とが、初等代数関数の関係式で結ばれるならば、その楕円関数(体) は ｢を虚数乗法に持つ｣ という。このときは虚二次体に含まれ、半周期は

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なる変換を受けるが、これを周期の比で考えれば整係数の一次分数変換となり、楕円モジュラー関数の定義域に関する条件に言い換えられる。

　を実変数とする Weierstrass の楕円関数のグラフ。①, ②

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【Equianharmonic Case：】
　この場合、となる。

　実変数の Weierstrass の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円関数のグラフ。

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　Equianharmonic Case の３乗は、Schwarz の保型関数と同様に正三角形のタイリングに関係する６位の楕円関数になる。

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【Pseudo-Equianharmonic Case：】
　この場合、となる。

　実変数の Weierstrass の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円関数のグラフ。

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　Pseudo-Equianharmonic Case の３乗は、Schwarz の保型関数と同様に正三角形のタイリングに関係する６位の楕円関数になる。

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【Lemniscatic Case：】
　この場合、となる。

　実変数の Weierstrass の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円関数のグラフ。

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【Pseudo-Lemniscatic Case：】
　この場合、となる。

　実変数の Weierstrass の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円関数のグラフ。

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【General Case：】

　複素変数の Weierstrass の楕円関数のグラフ。

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　アニメーション（12.2MB）
　複素変数の Weierstrass の楕円関数のグラフ。

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【変数】

　不変量を実変数とする Weierstrass の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円関数のグラフ。

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　不変量を実変数とする Weierstrass の楕円関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円関数のグラフ。

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　を実変数とする Weierstrass の楕円関数の導関数のグラフ。①, ②

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【Equianharmonic Case：】

　実変数の Weierstrass の楕円関数の導関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円関数の導関数のグラフ。

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【Pseudo-Equianharmonic Case：】

　実変数の Weierstrass の楕円関数の導関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円関数の導関数のグラフ。

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【Lemniscatic Case：】

　実変数の Weierstrass の楕円関数の導関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円関数の導関数のグラフ。

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【Pseudo-Lemniscatic Case：】

　実変数の Weierstrass の楕円関数の導関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円関数の導関数のグラフ。

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【General Case：】

　複素変数の Weierstrass の楕円関数の導関数のグラフ。

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【変数】

　不変量を実変数とする Weierstrass の楕円関数の導関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円関数の導関数のグラフ。

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　不変量を実変数とする Weierstrass の楕円関数の導関数のグラフ。２番目は原点の近くを拡大したグラフである。

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　複素変数の Weierstrass の楕円関数の導関数のグラフ。

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Weierstrass の楕円ゼータ関数

日：Weierstrassの楕円ゼータ関数，ワイエルシュトラスζ関数
英：Weierstrass zeta-function，仏：Fonction zêta de Weierstrass，独：Weierstraßsche zeta-funktion

　微分すると、Weierstrass の楕円関数になる関数

• 

を、Weierstrass の楕円ゼータ関数という。この関数は Jacobi の第2種楕円関数に相当し、互いに他で表わすことができる。尤も Weierstrass の楕円ゼータ関数は、より具体的な部分分数展開式

• 

を導入時の定義とすることが多い。
　Weierstrass の楕円ゼータ関数は楕円関数ではないが、関数と同じ周期の格子点で１位の極を持つ有理型関数となるため重要である。さらに、Weierstrass の楕円ゼータ関数は奇関数で、二重の擬周期性

• 

を持っている。ここに、附随する定数は、

• 

なる関係を常に満たす。このうち、最後の式は Legendre の関係式に相当する。
　Weierstrass の楕円ゼータ関数は、非線形微分方程式

• 

を満たし、超越的加法公式

• 

を介して、関数とも関係する。
　Costa の極小曲面は、Weierstrass の楕円関数および楕円ゼータ関数を用いたパラメトリック曲面として、表わすことができる。

• 

　を実変数とする Weierstrass の楕円ゼータ関数のグラフ。①, ②

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【Equianharmonic Case：】

　実変数の Weierstrass の楕円ゼータ関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円ゼータ関数のグラフ。

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　Weierstrass の楕円ゼータ関数による等角写像図。

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【Pseudo-Equianharmonic Case：】

　実変数の Weierstrass の楕円ゼータ関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円ゼータ関数のグラフ。

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• 

　Weierstrass の楕円ゼータ関数による等角写像図。

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【Lemniscatic Case：】

　実変数の Weierstrass の楕円ゼータ関数のグラフ。

• 

　複素変数の Weierstrass の楕円ゼータ関数のグラフ。

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　Weierstrass の楕円ゼータ関数による等角写像図。

• 

【Pseudo-Lemniscatic Case：】

　実変数の Weierstrass の楕円ゼータ関数のグラフ。

• 

　複素変数の Weierstrass の楕円ゼータ関数のグラフ。

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　Weierstrass の楕円ゼータ関数による等角写像図。

• 

【General Case：】

　複素変数の Weierstrass の楕円ゼータ関数のグラフ。

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　Weierstrass の楕円ゼータ関数による等角写像図。

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【変数】

　不変量を実変数とする Weierstrass の楕円ゼータ関数のグラフ。

• 

　複素変数の Weierstrass の楕円ゼータ関数のグラフ。

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　不変量を実変数とする Weierstrass の楕円ゼータ関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円ゼータ関数のグラフ。

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Weierstrass の楕円シグマ関数

日：Weierstrassの楕円シグマ関数，ワイエルシュトラスσ関数
英：Weierstrass sigma-function，仏：Fonction sigma de Weierstrass，独：Weierstraßsche sigma-funktion

　対数微分すると、Weierstrass の楕円ゼータ関数になる関数

• 

を、Weierstrass の楕円シグマ関数という。この関数は楕円テータ関数に相当し、互いに他で表わすことができる。尤も Weierstrass の楕円シグマ関数は、より具体的な無限乗積展開式

• 

を、導入時の定義とすることが多い。
　Weierstrass の楕円シグマ関数は楕円関数ではないが、関数と同じ周期の格子点で１位の零点を持つ超越整関数となるため重要である。さらに、Weierstrass の楕円シグマ関数は奇関数で、二重の擬周期性

• 

を持っている。
　Weierstrass の楕円シグマ関数は、非線形微分方程式

• 

を満たし、超越的加法公式に相当する、

• 

を介して、関数とも関係する。
　楕円テータ関数と同様に、Weierstrass の楕円シグマ関数は好ましい対称性を持つので、数論や可解格子模型など多くの分野で応用事例がある。例えば、周期的な境界条件を課した１次元格子系である ｢戸田格子 (Toda lattice)｣ が挙げられる。指数関数的ポテンシャルを持ち、隣接間で相互作用しながら (例えばバネで連結されて) 運動する格子点を考えるとき、隣接する二つの格子点の座標値の比をとすれば、上記の超越的加法公式から得られる式 (ただし、を離散的な特殊値とする)

• 

は、戸田格子を表わす方程式の一例になっている (本来は、楕円テータ関数で記述される)。戸田格子は1967年に戸田盛和によって発見され、その後、ソリトン方程式など解が具体的に示せる (可積分な) 非線形系の研究を大いに促すこととなった。
　また、19世紀後半には、この関数の多変数化に相当する Riemann テータ関数が導入され、Abel 関数論で主要な役割を果たすとともに、前述の応用分野等を超楕円積分的な場合に拡張することが可能になった。

　を実変数とする Weierstrass の楕円シグマ関数のグラフ。①, ②

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【Equianharmonic Case：】

　実変数の Weierstrass の楕円シグマ関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円シグマ関数のグラフ。

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　Weierstrass の楕円シグマ関数による等角写像図。
　この事例は、写像元が直交直線座標の①よりも、それを極座標に変えた②の方が状況を把握しやすい。

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【Pseudo-Equianharmonic Case：】

　実変数の Weierstrass の楕円シグマ関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円シグマ関数のグラフ。

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　Weierstrass の楕円シグマ関数による等角写像図。

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【Lemniscatic Case：】

　実変数の Weierstrass の楕円シグマ関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円シグマ関数のグラフ。

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　Weierstrass の楕円シグマ関数による等角写像図。

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【Pseudo-Lemniscatic Case：】

　実変数の Weierstrass の楕円シグマ関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円シグマ関数のグラフ。

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　Weierstrass の楕円シグマ関数による等角写像図。

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【General Case：】

　複素変数の Weierstrass の楕円シグマ関数のグラフ。

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　Weierstrass の楕円シグマ関数による等角写像図。

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【変数】

　不変量を実変数とする Weierstrass の楕円シグマ関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円シグマ関数のグラフ。
　ただし、関数値が非常に大きくなるので、３次元のグラフは常用対数スケールのみとする。

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　不変量を実変数とする Weierstrass の楕円シグマ関数のグラフ。

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　複素変数の Weierstrass の楕円シグマ関数のグラフ。
　ただし、関数値が非常に大きくなるので、３次元のグラフは常用対数スケールのみとする。

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