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楕円関数

Gauss の楕円関数

日:Gaussの楕円関数レムニスケート関数
英:Gauss's elliptic function,仏:Fonction elliptique de Gauss,独:Lemniskatische funktion

 楕円関数は、現在では複素解析学を根拠にした簡潔な方法によって定義されている。しかしその内容は、後述の Weierstrass の楕円関数の所でふれることとし、それまでは初期の歴史的経過にある程度沿った説明をする。
 楕円関数が初めて認識されたのは、C. F. Gauss による1796年頃の研究であるが、その起源は17世紀末から始まる、種々の代数曲線の長さを求める問題(求長問題と呼ばれる)にある※1。特に、楕円やレムニスケート(連珠形)の求長問題から生じる積分は初等関数で表わせなかったため、数学者らの興味を引いた。例えば、レムニスケート上の任意の点から原点までの弧長は
逆Gaussの楕円関数(楕円積分)
なる積分に帰着されることが判明し、G. C. Fagnano,L. Euler,Bernoulli 一家,および A. M. Legendre 等の数学者は、この種の積分(いわゆる楕円積分)を盛んに研究したものの、その逆関数である楕円関数の発見には至らなかった※2。
①:レムニスケートの代数方程式。 レムニスケートは2定点からの距離の積が一定となる。
②:レムニスケートの極座標表示式と、後述する Gauss の楕円関数および周期との関係。

 一方、Gauss は研究の初めから逆正弦関数の積分表示式との類似性に着目して、上記積分の逆関数をとる考えに到達する。そして、この逆関数は二重周期関数であって、単周期関数である三角関数を一般化したもの、すなわち現在は楕円関数と呼ばれる関数の一例であった(ただし Gauss は、これをレムニスケート関数と称している)。
 具体的には、Gauss の楕円関数(レムニスケート正弦関数)は、Gaussの楕円関数の周期母数とするときに二重周期性
Gaussの楕円関数の二重周期性
が成立する。レムニスケート余弦関数は、レムニスケート正弦関数と互いに
  • 2種類のGaussの楕円関数間の関係式
の関係にある。また、代数的加法公式
  • Gaussの楕円関数の加法公式
を持っている。
 なお、Gauss の楕円関数は、Jacobi の楕円関数の特別な場合であって
  • Gaussの楕円関数とJacobiの楕円関数との関係
となる。
 Gauss はその後わずか2~3年のうちに、一般の基本周期を持つ楕円関数とそのテータ関数を用いた表示、周期の値と算術幾何平均超幾何関数との関係についての詳細な結果(およびモジュラー関数の存在についても!)を得ていて、さながら19世紀数学を先取りする様相を呈した。しかし発表する論文や著作の完成度を重んじる Gauss は、これらの成果を公にしなかったため、当時の数学者に直接影響を与えることは無かった。
 初めて楕円関数が世に広く知られるようになったのは、N. H. Abel と C. G. J. Jacobi が同時に論文を発表して話題となった1827年のことである。
 ここではよく似ている関数として、補足的に Dixon の楕円関数についても触れる。これは1890年、A. Dixon によって
  • Dixonの楕円関数の定義式
と定義された。(ここに、Weierstrassの楕円関数の記号は Weierstrass の楕円関数である。)
 Dixon の楕円関数の公式は、下記のように Gauss の楕円関数と若干似ている。
  • Dixonの楕円関数が満たす種々の公式
 以下のグラフのように複素領域で見ても、Gauss および、Dixon の楕円関数は、ともに基本領域(の半分)が正多角形になるという類似性がある。

【註記】
 ※1:その問題は更に遡ると、エラスティカ(Elastica)なる曲線を求める物理学の問題に辿り着く。エラスティカは第1種楕円積分と第2種楕円積分の差の逆関数で表わされるので代数曲線ではない(下図を参照)。このため、楕円積分をもっと簡単な代数曲線との関係に帰着させたいという動機から、代わりに楕円やレムニスケートの求長問題として考察するようになった。
  • エラスティカの図
  • 関数としてのエラスティカ

 ※2:ただし Euler は、この楕円積分が値域の上下方向に周期的な層状の多価性を持つことに気付いており、一方 Legendre は、楕円積分を複素変数で考察する必要性を常々強調していた。しかし非常に惜しい事に、両者ともその持論を推し進めることは無かったのである(まだ複素解析学が未整備で、複素数自体も広く受け入れられていなかった事にも理由がある)。

Gaussの楕円関数の記号

 実変数のレムニスケート関数のグラフ。三角関数に似ているが、波のスロープが三角関数よりも直線的である。
  • レムニスケート関数のグラフ(実変数)

 複素変数のレムニスケート正弦関数Gaussの楕円関数sl(z)のグラフ。
 なお、レムニスケート余弦関数Gaussの楕円関数cl(z)は、レムニスケート正弦関数を周期の四分の一平行移動させただけなので、レムニスケート余弦関数の描画は省略する。(m=0.5 の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数cn(z,m)と本質的に同じなので、それを参照願います。)
  • レムニスケート正弦関数のグラフ(複素変数)
  • レムニスケート正弦関数のグラフ(複素変数)
  • レムニスケート正弦関数のグラフ(複素変数)
  • レムニスケート正弦関数のグラフ(複素変数)
  • レムニスケート正弦関数のグラフ(複素変数)

Dixonの楕円関数の記号

 実変数の Dixon の楕円関数のグラフ。
  • Dixonの楕円関数のグラフ(実変数)

 複素変数の Dixon の楕円関数Dixonの楕円関数sm(z)のグラフ。なお、Dixon の楕円関数Dixonの楕円関数cm(z)は、複素平面上でDixonの楕円関数sm(z)を60°回転し平行移動したものと同一なので、Dixonの楕円関数cm(z)の描画は省略する。
  • Dixonの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Dixonの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Dixonの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Dixonの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Dixonの楕円関数のグラフ(複素変数)

Jacobi の楕円関数

日:Jacobiの楕円関数ヤコビの楕円関数
英:Jacobi's elliptic function,仏:Fonction elliptique de Jacobi,独:Jacobische elliptische funktion

 楕円関数の存在は、1827年に Abel と Jacobi がほとんど同時に論文を提出し、その内容に驚嘆した当時の数学界での評判を伴って広く知れ渡った。この研究成果を高く評価したパリ科学アカデミーが、Abel と Jacobi に賞を授けたのは1830年だったが、このとき既に Abel は結核のため故人となっていた。また Abel は、現在「Abel の定理」として知られる Abel 積分の理論に初めて言及した重要な論文を1826年に提出していたが、パリ科学アカデミーが(フランス革命以後の混乱と A. L. Cauchy の忘却によって)これを散逸し、途中、Jacobi から不手際を激しく非難されたにも係わらず、公表は1841年まで遅れた。数学史において、「薄幸の人」Abel を象徴するようなこの出来事は、特によく知られている話である。
 Abel と Jacobi が定義した楕円関数は、のちに Legendre - Jacobi の標準形と呼ばれるようになる楕円積分の逆関数であったが、両者では被積分関数の形が僅かに異なる※1。現在では Jacobi の流儀が定着しているので、これについて記述する。
 すなわち、Jacobi の楕円関数は第一種楕円積分
  • 楕円積分
の逆関数であり、Jacobiの楕円関数sn(z,m)と表記される。 併せてJacobiの楕円関数cn(z,m)Jacobiの楕円関数dn(z,m)も Jacobi の楕円関数として導入される。これは、三角関数に似た関係式
Jacobiの楕円関数の関係式
を満たすように定義される(これは、楕円積分の根号内にある多項式の形によって示唆される)。 また、Jacobi の楕円関数の導関数は、Jacobi の楕円関数自身を用いて
  • Jacobiの楕円関数の導関数
と表わされる。よって、楕円関数を逐次微分して得られる楕円関数、任意の基本周期を持つ楕円関数など、すべての楕円関数はこの3種類の関数で表わすことができる。
 Jacobi の楕円関数は、三角関数と同様に代数的加法公式を満たすが、
  • Jacobiの楕円関数の加法公式
のように若干複雑である※2。 この代数的加法公式を用いると、それぞれの Jacobi の楕円関数が、次のような2個の基本周期を持つことが容易に導かれる。(ここに第1種完全楕円積分の略記法は、完全楕円積分である。)
Jacobiの楕円関数の基本周期
 また、3種類の Jacobi の楕円関数はいずれも、周期の点で囲まれた一つの基本周期平行四辺形の内部で1位の極と1位の零点とが各々2個分あり、すべての複素数値を2個ずつとる。このため2位の楕円関数である。(「基本周期平行四辺形」 および 「位数」 については、Weierstrass の楕円関数を参照。)
 Jacobi の楕円関数は、2個の楕円テータ関数の商で表わせる。実際に Jacobi の楕円関数を数値計算で求める場合は、楕円テータ関数を用いると簡単である。(公式は、楕円テータ関数の頁に記載している。)
 明らかに、第二変数mが0または1のとき、Jacobi の楕円関数は初等関数(三角関数または双曲線関数)に還元される。通常は便宜的な理由で、第二変数の範囲を実数0<m<1に制限することが多いが、m>1に対しては
  • Jacobiの楕円関数のパラメータの拡張
で定義される。またm<0に対してもJacobiの楕円関数sn(z,m)Jacobiの楕円関数cn(z,m)Jacobiの楕円関数dn(z,m)のいずれかを平行移動、定義域の拡大縮小、定数倍したものになる。mが複素数のときは、この限りではない。第二変数の意味が文脈中の記述で判断できる場合は、関数記号からその表示を省略することもある。

【註記】
 ※1 : 具体的に Abel は、符号が異なる次の形の第1種楕円積分で考察した。
Abelによる第1種楕円積分の形
 これを採用した場合、虚変数にすると、根号内の符号だけが入れ替わったような積分形になるため、逆関数における虚数方向の周期の存在が自明になるという利点があった。

 ※2 : この代数的加法公式を持つという性質が、楕円関数の著しい特徴の一つである。なぜなら、一価の解析関数で代数的加法公式を持つものは、初等有理関数、指数関数(三角関数の「加法定理」を含む)、および楕円関数しかないからである。

Jacobiの楕円関数の記号Jacobiの楕円関数の記号

 実変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。 mが0から離れるにしたがって、Jacobiの楕円関数sn(z,m)およびJacobiの楕円関数cn(z,m)は、正弦関数および余弦関数から離れるように変化する。
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(実変数)

 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数sn(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数sn(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数sn(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数sn(z,m)の記号のグラフ。mが実数でない場合は、基本周期平行四辺形が文字どおりの平行四辺形になり、長方形にはならない(以下同様)。
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数sn(z,m)の記号のグラフ。
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 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数sn(z,m)のグラフ。m=0~1 (+0.02)。
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数:動画)

 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数cn(z,m)の記号のグラフ。
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 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数cn(z,m)の記号のグラフ。
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 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数cn(z,m)の記号のグラフ。
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 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数cn(z,m)の記号のグラフ。
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 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数cn(z,m)の記号のグラフ。
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 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数cn(z,m+0.1i)のグラフ。m=-1~2 (+0.05)。
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数:動画)

 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数dn(z,m)の記号のグラフ。
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 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数dn(z,m)の記号のグラフ。
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 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数dn(z,m)の記号のグラフ。
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 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数dn(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
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  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数dn(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
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Jacobiの楕円関数の記号Jacobiの楕円関数の記号

 実変数の Jacobi の楕円関数のグラフ。順に、①Jacobiの楕円関数sn(z,m),②Jacobiの楕円関数cn(z,m),③Jacobiの楕円関数dn(z,m)
 m=変数,z=0~10 (+0.5刻み)。(刻みの増により、赤→橙→黄…に変化。以下同様とする。)

 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数sn(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数sn(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数cn(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数cn(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
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  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数dn(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の楕円関数Jacobiの楕円関数dn(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円関数のグラフ(複素変数)
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Jacobi の楕円振幅関数

日:Jacobiの楕円振幅関数ヤコビの振幅関数
英:Jacobi's amplitude function,仏:Fonction amplitude de Jacobi,独:Jacobische amplitude funktion

 Jacobi の楕円関数で用いる記号Jacobiの楕円関数sn(z,m)Jacobiの楕円関数cn(z,m)Jacobiの楕円関数dn(z,m)は、のちに C. Gudermann が始めたもので、実際 Jacobi は最初、
  • 楕円積分
の逆関数として楕円振幅関数Jacobiの楕円振幅関数am(z,m)の記号を考え、これを用いて楕円関数を
  • Jacobiの楕円振幅関数による楕円関数の表現
のように記述した。特に第3番目の式から
  • Jacobiの楕円振幅関数am(z,m)の定義式
と定義される。楕円振幅関数は楕円関数ではないが、擬周期性
  • Jacobiの楕円振幅関数の擬周期性
を持つ、複素平面上における無限多価関数である。
 実変数関数としての Jacobi の楕円振幅関数は、理想条件下での単振り子の周期運動を正確に表わした解となっている。この帰結として、振幅が大きいときの「振り子の等時性」は成り立たないことが導かれる。
 現在定着しているこの関数名の「振幅(Amplitude)」とは、物理学における上記の応用事例に因むものである。

Jacobiの楕円振幅関数am(z,m)の記号

 実変数の Jacobi の楕円振幅関数のグラフ。①z=変数,m=-4~4 (+0.1)。②実2変数zmの場合。
 ①のグラフで、前述の単振り子の周期運動を説明すると、引数が時間、関数値が振幅(振り子の振れる角度の半分)になっている。グラフが有界な範囲で振動している場合は、振り子が左右に振れている状態に相当し、一方、斜めに増加する非有界な場合は、振り子に与えられた力が大きいため回転している(つまり縦に振り回している)状態に相当する。注目すべきは、両者の境界である一定値に漸近する場合(黄色の線)で、これは時刻0を中心に振り子が1回の回転を起こしたが、その開始と終了までに無限の時間がかかる場合を意味する(通常、単振り子の腕は、硬いが重さが無いという理想上の棒であると考える)。

 複素変数の Jacobi の楕円振幅関数Jacobiの楕円振幅関数am(z,m)の記号のグラフ。(Mathematica 実装の Jacobi の楕円振幅関数とは異なる分枝切断線を採用しています。これは、E. Jahnke,F. Emde 著「Tables of Functions with formulae and curves」にあるグラフと同じです。以下同様。)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の楕円振幅関数Jacobiの楕円振幅関数am(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の楕円振幅関数Jacobiの楕円振幅関数am(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の楕円振幅関数Jacobiの楕円振幅関数am(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の楕円振幅関数Jacobiの楕円振幅関数am(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ(複素変数)
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Jacobi の第2種楕円関数

 比較的簡単な Jacobi の楕円関数であっても、積分すると Jacobi の楕円関数とは異なるクラスの関数が現れるものとして、
  • Jacobiの第2種楕円関数ε(z,m)の定義式
がある。これを Jacobi の第2種楕円関数※1、または Jacobi の楕円イプシロン関数という。
 また、本質的には同じクラスの関数として
  • Jacobiの第2種楕円関数Z(z,m)の定義式
が定義される。これも Jacobi の第2種楕円関数であり、Jacobi の楕円ゼータ関数ともいう。Jacobiの第2種楕円関数ε(z,m)の記号Jacobiの第2種楕円関数Z(z,m)の記号はともに楕円関数ではないが、複素平面上における一価有理型関数で、擬周期性
  • Jacobiの第2種楕円関数の擬周期性
を持っている。このように第2種楕円積分は、楕円振幅関数を代入することによって初めてその多価性が解消可能となる。換言すれば、(第1種~第3種の)一般的な楕円積分を「解く」場合、楕円関数だけでは不足していて、第2種楕円関数や後述の第3種楕円関数(から導かれる楕円テータ関数)を援用する必要が生じる。

【註記】
 ※1:第2種楕円関数という名称は、一般的に複素平面上において
  • 第2種楕円関数の一般的な別の意味
なる擬周期性を満たす一価有理型関数のことをいう場合もある。

Jacobiの第2種楕円関数の記号

 実変数の Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。z=変数,m=-4~1 (+0.2)。
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(実変数)

 複素変数の Jacobi の第2種楕円関数Jacobiの第2種楕円関数Z(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の第2種楕円関数Jacobiの第2種楕円関数Z(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の第2種楕円関数Jacobiの第2種楕円関数Z(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の第2種楕円関数Jacobiの第2種楕円関数Z(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の第2種楕円関数Jacobiの第2種楕円関数Z(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)

Jacobiの第2種楕円関数ε(z,m)の記号

 実変数の Jacobi の第2種楕円関数のグラフ。z=変数,m=-4~1 (+0.2)。
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(実変数)

 複素変数の Jacobi の第2種楕円関数Jacobiの第2種楕円関数ε(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
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  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の第2種楕円関数Jacobiの第2種楕円関数ε(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の第2種楕円関数Jacobiの第2種楕円関数ε(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の第2種楕円関数Jacobiの第2種楕円関数ε(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の第2種楕円関数Jacobiの第2種楕円関数ε(z,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第2種楕円関数のグラフ(複素変数)
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Jacobi の第3種楕円関数

 第3種楕円積分に楕円振幅関数を代入したもので表わされる、Jacobi の楕円関数の積分によって生じる新しいクラスの関数として、
  • Jacobiの第3種楕円関数π(z,a,m)の定義式
が定義される。これを Jacobi の第3種楕円関数、または Jacobi の楕円パイ関数という。特に、上記の第3番目の式から、
  • Jacobiの第3種楕円関数π(z,a,m)の対称式
が導かれる。この公式は、変数zとパラメータaとの間に可換性があることを示しており、Galois がこれを「Jacobi 氏の発見による最も美しい公式」と賞賛したことで知られる。
 Jacobiの第3種楕円関数の記号は楕円関数ではないが、擬周期性
  • Jacobiの第3種楕円関数π(z,a,m)の擬周期性
を持つ複素平面上の無限多価関数である。その多価性は対数関数に由来するので、さらに指数関数へ代入すれば多価性は解消される。すなわち
  • Jacobiの第3種楕円関数と楕円テータ関数との関係
となる(よって、 Weierstrass の楕円シグマ関数や、楕円テータ関数のクラスを、第3種楕円関数という場合も多い)。
 応用上、Jacobi の第3種楕円関数は剛体力学に現れる。特に、コマの回転運動を記述する目的のために、Jacobi はこの関数を導入した。

Jacobiの第3種楕円関数π(z,a,m)の記号

 実変数の Jacobi の第3種楕円関数のグラフ。①Jacobiの第3種楕円関数π(z,a,m)の記号,②Jacobiの第3種楕円関数π(z,a,m)の記号。ともに、z=変数,m=-4~4 (+0.2)。

 複素変数の Jacobi の第3種楕円関数Jacobiの第3種楕円関数π(z,a,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の第3種楕円関数Jacobiの第3種楕円関数π(z,a,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の第3種楕円関数Jacobiの第3種楕円関数π(z,a,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の第3種楕円関数Jacobiの第3種楕円関数π(z,a,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi の第3種楕円関数Jacobiの第3種楕円関数π(z,a,m)の記号のグラフ。
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiの第3種楕円関数のグラフ(複素変数)
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Weierstrass の楕円関数

日:Weierstrassの楕円関数ワイエルシュトラスのペー関数
英:Weierstrass's elliptic function,仏:Fonction elliptique de Weierstrass,独:Weierstraßsche p-funktion

 19世紀の半ばになると、複素解析学の発展に伴って楕円関数もより洗練された理論に基づくようになる。すなわち、初期の頃のように楕円関数を楕円積分の逆関数から定義するのではなく、二重周期を持つことがその形から自明な絶対収束する有理級数で定義されるようになる。
 現在では、無限遠点を除く複素平面上で、二重周期を持つ有理型関数を楕円関数という。その周期の全体は、基本周期の半分(「半周期」 と呼ばれる)をω1, ω2とすると、その線形結合
  • 二重周期の全集合
で網羅される。同じ基本周期を持った楕円関数どうしの四則演算、あるいは任意の楕円関数とそれを微分したものとは、共通の基本周期を持つ。0,2ω1,2ω2,2ω1+2ω2を頂点とする領域を、基本周期平行四辺形(FPP=Fundamental period parallelogram)またはラティス(Lattice=格子)といい
  • 基本周期平行四辺形
  • 楕円関数の基本周期平行四辺形

で表わされる。このFPP内にある極の位数の和を、その楕円関数の位数という。さらに楕円関数は次の「Liouville の第1~4定理」で特徴付けられる。これによって、例えば1位の楕円関数は存在しない(最小の位数は2である)こと等が分かる。
第1定理:二重周期を持つ整関数は、定数(定数関数)に限る。
第2定理:楕円関数のFPP内に含まれる極の留数の和は0である。
第3定理:楕円関数のFPP内に含まれる零点の位数の和は、楕円関数の位数に等しい。
第4定理:楕円関数のFPP内に含まれる零点の和と極の和との差は、一つの周期に等しい。
 絶対収束し二重周期を持つことが明らかな無限有理級数で定義される楕円関数を、K. Weierstrass は具体的に
  • Weierstrassの楕円関数の定義式
で表わした。これを、Weierstrass のpe(ペー)関数という(ペーは、Pのドイツ語読み)※1。ここに原点を除く周期全体にわたる総和記号は、原点に位置する周期点を除く周期の全体にわたる無限和を、周期全体にわたる総和記号は、周期の全体にわたる無限和を意味している。(以下同様。)
 また、
  • 不変量の定義式
は不変量と呼ばれる保型形式の一種である。Weierstrass のpe関数を Laurent 級数展開したときの係数にも、この不変量が現れる (→ 不変量と Laurent 級数展開式の詳細は、楕円モジュラー形式を参照)。
 Weierstrass のpe関数は2位の楕円関数で、FPP内に1位の零点を2個、2位の極を1個分持っている。またWeierstrass のpe関数の導関数pe-primeは3位の楕円関数で、FPP内に1位の零点を3個、3位の極を1個分持っている。ともに二重周期性
  • Weierstrassの楕円関数の二重周期性
を持ち(このことはpe-prime関数の無限有理級数の形から自明であり、これを項別積分するとpe関数の二重周期性も容易に導ける)、さらにpe関数とpe-prime関数とは、互いに
  • Weierstrassの楕円関数が満たす非線形微分方程式
なる非線形微分方程式で関係している。したがって、すべての位数の楕円関数はpe関数で表わせる。また、pe関数の逆関数は第1種楕円積分となることが分かる。言い換えれば、数論等で重要な楕円曲線
楕円曲線
は、pe関数とpe-prime関数とでパラメータ表示可能である※2。
 また、pe関数は代数的加法公式
  • Weierstrassの楕円関数の加法公式
を持っている。
 Jacobi の楕円関数が、物理学で多用されるのに対して、Weierstrass の楕円関数は、主に純粋数学、特に数論での応用が多い。19世紀前半の間、多くの数学者が楕円関数の本質を明らかにしたいという動機を持ち、多彩な研究に携わったため、複素解析学や数論が著しく発展したという数学史での事実がある。

【註記】
 ※1:peなる記号がどのような経緯で現在定着したかは不明。論文等では時折 Abel 関数にも用いられる(当サイトでは Painlevé 超越関数にも用いた)が、本来は Weierstrass の楕円関数のためだけに存在する特殊記号である。多くの文字フォントでサポートされないため、表示できない場合は、代わりにドイツ花文字(フラクトゥール)のPを用いることが多い。

 ※2:この「楕円曲線」という用語は、当然、長円としての「楕円」とは意味が異なる。それは、楕円関数でパラメータ表示される(一意化と呼ばれる)という、ここで述べた性質がまさにその名の由来である。
 楕円曲線は複素数で考えるので、実際は曲線ではなく曲面になる。その値が無限遠点になる場合も含めて、楕円曲線はトーラス(円環面)と同一視でき、楕円関数の2個の周期はトーラス上の線形独立な2個の(連続的なホモトピー変形によって1点に退化できない)ループに同一視される。
 また、楕円曲線は暗号法に用いられることでも有名で、今日の高度な情報化社会において欠かせないものとなっている。
 因みに、円の一意化関数は三角関数である(それで、三角関数は「円関数」と呼ばれることもある)。つまり、楕円関数はこの意味でも三角関数の拡張となっている。

Weierstrassの楕円関数の記号

 実変数の Weierstrass の楕円関数のグラフ。ω1=ω, ω2=ωiとするとき、ω=0.2~3 (+0.2)。
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(実変数)

 実変数、および複素変数の Weierstrass の楕円関数Weierstrassの楕円関数の記号のグラフ。(Equianharmonic - Case)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(実変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)

 Equianharmonic - Case を3乗すると、特徴的な6位の楕円関数になる。これは、Schwarz の保型関数と同様に正三角形のタイリングに関係した複素関数である。
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)

 実変数、および複素変数の Weierstrass の楕円関数Weierstrassの楕円関数の記号のグラフ。(Pseudo - Equianharmonic - Case)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(実変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)

 実変数、および複素変数の Weierstrass の楕円関数Weierstrassの楕円関数の記号のグラフ。(Lemniscatic - Case)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(実変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)

 実変数、および複素変数の Weierstrass の楕円関数Weierstrassの楕円関数の記号のグラフ。(Pseudo - Lemniscatic - Case)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(実変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Weierstrass の楕円関数Weierstrassの楕円関数の記号 2ω1=5+i,2ω2=1+4iのグラフ。
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)

 アニメーション(6.09MB)
 複素変数の Weierstrass の楕円関数Weierstrassの楕円関数の記号のグラフ。
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数:動画)

Weierstrassの楕円関数の記号Weierstrassの楕円関数の記号

 実変数の Weierstrass の楕円関数のグラフ。①g2=変数, g3=1,②g3=変数, g2=1。ともに、z=0.5~10 (+0.5)。

 複素変数の Weierstrass の楕円関数Weierstrassの楕円関数の記号のグラフ。
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Weierstrass の楕円関数Weierstrassの楕円関数の記号のグラフ。
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数のグラフ(複素変数)

Weierstrassの楕円導関数の記号

 実変数の Weierstrass の楕円関数の導関数のグラフ。ω1=ω, ω2=ωiとするとき、ω=0.2~3 (+0.2)。
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(実変数)

 実変数、および複素変数の Weierstrass の楕円関数の導関数Weierstrassの楕円関数の導関数の記号のグラフ。
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(実変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)

 実変数、および複素変数の Weierstrass の楕円関数の導関数Weierstrassの楕円導関数の記号のグラフ。
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(実変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)

 実変数、および複素変数の Weierstrass の楕円関数の導関数Weierstrassの楕円導関数の記号のグラフ。
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(実変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)

 実変数、および複素変数の Weierstrass の楕円関数の導関数Weierstrassの楕円導関数の記号のグラフ。
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(実変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Weierstrass の楕円関数の導関数Weierstrassの楕円導関数の記号2ω1=5+i,2ω2=1+4iのグラフ。
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)

Weierstrassの楕円導関数の記号Weierstrassの楕円導関数の記号

 実変数の Weierstrass の楕円関数の導関数のグラフ。①g2=変数, g3=1,②g3=変数, g2=1。ともに、z=0.5~10 (+0.5)。

 複素変数の Weierstrass の楕円関数の導関数Weierstrassの楕円導関数の記号のグラフ。
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Weierstrass の楕円関数の導関数Weierstrassの楕円導関数の記号のグラフ。
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円関数の導関数のグラフ(複素変数)
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Weierstrass の楕円ゼータ関数

日:Weierstrassの楕円ゼータ関数ワイエルシュトラスζ関数
英:Weierstrass zeta-function,仏:Fonction zêta de Weierstrass,独:Weierstraßsche zeta-funktion

 微分すると、Weierstrass のpe関数になる関数
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数の微分
を、Weierstrass の楕円ゼータ関数という。Jacobi の第2種楕円関数に相当する関数で、互いに他で表わすことができる。
 通常は、部分分数展開式
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数の定義式
によって定義されることが多い。Weierstrass の楕円ゼータ関数は楕円関数ではないが、pe関数と共通の周期格子点で1位の極を持つ有理型関数である。さらに、二重の擬周期性
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数の擬周期性
を持っている。
 pe関数とは、超越的加法公式を介して
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数の加法公式
の関係にある。

Weierstrassの楕円ゼータ関数の記号

 実変数の Weierstrass の楕円ゼータ関数のグラフ。ω1=ω, ω2=ωiとするとき、ω=0.2~3 (+0.2)。
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(実変数)

 実変数、および複素変数の Weierstrass の楕円ゼータ関数Weierstrassの楕円ゼータ関数の記号のグラフ。
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(実変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)

 実変数、および複素変数の Weierstrass の楕円ゼータ関数Weierstrassの楕円ゼータ関数の記号のグラフ。
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(実変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)

 実変数、および複素変数の Weierstrass の楕円ゼータ関数Weierstrassの楕円ゼータ関数の記号のグラフ。
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(実変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)

 実変数、および複素変数の Weierstrass の楕円ゼータ関数Weierstrassの楕円ゼータ関数の記号のグラフ。
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(実変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Weierstrass の楕円ゼータ関数Weierstrassの楕円ゼータ関数の記号2ω1=5+i,2ω2=1+4iのグラフ。
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Weierstrassの楕円ゼータ関数のグラフ(複素変数)

Weierstrass の楕円シグマ関数

日:Weierstrassの楕円シグマ関数ワイエルシュトラスσ関数
英:Weierstrass sigma-function,仏:Fonction sigma de Weierstrass,独:Weierstraßsche sigma-funktion

 対数微分すると、Weierstrass の楕円ゼータ関数になる関数
  • Weierstrassの楕円シグマ関数の対数微分
を、Weierstrass の楕円シグマ関数という。楕円テータ関数に相当する関数で、互いに他で表わすことができる。
 通常は、無限乗積式
  • Weierstrassの楕円シグマ関数の定義式
によって定義されることが多い。Weierstrass の楕円シグマ関数は楕円関数ではないが、pe関数と共通の周期格子点で1位の零点を持つ超越整関数である。さらに、二重の擬周期性
  • Weierstrassの楕円シグマ関数の擬周期性
を持っている。
 超越的加法公式に相当する
  • Weierstrassの楕円シグマ関数の加法公式
なる関係がある。
 楕円テータ関数と同様に、Weierstrass の楕円シグマ関数は好ましい対称性を持つので、数論や可解格子模型など多くの分野で応用事例がある。19世紀後半以降 Abel 関数論の一環として、この関数の多変数化(Riemann テータ関数に相当する)も研究されている。

Weierstrassの楕円シグマ関数の記号

 実変数の Weierstrass の楕円シグマ関数のグラフ。ω1=ω, ω2=ωiとするとき、ω=0.2~3 (+0.2)。
  • Weierstrassの楕円シグマ関数のグラフ(実変数)

 実変数、および複素変数の Weierstrass の楕円シグマ関数Weierstrassの楕円シグマ関数の記号のグラフ。③のグラフは、②の垂直軸を常用対数目盛にした場合である(以下同様)。

 実変数、および複素変数の Weierstrass の楕円シグマ関数Weierstrassの楕円シグマ関数の記号のグラフ。

 実変数、および複素変数の Weierstrass の楕円シグマ関数Weierstrassの楕円シグマ関数の記号のグラフ。

 実変数、および複素変数の Weierstrass の楕円シグマ関数Weierstrassの楕円シグマ関数の記号のグラフ。

 複素変数の Weierstrass の楕円シグマ関数Weierstrassの楕円シグマ関数の記号2ω1=5+i,2ω2=1+4iのグラフ。
 ②のグラフは、①の垂直軸を常用対数目盛にした場合である。

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