特殊関数 グラフィックスライブラリー
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不完全ガンマ関数
不完全ガンマ関数
日：不完全ガンマ関数，不完全Γ関数英：Incomplete gamma function，仏：Fonction gamma incompléte，独：Unvollständige Gammafunktion
不完全ガンマ関数とは、ガンマ関数の積分表示式「第2種 Euler 積分」の積分区間を変数化した、二つの関数
が正の整数のとき、不完全ガンマ関数は初等関数に還元される。さらに、
の場合は積分指数関数、
の場合は誤差関数に還元される。
を複素変数とする不完全ガンマ関数は、無限遠点のほか
を特異点とする無限多価関数であるが、通常は実軸上の区間
に分枝切断線を置く。また不完全ガンマ関数は、合流型超幾何関数の特別な場合としても表わすことができる。不完全ガンマ関数は、ガンマ関数と同様の積分計算でよく現れる。例えば、Dirichlet 級数の積分表示式や Euler-Maclaurin 和の公式などがある。
物理学では、量子力学を用いた分子軌道計算などの応用例があるが、不完全ガンマ関数そのものを用いることは少ない。前述の特別な
の値の場合が応用上も重要になることが多い。なお
を正の整数とするとき、
は
に初等関数を加減乗除したものになる。
, を実2変数とする不完全ガンマ関数のグラフ。
を実変数とする不完全ガンマ関数のグラフ。＝－5～5 (+0.1刻み)，(刻みの増により、赤→橙→黄…に変化。)
複素変数の不完全ガンマ関数(
＝変数, ＝5/3)のグラフ。
複素変数の不完全ガンマ関数(
＝変数, ＝－5/3)のグラフ。
を実変数とする不完全ガンマ関数のグラフ。＝0～5 (+0.1)，(赤→橙→黄…。)
複素変数の不完全ガンマ関数(
＝変数, ＝7/3)のグラフ。
複素変数の不完全ガンマ関数(
＝変数, ＝－1/3)のグラフ。
, を実2変数とする不完全ガンマ関数のグラフ。
を実変数とする不完全ガンマ関数のグラフ。＝－5～5 (+0.1)，(赤→橙→黄…。)
複素変数の不完全ガンマ関数(
＝変数, ＝5/3)のグラフ。
複素変数の不完全ガンマ関数(
＝変数, ＝－5/3)のグラフ。
を実変数とする不完全ガンマ関数のグラフ。＝0～5 (+0.1)，(赤→橙→黄…。)
複素変数の不完全ガンマ関数(
＝変数, ＝1/3)のグラフ。
複素変数の不完全ガンマ関数(
＝変数, ＝－1/3)のグラフ。
正則化不完全ガンマ関数
正則化不完全ガンマ関数とは、
のガンマ関数で除して、不定形となる場合を回避したものである。したがって、計算の途中では不完全ガンマ関数を使うよりも、正則化不完全ガンマ関数を使ったほうが都合の良い場合がある。なお、他の正則化として、次のような形にも稀に遭遇する。
とが実数のときは
も常に実数値をとるようになる。この関数は、例えば M. Abramowitz & I. Stegun 著「Handbook of Mathematical Functions」 p.260 などで記述がある。二つの関数は
は扱わない。
, を実2変数とする正則化不完全ガンマ関数のグラフ。
実変数の正則化不完全ガンマ関数のグラフ。
順に、①：
＝変数，＝－5～5 (+0.1)、②：＝変数，＝0～5 (+0.1)。(いずれも、赤→橙→黄…。)
を変数とする
は、と定数倍の違いしかないので、複素変数のグラフは省略する。複素変数の正則化不完全ガンマ関数(
＝変数, ＝7/3)のグラフ。
複素変数の正則化不完全ガンマ関数(
＝変数, ＝－1/3)のグラフ。
と 定数１しか違わないので、描画は省略する。
, を実2変数とする正則化不完全ガンマ関数のグラフ。
を実変数とする正則化不完全ガンマ関数のグラフ。＝－5～5 (+0.1)，(赤→橙→黄…。)
複素変数の正則化不完全ガンマ関数(
＝変数, ＝5/3)のグラフ。
複素変数の正則化不完全ガンマ関数(
＝変数, ＝－5/3)のグラフ。
を実変数とする正則化不完全ガンマ関数のグラフ。＝－5～5 (+0.1)，(赤→橙→黄…。)
複素変数の正則化不完全ガンマ関数(
＝変数, ＝7/3)のグラフ。
複素変数の正則化不完全ガンマ関数(
＝変数, ＝－1/3)のグラフ。
正則化不完全ガンマ関数を用いた美しい例。順に、
(①:実部，②:虚部)，
(③:絶対値，④:偏角)，
(⑤:実部，⑥:虚部)
を用いて、独自に定義したものである。
が負でない整数のとき、
のグラフ(①:実変数，②:実2変数,)，
のグラフ(③:実変数，④:実2変数,)。実変数①③は、いずれも
＝0～20 (+0.1)とする。
不完全ベータ関数
日：不完全ベータ関数英：Incomplete beta function，仏：Fonction bêta incompléte，独：Unvollständige Betafunktion
不完全ベータ関数は、ベータ関数の積分表示式「第1種 Euler 積分」の積分区間を変数化した、
を複素変数とする不完全ベータ関数は、無限遠点のほか
を特異点とする無限多価関数であるが、通常は区間および
に分枝切断線を置く。また不完全ベータ関数は、超幾何関数の特別な場合としても表わせる。物理学等における不完全ベータ関数の応用例は少ない。
, ＝変数，
＝2/3)のグラフ。(①:実部，②:虚部)
実2変数の不完全ベータ関数(
, ＝変数，＝2/3)のグラフ。(①:実部，②:虚部)
実2変数の不完全ベータ関数(
, ＝変数，＝2/3)のグラフ。(①:実部，②:虚部)
複素変数の不完全ベータ関数(
＝変数，＝7/3，＝－1/4)のグラフ。
複素変数の不完全ベータ関数(
＝変数，＝－7/3，＝－5/4)のグラフ。
複素変数の不完全ベータ関数(
＝変数，＝7/3，＝1/4)のグラフ。
複素変数の不完全ベータ関数(
＝変数，＝－7/3，＝1/4)のグラフ。
複素変数の不完全ベータ関数(
＝変数，＝7/3，＝－1/4)のグラフ。
複素変数の不完全ベータ関数(
＝変数，＝－7/3，＝－1/4)のグラフ。
の形をした不完全ベータ関数のうち、美しいと思われる例のみ掲げる。実変数の
のグラフ。
複素変数の
のグラフ。
正則化不完全ベータ関数
正則化不完全ベータ関数とは、
のベータ関数で除して、不定形となる場合を回避したものである。したがって、計算の途中では不完全ベータ関数を使うよりも、正則化不完全ベータ関数を使ったほうが都合の良い場合がある。
, ＝変数，＝2/3)のグラフ。(①:実部，②:虚部)
実2変数の正則化不完全ベータ関数(
, ＝変数，＝2/3)のグラフ。(①:実部，②:虚部)
実2変数の正則化不完全ベータ関数(
, ＝変数，＝2/3）のグラフ。(①:実部，②:虚部)
を変数とする正則化不完全ベータ関数
は、不完全ベータ関数をのベータ関数で除しているだけなので、その値は
と定数倍しか違わない。よってこの場合は描画しない。複素変数の正則化不完全ベータ関数(
＝変数，＝7/3，＝－1/4)のグラフ。
複素変数の正則化不完全ベータ関数(
＝変数，＝－7/3，＝1/4)のグラフ。
複素変数の正則化不完全ベータ関数(
＝変数，＝7/3，＝－1/4)のグラフ。
複素変数の正則化不完全ベータ関数(
＝変数，＝－7/3，＝1/4)のグラフ。
