不完全ガンマ関数：特殊関数グラフィックスライブラリー Special Functions

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不完全ガンマ関数

日：不完全ガンマ関数，不完全Γ関数
英：Incomplete gamma function，仏：Fonction gamma incompléte，独：Unvollständige Gammafunktion

　不完全ガンマ関数は、ガンマ関数の積分表示式 (第2種 Euler 積分) の積分区間を変数化した、二つの関数

である。区別して呼ぶ場合は｢不完全ガンマ関数｣の名称に、

は第1種- (Lower-) を、

は第2種- (Upper-) を冠することが多い。両者は、

によって移り変わることができる (ただし、

であるとする。以降、

に関する公式はすべて同じ条件が付く)。また、不完全ガンマ関数は関数等式

を満たす。
　特別な

の値のとき、不完全ガンマ関数は

のように初等関数、積分指数関数、および誤差関数に還元されるので、先の関数等式を適用すれば、隣接する

の値に対しても次々と還元表示式が得られる。例えば、

が正の整数ならば、

および

はともに初等関数になることが分かる。
　不完全ガンマ関数は、合流型超幾何関数の特別な場合として

と表わすことができ、大半の性質はこれから導かれる。例えば、

は二階線形常微分方程式

の線形独立な二つの解となる。また、不完全ガンマ関数は連分数

に展開できる。なお、後者の連分数展開式等に値を代入して得られる定数

は、｢Gompertz の定数｣と呼ばれている※1。
　

を複素変数とする不完全ガンマ関数

は、

を特異点 (うち、前者は対数分岐点) とする無限多価関数であり、通常は実軸上の区間

に分枝切断線を置く。

を複素変数とする場合、一般に

は

を極とする有理型関数、

は超越整関数となる。
　不完全ガンマ関数は、ガンマ関数と同様に種々の積分計算に伴って現れる。例えば、Dirichlet 級数の積分表示式を求める場合や Euler - Maclaurin 和の公式を適用した計算などで現れる。
　諸科学への応用例もいくつかあり、特に、統計学での各種確率分布の累積関数が著しい。その他にも、量子化学の Gauss 軌道および Slater 軌道、タンパク質の緩和時間における対数的振動、生態系および集団生物学への応用等がある。
　不完全ガンマ関数は、A. M. Legendre がガンマ関数の研究に関連して1818年に定義したが、｢不完全ガンマ関数｣なる名称は、1871年に O. X. Schlömilch が初めて使用して以降、一般に定着した。

【註記】
※1：1756年に L. Euler は、今日で言うところの

の漸近級数に値を強引に代入し、これと Gompertz の定数の連分数表示を比較することで、

なる発散級数の意味付けが可能であるとした。(勿論、正しい推察ではない。Borel 総和法の意味では正しい。)

を実2変数とする不完全ガンマ関数

のグラフ。

を実変数とする不完全ガンマ関数

のグラフ。

＝－5～5 (+0.1) の場合。太線は

が整数のとき。

　複素変数の不完全ガンマ関数

のグラフ。

　複素変数の不完全ガンマ関数

のグラフ。

　複素変数の不完全ガンマ関数

のグラフ。

を実変数とする不完全ガンマ関数

のグラフ。

＝0～5 (+0.1) の場合。太線は

が整数のとき。

　複素変数の不完全ガンマ関数

のグラフ。

　複素変数の不完全ガンマ関数

のグラフ。

　複素変数の不完全ガンマ関数

のグラフ。

を実2変数とする不完全ガンマ関数

のグラフ。

を実変数とする不完全ガンマ関数

のグラフ。

＝－5～5 (+0.1) の場合。太線は

が整数のとき。

　複素変数の不完全ガンマ関数

のグラフ。

　複素変数の不完全ガンマ関数

のグラフ。

　複素変数の不完全ガンマ関数

のグラフ。

を実変数とする不完全ガンマ関数

のグラフ。

＝0～5 (+0.1) の場合。太線は

が整数のとき。

　複素変数の不完全ガンマ関数

のグラフ。

　複素変数の不完全ガンマ関数

のグラフ。

　複素変数の不完全ガンマ関数

のグラフ。

正則化不完全ガンマ関数

　正則化不完全ガンマ関数とは、

と定義することによって、

に由来する不定値が発生しないようにした不完全ガンマ関数である。
　この定義から、両者は

の関係にあることが直ちに導かれる。
　なお、これを更に正則化した関数、

も定義されている。

は、

で収束するため大変都合が良い無限級数

に展開される。つまり、逆にこれを数値計算法の要にすれば、他の不完全ガンマ関数も効率よく計算できる。
　応用では不完全ガンマ関数と同等に扱われるが、特に、統計学では

および

がガンマ分布の累積関数として現れる。また、待ち行列理論の Erlang 損失系では

の逆数が使用される。

を実2変数とする正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。

を実変数とする正則化不完全ガンマ関数

のグラフは、

のそれと定数倍

の違いしかないので、実変数のグラフのみを描画する。

＝－5～5 (+0.1) の場合。太線は

が整数のとき。

を実変数とする正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。

＝0～5 (+0.1) の場合。太線は

が整数のとき。

　複素変数の正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。

　複素変数の正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。

　複素変数の正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。

　正則化不完全ガンマ関数

は、

と定数１の差しかなく、

を変数とするならば

と定数倍

の違いしかない。よって、

を実2変数とするグラフ、

または

を実変数とするグラフは描画しない。
　一方、

が複素変数ならば (実部･虚部プロット以外の) グラフの様子は若干異なるので、各々この場合のみ描画する。

　複素変数の正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。

　複素変数の正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。

　複素変数の正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。

を実2変数とする正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。

を実変数とする正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。

＝－5～5 (+0.1) の場合。太線は

が整数のとき。

　複素変数の正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。

　複素変数の正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。

　複素変数の正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。

を実変数とする正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。

＝－5～5 (+0.1) の場合。太線は

が整数のとき。

　複素変数の正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。

　複素変数の正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。

　複素変数の正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。

を実2変数とする正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。実部と虚部に分ける。

を実2変数とする正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。絶対値と偏角に分ける。

を実2変数とする正則化不完全ガンマ関数

のグラフ。実部と虚部に分ける。

　正則化不完全ガンマ関数

を用いて、独自に定義した関数

は、

が非負整数のときに、

となる。つまり、

および

の Maclaurin 展開式の有限和を連続化した関数になっている。

　

を実2変数とする正則化不完全ガンマ関数 ①:

, ②:

, ③:

のグラフ。

　アニメーション：

(24.5MB),

(23.4MB)

不完全ベータ関数

日：不完全ベータ関数
英：Incomplete beta function，仏：Fonction bêta incompléte，独：Unvollständige Betafunktion

　現在では、ベータ関数の積分表示式 (第1種 Euler 積分) に対しても積分区間を変数化した、不完全ベータ関数

が定義されている。以下に見るとおり、不完全ベータ関数が満たす公式の多くは、不完全ガンマ関数のそれに類似している。
　例えば、変数

の交換に関する公式

は、二つの不完全ガンマ関数間の関係式に相当している。また、不完全ベータ関数は関数等式

を満たす。
　特別な

の値のとき、不完全ベータ関数は

のように初等関数に還元される。先の関数等式を適用すれば、隣接する

の値に対しても次々と還元表示式が得られる。
　不完全ベータ関数は、超幾何関数の特別な場合として

と表わすことができ、大半の性質はこれから導かれる。
　また、不完全ベータ関数は連分数

に展開できる。
　不完全ベータ関数

は、

を複素変数とする場合、

を特異点 (うち、前2者を一般に対数分岐点) とする無限多価関数であり、通常は実軸上の区間

および

に分枝切断線を置く。

を複素変数とする場合は有理型関数となり、

を複素変数とする場合は超越整関数となる。
　不完全ベータ関数 (後述の正則化も含めて) の著しい応用事例は、統計学におけるベータ分布の累積関数であるが、他にも、軟質または粒状物体のパッキング分析、物質を含み宇宙定数を持つ膨張宇宙の成長因子に関する数式などがある。
　不完全ベータ関数の起源は、I. Newton (1676年)、J. Stirling (1730年)、並びに P. S. Laplace (1778年) 等による定積分の公式を求める研究にあり、その後、次第に不完全ガンマ関数と対をなす現在の形に整備された。