特殊関数 グラフィックスライブラリー
Graphics Library of Special functions

Abel 関数

Abel 関数

日：Abel関数，アーベル関数
英：Abelian function，仏：Fonction Abélienne，独：Abelsche funktion

　Abel 関数は、多変数の楕円関数ともいうべき関数で、個の線形独立な周期を持つ (変数の) 一価有理型関数である。楕円関数が種数１の有界な Riemann 面 (トーラス：円環面と同相な曲面) 上の有理型関数と捉えられるのに対して、Abel 関数は種数の有界な Riemann 面 (個のトーラスを接合したものと同相な曲面) 上の有理型関数と捉えられる。
　19世紀前半には楕円積分の拡張として、根号内が５次以上の多項式となる超楕円積分、さらには代数関数の積分である Abel 積分が考察対象として本格的に扱われるようになり、それらの積分も楕円積分と同様に、第1種～第3種の標準形に帰着できること等が次第に判明した。また、楕円関数との類似性から、その逆関数に相当するものを求めることが当時の数学界における中心的課題となり、｢超楕円積分の逆関数問題｣ と呼ばれるようになった。
　まず始めに C. G. J. Jacobi は (多項式が６次の) 超楕円積分の逆関数を求めたが、それは４重周期関数であるものの二価関数であった。種数が２以上の場合は、(楕円関数のように) 単独の超楕円積分の逆関数ではなく、個の超楕円積分の和の逆関数からなる変数の基本対称式が一価関数となる。この事は、代数曲面上の積分に関する ｢Abel の定理｣ によって裏付けられる。 この定理を初めて述べた N. H. Abel の論文 ｢Mémoire sur une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions transcendantes (超越関数の非常に広いクラスの一般的性質に関する論考)｣ は、正式な公表が (パリ科学アカデミーの不手際によって) 遅延していたが※1、その内容をある程度推測し、自身のアイデアも持っていた Jacobi は1834年に、種数２の場合、すなわち２変数の一価４重周期関数 (種数２の Abel 関数のうち特殊なケース) を得ることができた。
　さらに1840年代には J. G. Rosenhain, A. Göpel, および C. Hermite 等が、種数２の Abel 関数を具体的な２変数テータ関数の商で表わすことに成功した。
　一般の種数の場合に対する ｢逆問題｣ は、K. Weierstrass と G. F. Riemann によって解決された。Weierstrass は、種数の超楕円積分の和

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に対する逆関数、すなわちを独立変数とする個の関数から、本の基本対称式
を作れば、それが個の特殊な Abel 関数の例となることを示した (1853年～1856年)。
　一方、Riemann は、自身の産み出した Riemann 面の概念とその面上での線積分を用いて、種数の Abel 積分の位相解析的な特徴を洗い出し、それが Abel の定理を充足することを観察した。さらに、個の擬周期を持つ具体的な変数テータ関数を導入し、その２個の商が第1種 Abel 積分を解くこと (つまり、一般的な Abel 関数になっていること) を示した (1857年)。この多変数テータ関数は、現在では Riemann テータ関数と呼ばれている。以下では、これをやや現代的な定義に沿って説明する。
　第1種 Abel 積分の被積分関数である代数関数は、種数の有界な Riemann 面と同一視でき、それは既に述べたとおり個のトーラスを接合したものと同相となる。そこで、その面上でとりうる積分経路のうち、互いに線形独立で基本的な経路のみを選び出す。トーラス１個分について、そのような経路は２本あるので、種数の場合では (：以下同様) の本ある。(次の図は種数２の場合。)
このとき、個の線形独立な正則微分形式 (：以下同様) の各々に対して通りの積分経路が選べるので、全部で個の線積分
を作ることができ、それは一般に相異なる複素定数となる。さらに、これらを要素とする行列 (これは、周期行列と呼ばれる)

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を定義すると、積 (はの逆行列) は正定値対称行列となる (これは現在では、Riemann モジュール行列と呼ばれている)。このとき Riemann テータ関数は、Riemann モジュール行列を係数に用いた多変数 Fourier 級数で定義される。
　さて、ここで取り扱う具体的な Abel 関数は、を Riemann モジュール行列、を個の成分からなるベクトル変数とし、を指標とする Riemann テータ関数を用いて、次のように定義されるものとする。(ここに、は、０または１の値をとる)。

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　なお、この Abel 関数は、値：が偶数 (または奇数) になるとき、偶関数 (または奇関数) となる。種数１のときは、Jacobi の楕円関数と完全に一致する。
　Riemann モジュール行列を、個の ｢Abel 関数の半周期｣ からなると捉えれば、この Abel 関数の重周期性は、, の全体に対して、具体的に

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と表わされる。
　Abel 関数論は、前述のとおり Weierstrass, および Riemann によって一応の完成段階に達し、しばしば19世紀数学の最高到達点の一つと称される。現在では、解析的な側面として演繹的に Abel 関数論が含まれるように ｢代数関数論｣ が整備され、その過程で重要視されるようになった Riemann 面の概念や代数多様体は、それ自体が研究対象として興味を引き、位相幾何学など新しい分野との繋がりも見出された。Abel 関数は、一変数複素関数論に比べて (現在でも) 不明な点がある多変数複素関数論において、具体的な考察対象を与えるものとしても重要である。
　Abel 関数の純粋数学的な応用としては、高次の代数曲線や代数曲面 (例えば Kummer 曲面など) を Abel 関数によってパラメータ表示すること等、19世紀後半からの研究がある。これは、現在では ｢代数幾何学｣ と呼ばれる大きな分野に発展している。整数論では、代数多様体を代数体の類似と見て、前者に付随して定義される ｢合同ゼータ関数｣ では Riemann 予想が成立していることを、1974年に P. Deligne が証明した等の著しい成果がある。
　物理学においても、重力下で固定点を持つ剛体 (独楽など) の回転運動を記述する Euler 運動方程式は、種数２の Abel 関数によって表わされる特別な解を持つことを、S. V. Kovalevskaya が発見したこと等、種々の応用事例がある。

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　実変数、および複素変数の Abel 関数のグラフ。

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　実変数、および複素変数の Abel 関数のグラフ。

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　ここで、上記の Abel 関数が実際に4個の基本周期を持つことを確認しよう。前述の奇関数の定義式、および後述の Riemann テータ関数の諸公式を用いれば、周期性は

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となることが分かる。ここに、指標の要素は0または1からなるので、指数関数因子は必ず±1になることに注意する。さらに、ここで考察している事例は、

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であるから、周期性の式は

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に簡略化される。ここで、指数関数因子が1となるためにはでなければならない。これを満たすときの複素数値ベクトルは、この Abel 関数の周期全体となるが、このうち、ベクトルの長さ (ノルム：) がなるべく短く、かつ互いに線形独立な (ベクトルの方向が同じでなく反転でもない) ものを基本周期として、

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の4個選べることが分かる。つまり、この Abel 関数の任意の周期はすべて、この4個の基本周期の有限和で表わされる。
　4個の基本周期、基本周期の和の一例、および基本周期からなる格子を、4次元空間内のベクトルとして視覚化すると次のようになる。
　また、変数が基本周期の2区間分を動いたときのの複素変数グラフを、次のアニメーションで視覚化する。

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　実変数、および複素変数の Abel 関数のグラフ。

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　実変数、および複素変数の Abel 関数のグラフ。

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　実変数、および複素変数の Abel 関数のグラフ。

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　実変数、および複素変数の Abel 関数のグラフ。

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　実2変数の Abel 関数のグラフ。

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　実2変数の Abel 関数のグラフ。

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　実2変数の Abel 関数のグラフ。

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　実2変数の Abel 関数のグラフ。

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　実変数、および複素変数の Abel 関数のグラフ。

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　実変数、および複素変数の Abel 関数のグラフ。

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　実2変数の Abel 関数のグラフ。

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　実2変数の Abel 関数のグラフ。

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　実2変数の Abel 関数のグラフ。

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　実2変数の Abel 関数のグラフ。

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Riemann テータ関数

日：Riemannテータ関数，リーマンθ関数
英：Riemann Theta Function，仏：Fonction thêta de Riemann，独：Riemannsche thetafunktion

　歴史的に Riemann テータ関数は、それらの商として Abel 関数を表わすために導入された。Abel 関数が重周期性を持つ多変数有理型関数であるのに対して、Riemann テータ関数は重擬周期性を持つ多変数超越整関数である。つまり、Riemann テータ関数は楕円テータ関数の多変数化に相当する。
　種数の場合の Riemann テータ関数は、多変数 Fourier 級数によって

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と表わされる。ここに、は正定虚部対称な ｢Riemann モジュール行列｣ とよばれる行列、は個の複素数成分からなるベクトル変数で、級数の和はなる整数ベクトル全体をわたるものとする。それぞれの記号の簡略形と具体形との対応は、上記の関係式から類推できる。
　特に、種数２のときを具体的に表記すれば (は対称行列のためで表わされる)、

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　Riemann テータ関数の重擬周期性は、, の全体に対して具体的に

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と表わされる。また、Riemann テータ関数はに関して常に偶関数である。
　併せて、｢指標付き Riemann テータ関数｣ がしばしば定義される。, から構成される行列を指標という。このとき、指標付き Riemann テータ関数は

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と表わされる。ここに、簡略形記号は前述と同じであり、を意味している。
　指標付き Riemann テータ関数は、次のように (指標無し) Riemann テータ関数で表わすことができる。

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　特に、種数２の場合を具体的に記述すれば (は対称行列のためで表わされる)、

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となる。
　である場合は、その組み合わせによって個の指標付き Riemann テータ関数が定義され、種数１のときに楕円テータ関数が４種類定義されることの拡張になっている (それらの任意の２個で商をつくると、Abel 関数になる)。それらの指標付き Riemann テータ関数は、値：が偶数 (または奇数) になるとき、偶関数 (または奇関数) となり、そのうち個は偶関数、個は奇関数である。
　種数１の場合に楕円テータ関数になることを具体的に表記すれば、

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となる。ここに、である。
　一方、Riemann テータ関数は Riemann モジュール行列を変数と見れば、楕円モジュラー形式の多変数化になり、数論等への応用上重要である。C. L. Siegel 等がこの方面の研究で著しい寄与を成している。

　実変数、および複素変数の Riemann テータ関数のグラフ。３番目は、垂直軸を常用対数目盛にした場合である。(以下同様。)

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　実変数、および複素変数の Riemann テータ関数のグラフ。

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　実変数、および複素変数の Riemann テータ関数のグラフ。

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　実変数、および複素変数の Riemann テータ関数のグラフ。

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　実変数、および複素変数の Riemann テータ関数のグラフ。

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　実変数、および複素変数の Riemann テータ関数のグラフ。

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　実2変数の Riemann テータ関数のグラフ。

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　実2変数の Riemann テータ関数のグラフ。

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　実2変数の Riemann テータ関数のグラフ。

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　実2変数の Riemann テータ関数のグラフ。
　（ただしこの場合は、関数値が極端に大きくなるため、実部･虚部それぞれの逆双曲線正弦値をとっている。）

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　実変数、および複素変数の Riemann テータ関数のグラフ。

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　実変数、および複素変数の Riemann テータ関数のグラフ。

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Scaled - Riemann テータ関数

　通常の Riemann テータ関数に指数関数因子を乗じた、Scaled - Riemann テータ関数

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を定義することがある (例えば、｢NIST Handbook of Mathematical Functions｣ など)。ここに、は逆行列の意味である。
　Scaled - Riemann テータ関数は複素ベクトル変数に関して、非解析的な有界関数である。偏角は Riemann テータ関数と同一であるが、絶対値は異なり二重周期的である。このため、Scaled - Riemann テータ関数の偏角と絶対値の線は直交しない。しかし、応用上はこの方が便利なこともある。

　実変数、および複素変数の Scaled - Riemann テータ関数のグラフ。

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　実変数、複素変数の Scaled - Riemann テータ関数のグラフ。

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　実2変数の Scaled - Riemann テータ関数のグラフ。

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　実2変数の Scaled - Riemann テータ関数のグラフ。

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超レムニスケート関数

　レムニスケート (連珠形) が原点から延びる弦 (動径) によって切り取られて弧を作るとき、弦の長さは、弧の長さを変数とする Gauss の楕円関数で表わされるのであった。
　ここでレムニスケートを拡張し、原点を中心とし半径がである円周の等分点 (ただし、そのうちの一点は座標に固定する) からの距離の積が一定値になる曲線を考え、これを焦点のレムニスケート (連珠形) と呼ぶことにする。この条件を極座標上で表現すると、

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となるので、これを整理すれば焦点のレムニスケートの極座標表示式
が得られる。さらに、焦点の場合についても、弦の長さを弧の長さで表わす類似を考えると、曲線の長さを求める公式から、

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が得られる。(下図は、①３焦点のレムニスケート, ②４焦点のレムニスケートである。)
ここに、は超楕円積分

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の逆関数であり、Gauss の楕円関数 (レムニスケート正弦関数) を拡張したものに相当するので、当サイトではを ｢超レムニスケート関数｣ と称する※1。ただし、超レムニスケート関数は一般に多価関数となり、楕円関数等の一価関数に帰着されるのは一部のの場合に限られる。例えば、

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となる※2。
　また、は三重周期の多価関数、は四重周期の多価関数であるが、は２乗すると

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となるので、実質は楕円関数の無理関数であることが分かる。

　超レムニスケート関数：実変数および複素変数のグラフ。３焦点のレムニスケートで現れる。

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　超レムニスケート関数：実変数および複素変数のグラフ。４焦点のレムニスケートで現れる。

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　超レムニスケート関数：実変数および複素変数のグラフ。５焦点のレムニスケートで現れる。

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　超レムニスケート関数：実変数および複素変数のグラフ。
　（複素変数の３番目のグラフは、放射状の分枝切断線を採用した場合。）

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　超レムニスケート関数：実変数および複素変数のグラフ。
　（複素変数の３番目のグラフは、放射状の分枝切断線を採用した場合。）

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　実変数の超レムニスケート関数のグラフ。の推移によるグラフの違いを確認する。

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　多価関数である超レムニスケート関数を一価関数化したものは保型関数になる。以下、このことを確認しよう。しかし、考察を容易にするため、の代わりにで考える。
　関数のグラフは次のようになる。

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　原点を含む正８角形の領域をの ｢基本領域｣ と捉えたとき、正８角形の頂点は内角がであるから、その８倍での整数倍、すなわち元の分枝に戻る。よって、各頂点はの代数分岐点であり、８枚分の正８角形の頂点が集まっている。
　Euclid 平面上では、頂点を介して８枚分の正８角形を敷き詰めることはできないが、非 Euclid 平面 (双曲幾何) 上では可能である。したがって、正８角形を円弧正８角形に移す写像 (Schwarz - Christoffel 変換等、複数種の等角写像の合成) によって、は Schwarz の保型関数に移る。

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　なお、合同な円弧正８角形のみから成る Schwarz の保型関数は無数にあるため、写像先の円弧正８角形は、これが唯一ではない。例えば Schwarz の保型関数もの一価関数化になる。

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　以下は、による一価関数化を、紙細工で再現した様子である。(正８角形は非 Euclid 平面上では歪んで見えるが、実際には ｢歪んでいない｣ と考えるのである。)
　用意した組み立てパーツ。
　組み立て中の状態。貼り合わせは瞬間接着剤を用いた。
　完成。横から見ると、フリル状に歪んでいるので、これを平面と呼ぶのは無理がある。しかし、それは Euclid 空間に住む人間の感覚である。この曲面上のみを移動可能な ｢２次元生命体｣ が存在したならば、彼らは ｢我々の世界は平坦で歪みがない。ここでは正８角形を隙間なく敷き詰めることができる。｣ と言うであろう。フリル状の歪みは、この非 Euclid 平面が負の曲率を持つ (双曲幾何である) ことに由来する。
　なお、深い論考を伴ったもっと複雑な紙細工が、｢Home page of Gerard Westendorp｣ (http://westy31.home.xs4all.nl/Geometry/Geometry.html) に多数掲載されている。

Squigonometric 関数

日：Squigonometric 関数※1
英：Squigonometric function，Trigonometric function in ν-norm

　ここでは、前節の超レムニスケート関数とよく似ている別の関数を取り上げる。以降、断らない限りとする。
　円の陰関数表示式を拡張したで表わされる曲線を ｢Squircle｣ という※2。これは、二次元平面における-ノルム (拡張された絶対値)が１以内となる領域の境界線でもある。
　Squircle は、媒介変数表示式

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で表わすこともできるが、このは円における弧度を借用しているに過ぎない。すなわちでは、Squircle との結び付きが不明瞭になってしまう。
　そこで、点を通る動径と始動径および Squircle で囲まれた領域の面積をとするとき、いかなるであっても、Squircle とが明瞭に結び付く媒介変数表示式

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で記述できる関数を考え、これを Squigonometric 関数という (また、これを用いる三角法の類似は Squigonometry と呼ばれる)※3。
　具体的に、Squigonometric 正弦関数は、Abel 積分

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の逆関数であり、Squigonometric 余弦関数との関係、および周期性等の性質

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を持つ。ただし、周期性は Squircle の定義式に絶対値記号が使われていることに因る。このため、一般に Squigonometric 関数は、複素領域で技巧的な分枝切断線が無数に入り、互いに連結していない分枝が生じてしまう。そこで当サイトでは、解析接続が施されて分枝が単連結となる Squigonometric 関数

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を併せて定義する。両者は、非線形連立微分方程式の解

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となる。(実際の数値計算では、上記のうち初期条件をに変更した方が都合が良い※4。)
　関数は一般に多価関数であるが、特別なの場合では既知の一価関数に還元される。例えば、

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となる。また、は２乗すると

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となるので、楕円関数の無理関数に帰着される。(→ Gauss および Dixon の楕円関数)
　Squigonometric 余弦関数は、

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であるから、いずれの複素変数グラフも、Squigonometric 正弦関数のそれを原点で180°回転し、さらに平行移動したものと一致する。(それゆえ、複素変数の Squigonometric 余弦関数のグラフは省略する。)

　実変数の Squigonometric 関数,のグラフ。

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　複素変数の Squigonometric 関数のグラフ。

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　実変数の Squigonometric 関数のグラフ。

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　複素変数の Squigonometric 関数のグラフ。

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　実変数の Squigonometric 関数,のグラフ。

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　複素変数の Squigonometric 関数のグラフ。

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　実変数の Squigonometric 関数のグラフ。

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　複素変数の Squigonometric 関数のグラフ。

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　実変数の Squigonometric 関数のグラフ。の場合。

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　実変数の Squigonometric 関数のグラフ。の場合。

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　①Squircle の図。このうち、円または四角形になる場合を除いて興味深い事例は、②放物線の一部分が４個集まるの場合と、③アステロイド (Astroid, 星茫形) になるの場合である。(→ Wikipedia(En)：Astroid)

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　アニメーション（9.42MB）
　一定長の線分の２端点のうち、一方が常に横軸上、他の一方が常に縦軸上を動くとき、線分群の包絡線はアステロイドになる。

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　実変数の Squigonometric 関数のグラフ。

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　複素変数の Squigonometric 関数のグラフ。

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　実変数の Squigonometric 関数のグラフ。

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　複素変数の Squigonometric 関数のグラフ。

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　複素変数の Squigonometric 関数のグラフ。

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　複素変数の Squigonometric 関数のグラフ。

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　(を実数まで拡張した) Fermat 曲線の図。第1象限では常に Squircle と一致するが、その他の範囲ではのときに Squircle と異なる曲線、または曲線が非表示になる。

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