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Abel 関数

Abel 関数

日:Abel関数アーベル関数
英:Abelian function,仏:Fonction Abélienne,独:Abelsche funktion

 Abel 関数は、多変数の楕円関数ともいうべき関数で、2p個の線形独立な周期を持つ (p変数の) 一価有理型関数である。楕円関数が種数1の有界な Riemann 面 (トーラス:円環面と同相な曲面) 上の有理型関数と捉えられるのに対して、Abel 関数は種数pの有界な Riemann 面 (p個のトーラスを接合したものと同相な曲面) 上の有理型関数と捉えられる。
 19世紀前半には楕円積分の拡張として、根号内が5次以上の多項式となる超楕円積分、さらには代数関数の積分である Abel 積分が考察対象として本格的に扱われるようになり、それらの積分も楕円積分と同様に、第1種~第3種の標準形に帰着できること等が次第に判明した。また、楕円関数との類似性から、その逆関数に相当するものを求めることが当時の数学界における中心的課題となり、「超楕円積分の逆関数問題」 と呼ばれるようになった。
 まず始めに C. G. J. Jacobi は (多項式が6次の) 超楕円積分の逆関数を求めたが、それは4重周期関数であるものの二価関数であった。種数pが2以上の場合は、(楕円関数のように) 単独の超楕円積分の逆関数ではなく、p個の超楕円積分の和の逆関数からなるp変数の基本対称式が一価関数となる。この事は、代数曲面上の積分に関する 「Abel の定理」 によって裏付けられる。 N. H. Abel の論文は正式な公表が (フランス科学アカデミーの不手際によって) 遅延していたが、事前にその内容をある程度知り、自身のアイデアも持っていた Jacobi は1834年に、種数2の場合、すなわち2変数の一価4重周期関数 (種数2の Abel 関数のうち特殊なケース) を得ることができた。
 さらに1840年代には J. G. Rosenhain, A. Göpel, および C. Hermite 等が、種数2の Abel 関数を具体的な2変数テータ関数の商で表わすことに成功した。
 一般の種数pの場合に対する 「逆問題」 は、K. Weierstrass と G. F. Riemann によって解決された。Weierstrass は、種数pの超楕円積分の和
  • Abel積分からなる基本対称式
に対する逆関数、すなわち{z1,…,zp}∈C^pを独立変数とするp個の関数{x1,…,xp}∈C^pから、p本の基本対称式
Abel関数の基本対称式
を作れば、それがp個の特殊な Abel 関数の例となることを示した (1853年~1856年)。
 一方、Riemann は、自身の産み出した Riemann 面の概念とその面上での線積分を用いて、種数pの Abel 積分の位相解析的な特徴を洗い出し、それが Abel の定理を充足することを観察した。さらに、2p個の擬周期を持つ具体的なp変数テータ関数を導入し、その2個の商が第1種 Abel 積分を解くこと (つまり、一般的な Abel 関数になっていること) を示した (1857年)。この多変数テータ関数は、現在では Riemann テータ関数と呼ばれている。以下では、これをやや現代的な定義に沿って説明する。
 第1種 Abel 積分の被積分関数である代数関数は、種数pの有界な Riemann 面と同一視でき、それは既に述べたとおりp個のトーラスを接合したものと同相となる。そこで、その面上でとりうる積分経路のうち、互いに線形独立で基本的な経路のみを選び出す。トーラス1個分について、そのような経路は2本あるので、種数pの場合ではak, bk (k=1, 2, ... , p:以下同様) の2p本ある。(次の図は種数2の場合。)
①:積分経路として選定されうるような、基本的な経路。
②:このような経路は含めない。それらは基本的な経路を繋げたものと同じため、含めると重複が生じる。
このとき、p個の線形独立な正則微分形式ωj (j=1, 2, ... , p:以下同様) の各々に対して2p通りの積分経路が選べるので、全部で2*p^2個の線積分
Abel関数の周期を定義する線積分
を作ることができ、それは一般に相異なる複素定数となる。さらに、これらを要素とする行列 (これは、周期行列と呼ばれる)
  • Abel関数の周期行列
を定義すると、積Riemannモジュール行列 Ω=A^-1・B (A^-1Aの逆行列) は正定値対称行列となる (これは現在では、Riemann モジュール行列と呼ばれている)。このとき Riemann テータ関数は、Riemann モジュール行列を係数に用いた多変数 Fourier 級数で定義される。
 さて、ここで取り扱う具体的な Abel 関数は、Ω∈C^(p×p)を Riemann モジュール行列、z={z1,...,zp}∈C^pp個の成分からなるベクトル変数とし、{{ν11/2,…,ν1p/2},{ν21/2,…,ν2p/2}∈R^(2*p)を指標とする Riemann テータ関数を用いて、次のように定義されるものとする。(ここに、νkp (k=1,2)は、0または1の値をとる)。
  • Abel関数の定義
 なお、この Abel 関数は、値:ν11*ν21+ν12*ν22+…+ν1p*ν2pが偶数 (または奇数) になるとき、偶関数 (または奇関数) となる。種数1のときは、Jacobi の楕円関数と完全に一致する。
 Riemann モジュール行列Ωを、2p個の 「Abel 関数の半周期」 からなると捉えれば、この Abel 関数の2p重周期性は、m={m1,...,mp}∈Z^p, n={n1,...,np}∈Z^pの全体に対して、具体的に
  • Abel関数の2p重周期性
と表わされる。
 Abel 関数論は、前述のとおり Weierstrass, および Riemann によって一応の完成段階に達し、しばしば19世紀数学の最高到達点の一つと称される。現在では、解析的な側面として演繹的に Abel 関数論が含まれるように 「代数関数論」 が整備され、その過程で重要視されるようになった Riemann 面の概念や代数多様体は、それ自体が研究対象として興味を引き、位相幾何学など新しい分野との繋がりも見出された。Abel 関数は、一変数複素関数論に比べて (現在でも) 整備が遅れている多変数複素関数論において、具体的な考察対象を与えるものとしても重要である。
 Abel 関数の純粋数学的な応用としては、高次の代数曲線や代数曲面 (例えば Kummer 曲面など) を Abel 関数によってパラメータ表示すること等、19世紀後半からの研究がある。これは、現在では 「代数幾何学」 と呼ばれる大きな分野に発展している。整数論では、代数多様体を代数体の類似と見て、前者に付随して定義される 「合同ゼータ関数」 では Riemann 予想が成立していることを、1974年に P. Deligne が証明した等の著しい成果がある。
 物理学においても、重力下で固定点を持つ剛体 (コマなど) の回転運動を記述する Euler 運動方程式は、種数2の Abel 関数によって表わされる特別な解を持つことを、S. V. Kovalevskaya が発見したこと等、種々の応用事例がある。

  • Kummer曲面の図
代数関数 (代数方程式)
  • Kummer曲面の代数方程式
で表わされた Kummer 曲面の例。ただし、t=1/sqrt(2)によって3次元空間内の曲面とした場合。

Abel関数の記号

 実変数、および複素変数の Abel 関数Abel関数の記号のグラフ。
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 ここで、上記の Abel 関数が実際に4個の基本周期を持つことを確認しよう。前述の奇関数の定義式、および後述の Riemann テータ関数の諸公式を用いれば、周期性は
  • 奇関数のAbel関数の周期性
となることが分かる。ここに、指標の要素は0または1からなるので、指数関数因子は必ず±1になることに注意する。さらに、ここで考察している事例は、
  • 具体的な指標とRiemannモジュール行列
であるから、周期性の式は
  • 具体的なAbel関数の周期性
に簡略化される。ここで、指数関数因子が1となるためにはm1+m2+n2∈偶数でなければならない。これを満たすときの複素数値ベクトル{ω1,ω2}は、この Abel 関数の周期全体となるが、このうち、ベクトルの長さ (ノルム:{ω1,ω2}のノルム) がなるべく短く、かつ互いに線形独立な (ベクトルの方向が同じでなく反転でもない) ものを基本周期として、
  • 具体的なAbel関数の4基本周期
の4個選べることが分かる。つまり、この Abel 関数の任意の周期はすべて、この4個の基本周期の有限和で表わされる。
 4個の基本周期、基本周期の和の一例、および基本周期からなる格子を、4次元空間内のベクトルとして視覚化すると次のようになる。
  • 4次元空間内における4個の基本周期ベクトル
  • 4次元空間内における基本周期ベクトルの和
  • 4次元空間内における基本周期の格子
 また、変数が基本周期の2区間分を動いたときの動画にするAbel関数の複素変数グラフを、次のアニメーションで視覚化する。
  • Abel関数を動画にする区間
  • Abel関数のグラフ(複素変数:動画)
  • Abel関数のグラフ(複素変数:動画)
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セパレータ(*******)
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Abel関数の記号

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Riemann テータ関数

日:Riemannテータ関数リーマンθ関数
英:Riemann Theta Function,仏:Fonction thêta de Riemann,独:Riemannsche thetafunktion

 歴史的に Riemann テータ関数は、それらの商として Abel 関数を表わすために導入された。Abel 関数が2p重周期性を持つ多変数有理型関数であるのに対して、Riemann テータ関数は2p重擬周期性を持つ多変数超越整関数である。つまり、Riemann テータ関数は楕円テータ関数の多変数化に相当する。
 種数pの場合の Riemann テータ関数は、多変数 Fourier 級数によって
  • Riemannテータ関数のFourier級数(一般の種数)
と表わされる。ここに、Ω∈C^(p×p)は正定虚部対称な 「Riemann モジュール行列」 とよばれる行列、z={z1,...,zp}∈C^pp個の複素数成分からなるベクトル変数で、級数の和はN={n1,…np}∈Z^pなる整数ベクトル全体をわたるものとする。それぞれの記号の簡略形と具体形との対応は、上記の関係式から類推できる。
 特に、種数2のときを具体的に表記すれば (Ωは対称行列のためa~cで表わされる)、
  • Riemannテータ関数のFourier級数(種数=2)
 Riemann テータ関数の2p重擬周期性は、m={m1,...,mp}∈Z^p, n={n1,...,np}∈Z^pの全体に対して具体的に
  • Riemannテータ関数の2p重擬周期性
と表わされる。また、Riemann テータ関数はzに関して常に偶関数である。
 併せて、「指標付き Riemann テータ関数」 がしばしば定義される。δ={δ1,…δp}∈R^p, ε={ε1,…εp}∈R^pから構成される2×p行列を指標という。このとき、指標付き Riemann テータ関数は
  • 指標付きRiemannテータ関数の定義
と表わされる。ここに、簡略形記号は前述と同じであり、(n+δ)={n1+δ1,…,np+δp}を意味している。
 指標付き Riemann テータ関数は、次のように (指標無し) Riemann テータ関数で表わすことができる。
  • 指標付きRiemannテータ関数の関係式
 特に、種数2の場合を具体的に記述すれば (Ωは対称行列のためa~cで表わされる)、
  • 指標付きRiemannテータ関数の関係式(種数=2)
となる。
 δp,εp∈(0 or 1/2)である場合は、その組み合わせによって4^p個の指標付き Riemann テータ関数が定義され、種数1のときに楕円テータ関数が4種類定義されることの拡張になっている (それらの任意の2個で商をつくると、Abel 関数になる)。それらの指標付き Riemann テータ関数は、値:4δ1*ε1+…+4δp*εpが偶数 (または奇数) になるとき、偶関数 (または奇関数) となり、そのうち2^(p-1)*(2^p+1)個は偶関数、2^(p-1)*(2^p-1)個は奇関数である。
 種数1の場合に楕円テータ関数になることを具体的に表記すれば、
  • 指標付きRiemannテータ関数が楕円テータ関数になる場合
となる。ここに、q=exp(-πiΩ)である。
 一方、Riemann テータ関数は Riemann モジュール行列Ωを変数と見れば、楕円モジュラー形式の多変数化になり、数論等への応用上重要である。C. L. Siegel 等がこの方面の研究で著しい寄与を成している。

Riemannテータ関数の記号

 実変数、および複素変数の Riemann テータ関数Riemannテータ関数の記号のグラフ。3番目は、垂直軸を常用対数目盛にした場合である。(以下同様。)
  • Riemannテータ関数のグラフ(実変数)
  • Riemannテータ関数のグラフ(複素変数)
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  • Riemannテータ関数のグラフ(複素変数)
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 実変数、および複素変数の Riemann テータ関数Riemannテータ関数の記号のグラフ。
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 実変数、および複素変数の Riemann テータ関数Riemannテータ関数の記号のグラフ。
  • Riemannテータ関数のグラフ(実変数)
  • Riemannテータ関数のグラフ(複素変数)
  • Riemannテータ関数のグラフ(複素変数)
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 実変数、および複素変数の Riemann テータ関数Riemannテータ関数の記号のグラフ。
  • Riemannテータ関数のグラフ(実変数)
  • Riemannテータ関数のグラフ(複素変数)
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 実2変数の Riemann テータ関数Riemannテータ関数の記号のグラフ。
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 実2変数の Riemann テータ関数Riemannテータ関数の記号のグラフ。
  • Riemannテータ関数のグラフ(実2変数)
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  • Riemannテータ関数のグラフ(実2変数)

 実2変数の Riemann テータ関数Riemannテータ関数の記号のグラフ。
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  • Riemannテータ関数のグラフ(実2変数)
  • Riemannテータ関数のグラフ(実2変数)

 実2変数の Riemann テータ関数Riemannテータ関数の記号のグラフ。
 (ただしこの場合は、関数値が極端に大きくなるため、実部・虚部それぞれの逆双曲線正弦値をとっている。)
  • Riemannテータ関数のグラフ(実2変数)
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Riemannテータ関数の記号

 実変数、および複素変数の Riemann テータ関数Riemannテータ関数の記号のグラフ。
  • Riemannテータ関数のグラフ(実変数)
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  • Riemannテータ関数のグラフ(複素変数)
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 実変数、および複素変数の Riemann テータ関数Riemannテータ関数の記号のグラフ。
  • Riemannテータ関数のグラフ(実変数)
  • Riemannテータ関数のグラフ(複素変数)
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Scaled - Riemann テータ関数

 通常の Riemann テータ関数に指数関数因子を乗じた、Scaled - Riemann テータ関数
  • Scaled-Riemannテータ関数の定義
を定義することがある (例えば、「NIST Handbook of Mathematical Functions」 など)。ここに、[ ]^(-1)は逆行列の意味である。
 Scaled - Riemann テータ関数は複素ベクトル変数zに関して、非解析的な有界関数である。偏角は Riemann テータ関数と同一であるが、絶対値は異なり二重周期的である。このため、Scaled - Riemann テータ関数の偏角と絶対値の線は直交しない。しかし、応用上はこの方が便利なこともある。

Scaled-Riemannテータ関数の記号

 実変数、および複素変数の Scaled - Riemann テータ関数Scaled-Riemannテータ関数の記号のグラフ。
  • Scaled-Riemannテータ関数のグラフ(実変数)
  • Scaled-Riemannテータ関数のグラフ(複素変数)
  • Scaled-Riemannテータ関数のグラフ(複素変数)
  • Scaled-Riemannテータ関数のグラフ(複素変数)
  • Scaled-Riemannテータ関数のグラフ(複素変数)
  • Scaled-Riemannテータ関数のグラフ(複素変数)

 実変数、複素変数の Scaled - Riemann テータ関数Scaled-Riemannテータ関数の記号のグラフ。
  • Scaled-Riemannテータ関数のグラフ(実変数)
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 実2変数の Scaled - Riemann テータ関数Scaled-Riemannテータ関数の記号のグラフ。
  • Scaled-Riemannテータ関数のグラフ(実2変数)
  • Scaled-Riemannテータ関数のグラフ(実2変数)
  • Scaled-Riemannテータ関数のグラフ(実2変数)
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 実2変数の Scaled - Riemann テータ関数Scaled-Riemannテータ関数の記号のグラフ。
  • Scaled-Riemannテータ関数のグラフ(実2変数)
  • Scaled-Riemannテータ関数のグラフ(実2変数)
  • Scaled-Riemannテータ関数のグラフ(実2変数)
  • Scaled-Riemannテータ関数のグラフ(実2変数)

超楕円積分の逆関数

 ここでは特に、超楕円積分
  • 超楕円積分
の逆関数超楕円積分の逆関数の記号を考える。これは Gauss の楕円関数を拡張したものに相当する。
 sl 6 (z)は三重周期の多価関数、sl 8 (z)は四重周期の多価関数であるが、このうち、sl 6 (z)は6乗すると楕円関数になるので、楕円関数の無理関数にすぎない。

sl 6 (z)

 実変数、および複素変数の逆超楕円積分sl 6 (z)のグラフ。
  • 逆超楕円積分のグラフ(実変数)
  • 逆超楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 逆超楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 逆超楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 逆超楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 逆超楕円積分のグラフ(複素変数)

sl 8 (z)

 実変数、および複素変数の逆超楕円積分sl 8 (z)のグラフ。
  • 逆超楕円積分のグラフ(実変数)
  • 逆超楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 逆超楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 逆超楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 逆超楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 逆超楕円積分のグラフ(複素変数)

 なお、多価関数である逆超楕円積分sl 8 (z)を一価関数化したものは保型関数になる。以下、このことを確認しよう。しかし、考察を容易にするため、sl 8 (z)の代わりにsl8(z)^8で考える。
 関数sl8(z)^8のグラフは次のようになる。
  • sl8(z)^8のグラフ

 原点を含む正8角形の領域をsl8(z)^8の 「基本領域」 と捉えたとき、正8角形の頂点は内角が3π/4であるから、その8倍で2πの整数倍、すなわち元の分枝に戻る。よって、各頂点はsl8(z)^8の代数分岐点であり、8枚分の正8角形の頂点が集まっている。
 Euclid 平面上では、頂点を介して8枚分の正8角形を敷き詰めることはできないが、非 Euclid 平面 (双曲幾何) 上では可能である。したがって、正8角形を円弧正8角形に移す写像 (Schwarz - Christoffel 変換等、複数種の等角写像の合成) によって、sl8(z)^8Schwarz の保型関数s2(2, 8, 8; z)に移る。
  • s2(2, 8, 8; z)のグラフ

 なお、合同な円弧正8角形のみから成る Schwarz の保型関数は無数にあるため、写像先の円弧正8角形は、これが唯一ではない。例えば Schwarz の保型関数s2(2, 8, 3; z)sl8(z)^8の一価関数化になる。
  • s2(2, 8, 3; z)のグラフ

 以下は、s2(2, 8, 3; z)による一価関数化を、紙細工で再現した様子である。(正8角形は非 Euclid 平面上では歪んで見えるが、実際には 「歪んでいない」 と考えるのである。)
 用意した組み立てパーツ。
  • s2(2, 8, 3; z)の紙細工:パーツ
  • s2(2, 8, 3; z)の紙細工:組み立て前の写真
 組み立て中の状態。貼り合わせは瞬間接着剤を用いた。
  • s2(2, 8, 3; z)の紙細工:組立中の写真1
  • s2(2, 8, 3; z)の紙細工:組立中の写真2
 完成。横から見ると、フリル状に歪んでいるので、これを平面と呼ぶのは無理がある。しかし、それは Euclid 空間に住む人間の感覚である。この曲面上のみを移動可能な 「2次元生命体」 が存在したならば、彼らは 「我々の世界は平坦で歪みがない。ここでは正8角形を隙間なく敷き詰めることができる。」 と言うであろう。フリル状の歪みは、この非 Euclid 平面が負の曲率を持つ (双曲幾何である) ことに由来する。
  • s2(2, 8, 3; z)の紙細工:完成写真1
  • s2(2, 8, 3; z)の紙細工:完成写真2
 なお、深い論考を伴ったもっと複雑な紙細工が、「Home page of Gerard Westendorp」 (http://westy31.home.xs4all.nl/Geometry/Geometry.html) に多数掲載されている。

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