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積分指数関数

積分指数関数

日:積分指数関数指数積分
英:Exponential integral,仏:Exponentielle intégrale,独:Integralexponentialfunktion

 初等関数の積分が、再び初等関数にならず全く新しい関数になる例は、17世紀以降の積分計算に伴って多数発見されてきた。そのうち、本頁の積分指数関数系、次頁以降で述べる誤差関数系や楕円積分は、被積分関数の形が簡潔で、かつ、諸科学での出現頻度も高いことから特に注目され、現在に至るまで詳しい研究の積み重ねがある。このため、これらの関数は、特殊関数としての地位が比較的早くから確立している。
 さて、積分指数関数とは、積分表示式で定義された次の二つの関数
  • 積分指数関数の積分表示式
のことである。ここに、v.p.z=0Cauchy の主値をとることを意味し、γEuler の定数とする (以下同様)。
 Ei(z)およびE1(z)z=0, ∞に特異点 (うち、前者は対数分岐点) を持つ無限多価関数で、その多価性はlog(z)に由来するので、通常は分枝切断線を実軸上の区間(-∞, 0]に置く。ただし、Ei(z)は Cauchy の主値を用いた定義に矛盾しないよう、負の実軸上で個別の実数値をとり、しかも隣接する両側の分枝から断絶していると解釈する。すなわち、x∈R<0に限りEi(x)=-E1(-x)となる※1。
 積分指数関数は、
  • 積分指数関数の冪級数展開式
なる冪級数に展開できる。このほか、漸近級数など多様な級数展開表示が知られている。
 さらに現在では、一般積分指数関数
  • 一般積分指数関数の積分表示式
も定義されている。勿論、この関数はν=1E1(z)に還元されることを意図したものである※1。
 一般積分指数関数は、不完全ガンマ関数 (と本質的に同じ関数)、合流型超幾何関数の特別な場合として、
合流型超幾何関数等で表わした一般積分指数関数
と表わせる。また、冪級数
  • 一般積分指数関数の冪級数展開式
に展開できる。
 以上のほか、対数に由来する多価性を取り除いて超越整関数にした、相補 (complementary -) 積分指数関数
  • 相補積分指数関数の定義式
が併用されることもある。
 積分指数関数は、上記以外にも置換積分等によって得られる夥しい数の積分表示式があり、それらは公式集で網羅的に掲載されていることが多い。現在の数式処理システムにも、その変換規則が反映されている。
 応用面では、後述の積分対数関数や積分三角関数とともに用いられることが多いが、積分指数関数が単独で現れる応用事例としては、量子力学、恒星や惑星の大気における熱放射平衡、地下帯水層からの坑井を介した揚水理論 (C. V. Theis 法) などがある。
 積分指数関数の研究は、A. M. Legendre (1811年)、O. X. Schlömilch (1846年)、および J. W. L. Glaisher (1870年) 等が手掛けている。Ei(z)の記号は Glaisher による。

【註記】
 ※1:逆にE1(z)なる関数記号は、一般積分指数関数が導入された後に定着したものである。それ以前は-Ei(-z)で表記されることもあったが、両者は多価性と Cauchy の主値に由来する違いがある。
 実のところEi(z)は、-E1(-z)に複素定数を加減した関数の分枝と本質的に同じであるが、実軸上では Cauchy の主値を考慮して更なる場合分けが必要になる。具体的には
  • 積分指数関数の主値と解析接続
とすれば、複素領域におけるEi(z)の定義となり、数値計算上も扱い易い。

積分指数関数の記号

 実変数の積分指数関数Ei(x)およびE1(x)のグラフ。
x>0に対するEi(x)のグラフを実解析学の範疇で導き出すため、負の実数方向からx=0を超える Cauchy の主値が必要になる。これが、冒頭1番目の積分表示式の意味である。(2番目の積分表示式を 「定義」 とした場合は、グラフがx>0のみになる。)
  • 積分指数関数のグラフ(実変数)

 複素変数の積分指数関数Ei(z)のグラフ。
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の積分指数関数E1(z)のグラフ。
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)

一般積分指数関数の記号

 前述のとおり、一般積分指数関数は第2種不完全ガンマ関数とほぼ同じであり、グラフも概ね似ている。よって少数の例を掲載するに留める。
 実変数の一般積分指数関数Eν(x)のグラフ。ν=-5~5 (+0.2)。太線はνが整数のとき。
  • 一般積分指数関数のグラフ(実変数)

 複素変数の一般積分指数関数一般積分指数関数の記号のグラフ。
  • 一般積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分指数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般積分指数関数一般積分指数関数の記号のグラフ。
  • 一般積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分指数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般積分指数関数一般積分指数関数の記号のグラフ。
  • 一般積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分指数関数のグラフ(複素変数)

相補積分指数関数の記号

 実変数の相補積分指数関数相補積分指数関数の記号のグラフ。
  • 相補積分指数関数のグラフ(実変数)

 複素変数の相補積分指数関数相補積分指数関数の記号のグラフ。
  • 相補積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 相補積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 相補積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 相補積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 相補積分指数関数のグラフ(複素変数)

積分対数関数

日:積分対数関数対数積分
英:Logarithmic integral,仏:Logarithme intégrale,独:Integrallogarithmus

 積分対数関数は、積分指数関数の引数に対数関数を代入した、
  • 積分対数関数の定義式
で定義される※1。ここに、v.p.z=1で Cauchy の主値をとることを意味する。
 Li(z)log(log z)に由来する多価性を持つ無限多価関数で、通常は分枝切断線を実軸上の区間(-∞, 1]に置く。ただし、実軸上の区間(0, 1)で Cauchy の主値に基づく実数値をとることは、積分指数関数と事情が同じである。すなわち、x∈R ∩ 0<x<1に限りLi(x)=-E1(-log z)となる。
 積分対数関数の基本的な性質の多くは積分指数関数のそれから導けるので、次の比較的自明でない公式を掲載するのみとし、他は省略する。この公式は、F. W. Bessel によって発見された。
  • 積分対数関数(Besselの公式)
 積分対数関数は、物理学等で応用されることはあまりないが、数論、特に素数分布論では頻繁に用いられ、種々の深遠な結果とも関係しているため重要視される。そのうち、「素数定理」 や 「Riemann - von Mangoldt 公式」 は、最もよく知られている応用事例である。後者では、引数が複素数冪になったLi(z^α)の項が現れるが、これを実際の数値計算等で扱う場合は、Ei(α・log z)で解釈した方が多価性の問題が生じない。
 数論等では、Li(z)の代わりに
  • 積分対数関数の異なる定義(その1)
を用いることもある※2。この積分区間による定義は、Cauchy の主値をとらなくて済むことに利点があるが、素数定理ではどちらを用いても本質的な違いは生じない。なお、Riemann - von Mangoldt 公式では明確にLi(z)の方を用いなければならない。
 実軸上にあるLi(z)の唯一の零点μ=1.451369234883381…は、「Ramanujan - Soldner の定数」 と呼ばれ、これも主に数論で現れる。逆に、Ramanujan - Soldner の定数を用いれば、Cauchy の主値をとらない (しかし、実軸上の区間(0, 1)では実数値にならない) Li(z)の積分表示
積分対数関数の異なる定義(その2)
が可能となる。
 積分対数関数の研究は、L. Euler (1768年)、L. Mascheroni (1790年)、J. von Soldner (1809年)、および C. A. Bretschneider (1837年) 等が手掛けている。記号Li(z)は von Soldner が初めて使用した。

【註記】
 ※1:積分指数関数系の定義方法に倣えば、log(t)/tの積分を考えたくなるが、これは
  • 初等関数になる対数関数の積分
のとおり、初等関数になってしまう。

 ※2:現在では、当サイトとは逆に、主値をとる関数をli(z)、積分区間を2から始める関数をLi(z)と表記するほうが主流になりつつある。

積分対数関数の記号

 実変数の積分対数関数Li(x)のグラフ。積分指数関数と同様に Cauchy の主値を定義に使用するため、実軸上の区間(0, 1)も実数値になる。
  • 積分対数関数のグラフ(実変数)

 次は、x=Re[Li(z^(1/2+it))], y=Im[Li(z^(1/2+it))]なるパラメトリック曲線で、-20≦t≦20の範囲で描画し、z=2~30 (+1) の場合を重ねたグラフである。
 実際には、より扱いやすいx=Re[Ei((1/2+it)log z)], y=Im[Ei((1/2+it)log z)]で描画している。
 これは、素数分布論における Riemann - von Mangoldt 公式に関連しており、点{x, y}={0, ±π}に巻き付く螺線となる。
  • 積分指数関数を用いたパラメトリック曲線

 複素変数の積分対数関数Li(z)のグラフ。
  • 積分対数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分対数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分対数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分対数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分対数関数のグラフ(複素変数)

積分三角関数

日:積分三角関数三角積分
英:Trigonometric integral,仏:Trigonométrique intégrale,独:Integraltrigonometrischefunktion

 積分三角関数とは、積分表示式で定義された次の二つの関数
  • 積分三角関数Si(z), Ci(z)の積分表示式
の総称であって、Si(z)を積分正弦関数、Ci(z)を積分余弦関数という。それぞれは極限値
  • 積分三角関数の極限式
を持つので、x→+∞での振る舞いをCi(z)に揃えた、
  • 積分正弦関数si(z)の積分表示式
が用いられることも多い。
 Si(z)は超越整関数なので、無限遠点以外には特異点を持たない。Ci(z)z=0, ∞に特異点 (うち、前者は対数分岐点) を持つ無限多価関数で、分枝切断線を実軸上の区間(-∞, 0]に置く。このため、log(z)に由来するCi(z)の多価性を取り除いて超越整関数にした、
  • 積分余弦関数Cin(z)の積分表示式
が併せて定義されている。
 積分三角関数は、虚変数の積分指数関数と
  • 積分三角関数と積分指数関数の関係
の関係にあり、Euler の公式と類似している。したがって、積分三角関数の基本的性質の大半は、積分指数関数のそれから導かれる。
 さらに現在では、一般積分三角関数
  • 一般積分三角関数の積分表示式
も定義されている。この関数については、「NIST-Handbook of Mathematical Functions」 の Chapter 8. 21:p.188~189 に記述がある※1。
 一般積分三角関数は不完全ガンマ関数を用いて、
  • 一般積分三角関数と不完全ガンマ関数の関係
と表わすことができる。ただし、条件を超える領域では不完全ガンマ関数を解析接続する。
 一般積分三角関数は、正弦型または余弦型どうしの間に、
  • 一般積分三角関数:正弦型, 余弦型間の関係
の関係がある。また、積分表示式に部分積分を適用すると、νの関数としての関数等式
  • 一般積分三角関数の関数等式
が得られる。このような性質の大半は、不完全ガンマ関数のそれからも導かれる。
 一般積分三角関数はいずれも、νが整数のときは多項式と三角関数および積分三角関数の、νが半奇数のときは無理関数と三角関数および Fresnel 関数の和・差および積に還元される。
 zを変数とする4種類の一般積分三角関数は、いずれもz=0, ∞に特異点 (うち、前者は対数分岐点) を持つ無限多価関数で、分枝切断線を実軸上の区間(-∞, 0]に置く。νを変数とする場合、si(ν, z), ci(ν, z)はともに超越整関数であるが、Si(ν, z)ν=-1, -3, -5,…に、Ci(ν, z)ν=0, -2, -4,…に1位の極を持つ有理型関数である。
 積分三角関数の数学・諸科学への応用で特に有名な事例としては、Fourier 級数等における Gibbs 現象の解析、半波長ダイポール (Dipole) アンテナからの電磁波放射などがある。
 積分三角関数の研究は、L. Mascheroni (1790年)、F. W. Bessel (1812年)、C. A. Bretschneider (1843年)、O. X. Schlömilch (1846年)、および J. W. L. Glaisher (1870年) 等が手掛けている。Si(z), Ci(z)の記号も Glaisher が初めて使用した。

【註記】
 ※1:一般積分三角関数si(ν, z), ci(ν, z)は、1939年の P. E. Böhmer による研究に基づき、「Böhmer 積分」 と呼ばれることもある。また、A. Erdelyi 他3名(著) 「Higher Transcendental Functions (Ⅱ)」 の149頁では、この関数を 「Generalized Fresnel integral」 と称している。(ただし、関数記号と引数の順序はsi(ν, z), ci(ν, z)と異なる。なお、当サイトでは 「一般 Fresnel 関数」 なる名称を、これとは別の関数に用いることとする。)

積分余弦関数の記号

 実変数の積分三角関数Si(x)およびCi(x)のグラフ。専らx>0での値を問題とし、漸近形に関心がある場合は、代わりにsi(x)が用いられる。
  • 積分三角関数のグラフ(実変数)
  • 積分三角関数のグラフ(実変数)

 このパラメトリック曲線x=Ci(t), y=Si(t)は、「Nielsen の螺線」 または 「積分螺線」 と呼ばれる。曲率が曲線長の指数関数で表わされる曲線は Nielsen の螺線と合同で、これを平行移動したものと一致する。
  • Nielsenの螺線のグラフ
  • Nielsenの螺線のグラフ

 複素変数の積分三角関数Si(z)のグラフ。
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の積分三角関数Ci(z)のグラフ。
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)

積分三角関数の記号

 実変数の積分三角関数Cin(x)のグラフ。
  • 積分三角関数のグラフ(実変数)

 複素変数の積分三角関数Cin(z)のグラフ。
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)

一般積分三角関数の記号

 ν,xを実2変数とする一般積分三角関数Si(ν, x)のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(実2変数)

 xを実変数とする一般積分三角関数Si(ν, x)のグラフ。ν=-5~5 (+0.1)。太線はνが整数のとき。
  • 一般積分三角関数のグラフ(実変数)

 複素変数の一般積分三角関数一般積分三角関数の記号のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般積分三角関数一般積分三角関数の記号のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)

 νを実変数とする一般積分三角関数Si(ν, x)のグラフ。x=-0.1~10 (+0.1)。太線はxが整数のとき。
  • 一般積分三角関数のグラフ(実変数)

 複素変数の一般積分三角関数一般積分三角関数の記号のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般積分三角関数一般積分三角関数の記号のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)

一般積分三角関数の記号

 ν,xを実2変数とする一般積分三角関数Ci(ν, x)のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(実2変数)

 xを実変数とする一般積分三角関数Ci(ν, x)のグラフ。ν=-5~5 (+0.1)。太線はνが整数のとき。
  • 一般積分三角関数のグラフ(実変数)

 複素変数の一般積分三角関数一般積分三角関数の記号のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般積分三角関数一般積分三角関数の記号のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)

 νを実変数とする一般積分三角関数Ci(ν, x)のグラフ。x=-0.1~10 (+0.1)。太線はxが整数のとき。
  • 一般積分三角関数のグラフ(実変数)

 複素変数の一般積分三角関数一般積分三角関数の記号のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般積分三角関数一般積分三角関数の記号のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)

一般積分三角関数の記号

 ν,xを実2変数とする一般積分三角関数si(ν, x)のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(実2変数)

 xを実変数とする一般積分三角関数si(ν, x)のグラフ。ν=-5~5 (+0.1)。太線はνが整数のとき。
 (これは、Si(ν, x)のグラフと定数差の違いしかないが、x→+∞の振る舞いに注目して特別に描画する。)
  • 一般積分三角関数のグラフ(実変数)

 zを複素変数とする一般積分三角関数si(ν, z)の実部・虚部プロットは、Si(ν, z)のそれを上下方向に平行移動しただけの違いしかないので描画しない。絶対値・偏角に関するプロットは、グラフの様子がSi(ν, z)と若干異なるので、各々この場合のみ描画する。
 複素変数の一般積分三角関数一般積分三角関数の記号のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般積分三角関数一般積分三角関数の記号のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)

 νを実変数とする一般積分三角関数si(ν, x)のグラフ。x=-0.1~10 (+0.1)。太線はxが整数のとき。
  • 一般積分三角関数のグラフ(実変数)

 複素変数の一般積分三角関数一般積分三角関数の記号のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般積分三角関数一般積分三角関数の記号のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)

一般積分三角関数の記号

 ν,xを実2変数とする一般積分三角関数ci(ν, x)のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(実2変数)

 xを実変数とする一般積分三角関数ci(ν, x)のグラフ。ν=-5~5 (+0.1)。太線はνが整数のとき。
 (これは、Ci(ν, x)のグラフと定数差の違いしかないが、x→+∞の振る舞いに注目して特別に描画する。)
  • 一般積分三角関数のグラフ(実変数)

 zを複素変数とする一般積分三角関数ci(ν, z)の実部・虚部プロットは、Ci(ν, z)のそれを上下方向に平行移動しただけの違いしかないので描画しない。絶対値・偏角に関するプロットは、グラフの様子がCi(ν, z)と若干異なるので、各々この場合のみ描画する。
 複素変数の一般積分三角関数一般積分三角関数の記号のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般積分三角関数一般積分三角関数の記号のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)

 νを実変数とする一般積分三角関数ci(ν, x)のグラフ。x=-0.1~10 (+0.1)。太線はxが整数のとき。
  • 一般積分三角関数のグラフ(実変数)

 複素変数の一般積分三角関数一般積分三角関数の記号のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般積分三角関数一般積分三角関数の記号のグラフ。
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分三角関数のグラフ(複素変数)

 アニメーション(5.99MB)
 一般積分三角関数によるパラメトリック曲線一般積分三角関数によるパラメトリック曲線のグラフ。ν=-2~2 (+0.05)。
 ν=0のとき、Nielsen の螺線と合同になる。
  • 一般積分三角関数によるパラメトリック曲線(動画)

積分双曲線関数

日:積分双曲線関数双曲線積分
英:Hyperbolic integral,仏:Hyperbolique intégrale,独:Integralhyperbelfunktion

 積分双曲線関数とは、積分表示式で定義された次の二つの関数
  • 積分双曲線関数Shi(z), Chi(z)の積分表示式
の総称であって、Shi(z)を積分双曲線正弦関数、Chi(z)を積分双曲線余弦関数という。その名称のとおり、虚変数の積分三角関数に相当し、
  • 積分双曲線関数と積分三角関数の関係
となる。Shi(z)は超越整関数なので、無限遠点以外には特異点を持たない。Chi(z)z=0, ∞に特異点 (うち、前者は対数分岐点) を持つ無限多価関数で、分枝切断線を実軸上の区間(-∞, 0]に置く。このため、log(z)に由来するChi(z)の多価性を取り除いて超越整関数にした、
  • 積分双曲線関数Cinh(z)の積分表示式
が併せて定義されている。
 x→+∞ (x∈R)のとき、二つの積分双曲線関数はShi(x)~Chi(x)となる。
 積分双曲線関数は、数学で種々の積分公式に現れることもあるが、その数は少ない。諸科学への応用事例もあまり知られていない。
 積分双曲線関数は、C. A. Bretschneider が1843年に積分三角関数を研究した際に併せて導入した。

積分双曲線余弦関数の記号

 実変数の積分双曲線関数Shi(x)およびChi(x)のグラフ。
  • 積分双曲線関数のグラフ(実変数)

 複素変数の積分双曲線関数Shi(z)のグラフ。
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の積分双曲線関数Chi(z)のグラフ。
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)

積分双曲線余弦関数の記号

 実変数の積分双曲線関数Cinh(x)のグラフ。
  • 積分双曲線関数のグラフ(実変数)

 複素変数の積分双曲線関数Cinh(z)のグラフ。
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)

その他の積分関数(積分三角関数関連)


 積分三角関数に置換積分を施すと、様々な定積分の値を求めることができる。ここでは、被積分関数が比較的簡潔な形になる例を取り扱う。
 引数が指数関数である三角関数の積分
  • 指数三角関数の積分関数の定義式
は、右辺の積分三角関数を解析接続した関数で表わせる。ともに超越整関数であり、無限遠点の他に特異点を持たない。特に積分余弦関数の多価性は、この形にすることによって解消され、一価関数となる。
 引数が分数関数である三角関数の積分も、積分三角関数を用いて
  • 逆数三角関数の積分関数の定義式
と表わせる。両者はz=0に真性特異点を有するが、さらに前者は実軸上の区間(-∞, 0]に分枝切断線を持ち、後者は分枝切断線を持たない。なお、積分区間の下端は被積分関数の真性特異点になるが、広義積分として極限をとるものと解釈する。

指数三角関数の積分関数

 実変数の指数正弦関数の積分関数および指数余弦関数の積分関数のグラフ。
  • 指数三角関数の積分関数のグラフ(実変数)

 複素変数の指数正弦関数の積分関数のグラフ。
  • 指数正弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)
  • 指数正弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)
  • 指数正弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)
  • 指数正弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)
  • 指数正弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の指数余弦関数の積分関数のグラフ。
  • 指数余弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)
  • 指数余弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)
  • 指数余弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)
  • 指数余弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)
  • 指数余弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)

逆数余弦関数の積分関数

 実変数の逆数正弦関数の積分関数および逆数余弦関数の積分関数のグラフ。②は、①の原点付近を拡大した場合。

 次は、曲率が原点からの曲線長の逆数で表わされる螺線逆数三角関数の積分関数による螺線のグラフ。②は、①の原点付近を拡大した場合。

 複素変数の逆数正弦関数の積分関数のグラフ。⑥は①の、⑦は②の原点付近を拡大した場合。

 複素変数の逆数余弦関数の積分関数のグラフ。⑥は①の、⑦は②の原点付近を拡大した場合。

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