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積分指数関数

積分指数関数

日:積分指数関数指数積分
英:Exponential integral,仏:Exponentielle intégrale,独:Integralexponentialfunktion

 初等関数の積分は、再び初等関数になるとは限らない。次の積分
  • 積分指数関数の定義式
も全く新しい関数になる例としてよく知られている。この二つの関数は、積分指数関数と呼ばれる。また、
広義の積分指数関数
が広義の積分指数関数として定義されている。n=1のときは、積分指数関数の記号に一致する。以上の関数はすべて、無限遠点とz=0に特異点を持ち、通常は-∞~0に分枝切断線を置く。また、2階の線形常微分方程式を満たす。特に合流型超幾何関数の特別な場合、不完全ガンマ関数の特別な場合として表わせる。
 これらの他にも、稀に
  • 積分指数関数の定義式
なる関数に遭遇することもある。この関数は超越整関数なので、無限遠点のほかは特異点を持たない。

積分指数関数の記号,積分指数関数の記号

 実変数の積分指数関数のグラフ。
  • 積分指数関数のグラフ(実変数)

 次は、積分指数関数を用いたパラメトリック曲線の式積分指数関数を用いたパラメトリック曲線の式なる曲線で、素数分布論における「Riemann - von Mangoldt 公式」(→ Riemann 素数計数関数を参照) に関連したものである。点点{0,π},{0,-π}に巻き付く螺線となる。
  • 積分指数関数を用いたパラメトリック曲線

 複素変数の積分指数関数積分指数関数の記号のグラフ。
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の積分指数関数積分指数関数の記号のグラフ。
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)

広義の積分指数関数の記号

 実変数の(広義の)積分指数関数のグラフ。n=-5~5 (+0.2刻み)。(刻みの増により、赤→橙→黄…に変化。)
  • (広義の)積分指数関数のグラフ(実変数)

 複素変数の(広義の)積分指数関数広義の積分指数関数の記号のグラフ。
  • (広義の)積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • (広義の)積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • (広義の)積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • (広義の)積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • (広義の)積分指数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の(広義の)積分指数関数広義の積分指数関数の記号のグラフ。
  • (広義の)積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • (広義の)積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • (広義の)積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • (広義の)積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • (広義の)積分指数関数のグラフ(複素変数)

積分指数関数の記号

 実変数、および複素変数の積分指数関数のグラフ。
  • 積分指数関数のグラフ(実変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分指数関数のグラフ(複素変数)

積分対数関数

日:積分対数関数対数積分
英:Logarithmic integral,仏:Logarithme intégrale,独:Integrallogarithmus

 前述の積分指数関数の変数が対数関数となった
  • 積分対数関数の定義式
なる関数を、積分対数関数という。定義によっては主値をとらない、
  • 積分対数関数の他の定義
を積分対数関数ということもある。
 積分対数関数は、無限遠点とz=1に特異点を持ち、通常は-∞~1に分枝切断線を置く。
 また、積分対数関数は数論、特に素数分布論で応用がある。例えば、xを超えない素数の個数を表わす関数を素数階段関数π(x)とするとき、もし Riemann 予想 (→ Riemann のゼータ関数を参照) が成立するならば、
  • 素数定理
が成立する。素数分布論における「Riemann - von Mangoldt 公式」は、積分対数関数を用いて
  • Riemann-Von Mangoldtの公式
と表わされる。ここに非自明零点αを渡る総和は、Riemann ゼータ関数の非自明複素零点のうち、虚部が正であるものを絶対値の小さい順から総和したものである。

積分対数関数の記号

 実変数、および複素変数の積分対数関数のグラフ。
  • 積分対数関数のグラフ(実変数)
  • 積分対数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分対数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分対数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分対数関数のグラフ(複素変数)
  • 積分対数関数のグラフ(複素変数)

積分三角関数

日:積分三角関数三角積分
英:Trigonometric integral,仏:Trigonométrique intégrale,独:Integraltrigonometrischefunktion

 複素数領域における指数関数と三角関数の関係を表わす Euler の公式を、積分指数関数でも同様に考えることによって、次のような関数が定義される。
  • 積分三角関数の定義式
前者を積分正弦関数、後者を積分余弦関数と呼び、総称して積分三角関数という。また積分正弦関数は、
他の型の積分正弦関数
を用いることもある。積分正弦関数は超越整関数なので、無限遠点のほかは特異点を持たない。積分余弦関数は、無限遠点とz=0に特異点を持ち、通常は-∞~0に分枝切断線を置く。また2階の線形常微分方程式を満たす。特に合流型超幾何関数の特別な場合、不完全ガンマ関数の特別な場合として表わせる。
 これらの他にも、稀に
積分余弦関数
なる関数に遭遇することがある。この関数も超越整関数である。
 積分三角関数は主に電波伝搬解析、信号処理技術に用いられる。

積分正弦関数の記号,積分余弦関数の記号

 実変数の積分三角関数のグラフ。積分正弦関数はx→∞,x→-∞のとき、積分正弦関数の極限値となる。積分余弦関数はx→∞のとき、積分余弦関数の極限値となる。
  • 積分三角関数のグラフ(実変数)

 次の曲線積分螺旋の式は「積分螺線」または「Nielsen の螺線」と呼ばれる。曲率が曲線長の指数関数で表わされる。
  • 積分螺旋のグラフ

 複素変数の積分三角関数積分正弦関数の記号のグラフ。
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の積分三角関数積分余弦関数の記号のグラフ。
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)

積分余弦関数の記号

 実変数、および複素変数の積分三角関数のグラフ。
  • 積分三角関数のグラフ(実変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)
  • 積分三角関数のグラフ(複素変数)

積分双曲線関数

日:積分双曲線関数双曲線積分
英:Hyperbolic integral,仏:Hyperbolique intégrale,独:Integralhyperbelfunktion

 積分三角関数と同様の考えに従い、さらに次のような関数が定義される。
  • 積分双曲線関数の定義式
前者を積分双曲線正弦関数、後者を積分双曲線余弦関数と呼び、総称して積分双曲線関数という。
 積分双曲線正弦関数は超越整関数なので、無限遠点のほかは特異点を持たない。積分双曲線余弦関数は、無限遠点とz=0に特異点を持ち、通常は-∞~0に分枝切断線を置く。また2階の線形常微分方程式を満たす。特に合流型超幾何関数の特別な場合、不完全ガンマ関数の特別な場合として表わせる。
 これらの他にも、稀に
他の型の積分双曲線余弦関数の定義式
なる関数に遭遇することがある。この関数も超越整関数である。

積分双曲線正弦関数の記号,積分双曲線余弦関数の記号

 実変数の積分双曲線関数のグラフ。x→+∞のとき、積分双曲線関数の極限関係となる。
  • 積分双曲線関数のグラフ(実変数)

 複素変数の積分双曲線関数積分双曲線正弦関数の記号のグラフ。
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の積分双曲線関数積分双曲線余弦関数の記号のグラフ。
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)

積分双曲線余弦関数の記号

 実変数、および複素変数の積分双曲線関数のグラフ。
  • 積分双曲線関数のグラフ(実変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)
  • 積分双曲線関数のグラフ(複素変数)

その他の積分関数(積分三角関数関連)

 積分正弦関数、積分余弦関数によって、以下のような種々の積分を求めることができる。
 一例として、引数が指数関数である三角関数の積分は
  • 指数三角関数の積分関数の定義式
となる。ともに超越整関数なので、無限遠点のほかは特異点を持たない。特に積分余弦関数の多価性は、この形にすることによって解消される。
 またここでは、もう一例として
  • 逆数三角関数の積分関数の定義式
を扱う。ともに、z=0に真性特異点を持つ。前者は複素平面上-∞~0に分枝切断線を持つが、後者は分枝切断線を持たない。被積分関数の真性特異点が積分区間の下端になっているが、極限として考える。つまり、広義積分として定義可能である。

指数正弦関数の積分関数,指数余弦関数の積分関数

 実変数のグラフ。
  • 指数三角関数の積分関数のグラフ(実変数)

 複素変数の指数正弦関数の積分関数のグラフ。
  • 指数正弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)
  • 指数正弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)
  • 指数正弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)
  • 指数正弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)
  • 指数正弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の指数余弦関数の積分関数のグラフ。
  • 指数余弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)
  • 指数余弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)
  • 指数余弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)
  • 指数余弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)
  • 指数余弦関数の積分関数のグラフ(複素変数)

逆数正弦関数の積分関数,逆数余弦関数の積分関数

 実変数のグラフ。②は、①の原点付近を拡大した場合。

 次は、曲率が原点からの曲線長の逆数で表わされる螺線。②は、①の原点付近を拡大した場合。

 複素変数の逆数正弦関数の積分関数のグラフ。③および⑦は、②および⑥の原点付近を拡大した場合。

 複素変数の逆数余弦関数の積分関数のグラフ。③および⑦は、②および⑥の原点付近を拡大した場合。

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