特殊関数 Menu

一般超幾何関数

一般超幾何関数

日:一般超幾何関数
英:Generalized hypergeometric function,仏:Fonction hypergéométrique généralisée
独:Generalihypergeometrischen funktion

 Gauss の超幾何関数、Kummer の合流型超幾何関数を一般化した
  • 一般超幾何関数の定義
を、Pochhammer の一般超幾何関数という。つまり、記号pFqは、Pochhammer 記号が分子にp個、分母にq個あることを示している。したがって、cの Pochhammer 記号を分母と分子に等しく有する場合は
  • 一般超幾何関数の退化関係式
となる。また、極限操作によっても
  • 一般超幾何関数の極限
のように異なるクラスの一般超幾何関数に移り変わる。
 一般超幾何関数は、階数がである線形常微分方程式
  • 一般超幾何関数の満たす微分方程式
を満たす(乗積記号は、微分演算子の非可換な積として解釈する)。
 一般超幾何関数は、積分表示式
  • 一般超幾何関数の積分表示式
で表わされる。また、この他にも様々な積分表示式で表わせる。
 一般超幾何関数は、p=q+1のとき無限多価関数となり、通常は1~∞に分枝切断線を置く。p≦qのときは超越整関数となる。なお、p>q+1のときは形式的な表示として他の関数の定義に用いられることもあるが、一般超幾何関数自体は存在しない。
 一般超幾何関数は、超幾何関数の場合よりもさらに複雑な種々の積分値や級数総和値の表示、他の特殊関数どうしの関係式、特殊関数の一般論に用いられる。物理学等では、一般超幾何関数が単独で用いられることは少ない。
 複素変数における一般超幾何関数p+1 F q+1 (p,q≧1)のグラフの概形はpFqに似ている。このことはp,qが大きくなればなるほど顕著になる。
 以下では、p=2の場合を描画する。すなわち、初等関数や既に述べた特殊関数で表わされる
  • 簡易な場合の一般超幾何関数
の場合は取り扱わない。

一般超幾何関数0F2の記号

 実変数の一般超幾何関数のグラフ。 順に、①一般超幾何関数0F2の記号, ②一般超幾何関数0F2の記号。いずれも、b2=-4~4 (+0.1)。

 複素変数の一般超幾何関数一般超幾何関数0F2の記号のグラフ。
  • 一般超幾何関数0F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数0F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数0F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数0F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数0F2のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般超幾何関数一般超幾何関数0F2の記号のグラフ。
  • 一般超幾何関数0F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数0F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数0F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数0F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数0F2のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般超幾何関数一般超幾何関数0F2の記号のグラフ。
  • 一般超幾何関数0F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数0F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数0F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数0F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数0F2のグラフ(複素変数)

一般超幾何関数1F2の記号

 実変数の一般超幾何関数のグラフ。 順に、①一般超幾何関数1F2の記号, ②一般超幾何関数1F2の記号, ③一般超幾何関数1F2の記号, ④一般超幾何関数1F2の記号。いずれも、a1=-4~4 (+0.1)。

 複素変数の一般超幾何関数一般超幾何関数1F2の記号のグラフ。
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般超幾何関数一般超幾何関数1F2の記号のグラフ。
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般超幾何関数一般超幾何関数1F2の記号のグラフ。
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般超幾何関数一般超幾何関数1F2の記号のグラフ。
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数1F2のグラフ(複素変数)

一般超幾何関数2F2の記号

 実変数の一般超幾何関数のグラフ。順に、①一般超幾何関数2F2の記号, ②一般超幾何関数2F2の記号, ③一般超幾何関数2F2の記号, ④一般超幾何関数2F2の記号, ⑤一般超幾何関数2F2の記号, ⑥一般超幾何関数2F2の記号, ⑦一般超幾何関数2F2の記号, ⑧一般超幾何関数2F2の記号。いずれも、a1=-4~4 (+0.1)。

 複素変数の一般超幾何関数一般超幾何関数2F2の記号のグラフ。
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般超幾何関数一般超幾何関数2F2の記号のグラフ。
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般超幾何関数一般超幾何関数2F2の記号のグラフ。
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般超幾何関数一般超幾何関数2F2の記号のグラフ。
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数2F2のグラフ(複素変数)

一般超幾何関数3F2の記号

 実変数の一般超幾何関数のグラフ。順に、①一般超幾何関数3F2の記号, ②一般超幾何関数3F2の記号, ③一般超幾何関数3F2の記号, ④一般超幾何関数3F2の記号, ⑤一般超幾何関数3F2の記号, ⑥一般超幾何関数3F2の記号, ⑦一般超幾何関数3F2の記号, ⑧一般超幾何関数3F2の記号, ⑨一般超幾何関数3F2の記号, ⑩一般超幾何関数3F2の記号, ⑪一般超幾何関数3F2の記号, ⑫一般超幾何関数3F2の記号, ⑬一般超幾何関数3F2の記号, ⑭一般超幾何関数3F2の記号, ⑮一般超幾何関数3F2の記号, ⑯一般超幾何関数3F2の記号。いずれも、a1=-4~4 (+1/9)。

 複素変数の一般超幾何関数一般超幾何関数3F2の記号のグラフ。
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般超幾何関数一般超幾何関数3F2の記号のグラフ。
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般超幾何関数一般超幾何関数3F2の記号のグラフ。
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般超幾何関数一般超幾何関数3F2の記号のグラフ。
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般超幾何関数一般超幾何関数3F2の記号のグラフ。
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般超幾何関数一般超幾何関数3F2の記号のグラフ。
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)
  • 一般超幾何関数3F2のグラフ(複素変数)

Meijer のG関数

日:MeijerのG関数マイヤーのG関数
英:Meijer G-function,仏:Fonction G de Meijer,独:Meijersche G-funktion

 Meijer のG関数は、Pochhammer の一般超幾何関数等をも包含する、さらに一般化された超幾何関数である。換言すれば、初等関数および超幾何関数系の特殊関数は、Meijer のG関数を用いて表わせる。
 Meijer のG関数の最初の定義は、1936 年の C. S. Meijer による冪級数を用いた定義であったが、より現代的で完全な定義は、1953年の A. Erdélyi によって導入された、複素平面上の経路積分を用いた次の定義である。その積分表示式は、逆 Mellin 変換と見なすことができる等の理由で都合が良い。
  • MeijerのG関数の積分表示式
ここに、4組(ベクトル)のパラメータ{a1, ... , an}等は、空集合{ }の場合もあるとする。また、積分値が不定となる場合を回避するため、ak-bj≠1, 2, 3, ... (k=1, 2, 3, ... , n ; j=1, 2, 3, ... , m)を条件とする。特別な定数の組み合わせからなるパラメータによって、整関数になる場合を除き、Meijer のG関数は恒常的にz=0,∞を特異点とする。
 なお、歴史的な理由により、関数記号のインデックスはm, nが「下, 上」パラメータの組を参照し、p, qが「上, 下」パラメータの組を参照する順序になっているので注意を要する。
 積分経路Lは、積分端点の取り方によって異なる3種類のタイプがある。いずれの経路も、途中にある極の点列(これは、被積分関数の分子にあるガンマ関数の極に由来する)
  • MeijerのG関数:被積分関数の極の点列
の周囲を、前者は時計回り(経路の進行方向に対して右側に極があるよう)に、後者は反時計回り(経路の進行方向に対して左側に極があるよう)に進むものとする。3種類のタイプに応じて、積分の収束範囲やz=0,∞以外に追加発生する特異点にも違いが生じる。
【タイプ1】
 複素平面t上において、ρ-∞iからρ+∞iρ∈Rに至る、虚軸に平行な経路。この場合の積分の収束範囲は、
(m+n)>(p+q)/2ならば、Abs(Arg(z))<(m+n-(p+q)/2)
(m+n)=(p+q)/2かつ(q-p)ρ+Re(μ)<0ならば、z∈Rかつz>0
となる。ここに、μの条件式である(以下同様)。

【タイプ2】
 複素平面t上において、-∞から-∞に戻るループを形成する経路。この場合の積分の収束範囲は、q≧1を前提に、
p<qならば、すべての有界なz
p=qならば、Abs(z)<1
p=qかつ(m+n)≧(p+q)/2かつRe(μ)<0ならば、Abs(z)≦1
となる。

【タイプ3】
 複素平面t上において、+∞から+∞に戻るループを形成する経路。この場合の積分の収束範囲は、p≧1を前提に、
p>qならば、すべての有界なz
p=qならば、Abs(z)>1
p=qかつ(m+n)≧(p+q)/2かつRe(μ)<0ならば、Abs(z)≧1
となる。
具体的にn=2, m=2の場合について、3タイプの経路を例示すれば次のようになる。
  • MeijerのG関数の積分表示式の経路(タイプ1)
  • MeijerのG関数の積分表示式の経路(タイプ2)
  • MeijerのG関数の積分表示式の経路(タイプ3)
 Meijer のG関数は、階数がmax(p, q)である線形常微分方程式
  • MeijerのG関数が満たす微分方程式
を満たす(乗積記号は、微分演算子の非可換な積として解釈する)。
 また、Meijer のG関数は種々の関数等式を満たす。特に、単位円の外部と内部をつなぐ反転公式
  • MeijerのG関数が満たす反転公式
が成り立つ。
 多くの数式処理システムは、直接計算用とともに内部変換処理用として Meijer のG関数を実装している。Mathematica における Meijer のG関数は、特異点がz=0,∞のみである場合は、実軸上の区間(-∞~0]に分枝切断線を設定し、さらにz=1も特異点となる場合は、単位円周が分枝切断線として追加される。これは、前述の積分表示式や反転公式等に準拠するための、分枝の合理的な選択方法である。
 Meijer のG関数のz=0における冪級数展開式は、
  • MeijerのG関数の冪級数展開式
となる。この級数は収束する場合であっても、前述の合理的な分枝とは必ずしも一致するとは限らず、別の分枝を表わすことがある。また、p=qz=1も特異点となる場合、この級数の収束範囲を超えてAbs(z)≧1にも解析接続し、分枝切断線を実軸上の区間(-∞~0]および[1~+∞)に置いた Meijer のG関数も定義できる。しかしこの分枝を採用した場合は、反転公式等を満たさない。
 当サイトではこの場合に限り、分枝切断線を単位円周に置く通常の関数とともに、[1~+∞)に置く関数も描画する(最後にある2種類の関数がこれに該当する)。

MeijerのG関数の関数記号

 実変数の Meijer のG関数のグラフ。順に、①MeijerのG関数の関数記号, ②MeijerのG関数の関数記号, ③MeijerのG関数の関数記号, ④MeijerのG関数の関数記号。いずれも、b=-5~5 (+0.2)。

 複素変数の Meijer のG関数MeijerのG関数の関数記号のグラフ。
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Meijer のG関数MeijerのG関数の関数記号のグラフ。
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

MeijerのG関数の関数記号

 実変数の Meijer のG関数のグラフ。順に、①MeijerのG関数の関数記号, ②MeijerのG関数の関数記号, ③MeijerのG関数の関数記号, ④MeijerのG関数の関数記号, ⑤MeijerのG関数の関数記号, ⑥MeijerのG関数の関数記号, ⑦MeijerのG関数の関数記号, ⑧MeijerのG関数の関数記号。いずれも、b=-5~5 (+0.2)。

 複素変数の Meijer のG関数MeijerのG関数の関数記号のグラフ。
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Meijer のG関数MeijerのG関数の関数記号のグラフ。
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Meijer のG関数MeijerのG関数の関数記号のグラフ。3番目は、原点付近を拡大したグラフ。
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

MeijerのG関数の関数記号

 実変数の Meijer のG関数のグラフ。順に、①MeijerのG関数の関数記号, ②MeijerのG関数の関数記号, ③MeijerのG関数の関数記号, ④MeijerのG関数の関数記号, ⑤MeijerのG関数の関数記号, ⑥MeijerのG関数の関数記号, ⑦MeijerのG関数の関数記号, ⑧MeijerのG関数の関数記号。いずれも、b=-5~5 (+0.2)。

 複素変数の Meijer のG関数MeijerのG関数の関数記号のグラフ。
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Meijer のG関数MeijerのG関数の関数記号のグラフ。
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Meijer のG関数MeijerのG関数の関数記号のグラフ。
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Meijer のG関数MeijerのG関数の関数記号のグラフ。
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

MeijerのG関数の関数記号

 実変数の Meijer のG関数のグラフ。順に、①MeijerのG関数の関数記号, ②MeijerのG関数の関数記号, ③MeijerのG関数の関数記号, ④MeijerのG関数の関数記号, ⑤MeijerのG関数の関数記号, ⑥MeijerのG関数の関数記号, ⑦MeijerのG関数の関数記号, ⑧MeijerのG関数の関数記号。いずれも、b=-5~5 (+0.2)。

 複素変数の Meijer のG関数MeijerのG関数の関数記号のグラフ。
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Meijer のG関数MeijerのG関数の関数記号のグラフ。
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Meijer のG関数MeijerのG関数の関数記号のグラフ。
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Meijer のG関数MeijerのG関数の関数記号のグラフ。
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Meijer のG関数MeijerのG関数の関数記号のグラフ。
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

MeijerのG関数の関数記号

 実変数の Meijer のG関数のグラフ。順に、①MeijerのG関数の関数記号, ②MeijerのG関数の関数記号, ③MeijerのG関数の関数記号, ④MeijerのG関数の関数記号, ⑤MeijerのG関数の関数記号, ⑥MeijerのG関数の関数記号, ⑦MeijerのG関数の関数記号, ⑥MeijerのG関数の関数記号。いずれも、a=-5~5 (+0.2), b=-5~5 (+0.2)。

 複素変数の Meijer のG関数MeijerのG関数の関数記号のグラフ。
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Meijer のG関数MeijerのG関数の関数記号のグラフ。
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Meijer のG関数MeijerのG関数の関数記号のグラフ。
【単位円周上に分枝切断線を置く場合。】
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

【単位円周上に分枝切断線を置かない場合。】
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Meijer のG関数MeijerのG関数の関数記号のグラフ。
【単位円周上に分枝切断線を置く場合。】
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

【単位円周上に分枝切断線を置かない場合。】
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)
  • MeijerのG関数のグラフ(複素変数)

特殊関数 Menu