特殊関数 グラフィックスライブラリー
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一般超幾何関数
一般超幾何関数
日：一般超幾何関数英：Generalized hypergeometric function，仏：Fonction hypergéométrique généralisée
独：Generalihypergeometrischen funktion
(Gauss の) 超幾何関数、(Kummer の) 合流型超幾何関数を一般化した
は、Pochhammer 記号が分子に
個、分母に
個あることを示している。一般超幾何関数に対して、ガンマ関数因子に由来する不定性を取り除いた ｢正規化された一般超幾何関数｣
当然ながら、
の Pochhammer 記号を分母と分子に等しく有する場合は
一般超幾何関数は、階数が
である線形常微分方程式
一般超幾何関数は、積分表示式
一般超幾何関数は、
のとき無限多価関数となり、通常は
に分枝切断線を置く。
のときは超越整関数となる。なお、
のときは形式的な表示として他の関数の定義に用いられることもあるが、一般超幾何関数自体は存在しない。一般超幾何関数は、超幾何関数の場合よりもさらに複雑な種々の積分値や級数総和値の表示、他の特殊関数どうしの関係式、特殊関数の一般論に用いられる。物理学等では、一般超幾何関数が単独で用いられることは少ない。
複素変数における一般超幾何関数
のグラフの概形はに似ている。このことは
が大きくなればなるほど顕著になる。以下では、
の場合を描画する。すなわち、初等関数や既に述べた特殊関数で表わされる
, ②
。いずれも、
＝－4～4 (+0.1)。
複素変数の一般超幾何関数
のグラフ。
複素変数の一般超幾何関数
のグラフ。
複素変数の一般超幾何関数
のグラフ。
, ②
, ③
, ④
。いずれも、
＝－4～4 (+0.1)。
複素変数の一般超幾何関数
のグラフ。
複素変数の一般超幾何関数
のグラフ。
複素変数の一般超幾何関数
のグラフ。
複素変数の一般超幾何関数
のグラフ。
, ②
, ③
, ④
, ⑤
, ⑥
, ⑦
, ⑧
。いずれも、＝－4～4 (+0.1)。
複素変数の一般超幾何関数
のグラフ。
複素変数の一般超幾何関数
のグラフ。
複素変数の一般超幾何関数
のグラフ。
複素変数の一般超幾何関数
のグラフ。
, ②
, ③
, ④
, ⑤
, ⑥
, ⑦
, ⑧
, ⑨
, ⑩
, ⑪
, ⑫
, ⑬
, ⑭
, ⑮
, ⑯
。いずれも、＝－4～4 (+1/9)。
複素変数の一般超幾何関数
のグラフ。
複素変数の一般超幾何関数
のグラフ。
複素変数の一般超幾何関数
のグラフ。
複素変数の一般超幾何関数
のグラフ。
複素変数の一般超幾何関数
のグラフ。
複素変数の一般超幾何関数
のグラフ。
Meijer のＧ関数
日：MeijerのG関数，マイヤーのG関数英：Meijer G-function，仏：Fonction G de Meijer，独：Meijersche G-funktion
Meijer のＧ関数は、Pochhammer の一般超幾何関数等をも包含する、さらに一般化された超幾何関数である。換言すれば、初等関数および超幾何関数系の特殊関数は、Meijer のＧ関数を用いて表わせる。
Meijer のＧ関数の最初の定義は、1936 年の C. S. Meijer による冪級数を用いた定義であったが、より現代的で完全な定義は、1953年の A. Erdélyi によって導入された、複素平面上の経路積分を用いた次の定義である。その積分表示式は、逆 Mellin 変換と見なすことができる等の理由で都合が良い。
等は、空集合
の場合もあるとする。また、積分値が不定となる場合を回避するため、
を条件とする。特別な定数の組み合わせからなるパラメータによって、整関数になる場合を除き、Meijer のＧ関数は恒常的に
を特異点とする。なお、歴史的な理由により、関数記号のインデックスは
が「下, 上」パラメータの組を参照し、
が「上, 下」パラメータの組を参照する順序になっているので注意を要する。積分経路
は、積分端点の取り方によって異なる３種類のタイプがある。いずれの経路も、途中にある極の点列(これは、被積分関数の分子にあるガンマ関数の極に由来する)
以外に追加発生する特異点にも違いが生じる。
【タイプ１】
複素平面
上において、
から
に至る、虚軸に平行な経路。この場合の積分の収束範囲は、
である(以下同様)。
【タイプ２】
複素平面上において、
からに戻るループを形成する経路。この場合の積分の収束範囲は、
を前提に、
【タイプ３】
複素平面上において、
からに戻るループを形成する経路。この場合の積分の収束範囲は、
を前提に、
具体的に複素平面
上において、からに至る、虚軸に平行な経路。この場合の積分の収束範囲は、
＊
ならば、
＊
かつ
ならば、
かつ
となる。ここに、ならば、＊
かつならば、かつである(以下同様)。【タイプ２】
複素平面
上において、からに戻るループを形成する経路。この場合の積分の収束範囲は、を前提に、
＊
ならば、すべての有界な
＊
ならば、
＊かつ
かつ
ならば、
となる。ならば、すべての有界な＊
ならば、＊
かつかつならば、【タイプ３】
複素平面
上において、からに戻るループを形成する経路。この場合の積分の収束範囲は、を前提に、
＊
ならば、すべての有界な
＊ならば、
＊かつかつならば、
となる。ならば、すべての有界な＊
ならば、＊
かつかつならば、
の場合について、３タイプの経路を例示すれば次のようになる。
である線形常微分方程式
また、Meijer のＧ関数は種々の関数等式を満たす。特に、単位円の外部と内部をつなぐ反転公式
多くの数式処理システムは、直接計算用とともに内部変換処理用として Meijer のＧ関数を実装している。Mathematica における Meijer のＧ関数は、特異点が
のみである場合は、実軸上の区間![(-∞～0]](siki_spec260/genhypgeo1040.png){kind=small}
に分枝切断線を設定し、さらに
も特異点となる場合は、単位円周が分枝切断線として追加される。これは、前述の積分表示式や反転公式等に準拠するための、分枝の合理的な選択方法である。Meijer のＧ関数の
における冪級数展開式は、
でも特異点となる場合、この級数の収束範囲を超えてにも解析接続し、分枝切断線を実軸上の区間および
に置いた Meijer のＧ関数も定義できる。しかしこの分枝を採用した場合は、反転公式等を満たさない。当サイトではこの場合に限り、分枝切断線を単位円周に置く通常の関数とともに、
に置く関数も描画する(最後にある２種類の関数がこれに該当する)。
, ②
, ③
, ④
。いずれも、
＝－5～5 (+0.2)。
複素変数の Meijer のＧ関数
のグラフ。
複素変数の Meijer のＧ関数
のグラフ。
, ②
, ③
, ④
, ⑤
, ⑥
, ⑦
, ⑧
。いずれも、＝－5～5 (+0.2)。
複素変数の Meijer のＧ関数
のグラフ。
複素変数の Meijer のＧ関数
のグラフ。
複素変数の Meijer のＧ関数
のグラフ。３番目は、原点付近を拡大したグラフ。
, ②
, ③
, ④
, ⑤
, ⑥
, ⑦
, ⑧
。いずれも、＝－5～5 (+0.2)。
複素変数の Meijer のＧ関数
のグラフ。
複素変数の Meijer のＧ関数
のグラフ。
複素変数の Meijer のＧ関数
のグラフ。
複素変数の Meijer のＧ関数
のグラフ。
, ②
, ③
, ④
, ⑤
, ⑥
, ⑦
, ⑧
。いずれも、＝－5～5 (+0.2)。
複素変数の Meijer のＧ関数
のグラフ。
複素変数の Meijer のＧ関数
のグラフ。
複素変数の Meijer のＧ関数
のグラフ。
複素変数の Meijer のＧ関数
のグラフ。
複素変数の Meijer のＧ関数
のグラフ。
, ②
, ③
, ④
, ⑤
, ⑥
, ⑦
, ⑥
。いずれも、
＝－5～5 (+0.2), ＝－5～5 (+0.2)。
複素変数の Meijer のＧ関数
のグラフ。
複素変数の Meijer のＧ関数
のグラフ。
複素変数の Meijer のＧ関数
のグラフ。【単位円周上に分枝切断線を置く場合。】
【単位円周上に分枝切断線を置かない場合。】
複素変数の Meijer のＧ関数
のグラフ。【単位円周上に分枝切断線を置く場合。】
【単位円周上に分枝切断線を置かない場合。】
