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Mathieu 関数

Mathieu 関数

日:Mathieu関数マシュー関数マチウ関数
英:Mathieu function,仏:Fonction de Mathieu,独:Mathieusche funktion

 Helmholtz の方程式を楕円柱座標で変数分離すると、楕円成分・双曲線成分の満たす微分方程式は、それぞれ
Mathieuの微分方程式
の形となる。両者はz→±izなる変換によって相互に移り変わる。前者を Mathieu の微分方程式、後者を変形された Mathieu の微分方程式といい、それぞれの解を Mathieu 関数、変形 Mathieu 関数という。(変形 Mathieu 関数の詳細は、後述する。)
 Mathieu の微分方程式はz→arccos(z)なる変換によって、代数的な Mathieu の微分方程式
  • 代数的なMathieuの微分方程式
に変形される。代数的な Mathieu の微分方程式は、z=±1に確定特異点、z=∞に1級の不確定特異点を持っており、超幾何微分方程式よりも特異点の個数が多い(不確定特異点は元々2個の確定特異点が合流して生じる)。その解である代数的 Mathieu 関数の概形は、-1~+1の付近では Chebyshev 関数に近く、無限遠点の付近では Bessel 関数に近い。
 Mathieu の微分方程式は、より一般的な Hill の微分方程式
  • Hillの微分方程式
の特別な場合である。Hill関数が周期関数であっても、Hill の微分方程式の解が周期関数になるのは特定の場合に限られる。しかし、線形独立な二つの基本解のうち、一方が常に
Hill関数の擬周期性
なる擬周期性を満たすように選ぶことができる。これを Floquet の定理といい、μを特性指数という。
 これを Mathieu の微分方程式に適用すると、二つの基本解の一方が周期2π(または円周率π)の周期関数になるのは、特性指数が0または純虚数iとなる場合で、それはaが特定の値(これを固有値という)をとる場合にそうなる。 この周期関数解を、極限q→0(すなわちa→n^2(nは整数))のときにcos(nπ)に近づく解、sin(nπ)に近づく解に分類して第1種Mathieu関数の記号と表記し、(整数次の)第1種 Mathieu 関数という。時折それぞれを、楕円余弦関数、楕円正弦関数と呼ぶこともある。
 (整数次)第1種 Mathieu 関数は、直交性
  • Mathieu関数の直交性
を有するので、任意の関数は(整数次)第1種 Mathieu 関数の無限級数に展開できる。例えば、後述の(整数次)第2種 Mathieu 関数をこの方法で定義する例があるが、詳細は省略する※1。
  (整数次)第1種 Mathieu 関数は周期関数であるため、次のような Fourier 級数に展開できる。
  • 第1種Mathieu関数のFourier級数
ここに、Fourier 係数第1種Mathieu関数のFourier級数の係数等は、次の漸化式、および規格化条件式を満たす。
  • 第1種Mathieu関数のFourier係数の漸化式
 また、(整数次)第1種 Mathieu 関数に対する非周期的な第2の基本解をそれぞれ第2種Mathieu関数の記号と表記し、(整数次)第2種 Mathieu 関数と呼ぶ。これは、非周期関数項を持つ Fourier 級数
  • 第2種Mathieu関数の級数
で表わされる。ここに Fourier 係数や定数第2種Mathieu関数の規格化定数等は、より複雑な漸化式や規格化条件式によって求められるが、詳細は省略する※2。
 なお、非整数次n=vの Mathieu 関数は、これらと似ているが異なる定義になる。また固有値aは、vqの関数として表わされるが、詳細は後述する。このほか、第3種 Mathieu 関数として
第3種Mathieu関数の定義
を独自に定義する。これは指数関数や Hankel 関数の類似である。(後述の変形 Mathieu 関数にも、これに類似する定義があり、ある程度一般に定着していることを踏まえて導入する。)
 一般に Mathieu 関数は超越整関数のため、無限遠点のほかに特異点を持たない。代数的な Mathieu の微分方程式の解としての Mathieu 関数は、複素平面上z=±1,∞に特異点を持つ無限多価関数であって、通常は-∞~-1及び+1~+∞に分枝切断線を置く。つまり、後者の場合の多価性は逆余弦関数に由来しているにすぎない。
 Mathieu 関数は楕円柱関数という別名があるとおり、楕円形膜の振動問題のように境界が楕円柱である場合などの物理問題に現れる。このほかにも電磁波の散乱現象など近年は応用面が増えつつあるが、Bessel 関数などに比べるとずっと少ない。それは Mathieu 関数の計算が複雑で取り扱いが難しいことにもよる。
 Mathieu 関数をはじめ、回転楕円体波動関数Lamé 関数、Lamé 波動関数等は、超幾何関数よりも高等な楕円体関数と呼ばれる系統に含まれる。しかし、超幾何関数系が、漸化式や隣接関係式などによって統制され、モノドロミー群が具体的かつ簡易な形で求められる等、比較的見通しの良い性質に基づいて纏められるのに対して、楕円体関数系は、全体を特徴付ける共通した性質が限られており、固有値の間隔によって次数が決まるため制約も多い。つまり、純粋数学的な観点から見て、あまり「美しくない」とも言える。

【註記】
※1 : J. Meixner,F. W. Schäfke 著「Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen」の p.194 を参照。

※2 : N. W. McLachlan 著「Theory and Application of Mathieu Functions」の§7.22,§7.40 または、J. Meixner,F. W. Schäfke 著「Mathieusche …」の p.191~193 を参照。 また、他の方法として、N. W. McLachlan 著「Theory and …」の§7.50,§7.52,および§7.55 がある。

第1種Mathieu関数の記号

 実変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。
 順に、①第1種Mathieu関数の記号, ②第1種Mathieu関数の記号, ③第1種Mathieu関数の記号, ④第1種Mathieu関数の記号。いずれも q=0~30 (+0.5)。

 実変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。
 順に、①第1種Mathieu関数の記号, ②第1種Mathieu関数の記号, ③第1種Mathieu関数の記号。いずれも n=0~10 (+1)。

 実2変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。順に、①第1種Mathieu関数の記号, ②第1種Mathieu関数の記号, ③第1種Mathieu関数の記号, ④第1種Mathieu関数の記号

 複素変数の第1種 Mathieu 関数第1種Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第1種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第1種 Mathieu 関数第1種Mathieu関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第1種 Mathieu 関数第1種Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第1種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第1種 Mathieu 関数第1種Mathieu関数の記号のグラフ。
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 アニメーション(6.12MB)
 複素変数の第1種 Mathieu 関数第1種Mathieu関数の記号のグラフ。v=0~5 (+0.1)。
 整数次のときに動きが滑らかでない理由は、固有値が不安定域を跨ぐからである。
  • 第1種Mathieu関数のグラフ(複素変数:動画)

第1種Mathieu関数の記号

 実変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。
 順に、①第1種Mathieu関数の記号, ②第1種Mathieu関数の記号, ③第1種Mathieu関数の記号, ④第1種Mathieu関数の記号。いずれも q=0~30 (+0.5)。

 実変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。
 順に、①第1種Mathieu関数の記号, ②第1種Mathieu関数の記号, ③第1種Mathieu関数の記号。いずれも n=1~10 (+1)。

 実2変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。順に、①第1種Mathieu関数の記号, ②第1種Mathieu関数の記号, ③第1種Mathieu関数の記号, ④第1種Mathieu関数の記号

 複素変数の第1種 Mathieu 関数第1種Mathieu関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第1種 Mathieu 関数第1種Mathieu関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第1種 Mathieu 関数第1種Mathieu関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第1種 Mathieu 関数第1種Mathieu関数の記号のグラフ。
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 アニメーション(6.59MB)
 複素変数の第1種 Mathieu 関数第1種Mathieu関数の記号のグラフ。v=0.1~5 (+0.1)。
 同様に、固有値が不安定域を跨ぐ次数のときは、動きが滑らかにならない。
  • 第1種Mathieu関数のグラフ(複素変数:動画)

第2種Mathieu関数の記号

 実変数の第2種 Mathieu 関数のグラフ。
 順に、①第2種Mathieu関数の記号, ②第2種Mathieu関数の記号, ③第2種Mathieu関数の記号, ④第2種Mathieu関数の記号。いずれも q=0~30 (+0.5)。
 1番目のグラフのうち、fe 0 (0, x) = x/sqrt[2]はこの場合にも解があるようにするための「定義」であって、採用している規格化では傾き∞の1次関数となるため本来は存在しない。

 実変数の第2種 Mathieu 関数のグラフ。
 順に、①第2種Mathieu関数の記号, ②第2種Mathieu関数の記号, ③第2種Mathieu関数の記号。いずれも n=0~10 (+1)。

 複素変数の第2種 Mathieu 関数第2種Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第2種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第2種 Mathieu 関数第2種Mathieu関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種 Mathieu 関数第2種Mathieu関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種 Mathieu 関数第2種Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第2種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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第2種Mathieu関数の記号

 実変数の第2種 Mathieu 関数のグラフ。
 順に、①第2種Mathieu関数の記号, ②第2種Mathieu関数の記号, ③第2種Mathieu関数の記号, ④第2種Mathieu関数の記号。いずれも q=0~30 (+0.5)。

 実変数の第2種 Mathieu 関数のグラフ。
 順に、①第2種Mathieu関数の記号, ②第2種Mathieu関数の記号, ③第2種Mathieu関数の記号。いずれも n=1~10 (+1)。

 複素変数の第2種 Mathieu 関数第2種Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第2種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第2種 Mathieu 関数第2種Mathieu関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種 Mathieu 関数第2種Mathieu関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種 Mathieu 関数第2種Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第2種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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第3種Mathieu関数の記号

 この関数は実数軸上で一般に実数値を取らないので、複素変数のグラフのみを描画する。
 複素変数の第3種 Mathieu 関数第3種Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第3種 Mathieu 関数第3種Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種 Mathieu 関数第3種Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第3種 Mathieu 関数第3種Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)

第3種Mathieu関数の記号

 この関数も実数軸上で一般に実数値を取らないので、複素変数のグラフのみを描画する。
 複素変数の第3種 Mathieu 関数第3種Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第3種 Mathieu 関数第3種Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第3種 Mathieu 関数第3種Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第3種 Mathieu 関数第3種Mathieu関数の記号のグラフ
  • 第3種Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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変形 Mathieu 関数

 変換z→±izによって変形された Mathieu の微分方程式の解を、変形 Mathieu 関数という。
 この変換によって、第1種・第2種変形 Mathieu 関数は
  • 変形Mathieu関数の定義
となる。第1種変形Mathieu関数の記号は Fourier 級数のほか、次のように 第1種 Bessel 関数を含む級数にも展開できる。
(以下、変数z1およびz2とする。)
  • 第1種変形Mathieu関数の定義
ここに、Fourier 係数第1種Mathieu関数のFourier係数は Mathieu 関数のそれと同一であり、第1種変形Mathieu関数の規格化定数はある定数である。
 さらにこの展開式において、引数がz2の Bessel 関数Jを、第2種 Bessel 関数Yに変更した、
  • 第2種変形Mathieu関数の定義
も変形された Mathieu の微分方程式を満たす、第1種変形Mathieu関数の記号とは線形独立な第2種の解になる。これも、第2種変形 Mathieu 関数と呼ばれる。(以下のグラフ等では、専らこれを第2種として採用する。)
 このほか、第3種変形 Mathieu 関数として
  • 第3種変形Mathieu関数の記号
が定義される。これは指数関数(に余弦関数を代入した関数)に漸近するため、その振る舞いが簡単になる。関数記号の"k"は、先の Bessel 関数を含む級数展開式において、引数がz2の Bessel 関数Jを、第2種変形 Bessel 関数Kに変更したような式で、第3種変形 Mathieu 関数が表わされるためである。これらの関数記号は、N. W. McLachlan による。Mathieu 関数は、その規格化とともに他の異なる記号体系が多く存在するので、公式等を相互参照する際は注意を要する※1。
 以上の第2種・第3種の解は、第2種Mathieu関数の記号等とは違って級数の収束が速く※2、また種々の積分表示式を満たすので、物理学等へ応用する際に都合が良い。

【註記】
※1 : 「NIST - Handbook of Mathematical Functions」、「(A&S) Handbook of Mathematical Functions …」で採用されているのは、Meixner - Schäfke の規格化である。これは、上記の関数と定数倍の違いしかない。なお、Mathematica のコード「Mathieu.m」では、2種類の規格化をともに搭載した。

※2 : 冒頭で述べた Fourier 級数を数値計算に使用すると、実軸から遠くなるほど丸め誤差が累積して精度が悪くなる。このような領域では、上記の Bessel 関数による級数展開式を用いると高精度で計算できる。 この場合に変形 Mathieu 関数から Mathieu 関数へ切り替えるための線形結合式は、N. W. McLachlan 著「Theory and …」の§13.21 などを用いる。

第1種変形Mathieu関数の記号

 関係式
  • 第1種変形Mathieu関数の定義
より、両者は互いに90°回転(および純虚数倍)したものにすぎないので、複素変数のグラフは省略する。
 実変数の第1種変形 Mathieu 関数のグラフ。
 順に、①第1種変形Mathieu関数の記号, ②第1種変形Mathieu関数の記号, ③第1種変形Mathieu関数の記号, ④第1種変形Mathieu関数の記号。いずれも q=0.2~10 (+0.2)。

 実2変数の第1種変形 Mathieu 関数のグラフ。順に、①第1種変形Mathieu関数の記号, ②第1種変形Mathieu関数の記号, ③第1種変形Mathieu関数の記号, ④第1種変形Mathieu関数の記号

第1種変形Mathieu関数の記号

 同様に、複素変数のグラフは省略する。
 実変数の第1種変形 Mathieu 関数のグラフ。
 順に、①第1種変形Mathieu関数の記号, ②第1種変形Mathieu関数の記号, ③第1種変形Mathieu関数の記号, ④第1種変形Mathieu関数の記号。いずれも q=0.2~10 (+0.2)。

 実2変数の第1種変形 Mathieu 関数のグラフ。順に、①第1種変形Mathieu関数の記号, ②第1種変形Mathieu関数の記号, ③第1種変形Mathieu関数の記号, ④第1種変形Mathieu関数の記号

第2種変形Mathieu関数の記号

 実変数の第2種変形 Mathieu 関数のグラフ。
 順に、①第2種変形Mathieu関数の記号, ②第2種変形Mathieu関数の記号, ③第2種変形Mathieu関数の記号, ④第2種変形Mathieu関数の記号。いずれも q=0.2~10 (+0.2)。

 実2変数の第2種変形 Mathieu 関数のグラフ。順に、①第2種変形Mathieu関数の記号, ②第2種変形Mathieu関数の記号, ③第2種変形Mathieu関数の記号, ④第2種変形Mathieu関数の記号

 複素変数の第2種変形 Mathieu 関数第2種変形Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第2種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種変形 Mathieu 関数第2種変形Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第2種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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  • 第2種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第2種変形 Mathieu 関数第2種変形Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第2種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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  • 第2種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種変形 Mathieu 関数第2種変形Mathieu関数の記号のグラフ
  • 第2種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)

第2種変形Mathieu関数の記号

 実変数の第2種変形 Mathieu 関数のグラフ。
 順に、①第2種変形Mathieu関数の記号, ②第2種変形Mathieu関数の記号, ③第2種変形Mathieu関数の記号, ④第2種変形Mathieu関数の記号。いずれも q=0.2~10 (+0.2)。

 実2変数の第2種変形 Mathieu 関数のグラフ。順に、①第2種変形Mathieu関数の記号, ②第2種変形Mathieu関数の記号, ③第2種変形Mathieu関数の記号, ④第2種変形Mathieu関数の記号

 複素変数の第2種変形 Mathieu 関数第2種変形Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第2種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第2種変形 Mathieu 関数第2種変形Mathieu関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種変形 Mathieu 関数第2種変形Mathieu関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種変形 Mathieu 関数第2種変形Mathieu関数の記号のグラフ
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第3種変形Mathieu関数の記号

 この関数は実数軸上で一般に実数値を取らないので、複素変数のグラフのみを描画する。
 複素変数の第3種変形 Mathieu 関数第3種変形Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第3種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第3種変形 Mathieu 関数第3種変形Mathieu関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第3種変形 Mathieu 関数第3種変形Mathieu関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第3種変形 Mathieu 関数第3種変形Mathieu関数の記号のグラフ
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第3種変形Mathieu関数の記号

 この関数も実数軸上で一般に実数値を取らないので、複素変数のグラフのみを描画する。
 複素変数の第3種変形 Mathieu 関数第3種変形Mathieu関数の記号のグラフ。
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  • 第3種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第3種変形 Mathieu 関数第3種変形Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第3種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種変形 Mathieu 関数第3種変形Mathieu関数の記号のグラフ。
  • 第3種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
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  • 第3種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種変形 Mathieu 関数第3種変形Mathieu関数の記号のグラフ
  • 第3種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)
  • 第3種変形Mathieu関数のグラフ(複素変数)

Mathieu 固有値関数

 Floquet の定理により、Mathieu の微分方程式
Mathieu関数の微分方程式
の解wは常に周期関数とは限らないが
一般的なMathieu関数の擬周期性
なる擬周期性を満たす解ならば、必ず基本解に含まれている。この擬周期性基本解は、特性指数μの値によって様相が異なり、さらに特性指数は、固有値aが特定の値をとることによって定まる。
 解の様相は次の①~③に分類される。
① μが実数となるとき → 擬周期性基本解は一般に概周期関数になる
② 特に①のうちμが有理数となるとき → 擬周期性基本解は周期関数になる
以上①,②の場合、擬周期性基本解の値は実定義域上で有界となる。このようなaの値域を「安定域」という。一方、
③ μが①,②以外のとき → 二つの基本解の一方は擬周期関数になるが、いずれも有界な解ではない
となるようなaの値域を「不安定域」という。
 また固有値aは、qと次数vの関数と考えることができる。これを Mathieu 固有値関数といい、周期偶関数第1種Mathieu関数ceの記号に対する固有値aMathieu固有値関数aの記号、周期奇関数第1種Mathieu関数seの記号に対する固有値aMathieu固有値関数bの記号と表記される。
 特に、vが非整数のときはa v (q) = b v (q)となり、vが奇数のときはa v (q) = b v (-q)となる。また、vが整数でq→+∞のとき、a v (q) ≒ b v+1 (q)となる。
 Mathieu固有値関数aの記号及びMathieu固有値関数bの記号は、次の無限連分数方程式
  • Mathieu固有値関数の無限連分数方程式
を満たす。また、qの絶対値が小さいときMathieu固有値関数aの記号を冪級数で表わすと
  • Mathieu固有値関数aの級数展開
と表わされる。
 電子計算機での数値計算においては、前述の無限連分数方程式に Newton 法を適用するか、無限次元三重対角行列の固有値に基づく線形代数方程式
  • Mathieu固有値関数の無限次元行列表現
を直接解くのが便利である。ここにMathieu関数のFourier係数は、Mathieu 関数を Fourier 級数展開したときの係数である。
 なお、vが非整数次の場合の無限次元三重対角行列方程式は、
  • Mathieu固有値関数の無限次元行列表現
となる。ここにrは、vを2で割ったときの余りである。
 Mathieu 固有値関数の物理学での応用例として、量子力学における(無限に広がる)一次元結晶格子内部の電子が取りうるエネルギー範囲がある。この場合の Schrödinger 方程式とその解である波動関数は、Mathieu の微分方程式と(整数次)第1種 Mathieu 関数になり、波動関数が存在する条件とは、固有値(すなわち電子の取りうるエネルギー)が安定域にあることに他ならない。つまり、安定域と不安定域の形状は、エネルギーが断続的な範囲に分布する(すなわち量子数を取る)ことの表われである。

安定域・不安定域の形状

①青色領域または境界線上が 「安定域」、黄色領域が 「不安定域」 である。②さらに広い領域。③ Mathieu 固有値関数から2qを引いた場合。つまり、安定域・不安定域はy=2qの上下でほぼ半々になることが分かる。

 なお、前述の電子が取りうるエネルギー範囲とは、この図の原点を通る直線上(ただし、Planck 定数で決まる値より小さくはならない)で、かつ、安定域と重なる無数の線分区間になる。一方、各線分の間には不安定域を挟むギャップが存在し、そこでは波動関数は存在せず、エネルギーを考えることもできなくなる。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(電子のエネルギー範囲)

a v (q), b v (q):安定域

 実変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。Mathieu固有値関数aの記号v=0~8 (+1),Mathieu固有値関数bの記号v=1~8 (+1)。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(実変数)

 実変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。①Mathieu固有値関数aの記号v=0~8 (+0.1),Mathieu固有値関数bの記号v=1~8 (+1)。
 vが非整数のとき、a v (q) = b v (q)となる。②:①のグラフにおいて、原点の近傍を拡大した場合。

 実2変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。①Mathieu固有値関数aの記号,②Mathieu固有値関数bの記号

 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)

 v=奇数のときのMathieu固有値関数bの記号は、a v (q) = b v (-q)となるので描画しない。
 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数bの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数bの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)

 v=非整数のときのMathieu固有値関数bの記号は、a v (q) = b v (q)となるので描画しない。
 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数)

a v (q), b v (q):不安定域

 次数が複素数u+vi(uは整数、vは実数)のとき、グラフは不安定域を占める。この場合のグラフの概形については、M. Abramowitz & I. A. Stegun「Handbook of Mathematical Functions …」の p.728~730にも記載がある。
 実変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。u=0~8 (+1) かつ、v=0~5 (+0.1)。色調がu/8、輝度が1-v/6で変化する場合。vが整数のとき太線。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(実変数・不安定域)

 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)

 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)

 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)

 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・不安定域)

a v (q), b v (q):安定域でも不安定域でもない

 次数が複素数u+vi(uは整数でない実数、vは実数)のとき、実数軸上で Mathieu 固有値関数は実数値を取らず、安定域でも不安定域でもない。したがって、この場合は複素変数のグラフのみを描画する。
 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)

 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)

 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)

 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)

a v (q), b v (q):vの関数

 実変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。q=0~20 (+0.5)。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(実変数・vの関数)

 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)

 複素変数の Mathieu 固有値関数Mathieu固有値関数aの記号のグラフ。
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)
  • Mathieu固有値関数のグラフ(複素変数・一般領域)

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