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Mathieu 関数

Mathieu 関数

日：Mathieu関数，マシュー関数（マチウ関数）
英：Mathieu function，仏：Fonction de Mathieu，独：Mathieusche funktion

　Laplace の方程式または Helmholtz の方程式を楕円柱座標で変数分離すると、楕円成分・双曲線成分の満たす微分方程式は、それぞれ
の形となる。両者はなる変換によって相互に移り変わる。前者を Mathieu の微分方程式、後者を変形された Mathieu の微分方程式といい、それぞれの解を Mathieu 関数、変形 Mathieu 関数という。(変形 Mathieu 関数の詳細は、後述する。)
　Mathieu の微分方程式はなる変換によって、代数的な Mathieu の微分方程式

• 

に変形される。代数的な Mathieu の微分方程式は、に確定特異点、に１級の不確定特異点を持っており、超幾何微分方程式よりも特異点の個数が多い (不確定特異点は元々２個の確定特異点が合流して生じる)。その解である代数的 Mathieu 関数の概形は、の付近では Chebyshev 関数に近く、無限遠点の付近では Bessel 関数に近い。
　Mathieu の微分方程式は、より一般的な Hill の微分方程式

• 

の特別な場合である。が周期関数であっても、Hill の微分方程式の解が周期関数になるのは特定の場合に限られる。しかし、線形独立な二つの基本解のうち、一方が常に
なる擬周期性を満たすように選ぶことができる。これを Floquet の定理といい、を特性指数という。
　これを Mathieu の微分方程式に適用すると、二つの基本解の一方が周期(または) の周期関数になるのは、特性指数が０またはとなる場合で、それはが特定の値 (これを固有値という) をとる場合にそうなる。 この周期関数解を、極限(すなわち(は整数)) のときにに近づく解、に近づく解に分類してと表記し、(整数次の) 第1種 Mathieu 関数という。希に、前者を楕円余弦関数、後者を楕円正弦関数と呼ぶこともある。
　(整数次) 第1種 Mathieu 関数は、直交性

• 

を有するので、任意の関数は (整数次) 第1種 Mathieu 関数の無限級数に展開できる。例えば、後述の (整数次) 第2種 Mathieu 関数をこの方法で定義する例があるが、詳細は省略する※1。
　 (整数次) 第1種 Mathieu 関数は周期関数であるため、次のような Fourier 級数に展開できる。

• 

ここに、Fourier 係数等は、次の漸化式、および規格化条件式を満たす。

• 

　また、(整数次) 第1種 Mathieu 関数に対する非周期的な第2の基本解をそれぞれと表記し、(整数次) 第2種 Mathieu 関数と呼ぶ。これは、非周期関数項を持つ Fourier 級数

• 

で表わされる。ここに Fourier 係数や定数等は、次の漸化式、および規格化条件式を満たす※2。

• 

　なお、非整数次の Mathieu 関数は、これらと似ているが異なる定義になる。また固有値は、との関数として表わされるが、詳細は後述する。このほか、第3種 Mathieu 関数として
を独自に定義する。これは指数関数や Hankel 関数の類似である。(後述の変形 Mathieu 関数にも、これに類似する定義があり、ある程度一般に定着していることを踏まえて導入する。)
　一般に Mathieu 関数は超越整関数のため、無限遠点のほかに特異点を持たない。代数的な Mathieu の微分方程式の解としての Mathieu 関数は、複素平面上に特異点を持つ無限多価関数であって、通常は及びに分枝切断線を置く。つまり、後者の場合の多価性は逆余弦関数に由来しているにすぎない。
　Mathieu 関数は楕円柱関数という別名があるとおり、楕円形膜の振動問題のように境界が楕円柱である場合などの物理問題に現れる。このほかにも電磁波の散乱現象など近年は応用面が増えつつあるが、Bessel 関数などに比べるとずっと少ない。それは Mathieu 関数の計算が複雑で取り扱いが難しいことにもよる。
　Mathieu 関数をはじめ、回転楕円体波動関数、Lamé 関数、Lamé 波動関数等は、超幾何関数よりも高等な楕円体関数と呼ばれる系統に含まれる。しかし、超幾何関数系が、漸化式や隣接関係式などによって統制され、モノドロミー群が具体的かつ簡易な形で求められる等、比較的見通しの良い性質に基づいて纏められるのに対して、楕円体関数系は、全体を特徴付ける共通した性質が限られており、固有値の間隔によって次数が決まるため制約も多い。つまり、純粋数学的な観点から見れば、あまり "美しくない" とも言える※3。

　実変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。
　順に、①, ②, ③, ④。いずれも ＝0～30 (+0.5)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。
　順に、①, ②, ③。いずれも ＝0～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　実2変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。順に、①, ②, ③, ④。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　複素変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。

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　複素変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。

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　複素変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。

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　複素変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。

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• 

　アニメーション（6.12MB）
　複素変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。＝0～5 (+0.1)。
　整数次のときに動きが滑らかでない理由は、固有値が不安定域を跨ぐからである。

• 

　実変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。
　順に、①, ②, ③, ④。いずれも ＝0～30 (+0.5)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。
　順に、①, ②, ③。いずれも ＝1～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　実2変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。順に、①, ②, ③, ④。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　複素変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。

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• 
• 
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　複素変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。

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　複素変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。

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　複素変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。

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• 

　アニメーション（6.59MB）
　複素変数の第1種 Mathieu 関数のグラフ。＝0.1～5 (+0.1)。
　同様に、固有値が不安定域を跨ぐ次数のときは、動きが滑らかにならない。

• 

　実変数の第2種 Mathieu 関数のグラフ。
　順に、①, ②, ③, ④。いずれも ＝0～30 (+0.5)。
　１番目のグラフのうち、はこの場合にも解があるようにするための "定義" であって、採用している規格化では傾きの１次関数となるため本来は存在しない。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第2種 Mathieu 関数のグラフ。
　順に、①, ②, ③。いずれも ＝0～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　複素変数の第2種 Mathieu 関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　複素変数の第2種 Mathieu 関数のグラフ。

• 
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• 
• 
• 

　複素変数の第2種 Mathieu 関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
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　複素変数の第2種 Mathieu 関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　実変数の第2種 Mathieu 関数のグラフ。
　順に、①, ②, ③, ④。いずれも ＝0～30 (+0.5)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第2種 Mathieu 関数のグラフ。
　順に、①, ②, ③。いずれも ＝1～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　複素変数の第2種 Mathieu 関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　複素変数の第2種 Mathieu 関数のグラフ。

• 
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• 
• 

　複素変数の第2種 Mathieu 関数のグラフ。

• 
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• 

　複素変数の第2種 Mathieu 関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　この関数は実数軸上で一般に実数値を取らないので、複素変数のグラフのみを描画する。
　複素変数の第3種 Mathieu 関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　複素変数の第3種 Mathieu 関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　複素変数の第3種 Mathieu 関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　複素変数の第3種 Mathieu 関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　この関数も実数軸上で一般に実数値を取らないので、複素変数のグラフのみを描画する。
　複素変数の第3種 Mathieu 関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　複素変数の第3種 Mathieu 関数のグラフ。

• 
• 
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• 
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　複素変数の第3種 Mathieu 関数のグラフ。

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• 
• 

　複素変数の第3種 Mathieu 関数のグラフ

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• 
• 
• 
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変形 Mathieu 関数

　変換によって変形された Mathieu の微分方程式の解を、変形 Mathieu 関数という。
　この変換によって、第1種・第2種変形 Mathieu 関数は

• 

となる。は Fourier 級数のほか、次のように第1種 Bessel 関数を含む級数にも展開できる。
(以下、とする。)

• 

ここに、Fourier 係数は Mathieu 関数のそれと同一であり、定数は、

• 

である。
　さらにこの展開式において、引数がの Bessel 関数を、第2種 Bessel 関数に変更した、

• 

も変形された Mathieu の微分方程式を満たし、とは線形独立な第2種の解になる。これも、第2種変形 Mathieu 関数と呼ばれる。(以下のグラフ等では、専らこれを第2種として採用する。)
　このほか、第3種変形 Mathieu 関数として

• 

が定義される。これは指数関数 (に余弦関数を代入した関数) に漸近するため、その振る舞いが簡単になる。関数記号のは、先の Bessel 関数を含む級数展開式において、引数がの Bessel 関数を、第2種変形 Bessel 関数に変更したような式で、第3種変形 Mathieu 関数が表わされるためである。これらの関数記号は、N. W. McLachlan による。Mathieu 関数は、その規格化とともに他の異なる記号体系が多く存在するので、公式等を相互参照する際は注意を要する※1。
　以上の第2種・第3種の解は、等とは違って級数の収束が速く※2、また種々の積分表示式を満たすので、物理学等へ応用する際に都合が良い。

　関係式

• 

より、両者は互いに90回転 (および純虚数倍) したものにすぎないので、複素変数のグラフは省略する。
　実変数の第1種変形 Mathieu 関数のグラフ。
　順に、①, ②, ③, ④。いずれも ＝0.2～10 (+0.2)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実2変数の第1種変形 Mathieu 関数のグラフ。順に、①, ②, ③, ④。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　同様に、複素変数のグラフは省略する。
　実変数の第1種変形 Mathieu 関数のグラフ。
　順に、①, ②, ③, ④。いずれも ＝0.2～10 (+0.2)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実2変数の第1種変形 Mathieu 関数のグラフ。順に、①, ②, ③, ④。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第2種変形 Mathieu 関数のグラフ。
　順に、①, ②, ③, ④。いずれも ＝0.2～10 (+0.2)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実2変数の第2種変形 Mathieu 関数のグラフ。順に、①, ②, ③, ④。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　複素変数の第2種変形 Mathieu 関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　複素変数の第2種変形 Mathieu 関数のグラフ。

• 
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• 

　複素変数の第2種変形 Mathieu 関数のグラフ。

• 
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• 

　複素変数の第2種変形 Mathieu 関数のグラフ

• 
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• 
• 

　実変数の第2種変形 Mathieu 関数のグラフ。
　順に、①, ②, ③, ④。いずれも ＝0.2～10 (+0.2)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実2変数の第2種変形 Mathieu 関数のグラフ。順に、①, ②, ③, ④。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　複素変数の第2種変形 Mathieu 関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　複素変数の第2種変形 Mathieu 関数のグラフ。

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　複素変数の第2種変形 Mathieu 関数のグラフ。

• 
• 
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• 

　複素変数の第2種変形 Mathieu 関数のグラフ

• 
• 
• 
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• 

　この関数は実数軸上で一般に実数値を取らないので、複素変数のグラフのみを描画する。
　複素変数の第3種変形 Mathieu 関数のグラフ。

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• 
• 
• 
• 

　複素変数の第3種変形 Mathieu 関数のグラフ。

• 
• 
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• 

　複素変数の第3種変形 Mathieu 関数のグラフ。

• 
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• 
• 

　複素変数の第3種変形 Mathieu 関数のグラフ

• 
• 
• 
• 
• 

　この関数も実数軸上で一般に実数値を取らないので、複素変数のグラフのみを描画する。
　複素変数の第3種変形 Mathieu 関数のグラフ。

• 
• 
• 
• 
• 

　複素変数の第3種変形 Mathieu 関数のグラフ。

• 
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　複素変数の第3種変形 Mathieu 関数のグラフ。

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　複素変数の第3種変形 Mathieu 関数のグラフ

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Mathieu 固有値関数

　Floquet の定理により、Mathieu の微分方程式
の解は常に周期関数とは限らないが
なる擬周期性を満たす解ならば、必ず基本解に含まれている。この擬周期性基本解は、特性指数の値によって様相が異なり、さらに特性指数は、固有値が特定の値をとることによって定まる。
　解の様相は次の①～③に分類される。
以上①，②の場合、擬周期性基本解の値は実定義域上で有界となる。このようなの値域を ｢安定域｣ という。一方、
となるようなの値域を ｢不安定域｣ という。
　また固有値は、と次数の関数と考えることができる。これを Mathieu 固有値関数といい、周期偶関数に対する固有値は、周期奇関数に対する固有値はと表記される。
　特に、が非整数のときはとなり、が奇数のときはとなる。また、が整数でのとき、となる。
　及びは、次の無限連分数方程式

• 

を満たす。また、の絶対値が小さいときを冪級数で表わすと

• 

と表わされる。
　電子計算機での数値計算においては、前述の無限連分数方程式に Newton 法を適用するか、無限次元三重対角行列の固有値に基づく線形代数方程式

• 

を直接解くのが便利である。ここには、Mathieu 関数を Fourier 級数展開したときの係数である。
　なお、が非整数次の場合の無限次元三重対角行列方程式は、

• 

となる。ここには、を２で割ったときの余りである。
　Mathieu 固有値関数の物理学での応用例として、量子力学における (無限に広がる) 一次元結晶格子内部の自由電子が取りうるエネルギー範囲がある。この場合の Schrödinger 方程式とその解である波動関数は、Mathieu の微分方程式と (整数次) 第1種 Mathieu 関数になり、波動関数が存在する条件とは、固有値 (すなわち電子の取りうるエネルギー) が安定域にあることに他ならない。原子が単独または間隔が疎ならば、その周囲の電子はエネルギーが断続的な特定値 (量子数) を取るが、原子が密集する金属等の自由電子では、エネルギーがある程度の幅を持った連続値を取るようになる。これは ｢帯構造 (Band structure)｣ と呼ばれ、エネルギーの取り得る区間を ｢許容帯 (Energy band)｣、そうでない区間を ｢禁制帯 (Energy gap)｣ と言う。Mathieu 固有値関数の安定域と不安定域は、帯構造の形状を表わす一例となっている。

①青色領域または境界線上が ｢安定域｣、黄色領域が ｢不安定域｣ である。②さらに広い領域。③ Mathieu 固有値関数からを引いた場合。つまり、安定域・不安定域はの上下でほぼ半々になることが分かる。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　なお、前述の自由電子が取りうるエネルギー範囲 (許容帯) とは、下図の原点を通る直線上 (ただし、Planck 定数で決まる値より小さくはならない) で、かつ、安定域と重なる無数の線分区間になる。一方、各線分の間には不安定域を挟むギャップ (禁制帯) が存在し、そこでは波動関数は存在せず、エネルギーを考えることもできなくなる。

• 

　実変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。：＝0～8 (+1)，：＝1～8 (+1)。

• 

　実変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。①：＝0～8 (+0.1)，：＝1～8 (+1)。
　が非整数のとき、となる。②：①のグラフにおいて、原点の近傍を拡大した場合。

• 　①
  
• 　②
  

　実2変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。①，②。

• 　①
  
• 　②
  

　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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　＝奇数のときのは、となるので描画しない。
　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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• 
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• 

　＝非整数のときのは、となるので描画しない。
　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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　次数が複素数(は整数、は実数) のとき、グラフは不安定域を占める。この場合のグラフの概形については、M. Abramowitz & I. A. Stegun ｢Handbook of Mathematical Functions …｣ の p.728～730にも記載がある。
　実変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。＝0～8 (+1) かつ、＝0～5 (+0.1)。色調が/８、輝度が１－/６で変化する場合。が整数のとき太線。

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　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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　次数が複素数(は整数でない実数、は実数) のとき、実数軸上で Mathieu 固有値関数は実数値を取らず、安定域でも不安定域でもない。したがって、この場合は複素変数のグラフのみを描画する。
　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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　実変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。＝0～20 (+0.5)。

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　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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　複素変数の Mathieu 固有値関数のグラフ。

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