特殊関数 グラフィックスライブラリー
Graphics Library of Special functions

回転楕円体波動関数

扁長回転楕円体波動関数 (角度関数)

日：回転楕円体波動関数，スフェロイド関数
英：Spheroidal wave function，仏：Fonctions d'ondes sphéroidale，独：Sphäroidfunktion

　Helmholtz の方程式を扁長回転楕円体座標で変数分離すると、角度 (angular) 成分、動径 (radial) 成分の満たす微分方程式は、それぞれ

• 

になる。両者を併せて、扁長回転楕円体微分方程式という。また、扁平回転楕円体座標のときは全てにおいて
なる変換を行えばよい。これらを総称して回転楕円体微分方程式といい、その解を回転楕円体波動関数という。このように、曲面座標系での変数分離によって生じる微分方程式が、複数の座標成分で本質的に同じになる性質は、楕円体関数系の特殊関数で顕著である。
　回転楕円体微分方程式は、に確定特異点、に１級の不確定特異点を持っており、超幾何微分方程式よりも特異点の個数が多い (不確定特異点は複数個の確定特異点が合流して生じる)。その解である回転楕円体波動関数の概形は、の付近では Legendre 陪関数に近く、無限遠点の付近では Bessel 関数に近い。
　は固有値といい、これは極限のときにになり、さらにこのとき回転楕円体波動関数は第1種 Legendre 陪関数と、第2種 Legendre 陪関数に近づく解に分かれる。この二つの解をそれぞれと表記し、第1種・第2種回転楕円体波動関数 (角度関数) という。
　この関数記号及び以下に述べる定数規格化 (正規化) は、それを定義した数学者の名を取って「Meixner - Schäfke の規格化」と呼ばれる。このほかにも「Flammer の規格化」など、幾つかの定義があり関数記号も異なる。しかし、いずれも本質的な違いは定数倍だけであり、同一の微分方程式を満たす。
　 回転楕円体波動関数 (角度関数) は、次のように Legendre 陪関数 (Ferrers 型) の級数に展開できる。

• 

ここには次の漸化式を満たす。

• 

　「Meixner - Schäfke の規格化」は、次の定義によって成される。

• 

　(整数次の) 第1種回転楕円体波動関数 (角度関数) は、直交性

• 

を有する。(の場合は、｢Meixner - Schäfke の規格化｣に含まれる。)
　回転楕円体波動関数 (角度関数) は、Legendre 陪関数と同様の公式

• 

等を満たす。
　なお、のときは代数的な Mathieu 関数に帰着される。また固有値は、及びの関数として表わされるが、詳細は回転楕円体波動固有値関数を参照。
　一般に扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) は、複素平面上に特異点を持つ無限多価関数であって、通常は及びに分枝切断線を置く。
　回転楕円体波動関数はスフェロイド関数とも呼ばれ、境界条件が回転楕円体 (スフェロイド) で定まる物理問題に現れる。Mathieu 関数と同様に、初期の応用事例は音響学※1･電磁波の散乱理論等に限られていたが、これは数値計算が複雑であることに大きな原因があった※2。実際、回転楕円体波動関数の数表が現れ始めたのは1950年代になってからである。しかし、21世紀初頭になると、二原子から成る分子における電子分布など応用事例数が次第に増えている。
　回転楕円体波動関数は、Helmholtz 方程式を回転楕円体座標で解く目的のため、1880年に C. Niven が初めて導入した※3。しかし、本格的な理論の整備を手掛け、現在の規格化と関数記号を定着させたのは、その後に現れた多数の数学者･物理学者等である。その過程で、回転楕円体波動関数の数値計算法も改良が重ねられて、これが前述のような応用面の拡充を促している。併せて、電子計算機の性能の向上および数式処理システムへの実装が進んだ時代と並行していた事も、応用をさらに容易にした。

　実変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝0～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝0～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝0～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝0～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　実変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝1～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　実変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝2～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　複素変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　実変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝0～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝0～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝0～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝0～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　実変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝1～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　実変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝2～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　複素変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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扁平回転楕円体波動関数 (角度関数)

　ここで取り扱う扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) は、前述の扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) においてなる変換を行ったものである。したがって扁平の場合の公式等は、扁長の場合のそれに同一の変換を行ったものに過ぎないので、ここでの詳しい説明は省略する。
　一般に扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) は、複素平面上に特異点を持つ無限多価関数であって、通常は及びに分枝切断線を置く。概形は、の付近では Legendre 陪関数に近く、無限遠点の付近では変形 Bessel 関数に近い。
　扁平回転楕円体波動関数は、扁長の場合と同様の応用例がある。

　実変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝0～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝0～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝0～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝0～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　実変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝1～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　実変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝2～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　複素変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　実変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝0～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝0～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝0～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝0～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　実変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝1～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　実変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝2～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　複素変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。

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扁長回転楕円体波動関数 (動径関数)

　この頁の最初で述べたように、Helmholtz の方程式を扁長回転楕円体座標で変数分離した際の動径成分の満たす微分方程式は

• 

となる。この微分方程式も、に確定特異点、に１級の不確定特異点を持っており、その解の概形が、の付近では Legendre 陪関数に近く、無限遠点の付近では Bessel 関数に近いことも角度関数と変わりない。両者の相違点は、角度関数が近い Legendre 陪関数は Ferrers 型になり、動径関数では Hobson 型になることである。したがって一般に動径関数は、複素平面上に特異点を持つ無限多価関数であって、通常はに分枝切断線を置く。
　「Meixner - Schäfke の規格化」に基づく二つの回転楕円体波動関数 (動径関数)は、次のように第1種・第2種 球 Bessel 関数の級数に展開できる。

• 

このほか、Hankel 関数に倣って第3種と第4種

• 

が定義される。これらの関数は特に、

• 

となり、付近での形状が簡単なため応用上便利である。
　回転楕円体波動関数 (動径関数) は、球 Bessel 関数の公式に似た

• 

等を満たす (は整数)。
　初等関数に還元される場合として

• 

となることが知られている。ここには自然数、は整数であり、が偶数(奇数) のときも偶数(奇数) とする。
　 Meixner - Schäfke によれば、次のように Legendre 陪関数を Hobson 型に変更した関数

• 

も定義される。ここには、この頁の最初の項目を参照。このとき、回転楕円体波動関数 (動径関数) との関係は、

• 

のように線形結合となる。すなわちも、前述の動径成分の微分方程式を満たす、回転楕円体波動関数 (動径関数) である。ここに

• 

である。

　実変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝1/4～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝1/4～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝1/4～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝0～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　実変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝1～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　実変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝2～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　複素変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　実変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝1/4～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝1/4～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝1/4～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝0～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　実変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝1～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　実変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝2～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　複素変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　第3種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) は、実軸上で一般に実数値をとらない。よって、実変数のグラフは描画しない。
　複素変数の第3種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第3種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第3種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第3種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第3種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第3種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　第4種扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) は、第3種と共役複素数の関係にあり、そのグラフは互いに実軸に対して鏡映反転し、符号の違いがあるだけである。よって描画は省略する。

扁平回転楕円体波動関数 (動径関数)

　扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) は、前述の扁長回転楕円体波動関数 (動径関数) においてなる変換を行ったものである。したがって扁平の場合の公式等は、扁長の場合のそれに同一の変換を行ったものに過ぎないので、ここでの詳しい説明は省略する。
　一般に扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) は、複素平面上に特異点を持つ無限多価関数であって、通常はに分枝切断線を置く。概形は、の付近では Legendre 陪関数 (Hobson 型) に近く、無限遠点の付近では Bessel 関数に近い。

　実変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝1/4～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝1/4～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝1/4～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝0～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　実変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝1～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　実変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝2～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　複素変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第1種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　実変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝1/4～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝1/4～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④。いずれも＝1/4～15 (+1/4)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  

　実変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝0～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　実変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝1～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　実変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①, ②, ③。いずれも＝2～10 (+1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　複素変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第2種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　第3種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) は、実軸上で一般に実数値をとらない。よって、実変数のグラフは描画しない。
　複素変数の第3種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第3種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第3種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第3種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第3種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　複素変数の第3種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。

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　第4種扁平回転楕円体波動関数 (動径関数) は、第3種と共役複素数の関係にあり、そのグラフは互いに実軸に対して鏡映反転し、符号の違いがあるだけである。よって描画は省略する。

回転楕円体波動固有値関数

　回転楕円体微分方程式

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における固有値を変数の関数と考え、回転楕円体波動固有値関数という。
　これは、極限のときにになり、このとき回転楕円体波動関数は第1種 Legendre 陪関数と、第2種 Legendre 陪関数に近づく解に分かれる。
　回転楕円体波動固有値関数の数値計算は、Mathieu 固有値関数と同様、無限次連分数方程式や三重対角行列の方程式を用いるのが便利である。三重対角行列法の場合は

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とするとき、

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となる。ここには、この頁の最初の項目でも述べたとおり、回転楕円体波動関数を Legendre 陪関数の級数に展開したときの係数である。

　実変数の回転楕円体波動固有値関数のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④, ⑤。いずれも＝0～9 (+0.1)。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  
• 　⑤
  

　実変数の回転楕円体波動固有値関数のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④, ⑤。いずれも＝0～8 (+0.1)。
　回転楕円体波動関数を扱う書籍に挿入されている固有値関数のグラフは、この形であることも多い。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  
• 　⑤
  

　実変数の回転楕円体波動固有値関数のグラフ。 順に、①, ②, ③, ④, ⑤。いずれも＝0～8 (+0.1)。
　この形は、極限によって Mathieu 固有値関数に近づく。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  
• 　④
  
• 　⑤
  

　複素変数の回転楕円体波動固有値関数のグラフ。

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　複素変数の回転楕円体波動固有値関数のグラフ。

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　複素変数の回転楕円体波動固有値関数のグラフ。

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　複素変数の回転楕円体波動固有値関数のグラフ。

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　複素変数の回転楕円体波動固有値関数のグラフ。

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　複素変数の回転楕円体波動固有値関数のグラフ。

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　複素変数の回転楕円体波動固有値関数のグラフ。

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　複素変数の回転楕円体波動固有値関数のグラフ。

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　複素変数の回転楕円体波動固有値関数のグラフ。

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　複素変数の回転楕円体波動固有値関数のグラフ。

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　複素変数の回転楕円体波動固有値関数のグラフ。

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　複素変数の回転楕円体波動固有値関数のグラフ。

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