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回転楕円体波動関数

偏長回転楕円体波動関数 (角度関数)

日:回転楕円体波動関数スフェロイド関数
英:Spheroidal wave function,仏:Fonctions d'ondes sphéroidale,独:Sphäroidfunktion

 Helmholtz の方程式を偏長回転楕円体座標で変数分離すると、角度 (angular) 成分、動径 (radial) 成分の満たす微分方程式は、それぞれ
  • 偏長回転楕円体微分方程式
になる。両者を併せて、偏長回転楕円体微分方程式という。また、扁平回転楕円体座標のときは全てにおいて
扁平回転楕円体への変換
なる変換を行えばよい。これらを総称して回転楕円体微分方程式といい、その解を回転楕円体波動関数という。このように、曲面座標系での変数分離によって生じる微分方程式が、複数の座標成分で本質的に同じになる性質は、楕円体関数系の特殊関数で顕著である。
 回転楕円体微分方程式は、z=±1に確定特異点、z=∞に1級の不確定特異点を持っており、超幾何微分方程式よりも特異点の個数が多い (不確定特異点は複数個の確定特異点が合流して生じる)。その解である回転楕円体波動関数の概形は、-1~+1の付近では Legendre 陪関数に近く、無限遠点の付近では Bessel 関数に近い。
 回転楕円体波動固有値関数の記号は固有値といい、これは極限γ→0のときにλ v,m(γ)→v(v+1)になり、さらにこのとき回転楕円体波動関数は第1種 Legendre 陪関数第1種Legendre陪関数の記号と、第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数の記号に近づく解に分かれる。この二つの解をそれぞれ第1種・第2種回転楕円体波動関数(角度関数)第1種・第2種回転楕円体波動関数(角度関数)と表記し、第1種・第2種回転楕円体波動関数 (角度関数) という。
 この関数記号及び以下に述べる定数規格化 (正規化) は、それを定義した数学者の名を取って「Meixner - Schäfke の規格化」と呼ばれる。このほかにも「Flammer の規格化」など、幾つかの定義があり関数記号も異なる。しかし、いずれも本質的な違いは定数倍だけであり、同一の微分方程式を満たす。
  回転楕円体波動関数 (角度関数) は、次のように Legendre 陪関数 (Ferrers 型) の級数に展開できる。
  • 回転楕円体波動関数(角度関数)
ここに回転楕円体波動関数の級数展開係数は次の漸化式を満たす。
  • 回転楕円体波動関数の級数展開係数の漸化式
 「Meixner - Schäfke の規格化」は、次の定義によって成される。
  • Meixner-Schafkeの規格化
 (整数次の) 第1種回転楕円体波動関数 (角度関数) は、直交性
  • 第1種回転楕円体波動関数(角度関数)の直交性
を有する。(n=n'の場合は、「Meixner - Schäfke の規格化」に含まれる。)
 回転楕円体波動関数 (角度関数) は、Legendre 陪関数と同様の公式
  • 回転楕円体波動関数(角度関数)の関係式
等を満たす。
 なお、μ=±1/2のときは代数的な Mathieu 関数に帰着される。また固有値回転楕円体波動固有値関数の記号は、ν,μ及びγの関数として表わされるが、詳細はこの頁の 「回転楕円体波動固有値関数」 を参照。
 一般に偏長回転楕円体波動関数 (角度関数) は、複素平面上z=±1,∞に特異点を持つ無限多価関数であって、通常は-∞~-1及び+1~+∞に分枝切断線を置く。
 回転楕円体波動関数はスフェロイド関数とも呼ばれ、境界が回転楕円体 (スフェロイド) である場合などの物理問題に現れる。Mathieu 関数と同様、主に音響学※1、電磁波の散乱理論などへの応用が知られるが、まだそれほど多くはない。また、数値計算が複雑なため※2、数表が作成されるようになったのは1950年代からである。

【註記】
※1:これの興味深い応用例として、耳が音源の方向を音波の回折や散乱によって感知する特性を研究する際に用いる擬似頭 (HATS:Head And Torso Simulator) を回転楕円体とみなし、頭部周辺の音波を回転楕円体波動関数で近似する方法がある。言い換えると、聴覚器官や脳がいかに複雑な処理をおこなっているかが伺えるような事例である。

※2:例えば、前述の漸化式をよく見ると、(通常は必要な) 初期項が定義されていない。これは理論的には規格化の積分式で決定される定数になるのだが、求めようとする関数が被積分関数になっているので、容易には求められない。そこで、漸化式を無限回反復したときの値を漸近評価し、漸化式を遡及してすべての係数を求める等、いくつかの代替方法がある。回転楕円体波動関数の他、楕円体関数系では皆このような複雑な計算が伴う。

第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号

 実変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ④第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもγ=0~15 (+1/4)。

 実変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ④第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもγ=0~15 (+1/4)。

 実変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ④第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもγ=0~15 (+1/4)。

 実変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもν=0~10 (+1)。

 実変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもν=1~10 (+1)。

 実変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもν=2~10 (+1)。

 複素変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (角度関数) 第1種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号のグラフ。
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第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号

 実変数の第2種偏長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ④第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもγ=0~15 (+1/4)。

 実変数の第2種偏長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ④第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもγ=0~15 (+1/4)。

 実変数の第2種偏長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ④第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもγ=0~15 (+1/4)。

 実変数の第2種偏長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもν=0~10 (+1)。

 実変数の第2種偏長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもν=1~10 (+1)。

 実変数の第2種偏長回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第2種偏長回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもν=2~10 (+1)。

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偏平回転楕円体波動関数 (角度関数)

 ここで取り扱う偏平回転楕円体波動関数 (角度関数) は、前述の偏長回転楕円体波動関数 (角度関数) においてγ→-iγなる変換を行ったものである。したがって偏平の場合の公式等は、偏長の場合のそれに同一の変換を行ったものに過ぎないので、ここでの詳しい説明は省略する。
 一般に偏平回転楕円体波動関数 (角度関数) は、複素平面上z=±1,∞に特異点を持つ無限多価関数であって、通常は-∞~-1及び+1~+∞に分枝切断線を置く。概形は、-1~+1の付近では Legendre 陪関数に近く、無限遠点の付近では変形 Bessel 関数に近い。
 偏平回転楕円体波動関数は、偏長の場合と同様の応用例がある。

第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号

 実変数の第1種偏平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号, ④第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもγ=0~15 (+1/4)。

 実変数の第1種偏平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号, ④第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもγ=0~15 (+1/4)。

 実変数の第1種偏平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号, ④第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもγ=0~15 (+1/4)。

 実変数の第1種偏平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもν=0~10 (+1)。

 実変数の第1種偏平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもν=1~10 (+1)。

 実変数の第1種偏平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第1種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもν=2~10 (+1)。

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第2種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号

 実変数の第2種偏平回転楕円体波動関数 (角度関数) のグラフ。 順に、①第2種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号, ②第2種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号, ③第2種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号, ④第2種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号。いずれもγ=0~15 (+1/4)。

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  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(角度)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種偏平回転楕円体波動関数 (角度関数) 第2種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号のグラフ。
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(角度)のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第2種偏平回転楕円体波動関数 (角度関数) 第2種偏平回転楕円体波動関数(角度)の記号のグラフ。
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(角度)のグラフ(複素変数)
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偏長回転楕円体波動関数 (動径関数)

 この頁の最初で述べたように、Helmholtz の方程式を偏長回転楕円体座標で変数分離した際の動径成分の満たす微分方程式は
  • 偏長回転楕円体微分方程式
となる。この微分方程式も、z=±1に確定特異点、z=∞に1級の不確定特異点を持っており、その解の概形が、-1~+1の付近では Legendre 陪関数に近く、無限遠点の付近では Bessel 関数に近いことも角度関数と変わりない。両者の相違点は、角度関数が近い Legendre 陪関数は Ferrers 型になり、動径関数では Hobson 型になることである。したがって一般に動径関数は、複素平面上z=±1,∞に特異点を持つ無限多価関数であって、通常は-1~+1に分枝切断線を置く。
 「Meixner - Schäfke の規格化」に基づく二つの回転楕円体波動関数 (動径関数)回転楕円体波動関数(動径関数)回転楕円体波動関数(動径関数)は、次のように第1種・第2種 球 Bessel 関数の級数に展開できる。
  • 第1種・第2種回転楕円体波動関数(動径関数)
このほか、Hankel 関数に倣って第3種と第4種
  • 第3種・第4種回転楕円体波動関数(動径関数)
が定義される。これらの関数は特に、
  • 回転楕円体波動関数(動径関数)の極限式
となり、∞付近での形状が簡単なため応用上便利である。
 回転楕円体波動関数 (動径関数) は、球 Bessel 関数の公式に似た
  • 回転楕円体波動関数(動径関数)の関係式
等を満たす (kは整数)。
 初等関数に還元される場合として
  • 回転楕円体波動関数(動径関数)が初等関数に還元される場合
となることが知られている。ここにnは自然数、kは整数であり、nが偶数(奇数) のときkも偶数(奇数) とする。
  Meixner - Schäfke によれば、次のように Legendre 陪関数を Hobson 型に変更した関数
  • 回転楕円体波動関数(動径関数)の他の定義
も定義される。ここに回転楕円体波動関数の級数展開係数は、この頁の最初の項目を参照。このとき、回転楕円体波動関数 (動径関数) との関係は、
  • 回転楕円体波動関数(動径関数)との関係式
のように線形結合となる。すなわち回転楕円体波動関数(動径関数)の記号回転楕円体波動関数(動径関数)の記号も、前述の動径成分の微分方程式を満たす、回転楕円体波動関数 (動径関数) である。ここに
  • 回転楕円体波動関数(動径関数)との関係係数
である。

第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号

 実変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ④第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもγ=1/4~15 (+1/4)。

 実変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ④第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもγ=1/4~15 (+1/4)。

 実変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ④第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもγ=1/4~15 (+1/4)。

 実変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもν=0~10 (+1)。

 実変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもν=1~10 (+1)。

 実変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもν=2~10 (+1)。

 複素変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) 第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) 第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) 第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
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 複素変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) 第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
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 複素変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) 第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
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 複素変数の第1種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) 第1種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
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第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号

 実変数の第2種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ④第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもγ=1/4~15 (+1/4)。

 実変数の第2種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ④第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもγ=1/4~15 (+1/4)。

 実変数の第2種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ④第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもγ=1/4~15 (+1/4)。

 実変数の第2種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもν=0~10 (+1)。

 実変数の第2種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもν=1~10 (+1)。

 実変数の第2種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもν=2~10 (+1)。

 複素変数の第2種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
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  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第2種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
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  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号

 第3種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) は、実軸上で一般に実数値をとらない。よって、実変数のグラフは描画しない。
 複素変数の第3種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第3種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第3種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
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  • 第3種偏長回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

第4種偏長回転楕円体波動関数(動径)の記号

 第4種偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) は、第3種と共役複素数の関係にあり、そのグラフは互いに実軸に対して鏡映反転し、符号の違いがあるだけである。よって描画は省略する。

偏平回転楕円体波動関数 (動径関数)

 偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) は、前述の偏長回転楕円体波動関数 (動径関数) においてγ→-iγ, z→izなる変換を行ったものである。したがって偏平の場合の公式等は、偏長の場合のそれに同一の変換を行ったものに過ぎないので、ここでの詳しい説明は省略する。
 一般に偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) は、複素平面上z=±i,∞に特異点を持つ無限多価関数であって、通常は-i~+iに分枝切断線を置く。概形は、-i~+iの付近では Legendre 陪関数 (Hobson 型) に近く、無限遠点の付近では Bessel 関数に近い。

第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号

 実変数の第1種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ④第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもγ=1/4~15 (+1/4)。

 実変数の第1種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ④第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもγ=1/4~15 (+1/4)。

 実変数の第1種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ④第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもγ=1/4~15 (+1/4)。

 実変数の第1種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもν=0~10 (+1)。

 実変数の第1種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもν=1~10 (+1)。

 実変数の第1種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもν=2~10 (+1)。

 複素変数の第1種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) 第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第1種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) 第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
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  • 第1種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号

 実変数の第2種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ④第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもγ=1/4~15 (+1/4)。

 実変数の第2種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ④第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもγ=1/4~15 (+1/4)。

 実変数の第2種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ④第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもγ=1/4~15 (+1/4)。

 実変数の第2種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもν=0~10 (+1)。

 実変数の第2種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもν=1~10 (+1)。

 実変数の第2種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) のグラフ。 順に、①第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ②第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号, ③第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号。いずれもν=2~10 (+1)。

 複素変数の第2種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第2種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号

 第3種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) は、実軸上で一般に実数値をとらない。よって、実変数のグラフは描画しない。
 複素変数の第3種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号のグラフ。
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

第4種偏平回転楕円体波動関数(動径)の記号

 第4種偏平回転楕円体波動関数 (動径関数) は、第3種と共役複素数の関係にあり、そのグラフは互いに実軸に対して鏡映反転し、符号の違いがあるだけである。よって描画は省略する。

回転楕円体波動固有値関数

 回転楕円体微分方程式
  • 回転楕円体微分方程式
における固有値回転楕円体波動固有値関数の記号を変数γの関数と考え、回転楕円体波動固有値関数という。
 これは、極限γ→0のときにλ v,m(γ)→v(v+1)になり、このとき回転楕円体波動関数は第1種 Legendre 陪関数第1種Legendre陪関数の記号と、第2種 Legendre 陪関数第2種Legendre陪関数の記号に近づく解に分かれる。
 回転楕円体波動固有値関数の数値計算は、Mathieu 固有値関数と同様、無限次連分数方程式や三重対角行列の方程式を用いるのが便利である。三重対角行列法の場合は
  • 回転楕円体波動関数の級数展開係数
とするとき、
  • 回転楕円体波動固有値関数の計算(無限次元行列)
となる。ここに回転楕円体波動関数の級数展開係数は、この頁の最初の項目でも述べたとおり、回転楕円体波動関数を Legendre 陪関数の級数に展開したときの係数である。

回転楕円体波動固有値関数の記号

 実変数の回転楕円体波動固有値関数のグラフ。 順に、①回転楕円体波動固有値関数の記号, ②回転楕円体波動固有値関数の記号, ③回転楕円体波動固有値関数の記号, ④回転楕円体波動固有値関数の記号, ⑤回転楕円体波動固有値関数の記号。いずれもν=0~9 (+0.1)。

 実変数の回転楕円体波動固有値関数のグラフ。 順に、①回転楕円体波動固有値関数の記号, ②回転楕円体波動固有値関数の記号, ③回転楕円体波動固有値関数の記号, ④回転楕円体波動固有値関数の記号, ⑤回転楕円体波動固有値関数の記号。いずれもν=0~8 (+0.1)。
 回転楕円体波動関数を扱う書籍に挿入されている固有値関数のグラフは、この形であることも多い。

 実変数の回転楕円体波動固有値関数のグラフ。 順に、①回転楕円体波動固有値関数の記号, ②回転楕円体波動固有値関数の記号, ③回転楕円体波動固有値関数の記号, ④回転楕円体波動固有値関数の記号, ⑤回転楕円体波動固有値関数の記号。いずれもν=0~8 (+0.1)。
 この形は、極限によって Mathieu 固有値関数に近づく。

 複素変数の回転楕円体波動固有値関数回転楕円体波動固有値関数の記号のグラフ。
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の回転楕円体波動固有値関数回転楕円体波動固有値関数の記号のグラフ。
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の回転楕円体波動固有値関数回転楕円体波動固有値関数の記号のグラフ。
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の回転楕円体波動固有値関数回転楕円体波動固有値関数の記号のグラフ。
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の回転楕円体波動固有値関数回転楕円体波動固有値関数の記号のグラフ。
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の回転楕円体波動固有値関数回転楕円体波動固有値関数の記号のグラフ。
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の回転楕円体波動固有値関数回転楕円体波動固有値関数の記号のグラフ。
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の回転楕円体波動固有値関数回転楕円体波動固有値関数の記号のグラフ。
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の回転楕円体波動固有値関数回転楕円体波動固有値関数の記号のグラフ。
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の回転楕円体波動固有値関数回転楕円体波動固有値関数の記号のグラフ。
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)

 複素変数の回転楕円体波動固有値関数回転楕円体波動固有値関数の記号のグラフ。
  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
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  • 第3種偏平回転楕円体波動関数(動径)のグラフ(複素変数)
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 複素変数の回転楕円体波動固有値関数回転楕円体波動固有値関数の記号のグラフ。
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