特殊関数 Menu

Laguerre 関数

Laguerre 関数

日:Laguerre関数ラゲール関数
英:Laguerre function,仏:Fonction de Laguerre,独:Laguerre-funktion

 二階線形常微分方程式
  • Laguerreの陪微分方程式
の基本解であるLaguerre陪関数の記号を、第1種・第2種 Laguerre 陪関数といい、このうちa=0のときを、第1種・第2種 Laguerre 関数という。その場合、Laguerre陪関数の記号は単にLaguerre関数の記号と表記するのが慣例となっている。
 特に、第1種 Laguerre 陪関数は、vが負でない整数nのときは Laguerre 陪多項式となり、具体的には
  • Laguerre陪多項式
のように表わされる。これらの多項式は、母関数表示や Rodrigues の公式
  • Laguerre陪多項式の定義
によっても簡潔に表わせる。また、Laguerre 陪多項式は直交多項式でもあるが、この点については後述する。
 第1種 Laguerre 陪関数は、合流型超幾何関数を用いて(実質、合流型超幾何関数として)
  • Laguerre陪関数と合流型超幾何関数との関係
と表わされる。またa=1/2のとき、第1種 Laguerre 陪関数は Hermite 関数と関係がある。
 一方、第2種 Laguerre 陪関数も合流型超幾何関数を用いて
  • 第2種Laguerre陪関数の定義
と表わされる。なお、第2種 Laguerre 陪関数はほとんど応用面がないこともあって、定義自体されないことが多い。したがって、それが仮に定義されていても、上記と同等である可能性はほとんどない (超幾何関数系の第2種関数の定義方法に対する当サイトでの方針は、別頁「Questions」を参照)。
 なお、一般に Laguerre 陪関数は、複素平面上z=0,∞に特異点を持ち、通常は-∞~0に分枝切断線を置く。また、v次の Laguerre 陪関数は、線形漸化式によってv-1次およびv-2次の Laguerre 陪関数で表わせる。
 応用上は専ら Laguerre 陪多項式が使用され、特に、量子力学における水素原子中の電子の存在確率を表わす波動関数に現れることで有名である(詳細は、別頁「特殊関数応用編」を参照)。

第1種Laguerre関数の記号

 実変数の第1種 Laguerre 関数のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②非整数次v=0~9 (+0.2)。③非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の第1種 Laguerre 関数第1種Laguerre関数の記号のグラフ。
  • 第1種Laguerre関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Laguerre 関数第1種Laguerre関数の記号のグラフ。
  • 第1種Laguerre関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre関数のグラフ(複素変数)

第2種Laguerre関数の記号

 実変数の第2種 Laguerre 関数のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②非整数次v=0~9 (+0.2)。③非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の第2種 Laguerre 関数第2種Laguerre関数の記号のグラフ。
  • 第2種Laguerre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Laguerre 関数第2種Laguerre関数の記号のグラフ。
  • 第2種Laguerre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre関数のグラフ(複素変数)

Laguerre 陪関数

 第1種・第2種 Laguerre 陪関数は通常、a=0でない場合をいう。なお、希に第1種 Laguerre 陪関数を、Sonin 関数と呼ぶことがある。しかし、E. N. Laguerre はa=0の場合のみを研究したのであって、陪関数を初めて定義したのは、むしろ N. Y. Sonin のほうである。1880年に Sonin は、第1種 Bessel 関数を含む関数を冪級数に展開したときの係数として、第1種 Laguerre 陪関数が次のように現れることを発見した。
  • Laguerre陪関数の母関数としての第1種Bessel関数
 Laguerre 陪関数についてのその他の概要は、既に冒頭でふれたので省略する。

第1種Laguerre陪関数の記号

 実変数の第1種 Laguerre 陪関数第1種Laguerre陪関数の記号のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②非整数次v=0~9 (+0.2)。③非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の第1種 Laguerre 陪関数第1種Laguerre陪関数の記号のグラフ。
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Laguerre 陪関数第1種Laguerre陪関数の記号のグラフ。
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)

 実変数の第1種 Laguerre 陪関数第1種Laguerre陪関数の記号のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②非整数次v=0~9 (+0.2)。③非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の第1種 Laguerre 陪関数第1種Laguerre陪関数の記号のグラフ。
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Laguerre 陪関数第1種Laguerre陪関数の記号のグラフ。
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)

第2種Laguerre陪関数の記号

 実変数の第2種 Laguerre 陪関数第2種Laguerre陪関数の記号のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②非整数次v=0~9 (+0.2)。③非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の第2種 Laguerre 陪関数第2種Laguerre陪関数の記号のグラフ。
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Laguerre 陪関数第2種Laguerre陪関数の記号のグラフ。
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)

 実変数の第2種 Laguerre 陪関数第2種Laguerre陪関数の記号のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②非整数次v=0~9 (+0.2)。③非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の第2種 Laguerre 陪関数第2種Laguerre陪関数の記号のグラフ。
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Laguerre 陪関数第2種Laguerre陪関数の記号のグラフ。
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)

Laguerre 陪関数(正規化)

 第1種 Laguerre 陪関数は、次数vが負でない整数m, nのときは Laguerre 陪多項式となり、直交性
  • 第1種Laguerre陪関数の直交性
を有する。このため任意の関数は、区間(0, +∞)において 第1種 Laguerre 陪関数の無限級数に展開可能である。通常、直交関数系の理論では、m=nの場合に積分値が1になるように定数倍の調節をする。(これを正規化という。)
 これに示唆を受けて、ここでは始めから正規化され、次数vも整数に限らないとした関数
  • (正規化)Laguerre陪関数の定義
を定義する。これを用いれば先の積分は
  • (正規化)Laguerre陪関数の直交性
となる(この関数記号は、正規化の旨を明示するため独自に導入したものである)。

(正規化)Laguerre陪関数の記号

 実変数の(正規化)第1種 Laguerre 陪関数(正規化)Laguerre陪関数の記号のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②非整数次v=0~9 (+0.2)。③非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の(正規化)第1種 Laguerre 陪関数(正規化)Laguerre陪関数の記号のグラフ。
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の(正規化)第1種 Laguerre 陪関数(正規化)Laguerre陪関数の記号のグラフ。
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)

 実変数の(正規化)第1種 Laguerre 陪関数(正規化)Laguerre陪関数の記号のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②非整数次v=0~9 (+0.2)。③非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の(正規化)第1種 Laguerre 陪関数(正規化)Laguerre陪関数の記号のグラフ。
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の(正規化)第1種 Laguerre 陪関数(正規化)Laguerre陪関数の記号のグラフ。
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Laguerre陪関数のグラフ(複素変数)

Laguerre 次数関数

 Laguerre 関数は、次数を変数と考えることもできる。すなわちzを変数とするときの
Laguerre次数関数の記号
である。それらは冪級数展開式の形によれば、ガンマ関数の逆数やポリガンマ関数の無限和とも解釈できるが、「Laguerre 次数関数」と称し、この頁で取り扱うこととする。また、Laguerre 関数の公式の多くが、形を変えずに変数と次数の意味を交換するだけで、そのまま Laguerre 次数関数の公式とすることができる。特に、次数に関する漸化式
  • Laguerre次数関数の関数等式
は、Laguerre 次数関数の関数等式と解釈できる。

第1種Laguerre次数関数の記号

 実変数の第1種 Laguerre 次数関数第1種Laguerre次数関数の記号のグラフ。α=-5~5 (+0.2)。
  • 第1種Laguerre次数関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種 Laguerre 次数関数第1種Laguerre次数関数の記号のグラフ。
  • 第1種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Laguerre 次数関数第1種Laguerre次数関数の記号のグラフ。
  • 第1種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)

第2種Laguerre次数関数の記号

 実変数の第2種 Laguerre 次数関数第2種Laguerre次数関数の記号のグラフ。α=0~5 (+0.2)。
  • 第2種Laguerre次数関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第2種 Laguerre 次数関数第2種Laguerre次数関数の記号のグラフ。
  • 第2種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Laguerre 次数関数第2種Laguerre次数関数の記号のグラフ。
  • 第2種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Laguerre次数関数のグラフ(複素変数)

特殊関数 Menu