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保型関数

数論的保型関数

 Klein の楕円モジュラー関数Klein楕円モジュラー関数の記号は、特殊線形群特殊線形群の変換に対して不変な保型関数である。楕円モジュラー関数は上半平面上で周期関数となり、付随するモジュラー形式が尖点形式を含むなどの良い性質を持っているため、数論のあらゆる分野で現れる最も重要な保型関数となる。
 John Garrett Leo の論文「Fourier Coefficients of Triangle Functions」(2008, Univ. of California, Los Angeles) によると、楕円モジュラー関数と同様に基本領域がコンパクトでない (その頂点の少なくとも1個が無限遠点または実軸上にある) 不連続群に関する保型関数が、前述のような 「数論的」 保型関数になる例は極めて少なく、楕円モジュラー関数の他は、不連続群が特殊線形群特殊線形群である場合、すなわち
  • 数論的保型関数の変換行列
の合成変換全体に対して不変な保型関数数論的保型関数の記号が知られている。同じ変換における保型形式が尖点形式を含むような例は、このうちのm=3,4,6,∞しかない。Klein の楕円モジュラー関数はm=3の場合である。これらの保型関数を、ここでは数論的保型関数と呼ぶこととする※1。以下の定義も、John Garrett Leo の同論文による。
 特殊線形群特殊線形群に関する Eisenstein 級数を
  • 数論的Eisenstein級数のFourier級数
と定義する。もしm=4, 6ならば、係数は
  • Fourier級数の係数
と表わされる。ここに、qm,Mである。
 数論的保型関数は、
数論的保型関数の定義
と定義される、前述の変換変換T,Sに対して不変な保型関数である。すなわち、関数等式
  • 数論的保型関数の保型性
を満たす。また、基本領域の円弧三角形の各頂点において、次の特殊値をとる。
  • 数論的保型関数の特殊値
また、m=∞の場合は、Klein の楕円モジュラー関数 (すなわちm=3の場合) と
  • 数論的保型関数とKlein楕円モジュラー関数との関係
の関係にある。

【註記】
※1:「数論的であること」 の意味を厳密に説明することは難しい。特殊線形群に関する上記内容のより詳しい説明が、数学セミナー Vol.37, No.8 (1998年8月号) の 「セルバーグ予想」 にある。なお、この記事によると、特殊線形群は Hecke の三角群と呼ぶようである。

数論的保型関数の記号

 実数値をとる直線上、および複素変数の数論的保型関数数論的保型関数の記号のグラフ。
  • 数論的保型関数のグラフ(実数値)
  • 数論的保型関数のグラフ(複素変数)
  • 数論的保型関数のグラフ(複素変数)
  • 数論的保型関数のグラフ(複素変数)
  • 数論的保型関数のグラフ(複素変数)
  • 数論的保型関数のグラフ(複素変数)

 実数値をとる直線上、および複素変数の数論的保型関数数論的保型関数の記号のグラフ。
  • 数論的保型関数のグラフ(実数値)
  • 数論的保型関数のグラフ(複素変数)
  • 数論的保型関数のグラフ(複素変数)
  • 数論的保型関数のグラフ(複素変数)
  • 数論的保型関数のグラフ(複素変数)
  • 数論的保型関数のグラフ(複素変数)

 実数値をとる直線上、および複素変数の数論的保型関数数論的保型関数の記号のグラフ。
  • 数論的保型関数のグラフ(実数値)
  • 数論的保型関数のグラフ(複素変数)
  • 数論的保型関数のグラフ(複素変数)
  • 数論的保型関数のグラフ(複素変数)
  • 数論的保型関数のグラフ(複素変数)
  • 数論的保型関数のグラフ(複素変数)

数論的尖点形式

 数論的尖点形式は、数論的保型関数の定義式における分母、すなわち
  • 数論的尖点形式の定義
で定義される。基本領域の双曲三角形の各頂点において、零点となる。

数論的尖点形式の記号

 実数値をとる直線上、および複素変数の数論的尖点形式数論的尖点形式の記号のグラフ。3番目は、垂直軸を常用対数目盛にした場合。
  • 数論的尖点形式のグラフ(実数値)
  • 数論的尖点形式のグラフ(複素変数)
  • 数論的尖点形式のグラフ(複素変数)
  • 数論的尖点形式のグラフ(複素変数)
  • 数論的尖点形式のグラフ(複素変数)
  • 数論的尖点形式のグラフ(複素変数)
  • 数論的尖点形式のグラフ(複素変数)

 実数値をとる直線上、および複素変数の数論的尖点形式数論的尖点形式の記号のグラフ。3番目は、垂直軸を常用対数目盛にした場合。
  • 数論的尖点形式のグラフ(実数値)
  • 数論的尖点形式のグラフ(複素変数)
  • 数論的尖点形式のグラフ(複素変数)
  • 数論的尖点形式のグラフ(複素変数)
  • 数論的尖点形式のグラフ(複素変数)
  • 数論的尖点形式のグラフ(複素変数)
  • 数論的尖点形式のグラフ(複素変数)

Schwarz の保型関数

日:保型関数
英:Automorphic function,仏:Fonction automorphe,独:Automorphe funktion

 楕円モジュラー関数の所での説明と重複するが、保型関数とは、不連続群不連続群Γが特殊線形群によって
  • 不連続群の定義
と表わされるとき、二つの条件
*すべての不連続群Γに対して、関数等式(保型性)を満たす。
f(τ)は、任意の尖点の周りで有理型である。

を満たす、上半平面上半平面H上の有理型関数有理型関数fのことである (このサイトでは、上半平面Hをある一次分数変換で単位円の内部や外部に移した場合の保型関数も、有理型関数fと本質的に同じ関数とみなす)。その存在領域の自然境界である実軸 (または単位円) を常に不変にする不連続群Γは、特別に Fuchs 群と呼ばれ、それに関する保型関数は Fuchs 関数と呼ばれる。前述の数論的保型関数や楕円モジュラー関数は、Fuchs 関数の特殊な場合である。
 上記において、不連続群Γに関する保型関数有理型関数fの存在領域を上半平面Hに限らなければ、保型関数の範囲はさらに広くなる。例えば、基本領域のいくつかの辺が不変実軸 (または不変単位円周)上になる Fuchs 群の保型関数では、複素平面全体を存在領域とし自然境界を持たない (自然境界が退化して Cantor 集合状の孤立特異点を持つ) ようになる。またこの他にも、不連続群Γが実軸等を不変にしない一次分数変換から成る Klein 群に関する保型関数では、自然境界や孤立特異点列がフラクタル形状になる。これらの最も広い意味での保型関数は、Poincaré 級数
  • Poincare級数
の二つの商によって表わされる。下図では、そのような広義の保型関数が持つ基本領域の形状を例示する。
広義の保型関数が持つ基本領域の形状
①自然境界がフラクタル形状になるKlein群。 ②複素平面全体を覆うFuchs群。 ③複素平面全体を覆うKlein群。

 楕円モジュラー関数ではない保型関数の最初の例は、K. H. A. Schwarz の研究に端を発する。Gauss の超幾何微分方程式
  • Gaussの超幾何微分方程式
の線形独立な二つの解を超幾何微分方程式の2つの形式的基本解とするとき、これらを、Riemann 面上の閉曲線に沿って解析接続すれば
  • 超幾何微分方程式の解の形式的表現
の形に変わることが、線形微分方程式論から保証される。よって、二つの解の比保型関数の逆関数の逆関数は、
保型関数の保型性
を満たす。このとき保型関数χ(z)の基本領域は、一般に円弧三角形の任意の一辺に対して鏡映した円弧四角形となる。さらに、この円弧三角形で Euclid 平面あるいは非 Euclid 平面が一重に敷き詰められるよう、円弧三角形ABCの内角をそれぞれ
  • 円弧三角形の内角
として超幾何微分方程式の超幾何微分方程式の定係数を決めるとき、保型関数χ(z)は一価有理型関数となる。このとき
①:a,b,cの満たす不等式保型関数χ(z)は初等有理関数 (Galois 的有理関数)、定義域は楕円型非 Euclid 平面。
②:a,b,cの満たす等式保型関数χ(z)楕円関数、定義域は Euclid 平面。
③:a,b,cの満たす不等式保型関数χ(z)は保型関数、定義域は双曲型非 Euclid 平面 (円の内部)。

となる。①, ②の場合は有限種類しかないが、③は無限にある。③は前述の Fuchs 関数のさらに特殊な例で、Schwarz の保型関数あるいは三角形関数と呼ばれ、円の内部を存在領域とする一価有理型関数となる。ただし、Schwarz の研究目的は①の探求にあったので、未知の超越関数③が保型関数であることを明確には認識していない。程なくして、F. Klein、H. Poincaré 等によって③の研究が進展し、保型関数に新たな種類が加わることになった。(なお、前述のとおり保型関数は③以外の種類もある。③のように円弧多角形が三辺形の場合では、Klein 群のようなフラクタル形状の自然境界は生じない。)
 単位円内部における Schwarz の保型関数の一つをSchwarzの保型関数の記号s2とする。これは、円弧三角形の頂点をA,B,Cとするとき、Aが原点、Bが実数でない第1象限内、Cが正の実軸上にあり、その頂点での内角はそれぞれ前述のとおりであるとき、zAGothic-b位の零点、zBGothic-c位の極、zCGothic-a位の鞍点を持つものとする。そのとき、Schwarzの保型関数の記号s2の逆関数は、具体的に超幾何関数を用いて
  • Schwarzの保型関数s2の定義
と表わされる。ここにδは、存在領域が (任意半径の円ではなく) 単位円となるようにするために必要な定数因子である。
 Schwarzの保型関数の記号s2に、原点を中心とする回転と、実軸上の (双曲幾何的) 平行移動とを合成した変換を施して、zAGothic-a位の鞍点、zBGothic-b位の零点、zCGothic-c位の極を持つ Schwarz の保型関数Schwarzの保型関数の記号sを定めることができる。ここではこれを採用する。なお、Schwarzの保型関数の記号s2Schwarzの保型関数の記号sの違いを図示すると次のようになる。
  • Schwarzの保型関数s2
  • Schwarzの保型関数s1
 頂点 B, Cを表わす具体的な複素数は、Schwarzの保型関数の記号sの場合では
  • 頂点B,Cの座標
となる。また、頂点A,B,Cのまわりでの変換変換Ta,Tb,Tcをそれぞれ
  • 変換Ta,Tb,Tcの定義
とすれば、Schwarzの保型関数の記号sの基本領域を他の基本領域へ繰り返し写像することができる。
 なお、単位円内部における Schwarz の保型関数Schwarzの保型関数の記号sを、上半平面上半平面H上における Schwarz の保型関数Schwarzの保型関数の記号s (上半平面上)に変換する場合は、
Schwarzの保型関数sの定義域の変換
を用いればよい。この変換は、楕円モジュラー関数の所で採用した、上半平面上半平面H上から単位円内部への変換
ケーリー変換
の逆変換である。
 Schwarz の保型関数は、特別な場合として Klein の楕円モジュラー関数になる場合
Klein楕円モジュラー関数との関係
を含む。
 Schwarz の保型関数における円弧三角形の変換群は、三角形群 (triangle group) と呼ばれる。特に、(2,3,7)-triangle group や (2,3,8)-triangle group は、Klein、A. Hurwitz 等が群論的アプローチで代数曲面や位相幾何学を論じた際に用いられた。

Schwarzの保型関数の記号

 複素変数の Schwarz の保型関数Schwarzの保型関数の記号(存在領域は上半平面)のグラフ。
  • Schwarzの保型関数のグラフ(複素変数)
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  • Schwarzの保型関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の Schwarz の保型関数Schwarzの保型関数の記号(存在領域は単位円内部)のグラフ。
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 基本領域が円弧多角形であることを、特に示したグラフ。
  • Schwarzの保型関数のグラフ(基本領域)

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 基本領域が円弧多角形であることを、特に示したグラフ。
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 基本領域が円弧多角形であることを、特に示したグラフ。
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 基本領域が円弧多角形であることを、特に示したグラフ。
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 基本領域が円弧多角形であることを、特に示したグラフ。
  • Schwarzの保型関数のグラフ(基本領域)

 アニメーション(10.40MB)
 複素変数の Schwarz の保型関数Schwarzの保型関数の記号のグラフ。すべての基本領域は、"双曲幾何的な" 合同であることが分かる。
  • Schwarzの保型関数のグラフ(複素変数:動画)

Klein円板上への写像

 Klein 円板も、Poincaré 円板と同様に双曲的非 Euclid 平面を視覚化する正当な幾何学モデルであるが、等角写像的ではない。(平行線公準は Klein 円板の方が理解しやすい。Klein 円板の理論的背景については、伊藤忠夫氏のサイト 「双曲的非ユークリッドの世界と8字ノット」 http://web1.kcn.jp/hp28ah77/jp3_poinc.htm を参照願います。)
 次の関数K(z)は、Klein 円板上の複素数zを Poincaré 円板上に変換する、非正則な関数である。
K(z)の定義式
 Schwarzの保型関数の記号のグラフ。つまり、Schwarz の保型関数Schwarzの保型関数の記号を Klein 円板上に写像する。Poincaré 円板上では、2点間の "最短距離" を与える線分 (=測地線) が、単位円と直交する円弧 (単位円の中心を通る場合のみ直線) であったが、Klein 円板上ではすべての測地線が (見た目にも) 直線になることが分かる。
  • Schwarzの保型関数のグラフ(Klein円板上)
  • Schwarzの保型関数のグラフ(Klein円板上)
  • Schwarzの保型関数のグラフ(Klein円板上)

 因みに、双曲的非 Euclid 幾何学の平面モデルである Klein 円板、Poincaré 円板、および上半平面を最も早く発見したのは E. Beltrami (1868年) である。他にも曲面モデルとして擬球、(二葉)回転双曲面があり、各モデルの相互関係等についても前掲のサイトに詳しい説明がある。

Galois 的有理関数

 前述のように、保型関数保型関数χ(z)の基本領域の元となる円弧三角形ABCの内角が、それぞれ
  • 円弧三角形の内角
であるとき、条件式
初等関数となる場合の条件
を満たすならば、円弧三角形ABCを一重に敷き詰められるような定義域zは、楕円型非 Euclid 平面 (これは複素球面(=Riemann 球面)と同一視できる) となり、保型関数χ(z)は初等有理関数となる。この特別な保型関数を Galois 的有理関数※1という。
 Schwarz, Klein 等の研究を経て、具体的な Galois 的有理関数の式が次のように求められている。
  • Galois的有理関数の定義
 Galois 的有理関数は、三次元特殊直交群の有限部分群である巡回群巡回群,2面体群二面体群,正4面体群4面体群,正8面体群8面体群,正20面体群20面体群と関係がある。すなわち自己同型群自己同型群を、Galois 的有理関数有理型関数fの Galois 群とするとき
  • Galois的有理関数とGalois群との関係
となる。
 なお、正6面体、正12面体に対応する Galois 的有理関数は、
  • Galois的有理関数の定義
である。(以下のグラフにおいて、Galois的有理関数gl1は簡単すぎるので描画しない。)
 特に、ある一次分数変換によってGalois的有理関数gl2(z,3)を移すと得られる Galois 的有理関数
他のGalois的有理関数の定義
は、Klein の楕円モジュラー関数と楕円モジュラー・ラムダ関数を結ぶ関係式
  • Galois的有理関数によって結ばれた関係
の有理関数部分として現れる。

【註記】
※1:これはあまり一般的な名称ではないが、例えば 難波 誠 著 「複素関数 三幕劇」 (朝倉書店1990年) で使用されている。ここでの記述もこの書籍に基づく。ただし、記号記号glは独自に設定したものである。

Galois的有理関数の記号Galois的有理関数の記号

 複素変数の Galois 的有理関数Galois的有理関数の記号のグラフ。
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Galois的有理関数の記号Galois的有理関数の記号

 以下では、Galois 的有理関数を Riemann 球面上に写像した場合のグラフを掲載する。この場合、楕円型非 Euclid 平面上の保型関数としての Galois 的有理関数の素性 (正多面体との関連性) が一目瞭然となる。
 Riemann 球面にはいくつかの流儀があるが、ここでは、複素平面上の単位円を共有する半径1の球を Riemann 球面とし、(この球を地球に喩えれば) 複素平面から Riemann 球面への写像は、無限遠点を北極点に、原点を南極点に、単位円を赤道に移すものを採用している。換言すれば、北極点からの極射影によって Riemann 球面上の点を複素平面上に射影した点が、写像元の点となる (下図 ①,②)。
 なお、以降のグラフでは、視覚補助用の球面を重ねて描画しているが、その凡例は ③ のとおりとする。
 さらに、見やすい形状の曲面になるよう、以降のグラフでは関数値に任意定数を足して Riemann 球面の中心から離れるようにしている。例えば、各々1番目のグラフは、球の中心から関数の零点がある位置までの距離が、この定数に相当する。(この処理をしないと、零点はすべて球の中心付近に集まり、曲面の起伏が激しくなるため非常に見づらくなる。)

*******

 複素変数の Galois 的有理関数Galois的有理関数の記号を Riemann 球面上に変換したグラフ。2番目は絶対値を無視し球面上に偏角を彩色しただけの場合。3番目は絶対値を常用対数化した場合。(以下同様。)
  • Galois的有理関数のグラフ(Riemann球面上)
  • Galois的有理関数のグラフ(Riemann球面上)
  • Galois的有理関数のグラフ(Riemann球面上)

 複素変数の Galois 的有理関数Galois的有理関数の記号を Riemann 球面上に変換したグラフ。
  • Galois的有理関数のグラフ(Riemann球面上)
  • Galois的有理関数のグラフ(Riemann球面上)
  • Galois的有理関数のグラフ(Riemann球面上)

 複素変数の Galois 的有理関数Galois的有理関数の記号を Riemann 球面上に変換したグラフ。
  • Galois的有理関数のグラフ(Riemann球面上)
  • Galois的有理関数のグラフ(Riemann球面上)
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 複素変数の Galois 的有理関数Galois的有理関数の記号を Riemann 球面上に変換したグラフ。
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 複素変数の Galois 的有理関数Galois的有理関数の記号を Riemann 球面上に変換したグラフ。
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 複素変数の Galois 的有理関数Galois的有理関数の記号を Riemann 球面上に変換したグラフ。
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