合流型超幾何関数：特殊関数グラフィックスライブラリー Special Functions

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合流型超幾何関数

日：合流型超幾何関数
英：Confluent hypergeometric function，仏：Fonction hypergéométrique confluente
独：Konfluente hypergeometrische funktion

　二階線形常微分方程式

を、(Kummer の)合流型超幾何微分方程式という。これは、超幾何微分方程式の確定特異点

のうち、1を

と合流させ、１級の不確定特異点にした微分方程式である。この解を合流型超幾何関数という。
　そのうち、原点で有限となる基本解

を、第1種合流型超幾何関数という。特に、この級数は合流型超幾何級数と呼ばれ、その収束半径は

である。記号

は、Pochhammer 記号が分子に１個、分母に１個あることを示している。第1種合流型超幾何関数は、

が負の整数－

のとき、

次の多項式(Laguerre 陪多項式と本質的に同じ)となる。
　第1種合流型超幾何関数に対して、ガンマ関数因子に由来する不定性を取り除いた｢正規化された合流型超幾何関数｣

は、数値計算等で好都合なため多用される。
　一方、原点で無限大となる、

とは線形独立な基本解

を、第2種合流型超幾何関数という。ただし、

の値によって発散する場合は極限をとる。この極限によって生じる無限級数は対数項を含む。また、別の形

も、ここでは第2種合流型超幾何関数として採用する (第2種 Laguerre 陪関数から類推される独自定義の関数。超幾何関数系の第2種関数の定義方法に対する当サイトでの方針は、別頁「Questions」を参照)。これも発散する場合は極限をとり、その無限級数は対数項を含む。
　

が１だけ異なる３個の合流型超幾何関数は、種々の線形漸化式で結ばれる。これは元々超幾何関数が満たす「隣接関係式」に由来する。合流型超幾何関数の特殊形として表わされる関数は非常に多く、Laguerre 陪関数、Hermite 関数、Bessel 関数、不完全ガンマ関数などがある。
　合流型超幾何関数は、積分表示式

で表わされ、逆にこれをもって合流型超幾何関数の定義とする場合もある。この積分は

を変数と見た場合、明らかにガンマ関数やベータ関数の拡張にもなっている。合流型超幾何関数は、この他にも様々な積分表示式で表わせることが知られている。
　一般に合流型超幾何関数は、複素平面上

に特異点を持つ無限多価関数であって、通常は

に分枝切断線を置く。
　合流型超幾何関数は、単独で物理学等に用いられることは少なく、むしろ応用上重要な種々の特殊関数どうしの関係、特殊関数の一般論が問題となる場合に用いられることが多い。
　歴史的背景については、超幾何関数と発展をともにしているので、詳細は「超幾何関数」の概要に譲る。

　実変数の第1種合流型超幾何関数のグラフ。順に、①

：

＝－6～6 (+0.2)。②

：

＝－6～6 (+0.2)。③

：

＝－5.8～6 (+0.2)。④

：

＝－5.8～6 (+0.2)。

　複素変数の第1種合流型超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第1種合流型超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第1種合流型超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第1種合流型超幾何関数

のグラフ。

　実変数の第2種合流型超幾何関数のグラフ。順に、①

：

＝－6～6 (+0.2)。②

：

＝－6～6 (+0.2)。③

：

＝－6～6 (+0.2)。④

：

＝－6～6 (+0.2)。

　複素変数の第2種合流型超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第2種合流型超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第2種合流型超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第2種合流型超幾何関数

のグラフ。

　実変数の第2種合流型超幾何関数のグラフ。順に、①

：

＝－6～6 (+0.2)。②

：

＝－6～6 (+0.2)。③

：

＝－6～6 (+0.2)。④

：

＝－6～6 (+0.2)。

　複素変数の第2種合流型超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第2種合流型超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第2種合流型超幾何関数

のグラフ。

　複素変数の第2種合流型超幾何関数

のグラフ。

Whittaker 関数

日：Whittaker関数，ホイッタカー関数
英：Whittaker function，仏：Fonction de Whittaker，独：Whittakersche funktion

　Whittaker 関数は、本質的には合流型超幾何関数であり、その違いは初等関数因子だけである。しかし、Whittaker の微分方程式と呼ばれる二階線形常微分方程式