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合流型超幾何関数
合流型超幾何関数
日:合流型超幾何関数英:Confluent hypergeometric function,仏:Fonction hypergéométrique confluente
独:Konfluente hypergeometrische funktion
二階線形常微分方程式
![合流型超幾何微分方程式](siki_spec240/conhypgeo010.png)
![(0,1,∞)](siki_spec240/conhypgeo020.png)
![∞](siki_spec240/infinity_16.png)
そのうち、原点で有限となる基本解
を、第1種合流型超幾何関数という。特に、この級数は合流型超幾何級数と呼ばれ、その収束半径は
![∞](siki_spec240/infinity_16.png)
![1F1](siki_spec240/conhypgeo040.png)
![a](siki_spec240/centuryoldst_a_16.png)
![m](siki_spec240/centuryoldst_m_16.png)
![m](siki_spec240/centuryoldst_m_16.png)
第1種合流型超幾何関数に対して、ガンマ関数因子に由来する不定性を取り除いた 「正規化された合流型超幾何関数」
は、数値計算等で好都合なため多用される。
一方、原点で無限大となる、
![1F1](siki_spec240/conhypgeo040.png)
を、第2種合流型超幾何関数という。ただし、
![a,b](siki_spec240/conhypgeo060.png)
も、ここでは第2種合流型超幾何関数として採用する (第2種 Laguerre 陪関数から類推される独自定義の関数。超幾何関数系の第2種関数の定義方法に対する当サイトでの方針は、別頁「Questions」を参照)。これも発散する場合は極限をとり、その無限級数は対数項を含む。
![a,b](siki_spec240/conhypgeo060.png)
合流型超幾何関数は、積分表示式
で表わされ、逆にこれをもって合流型超幾何関数の定義とする場合もある。この積分は
![a,b](siki_spec240/conhypgeo060.png)
一般に合流型超幾何関数は、複素平面上
![z=0,∞](siki_spec240/conhypgeo090.png)
![-∞~0](siki_spec240/conhypgeo100.png)
合流型超幾何関数は、単独で物理学等に用いられることは少なく、むしろ応用上重要な種々の特殊関数どうしの関係、特殊関数の一般論が問題となる場合に用いられることが多い。
歴史的背景については、超幾何関数と発展をともにしているので、詳細は「超幾何関数」の概要に譲る。
![第1種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo110.png)
![a](siki_spec240/centuryoldst_a_16.png)
![第1種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo120.png)
![a](siki_spec240/centuryoldst_a_16.png)
![第1種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo130.png)
![b](siki_spec240/centuryoldst_b_16.png)
![第1種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo140.png)
![b](siki_spec240/centuryoldst_b_16.png)
複素変数の第1種合流型超幾何関数
![第1種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo150.png)
複素変数の第1種合流型超幾何関数
![第1種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo160.png)
複素変数の第1種合流型超幾何関数
![第1種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo170.png)
複素変数の第1種合流型超幾何関数
![第1種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo180.png)
![第2種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo190.png)
![a](siki_spec240/centuryoldst_a_16.png)
![第2種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo200.png)
![a](siki_spec240/centuryoldst_a_16.png)
![第2種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo210.png)
![b](siki_spec240/centuryoldst_b_16.png)
![第2種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo220.png)
![b](siki_spec240/centuryoldst_b_16.png)
複素変数の第2種合流型超幾何関数
![第2種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo230.png)
複素変数の第2種合流型超幾何関数
![第2種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo240.png)
複素変数の第2種合流型超幾何関数
![第2種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo250.png)
複素変数の第2種合流型超幾何関数
![第2種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo260.png)
![第2種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo270.png)
![a](siki_spec240/centuryoldst_a_16.png)
![第2種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo280.png)
![a](siki_spec240/centuryoldst_a_16.png)
![第2種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo290.png)
![b](siki_spec240/centuryoldst_b_16.png)
![第2種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo300.png)
![b](siki_spec240/centuryoldst_b_16.png)
複素変数の第2種合流型超幾何関数
![第2種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo310.png)
複素変数の第2種合流型超幾何関数
![第2種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo320.png)
複素変数の第2種合流型超幾何関数
![第2種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo330.png)
複素変数の第2種合流型超幾何関数
![第2種合流型超幾何関数の記号](siki_spec240/conhypgeo340.png)
Whittaker 関数
日:Whittaker関数,ホイッタカー関数英:Whittaker function,仏:Fonction de Whittaker,独:Whittakersche funktion
Whittaker 関数は、本質的には合流型超幾何関数であり、その違いは初等関数因子だけである。しかし、Whittaker の微分方程式と呼ばれる二階線形常微分方程式
を満たすため、合流型超幾何関数よりも理論的に若干扱いやすくなる。この微分方程式の互いに線形独立な二つの解
を、第1種・第2種 Whittaker 関数という。因みに、
![2μ≠](siki_spec240/conhypgeo400.png)
![第1種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo410.png)
![第1種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo420.png)
![2μ=](siki_spec240/conhypgeo430.png)
![第1種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo410.png)
![第2種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo440.png)
なお、第2種 Whittaker 関数は常に
![μが負数のときの第2種Whittaker関数の定義](siki_spec240/conhypgeo450.png)
また併せて、Whittaker の微分方程式を満たすが
![第2種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo440.png)
を、別の第2種 Whittaker 関数として独自定義する (これも、別頁「Questions」にある理由による)。
![第1種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo470.png)
![κ](siki_spec240/centuryoldst_kappa_16.png)
![第1種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo480.png)
![κ](siki_spec240/centuryoldst_kappa_16.png)
![第1種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo490.png)
![μ](siki_spec240/centuryoldst_mu_curl_16.png)
![第1種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo500.png)
![μ](siki_spec240/centuryoldst_mu_curl_16.png)
複素変数の第1種 Whittaker 関数
![第1種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo510.png)
複素変数の第1種 Whittaker 関数
![第1種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo520.png)
複素変数の第1種 Whittaker 関数
![第1種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo530.png)
複素変数の第1種 Whittaker 関数
![第1種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo540.png)
![μ](siki_spec240/centuryoldst_mu_curl_16.png)
順に、①
![第2種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo550.png)
![κ](siki_spec240/centuryoldst_kappa_16.png)
![第2種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo560.png)
![μ](siki_spec240/centuryoldst_mu_curl_16.png)
![第2種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo570.png)
![μ](siki_spec240/centuryoldst_mu_curl_16.png)
複素変数の第2種 Whittaker 関数
![第2種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo580.png)
複素変数の第2種 Whittaker 関数
![第2種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo590.png)
![第2種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo600.png)
![κ](siki_spec240/centuryoldst_kappa_16.png)
![第2種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo610.png)
![κ](siki_spec240/centuryoldst_kappa_16.png)
![第2種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo620.png)
![μ](siki_spec240/centuryoldst_mu_curl_16.png)
![第2種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo630.png)
![μ](siki_spec240/centuryoldst_mu_curl_16.png)
複素変数の第2種 Whittaker 関数
![第2種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo640.png)
複素変数の第2種 Whittaker 関数
![第2種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo650.png)
複素変数の第2種 Whittaker 関数
![第2種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo660.png)
複素変数の第2種 Whittaker 関数
![第2種Whittaker関数の記号](siki_spec240/conhypgeo670.png)