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合流型超幾何関数

合流型超幾何関数

日:合流型超幾何関数
英:Confluent hypergeometric function,仏:Fonction hypergéométrique confluente
独:Konfluente hypergeometrische funktion

 二階線形常微分方程式
合流型超幾何微分方程式
を、(Kummer の)合流型超幾何微分方程式という。これは、超幾何微分方程式の確定特異点(0,1,∞)のうち、1を∞と合流させ、1級の不確定特異点にした微分方程式である。この解を合流型超幾何関数という。
 そのうち、原点で有限となる基本解
  • 第1種合流型超幾何関数の定義
を、第1種合流型超幾何関数という。特に、この級数は合流型超幾何級数と呼ばれ、その収束半径は∞である。記号1F1は、Pochhammer 記号が分子に1個、分母に1個あることを示している。第1種合流型超幾何関数は、aが負の整数 -mのとき、m次の多項式(Laguerre 陪多項式と本質的に同じ)となる。
 一方、原点で無限大となる、1F1とは線形独立な基本解
  • 第2種合流型超幾何関数の定義
を、第2種合流型超幾何関数という。ただし、a,bの値によって発散する場合は極限をとる。この極限によって生じる無限級数は対数項を含む。また、別の形
  • 第2種合流型超幾何関数の定義
も、ここでは第2種合流型超幾何関数として採用する (第2種 Laguerre 陪関数から類推される独自定義の関数。超幾何関数系の第2種関数の定義方法に対する当サイトでの方針は、別頁「Questions」を参照)。これも発散する場合は極限をとり、その無限級数は対数項を含む。
 a,bが1だけ異なる3個の合流型超幾何関数は、種々の線形漸化式で結ばれる。これは元々超幾何関数が満たす「隣接関係式」に由来する。合流型超幾何関数の特殊形として表わされる関数は非常に多く、Laguerre 陪関数、Hermite 関数Bessel 関数不完全ガンマ関数などがある。
 合流型超幾何関数は、積分表示式
  • 合流型超幾何関数の積分表示式
で表わされ、逆にこれをもって合流型超幾何関数の定義とする場合もある。この積分はa,bを変数と見た場合、明らかにガンマ関数ベータ関数の拡張にもなっている。合流型超幾何関数は、この他にも様々な積分表示式で表わせることが知られている。
 一般に合流型超幾何関数は、複素平面上z=0,∞に特異点を持つ無限多価関数であって、通常は-∞~0に分枝切断線を置く。
 合流型超幾何関数は、単独で物理学等に用いられることは少なく、むしろ応用上重要な種々の特殊関数どうしの関係、特殊関数の一般論が問題となる場合に用いられることが多い。
 歴史的背景については、超幾何関数と発展をともにしているので、詳細は「超幾何関数」の概要に譲る。

第1種合流型超幾何関数の記号

 実変数の第1種合流型超幾何関数のグラフ。 順に、①第1種合流型超幾何関数の記号a=-6~6 (+0.2)。②第1種合流型超幾何関数の記号a=-6~6 (+0.2)。③第1種合流型超幾何関数の記号b=-5.8~6 (+0.2)。④第1種合流型超幾何関数の記号b=-5.8~6 (+0.2)。

 複素変数の第1種合流型超幾何関数第1種合流型超幾何関数の記号のグラフ。
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第2種合流型超幾何関数の記号

 実変数の第2種合流型超幾何関数のグラフ。 順に、①第2種合流型超幾何関数の記号a=-6~6 (+0.2)。②第2種合流型超幾何関数の記号a=-6~6 (+0.2)。③第2種合流型超幾何関数の記号b=-6~6 (+0.2)。④第2種合流型超幾何関数の記号b=-6~6 (+0.2)。

 複素変数の第2種合流型超幾何関数第2種合流型超幾何関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種合流型超幾何関数第2種合流型超幾何関数の記号のグラフ。
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第2種合流型超幾何関数の記号

 実変数の第2種合流型超幾何関数のグラフ。 順に、①第2種合流型超幾何関数の記号a=-6~6 (+0.2)。②第2種合流型超幾何関数の記号a=-6~6 (+0.2)。③第2種合流型超幾何関数の記号b=-6~6 (+0.2)。④第2種合流型超幾何関数の記号b=-6~6 (+0.2)。

 複素変数の第2種合流型超幾何関数第2種合流型超幾何関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種合流型超幾何関数第2種合流型超幾何関数の記号のグラフ。
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Whittaker 関数

日:Whittaker関数ホイッタカー関数
英:Whittaker function,仏:Fonction de Whittaker,独:Whittaker-funktion

 Whittaker 関数は、本質的には合流型超幾何関数であり、その違いは初等関数因子だけである。しかし、Whittaker の微分方程式と呼ばれる二階線形常微分方程式
  • Whittakerの微分方程式
を満たすため、合流型超幾何関数よりも理論的に若干扱いやすくなる。この微分方程式の互いに線形独立な二つの解
  • Whittaker関数の定義
を、第1種・第2種 Whittaker 関数という。因みに、2μ≠整数のときは第1種Whittaker関数の記号第1種Whittaker関数の記号を基本解の組としてもよいが、両者は2μ=整数のときに1次従属となってしまう。よって、特別な場合には極限をとる必要も生じるが、常に第1種Whittaker関数の記号と線形独立となる第2種Whittaker関数の記号が第2種として選定されるのである(第2種 Bessel 関数がわざわざ複雑な形で定義されるのも、実はこれと同じ状況になっているからである)。
 なお、第2種 Whittaker 関数は常にμが負数のときの第2種Whittaker関数の定義である。
 また併せて、Whittaker の微分方程式を満たすが第2種Whittaker関数の記号とは形が異なる解
  • 第2種Whittaker関数の定義
を、別の第2種 Whittaker 関数として独自定義する (これも、別頁「Questions」にある理由による)。

第1種Whittaker関数の記号

 実変数の第1種 Whittaker 関数のグラフ。 順に、①第1種Whittaker関数の記号κ=-6~6 (+0.2)。②第1種Whittaker関数の記号κ=-6~6 (+0.2)。③第1種Whittaker関数の記号μ=-6~6 (+0.2)。④第1種Whittaker関数の記号μ=-6~6 (+0.2)。

 複素変数の第1種 Whittaker 関数第1種Whittaker関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第1種 Whittaker 関数第1種Whittaker関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第1種 Whittaker 関数第1種Whittaker関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第1種 Whittaker 関数第1種Whittaker関数の記号のグラフ。
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第2種Whittaker関数の記号

 実変数の第2種 Whittaker 関数のグラフ。 前述の理由により、μが負数の場合は描画しない。
 順に、①第2種Whittaker関数の記号κ=-6~6 (+0.2)。②第2種Whittaker関数の記号μ=0~6 (+0.2)。③第2種Whittaker関数の記号μ=0~6 (+0.2)。

 複素変数の第2種 Whittaker 関数第2種Whittaker関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種 Whittaker 関数第2種Whittaker関数の記号のグラフ。
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第2種Whittaker関数の記号

 実変数の第2種 Whittaker 関数のグラフ。 順に、①第2種Whittaker関数の記号κ=-6~6 (+0.2)。②第2種Whittaker関数の記号κ=-6~6 (+0.2)。③第2種Whittaker関数の記号μ=-6~6 (+0.2)。④第2種Whittaker関数の記号μ=-6~6 (+0.2)。

 複素変数の第2種 Whittaker 関数第2種Whittaker関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種 Whittaker 関数第2種Whittaker関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種 Whittaker 関数第2種Whittaker関数の記号のグラフ。
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