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Bessel 関数に関連する関数

Struve 関数

日:Struve関数ストルーヴェ関数
英:Struve function,仏:Fonction de Struve,独:Struve-funktion

 Struve 関数Struve関数の記号は、非斉次の Bessel の微分方程式
  • 非斉次のBesselの微分方程式
の一般解として、非斉次のBesselの微分方程式の一般解 (ここにa,bは複素定数。) の形で現れ、冪級数展開式
  • Struve関数の冪級数展開式
で定義される。Struve関数の記号は異なる次数νの間で、非斉次の線形漸化式 (隣接関係式)
  • Struve関数の隣接関係式
を満たす。希に、Struve関数の記号の代わりにStruve関数の記号を基本解として採用することがある (「NIST-Handbook of Mathematical Functions」 の Chapter11:p.287~) 。
 一方、変形 Struve 関数変形Struve関数の記号は、非斉次の変形された Bessel の微分方程式
  • 非斉次の変形Besselの微分方程式
の一般解として、非斉次の変形Besselの微分方程式の一般解の形で現れ、冪級数展開式およびStruve関数の記号との関係式
  • 変形Struve関数の冪級数展開式
で定義される。変形Struve関数の記号は異なる次数νの間で、非斉次の線形漸化式 (隣接関係式)
  • 変形Struve関数の隣接関係式
を満たす。希に、変形Struve関数の記号の代わりに変形Struve関数の記号を基本解として採用することがある (同様に、「NIST」 の Chapter11:p.287~) 。
 Struve 関数および変形 Struve 関数は、一般超幾何関数の特別な場合として表わせるが、次数νが半奇数のときに限り、ともに初等関数に還元される。一般に、Struve 関数および変形 Struve 関数は、複素平面上z=0に特異点を持つ無限多価関数で、通常は実軸上の区間(-∞, 0]に分枝切断線を置くが、その多価性はz^νに由来する。すなわちz^-ν Hν(z)およびz^-ν Lν(z)とすれば常に超越整関数となる。
 Struve 関数は、流体力学 (非定常空気力学、流体中の物体の振動など)、光の回折現象、電磁気学等での応用がある。O. W. Struve は 1882年、光学望遠鏡の改良に関連してこの関数を導入した。

Struve関数の記号

 実変数の Struve 関数Struve関数の記号のグラフ。①ν=0~10 (+1)。②ν=0~10 (+0.2)。③ν=-10~0 (+0.2)。②,③のいずれも太線は整数次のとき。

 実2変数の Struve 関数Struve関数の記号のグラフ。
  • Struve関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の Struve 関数Struve関数の記号のグラフ。
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Struve 関数Struve関数の記号のグラフ。
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Struve 関数Struve関数の記号のグラフ。
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Struve 関数Struve関数の記号のグラフ。
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)

Struve関数の記号

 実変数の Struve 関数Struve関数の記号のグラフ。①ν=0~10 (+0.2)。②ν=-10~0 (+0.2)。いずれも太線は整数次のとき。

 実2変数の Struve 関数Struve関数の記号のグラフ。
  • Struve関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の Struve 関数Struve関数の記号のグラフ。
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Struve 関数Struve関数の記号のグラフ。
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Struve 関数Struve関数の記号のグラフ。
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Struve 関数Struve関数の記号のグラフ。
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)
  • Struve関数のグラフ(複素変数)

変形Struve関数の記号

 実変数の変形 Struve 関数変形Struve関数の記号のグラフ。①ν=0~10 (+1)。②ν=0~10 (+0.2)。③ν=-10~0 (+0.2)。②,③のいずれも太線は整数次のとき。

 実2変数の変形 Struve 関数変形Struve関数の記号のグラフ。
  • 変形Struve関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の変形 Struve 関数変形Struve関数の記号のグラフ。
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の変形 Struve 関数変形Struve関数の記号のグラフ。
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の変形 Struve 関数変形Struve関数の記号のグラフ。
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の変形 Struve 関数変形Struve関数の記号のグラフ。
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)

変形Struve関数の記号

 実変数の変形 Struve 関数変形Struve関数の記号のグラフ。①ν=0~10 (+0.2)。②ν=-10~0 (+0.2)。いずれも太線は整数次のとき。

 実2変数の変形 Struve 関数変形Struve関数の記号のグラフ。
  • 変形Struve関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の変形 Struve 関数変形Struve関数の記号のグラフ。
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の変形 Struve 関数変形Struve関数の記号のグラフ。
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の変形 Struve 関数変形Struve関数の記号のグラフ。
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の変形 Struve 関数変形Struve関数の記号のグラフ。
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)
  • 変形Struve関数のグラフ(複素変数)

Anger - Weber 関数

日:Anger関数アンガー関数
英:Anger function,仏:Fonction d'Anger,独:Anger-funktion
日:Weber関数ウェーバー関数
英:Weber function,仏:Fonction de Weber,独:Weber-funktion

 Anger 関数Anger関数の記号および Weber 関数Weber関数の記号は、積分表示式
  • Anger関数・Weber関数の積分表示式
で定義され、非斉次の Bessel の微分方程式
  • Anger関数・Weber関数が満たす微分方程式
を満たす。希に、Anger - Weber 同伴関数
  • Anger-Weber同伴関数の定義式
が導入されることもある (「NIST-Handbook of Mathematical Functions」 の Chapter11:p.287~) 。ただし、2番目の式は l'Hôpital の定理を適用して極限をとれば、νが整数のときでも意味を持つ (第2種 Bessel 関数と同じ要領) 。
 それぞれの関数は互いに、
  • Anger関数とWeber関数の関係式
等の関係にある。また、非斉次の線形漸化式 (隣接関係式)
  • Anger関数・Weber関数の隣接関係式
を満たす。
 特に、νが整数のとき、Anger 関数 および Weber 関数は
  • 整数次のAnger関数・Weber関数
のように Bessel 関数、Struve 関数で表わされる。
 Anger 関数Anger関数の記号および Weber 関数Weber関数の記号は常に超越整関数であり、∞以外には特異点を持たない。一般に Anger - Weber 同伴関数Anger-Weber同伴関数の記号z=0に対数分岐点を持ち、通常は実軸上の区間(-∞, 0]に分枝切断線を置く。
 上記の公式等からも推察されるように、応用上は Struve 関数とともに用いられることが多い。Anger 関数の名称は C. T. Anger (1855年)、Weber 関数の名称は H. F. Weber (1879年) がおこなった研究に因む※1。Weber 関数は、Weber - Lommel 関数と呼ばれることもある。

【註記】
※1:この Weber は、物理学者の Heinrich Friedrich Weber である。放物柱関数 (Weber-D関数) を定義した Heinrich Martin Weber (数学者) とは別人であることに注意。

Anger関数の記号

 実変数の Anger 関数Anger関数の記号のグラフ。①ν=0~5 (+0.1)。②ν=-5~0 (+0.1)。いずれも太線は整数次のとき。

 実2変数の Anger 関数Anger関数の記号のグラフ。
  • Anger関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の Anger 関数Anger関数の記号のグラフ。(前述のとおり、整数次の場合は Bessel 関数で表わされるので、以下の描画ではこの場合を扱わない。また、前のグラフからも分かるようにAnger関数の次数反転性なので、負数次の場合も扱わない。)
  • Anger関数のグラフ(複素変数)
  • Anger関数のグラフ(複素変数)
  • Anger関数のグラフ(複素変数)
  • Anger関数のグラフ(複素変数)
  • Anger関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Anger 関数Anger関数の記号のグラフ。
  • Anger関数のグラフ(複素変数)
  • Anger関数のグラフ(複素変数)
  • Anger関数のグラフ(複素変数)
  • Anger関数のグラフ(複素変数)
  • Anger関数のグラフ(複素変数)

Weber関数の記号

 実変数の Weber 関数Weber関数の記号のグラフ。①ν=0~5 (+0.1)。②ν=-5~0 (+0.1)。いずれも太線は整数次のとき。

 実2変数の Weber 関数Weber関数の記号のグラフ。
  • Weber関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の Weber 関数Weber関数の記号のグラフ。(前述のとおり、整数次の場合は Struve 関数で表わされるので、以下の描画ではこの場合を扱わない。また、前のグラフからも分かるようにWeber関数の次数反転性なので、負数次の場合も扱わない。)
  • Weber関数のグラフ(複素変数)
  • Weber関数のグラフ(複素変数)
  • Weber関数のグラフ(複素変数)
  • Weber関数のグラフ(複素変数)
  • Weber関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Anger 関数Weber関数の記号のグラフ。
  • Weber関数のグラフ(複素変数)
  • Weber関数のグラフ(複素変数)
  • Weber関数のグラフ(複素変数)
  • Weber関数のグラフ(複素変数)
  • Weber関数のグラフ(複素変数)

 次のAnger関数とWeber関数との積のグラフは、単に美しいという理由だけで描画したものである。
  • Anger関数とWeber関数との積のグラフ(実2変数)

Anger-Weber同伴関数の記号

 実変数の Anger - Weber 同伴関数Anger-Weber同伴関数の記号のグラフ。ν=-5~5 (+0.1)。太線は整数次のとき。
  • Anger-Weber同伴関数のグラフ(実変数)

 複素変数の Anger - Weber 同伴関数Anger-Weber同伴関数の記号のグラフ。
  • Anger-Weber同伴関数のグラフ(複素変数)
  • Anger-Weber同伴関数のグラフ(複素変数)
  • Anger-Weber同伴関数のグラフ(複素変数)
  • Anger-Weber同伴関数のグラフ(複素変数)
  • Anger-Weber同伴関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Anger - Weber 同伴関数Anger-Weber同伴関数の記号のグラフ。
  • Anger-Weber同伴関数のグラフ(複素変数)
  • Anger-Weber同伴関数のグラフ(複素変数)
  • Anger-Weber同伴関数のグラフ(複素変数)
  • Anger-Weber同伴関数のグラフ(複素変数)
  • Anger-Weber同伴関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Anger - Weber 同伴関数Anger-Weber同伴関数の記号のグラフ。
  • Anger-Weber同伴関数のグラフ(複素変数)
  • Anger-Weber同伴関数のグラフ(複素変数)
  • Anger-Weber同伴関数のグラフ(複素変数)
  • Anger-Weber同伴関数のグラフ(複素変数)
  • Anger-Weber同伴関数のグラフ(複素変数)

 アニメーション(4.72MB)
 複素変数の Anger - Weber 同伴関数Anger-Weber同伴関数の記号のグラフ。ν=-8~4 (+0.2)。
  • Anger-Weber同伴関数のグラフ(複素変数:動画)

Whittaker 積分関数

 Whittaker 積分関数は
  • Whittaker積分関数の定義式
で定義される。ここに、第1種Legendre関数の記号第1種 Legendre 関数である。また、冪級数展開式のガンマ関数が∞となる場合、その項は0であると解釈する。上記定義式の形から、明らかに
Whittaker積分関数の次数反転性
であることが分かる。Whittaker 積分関数は、非斉次の線形漸化式 (隣接関係式)
  • Whittaker積分関数の隣接関係式
を満たす。特に、νが半奇数のときに限り、Whittaker 積分関数は Bessel の微分方程式を満たす。
 Whittaker 積分関数は複素平面上z=0に代数特異点を持ち、通常は実軸上の区間(-∞, 0]に分枝切断線を置く。ただし、その多価性はSqrt(z)に由来する。また、Whittaker 積分関数は実軸に対して共役対称にならない。したがって、この関数は実軸上で専ら複素数値をとる。
 合流型超幾何微分方程式の一般解として有名な Whittaker 関数とは異なる。
 なお、応用等で遭遇することは、ほとんど無いと思われる。「岩波 数学公式Ⅲ 特殊関数」 の p.231 に、この関数について記述がある。

Whittaker積分関数の記号

 複素変数の Whittaker 積分関数Whittaker積分関数の記号のグラフ。
  • Whittaker積分関数のグラフ(複素変数)
  • Whittaker積分関数のグラフ(複素変数)
  • Whittaker積分関数のグラフ(複素変数)
  • Whittaker積分関数のグラフ(複素変数)
  • Whittaker積分関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Whittaker 積分関数Whittaker積分関数の記号のグラフ。
  • Whittaker積分関数のグラフ(複素変数)
  • Whittaker積分関数のグラフ(複素変数)
  • Whittaker積分関数のグラフ(複素変数)
  • Whittaker積分関数のグラフ(複素変数)
  • Whittaker積分関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Whittaker 積分関数Whittaker積分関数の記号のグラフ。
  • Whittaker積分関数のグラフ(複素変数)
  • Whittaker積分関数のグラフ(複素変数)
  • Whittaker積分関数のグラフ(複素変数)
  • Whittaker積分関数のグラフ(複素変数)
  • Whittaker積分関数のグラフ(複素変数)

Lommel 関数

日:Lommel関数ロンメル関数
英:Lommel function,仏:Fonction de Lommel,独:Lommelschen funktion

 Lommel 関数Lommel関数の記号は、一般超幾何関数を用いて
  • Lommel関数の定義式
と定義され、非斉次の Bessel の微分方程式
  • Lommel関数が満たす微分方程式
を満たす、第1種・第2種 Bessel 関数とは線形独立な解である。ただし、Lommel関数の記号μ±νが負の奇数になるとき定義されない。また、s μ,-ν(z) = s μ,ν(z)およびS μ,-ν(z) = S μ,ν(z)となることが分かる。
 特に、Lommel関数の記号は一般超幾何関数の代わりに、Bessel 関数の積分を用いた表示式
  • Bessel関数の積分によるLommel関数の表示式
によっても定義できる。また、Lommel 関数は第1種 Bessel 関数の無限級数
  • Bessel関数の無限級数によるLommel関数の表示式
によっても表わせる。
 一般に Lommel 関数は、複素平面上z=0に特異点を持つ無限多価関数で、通常は実軸上の区間(-∞, 0]に分枝切断線を置く。
 Lommel 関数は、Bessel 関数の詳細な研究をおこなった E. von Lommel によって1880年に導入された。現在、Bessel 関数系の公式には Lommel の名を冠するものが多く、その影響の大きさを窺わせる。

【註記】
※1:関数記号はLommel関数の記号が一般的であるが、これを(他の)Lommel関数の記号で表記することもある (例えば 「Wolfram Math World」 は後者を採用している) 。

Lommel関数の記号

 実変数の Lommel 関数のグラフ。①Lommel関数の記号, ②Lommel関数の記号 : ν=0~5 (+0.05)。③Lommel関数の記号, ④Lommel関数の記号 : μ=-5~5 (+0.1)。いずれも太線は整数次のとき。

 複素変数の Lommel 関数Lommel関数の記号のグラフ。
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lommel 関数Lommel関数の記号のグラフ。
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lommel 関数Lommel関数の記号のグラフ。
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)

Lommel関数の記号

 実変数の Lommel 関数のグラフ。①Lommel関数の記号, ②Lommel関数の記号 : ν=0~5 (+0.05)。③Lommel関数の記号, ④Lommel関数の記号 : μ=-5~5 (+0.1)。いずれも太線は整数次のとき。

 複素変数の Lommel 関数Lommel関数の記号のグラフ。
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lommel 関数Lommel関数の記号のグラフ。
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lommel 関数Lommel関数の記号のグラフ。
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)
  • Lommel関数のグラフ(複素変数)

実2変数Lommel関数の美しい例

 以降のグラフは、Enrique Zeleny の 「The Lommel Functions:Wolfram Demonstrations Project」 (http://demonstrations.wolfram.com/TheLommelFunctions/) から示唆を得て作成した。

 実2変数の Lommel 関数Lommel関数の記号の ①実部と②虚部のグラフ。虚部はx > 0のとき0になるので、x ≦ 0を描画する。

 実2変数の Lommel 関数Lommel関数の記号の ①実部と②虚部のグラフ。同様に、虚部はx > 0のとき0になるので、x ≦ 0を描画する。

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