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Legendre 関数に関連する関数

円環関数

日:円環関数
英:Toroidal function,仏:Fonction toroïdal,独:Torusfunktion

 Laplace の方程式を円環座標で変数分離形にすると、その解として Legendre 陪関数(Hobson 型)の特殊形に双曲線余弦関数が代入された関数第1種・第2種円環関数の記号第1種・第2種円環関数の記号が現れる。これを、第1種・第2種円環関数という。
 二つの関数は、微分方程式
  • 円環関数の微分方程式
の基本解になる。これらの関数の満たす各種公式は、Legendre 陪関数(Hobson 型)の特別な場合として求められる。
 なお本来は、第1種・第2種円環関数の記号第1種・第2種円環関数の記号の形で直接計算するが、ここでzをそのまま複素変数にすると、他と連結していない孤立した分枝が無数に生じるような分枝切断線の入り方となる。よって、解析接続を施して分枝が単連結領域となるようにした関数円環関数の記号を、ここでは特別に採用する。すなわちこの関数は、一般にnを0以外の整数として負の方向に伸びる区間区間(-∞~nπ)で分枝切断線を持ち、-π/2<Im(z)≦π/2では直接計算の第1種・第2種円環関数の記号第1種・第2種円環関数の記号と同じ結果を与える。
 なお、pt -v,μ(z)=pt v,μ(z)なので、vが負数のときは描画を省略する。

第1種円環関数の記号

 実変数の第1種円環関数第1種円環関数の記号のグラフ。①整数次v=0~10 (+1)。②実数次v=0~10 (+0.2)。

 虚軸上の第1種円環関数第1種円環関数の記号のグラフ。なお、μ≠0の場合は、虚軸上で実数値をとらないので描画しない。
 ①整数次v=0~10 (+1)。②実数次v=0~10 (+0.2)。

 複素変数の第1種円環関数第1種円環関数の記号のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
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  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種円環関数第1種円環関数の記号のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
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  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)

 実変数の第1種円環関数第1種円環関数の記号のグラフ。①整数次v=0~10 (+1)。②実数次v=0~10 (+0.2)。

 複素変数の第1種円環関数第1種円環関数の記号のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種円環関数第1種円環関数の記号のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
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  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)

 実変数の第1種円環関数第1種円環関数の記号のグラフ。①整数次v=0~10 (+1)。②実数次v=0~10 (+0.2)。

 複素変数の第1種円環関数第1種円環関数の記号のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第1種円環関数第1種円環関数の記号のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
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第2種円環関数の記号

 実変数の第2種円環関数第2種円環関数の記号のグラフ。①整数次v=0~10 (+1)。②実数次v=0~10 (+0.2)。③実数次v=-10~0 (+0.2)。

 複素変数の第2種円環関数第2種円環関数の記号のグラフ。
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第2種円環関数第2種円環関数の記号のグラフ。
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
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 実変数の第2種円環関数第2種円環関数の記号のグラフ。①整数次v=0~10 (+1)。②実数次v=0~10 (+0.2)。③実数次v=-10~0 (+0.2)。

 複素変数の第2種円環関数第2種円環関数の記号のグラフ。
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第2種円環関数第2種円環関数の記号のグラフ。
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
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 μが非整数の場合の実変数グラフは、実軸上で実数値をとらないので描画しない。
 複素変数の第2種円環関数第2種円環関数の記号のグラフ。
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第2種円環関数第2種円環関数の記号のグラフ。
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
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円錐関数

日:円錐関数
英:Conical function,仏:Fonction conique,独:Kegelfunktion

 Legendre 陪関数(Ferrers 型)の特殊形に余弦関数が代入された関数第1種・第2種円錐関数の記号第1種・第2種円錐関数の記号を、第1種・第2種円錐関数という※1。
 二つの関数は、微分方程式
  • 円錐関数の微分方程式
の基本解になる。これらの関数の満たす各種公式は、Legendre 陪関数(Ferrers 型)の特別な場合として求められる。
 なお本来は、第1種・第2種円錐関数の記号第1種・第2種円錐関数の記号の形で直接計算するが、ここでzをそのまま複素変数にすると、他と連結していない孤立した分枝が無数に生じるような分枝切断線の入り方となる。よって、解析接続を施して分枝が単連結領域となるようにした関数第1種・第2種円錐関数の記号を、ここでは特別に採用する。すなわちこの関数は、区間区間(-∞~0)及び、区間区間(π~∞)で分枝切断線を持ち、0<Re(z)≦πの範囲では直接計算の第1種・第2種円錐関数の記号第1種・第2種円錐関数の記号と同じ結果を与える。
 なお、pc -v,μ(z)=pc v,μ(z)なので、vが負数のときは描画を省略する。

【註記】
※1:引数に余弦関数を代入していない型を、円錐関数として定義する場合もある。

第1種円錐関数の記号

 実変数の第1種円錐関数第1種円錐関数の記号のグラフ。①整数次v=0~10 (+1)。②実数次v=0~10 (+0.2)。

 複素変数の第1種円錐関数第1種円錐関数の記号のグラフ。
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
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  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種円錐関数第1種円錐関数の記号のグラフ。
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  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)

 実変数の第1種円錐関数第1種円錐関数の記号のグラフ。①整数次v=0~10 (+1)。②実数次v=0~10 (+0.2)。

 複素変数の第1種円錐関数第1種円錐関数の記号のグラフ。
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第1種円錐関数第1種円錐関数の記号のグラフ。
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  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)

 実変数の第1種円錐関数第1種円錐関数の記号のグラフ。①整数次v=0~10 (+1)。②実数次v=0~10 (+0.2)。

 複素変数の第1種円錐関数第1種円錐関数の記号のグラフ。
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第1種円錐関数第1種円錐関数の記号のグラフ。
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第2種円錐関数の記号

 第2種円錐関数は、実軸上で実数値をとらないため、実変数のグラフは描画しない。
 複素変数の第2種円錐関数第2種円錐関数の記号のグラフ。
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
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  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種円錐関数第2種円錐関数の記号のグラフ。
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第2種円錐関数第2種円錐関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種円錐関数第2種円錐関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種円錐関数第2種円錐関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種円錐関数第2種円錐関数の記号のグラフ。
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