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Jacobi 関数
Jacobi 関数
日:Jacobi関数,ヤコビ関数英:Jacobi function,仏:Fonction de Jacobi,独:Jacobische funktion
二階線形常微分方程式
の基本解である



によっても簡潔に表わせる。また、Jacobi 多項式は直交多項式でもあるが、この点については後述する。
Jacobi 関数は、超幾何関数を用いて
と表わされる。なお、第2種 Jacobi 関数はほとんど応用面がないこともあって、定義自体されないことが多い。したがって、それが仮に定義されていても、上記と同等である可能性はほとんどない (超幾何関数系の第2種関数の定義方法に対する当サイトでの方針は、別頁「Questions」を参照)。
Jacobi 関数は実質は超幾何関数なので、Gegenbauer 関数、Chebyshev 関数、Legendre 関数は、Jacobi 関数の特殊形として表わされる。例えば、








一般に Jacobi 関数は、複素平面上



第1種 Jacobi 関数、とりわけ Jacobi 多項式は、直交多項式の総括的存在として純粋数学的に研究されるほか、応用上は量子力学における回転群問題で扱われる。
なお、異なる定義の
を、第1種 Jacobi 関数とすることもある。




複素変数の第1種 Jacobi 関数

複素変数の第1種 Jacobi 関数

実変数の第1種 Jacobi 関数




複素変数の第1種 Jacobi 関数

複素変数の第1種 Jacobi 関数





複素変数の第2種 Jacobi 関数

複素変数の第2種 Jacobi 関数

実変数の第2種 Jacobi 関数




複素変数の第2種 Jacobi 関数

複素変数の第2種 Jacobi 関数

Jacobi 関数(正規化)
第1種 Jacobi 関数は、次数

を有する。このため任意の関数は、区間


これに示唆を受けて、ここでは始めから正規化され、次数

を定義する。これを用いれば先の積分は
となる(この関数記号は、正規化の旨を明示するため独自に導入したものである)。




複素変数の(正規化)第1種 Jacobi 関数

複素変数の(正規化)第1種 Jacobi 関数

実変数の(正規化)第1種 Jacobi 関数




複素変数の(正規化)第1種 Jacobi 関数

複素変数の(正規化)第1種 Jacobi 関数
