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Jacobi 関数

Jacobi 関数

日:Jacobi関数ヤコビ関数
英:Jacobi function,仏:Fonction de Jacobi,独:Jacobi-funktion

 二階線形常微分方程式
  • Jacobiの微分方程式
の基本解であるJacobi関数の記号を、第1種・第2種 Jacobi 関数という。特に第1種 Jacobi 関数は、vが負でない整数nのときは Jacobi 多項式となる。これらの多項式は、母関数表示や Rodrigues の公式
  • Jacobi多項式の定義
によっても簡潔に表わせる。また、Jacobi 多項式は直交多項式でもあるが、この点については後述する。
 Jacobi 関数は、超幾何関数を用いて
  • Jacobi関数の定義
と表わされる。なお、第2種 Jacobi 関数はほとんど応用面がないこともあって、定義自体されないことが多い。したがって、それが仮に定義されていても、上記と同等である可能性はほとんどない (超幾何関数系の第2種関数の定義方法に対する当サイトでの方針は、別頁「Questions」を参照)。
 Jacobi 関数は実質は超幾何関数なので、Gegenbauer 関数Chebyshev 関数Legendre 関数は、Jacobi 関数の特殊形として表わされる。例えば、a=bあるいはa,bのどちらかが半奇数のとき Gegenbauer 関数の有限和、a,bのどちらも半奇数のとき Chebyshev 関数の有限和、a,bのどちらも整数のとき Legendre 関数の有限和になる。有限和になるのは、v,a,bが1だけ異なるものどうしに隣接関係があるためである。また、v次の Jacobi 関数が、線形漸化式によってv-1次及びv-2次の Jacobi 関数で表わせるのも、これが理由である。
 一般に Jacobi 関数は、複素平面上z=±1,∞に特異点を持ち、通常は-∞~-1及び+1~+∞に分枝切断線を置く。
 第1種 Jacobi 関数、とりわけ Jacobi 多項式は、直交多項式の総括的存在として純粋数学的に研究されるほか、応用上は量子力学における回転群問題で扱われる。
 なお、異なる定義の
  • 他のJacobi関数の定義
を、第1種 Jacobi 関数とすることもある。

第1種Jacobi関数の記号

 実変数の第1種 Jacobi 関数第1種Jacobi関数の記号のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②非整数次v=0~9 (+0.2)。③非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の第1種 Jacobi 関数第1種Jacobi関数の記号のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Jacobi 関数第1種Jacobi関数の記号のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 実変数の第1種 Jacobi 関数第1種Jacobi関数の記号のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②非整数次v=0~9 (+0.2)。③非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の第1種 Jacobi 関数第1種Jacobi関数の記号のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Jacobi 関数第1種Jacobi関数の記号のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

第2種Jacobi関数の記号

 実変数の第2種 Jacobi 関数第2種Jacobi関数の記号のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②非整数次v=0~9 (+0.2)。③非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の第2種 Jacobi 関数第2種Jacobi関数の記号のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
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  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Jacobi 関数第2種Jacobi関数の記号のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
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  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 実変数の第2種 Jacobi 関数第2種Jacobi関数の記号のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②非整数次v=0~9 (+0.2)。③非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の第2種 Jacobi 関数第2種Jacobi関数の記号のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
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  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第2種 Jacobi 関数第2種Jacobi関数の記号のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
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Jacobi 関数(正規化)

 第1種 Jacobi 関数は、次数vが負でない整数m,nのときは、Jacobi 多項式となり、直交性
  • 第1種Jacobi関数の直交性
を有する。このため任意の関数は、区間(-1,+1)において Jacobi 多項式の無限級数に展開可能である。通常、直交関数系の理論では、m=nの場合に積分値が1になるように定数倍の調節をする。(これを正規化という。)
 これに示唆を受けて、ここでは始めから正規化され、次数vも整数に限らないとした関数
  • (正規化)Jacobi関数の定義
を定義する。これを用いれば先の積分は
  • (正規化)Jacobi関数の直交性
となる(この関数記号は、正規化の旨を明示するため独自に導入したものである)。

(正規化)Jacobi関数の記号

 実変数の(正規化)第1種 Jacobi 関数(正規化)Jacobi関数の記号のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②非整数次v=0~9 (+0.2)。③非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の(正規化)第1種 Jacobi 関数(正規化)Jacobi関数の記号のグラフ。
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の(正規化)第1種 Jacobi 関数(正規化)Jacobi関数の記号のグラフ。
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 実変数の(正規化)第1種 Jacobi 関数(正規化)Jacobi関数の記号のグラフ。①整数次v=0~9 (+1)。②非整数次v=0~9 (+0.2)。③非整数次v=-9~0 (+0.2)。

 複素変数の(正規化)第1種 Jacobi 関数(正規化)Jacobi関数の記号のグラフ。
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の(正規化)第1種 Jacobi 関数(正規化)Jacobi関数の記号のグラフ。
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • (正規化)第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
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