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Jacobi 関数
Jacobi 関数
日：Jacobi関数，ヤコビ関数英：Jacobi function，仏：Fonction de Jacobi，独：Jacobische funktion
二階線形常微分方程式
を、第1種・第2種 Jacobi 関数という。特に第1種 Jacobi 関数は、
が負でない整数
のときは Jacobi 多項式となる。これらの多項式は、母関数表示や Rodrigues の公式
Jacobi 関数は、超幾何関数を用いて
Jacobi 関数は実質は超幾何関数なので、Gegenbauer 関数、Chebyshev 関数、Legendre 関数は、Jacobi 関数の特殊形として表わされる。例えば、
あるいは
のどちらかが半奇数のとき Gegenbauer 関数の有限和、のどちらも半奇数のとき Chebyshev 関数の有限和、のどちらも整数のとき Legendre 関数の有限和になる。有限和になるのは、
が１だけ異なるものどうしに隣接関係があるためである。また、次の Jacobi 関数が、線形漸化式によって
次及び
次の Jacobi 関数で表わせるのも、これが理由である。一般に Jacobi 関数は、複素平面上
に特異点を持ち、通常は
及び
に分枝切断線を置く。第1種 Jacobi 関数、とりわけ Jacobi 多項式は、直交多項式の総括的存在として純粋数学的に研究されるほか、応用上は量子力学における回転群問題で扱われる。
なお、異なる定義の
のグラフ。①整数次＝0～9 (+1)。②非整数次＝0～9 (+0.2)。③非整数次＝－9～0 (+0.2)。
複素変数の第1種 Jacobi 関数
のグラフ。
複素変数の第1種 Jacobi 関数
のグラフ。
実変数の第1種 Jacobi 関数
のグラフ。①整数次＝0～9 (+1)。②非整数次＝0～9 (+0.2)。③非整数次＝－9～0 (+0.2)。
複素変数の第1種 Jacobi 関数
のグラフ。
複素変数の第1種 Jacobi 関数
のグラフ。
のグラフ。①整数次＝0～9 (+1)。②非整数次＝0～9 (+0.2)。③非整数次＝－9～0 (+0.2)。
複素変数の第2種 Jacobi 関数
のグラフ。
複素変数の第2種 Jacobi 関数
のグラフ。
実変数の第2種 Jacobi 関数
のグラフ。①整数次＝0～9 (+1)。②非整数次＝0～9 (+0.2)。③非整数次＝－9～0 (+0.2)。
複素変数の第2種 Jacobi 関数
のグラフ。
複素変数の第2種 Jacobi 関数
のグラフ。
Jacobi 関数（正規化）
第1種 Jacobi 関数は、次数が負でない整数
のときは、Jacobi 多項式となり、直交性
において Jacobi 多項式の無限級数に展開可能である。通常、直交関数系の理論では、
の場合に積分値が１になるように定数倍の調節をする。(これを正規化という。)これに示唆を受けて、ここでは始めから正規化され、次数
も整数に限らないとした関数
のグラフ。①整数次＝0～9 (+1)。②非整数次＝0～9 (+0.2)。③非整数次＝－9～0 (+0.2)。
複素変数の(正規化)第1種 Jacobi 関数
のグラフ。
複素変数の(正規化)第1種 Jacobi 関数
のグラフ。
実変数の(正規化)第1種 Jacobi 関数
のグラフ。①整数次＝0～9 (+1)。②非整数次＝0～9 (+0.2)。③非整数次＝－9～0 (+0.2)。
複素変数の(正規化)第1種 Jacobi 関数
のグラフ。
複素変数の(正規化)第1種 Jacobi 関数
のグラフ。
