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Jacobi 関数

Jacobi 関数

日:Jacobi関数ヤコビ関数
英:Jacobi function,仏:Fonction de Jacobi,独:Jacobische funktion

 2階の線形常微分方程式
  • Jacobiの微分方程式
は超幾何微分方程式の別表現であって、z = ±1, ∞を確定特異点とする。これを Jacobi の微分方程式といい、その解の基本系w = a*P[ν, (α, β)](z)+b*Q[ν, (α, β)](z)(a, b ∈ C)を成す二つの関数を超幾何関数で表わせば、
  • 第1種, 第2種Jacobi関数
となる。これを順に、第1種および第2種 Jacobi 関数という※1。第2種でα ∈ Zの場合は、上記の式に l'Hôpital の定理を適用する等、別の定義式が必要になる。
 このうち第1種は、常に
z=1での第1種Jacobi関数の値
となる特別な解であって、z = -1, ∞を一般に対数分岐点とし、実軸上の区間(-∞, -1]に分枝切断線が置かれる。次数がν ∈ Z<0のときはP[ν, (α, β)](z) = 0となる。
 第2種はz = ±1, ∞を一般に対数分岐点とし、実軸上の区間(-∞, -1]および[1, ∞)に分枝切断線が置かれる。ただしνが半奇数ならば、z = -1の分岐点は消える。また、ν+α ∈ Z<0 ∪ ν+β ∈ Z<0のときはQ[ν, (α, β)](z) = ∞となる。
 Jacobi 関数は、νに関して準反転性
  • 次数νに関する準反転性
を持っている。
 Jacobi 関数は、νに関する線形漸化式および微分漸化式
  • 次数νに関する漸化式
を満たす。ここにa(ν, α, β), b(ν, α, β)は、ν, α, βの三変数について1を周期とする任意の周期関数である。同様に、α, βに関しても漸化式
  • α, βに関する漸化式
を満たし、さらに、ν, α, βに関する簡易な形の漸化式
  • 簡易な形の漸化式
も満たす。
 Jacobi 関数はα, βが特別な値の組合せのとき、Gegenbauer 関数, Legendre 陪関数, および冪関数
  • 特別なα, βにおけるJacobi関数の還元
に還元され、それらの式でさらにα = 0またはα = ±1/2とすると、Legendre 関数Chebyshev 関数が現れる。一方、α, βに対して極限を取ると、Laguerre 陪関数または Hermite 関数
  • Jacobi関数のα, βに対する極限
に近付く。
 第1種 Jacobi 関数は次数がν = n ∈ N≧0ならば、多項式
  • Jacobi多項式
に還元される。これは Jacobi 多項式 (希に、超幾何多項式) と呼ばれ、応用で Jacobi 関数が使用されるのは、ほとんどこの場合に限られる。Jacobi 多項式は、母関数表示式および Rodrigues の公式
  • 母関数表示式およびRodriguesの公式
でも表わすことができ、種々の性質を導くのに便利である。Jacobi 多項式は古典的直交多項式の系統上で頂点に位置するが、その直交性についての詳細は次節で触れる。なお、Jacobi 多項式は特別なα, βを除いて一般に偶関数または奇関数にならない。
 しばしばP[ν, (α, β)](z)に代わる第1種 Jacobi 関数として、
  • 第1種Jacobi関数(G)
を定義していることがある※2。ただし、Jacobi のそれとは異なる (若干簡単な) 形の微分方程式
  • 第1種Jacobi関数(G)が満たす微分方程式
を満たす。
 第2種 Jacobi 関数についても、当サイトと違う様々な定義が存在する。例えば 「Higher Transcendental Functions vol.2」 の171頁では、
  • 第2種Jacobi関数(Ferrers型)
が掲載されている。この関数は Jacobi の微分方程式を満たし、実軸上の区間(-∞, -1]および[1, ∞)に分枝切断線が置かれる※3。
 また、同著の170頁または Wolfram MathWorld の記事 「Jacobi Function of the Second Kind」 では、第2種 Jacobi 関数版の Hobson 型とも言うべく、実軸上の区間(-∞, 1]に分枝切断線が置かれた、
  • 第2種Jacobi関数(Hobson型)
が掲載されている。この関数も Jacobi の微分方程式を満たす。
 Jacobi 関数 (多項式) は、主に回転群が関係する剛体力学や量子力学で応用される。例えば、独楽などの回転運動、正の曲率を持つ空間内での Schrödinger 方程式の解、各種の拡張された球面調和関数および Wigner のD行列に現れる。この他にも、可積分系の特殊解など応用範囲は他の古典的直交多項式と共通する部分もあるが、Jacobi 多項式で扱う内容はより高度になることが多い。さらにα, βが複素数、zが純虚数となる Jacobi 多項式のうち、特別な場合
  • Romanovski多項式
も応用事例があり、これは Romanovski 多項式と呼ばれる※4。粒子ポテンシャルが余接関数となった Schrödinger 方程式の解、ランダム行列理論が事例として知られている。
 Jacobi 多項式は、1859年に C. G. J. Jacobi が導入したことから、その名で呼ばれるようになった。また、1870年には P. L. Chebyshev が一般の多項式論を展開した際に、併せて Jacobi 多項式を論じた。Romanovski 多項式は、1929年に V. I. Romanovsky (Romanovski) がある種の確率分布を研究した際に導入した。

【註記】
 ※1:第2種 Jacobi 関数Q[ν, (α, β)](z)は当サイトが独自に定義したものであって、P[ν, (α, β)](z)が余弦関数に相当すると見たとき、Q[ν, (α, β)](z)は正弦関数に相当する。(この事は、後にグラフでも確認する。また、第2種関数の定義に対する当サイトの方針は、別頁 Questions に掲示している。)
 なお、第2種 Jacobi 関数の定義として広く採用されているのはQh[ν,(α, β)](z)である。

 ※2:G[ν](p, q, z)のグラフは全て省略する。(実変数も、概形の関心領域が決定しづらいので省略する。)

 ※3:Qf[ν,(α, β)](z)のグラフはQ[ν, (α, β)](z)と似ているので、zを変数とする場合のみ掲載し、個数も削減する。

 ※4:R[ν,(α, β)](z)のグラフも全て省略する。(同じく、概形の制御が難しいことに因る。)

P[ν, (α, β)](z)

 xを実変数とする、第1種 Jacobi 関数のグラフ。整数次P[n, (2.7, 0.4)](x)(Jacobi 多項式)。実数次P[ν, (2.7, 0.4)](x)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、第1種 Jacobi 関数P[ν, (2.7, 0.4)](x)のグラフ。ν = -3.7, -4.7, -5.7, …では関数が定義されない。
 2番目は、ν ≦ -3の範囲を拡大した場合。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数)

 xを実変数とする、第1種 Jacobi 関数のグラフ。整数次P[n, (-0.4, 2.7)](x)(Jacobi 多項式)。実数次P[ν, (-0.4, 2.7)](x)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、第1種 Jacobi 関数P[ν, (-0.4, 2.7)](x)のグラフ。ν = -0.6, -1.6, -2.6, …では関数が定義されない。
 2番目は、-7 ≦ ν ≦ 0の範囲を拡大した場合。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数)

 xを実変数とする、第1種 Jacobi 関数のグラフ。整数次P[n, (0.4, -2.7)](x)(Jacobi 多項式)。実数次P[ν, (0.4, -2.7)](x)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、第1種 Jacobi 関数P[ν, (0.4, -2.7)](x)のグラフ。ν = -1.4, -2.4, -3.4, …では関数が定義されない。
 2番目は、-8 ≦ ν ≦-1の範囲を拡大した場合。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数)

 xを実変数とする、第1種 Jacobi 関数のグラフ。整数次P[n, (-2.7, -0.4)](x)(Jacobi 多項式)。実数次P[ν, (-2.7, -0.4)](x)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、第1種 Jacobi 関数P[ν, (-2.7, -0.4)](x)のグラフ。ν = 1.7, 0.7, -0.3, -1.3, …では関数が定義されない。
 2番目は、-6 ≦ ν ≦ 2の範囲を拡大した場合。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数)

 アニメーション(27.0MB)
 xを実変数とする、第1種 Jacobi 関数P[ν, (α, β)](x)のグラフ。ただし実数α, βの組は、2番目の図の経路に沿って動く。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実変数:動画)
  • α,βの経路図

 zを複素変数とする、第1種 Jacobi 関数P[2.7, (6.1, 9.2)](z)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第1種 Jacobi 関数P[-5.9, (4.4, -5.3)](z)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第1種 Jacobi 関数P[4.3+3i, (-3.4+7i, -3+6i)](z)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第1種 Jacobi 関数P[-4.4+5i, (6-3i, 2.7-4i)](z)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第1種 Jacobi 関数P[-7.7i, (-7i, -2.4+8i)](z)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 アニメーション(17.8MB)
 zを複素変数とする、第1種 Jacobi 関数P[2.7, (α, β)](z)のグラフ。ただし実数α, βの組は、2番目の図の経路に沿って動く。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数:動画)
  • α,βの経路図

P[ν, (α, β)](z) (変数ν)

 νを実変数とする、第1種 Jacobi 関数のグラフ。P[ν, (1.6, 3.3)](x)P[ν, (-5.7, -0.8)](x)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実変数ν)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実変数ν)

 νを複素変数とする、第1種 Jacobi 関数P[ν, (1.6, 3.3)](0.5)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)

 νを複素変数とする、第1種 Jacobi 関数P[ν, (-5.7, -0.8)](0.1)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)

 νを複素変数とする、第1種 Jacobi 関数P[ν, (-5-i, -1+3i)](-0.5i)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)

P[ν, (α, β)](z) (変数α)

 αを実変数とする、第1種 Jacobi 関数P[6.7, (α, 4.6)](x)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実変数α)

 α, xを実2変数とする、第1種 Jacobi 関数P[6.7, (α, 4.6)](x)のグラフ。α = -7.7, -8.7, -9.7, …では関数が定義されない。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数α,x)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数α,x)

 αを実変数とする、第1種 Jacobi 関数P[-3.2, (α, -3.7)](x)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実変数α)

 α, xを実2変数とする、第1種 Jacobi 関数P[-3.2, (α, -3.7)](x)のグラフ。α = 2.2, 1.2, 0.2, -0.8, -1.8, …では関数が定義されない。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数α,x)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数α,x)

 αを複素変数とする、第1種 Jacobi 関数P[6.7, (α, 4.6)](-0.8)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)

 αを複素変数とする、第1種 Jacobi 関数P[-3+i, (α, 6-3i)](-i)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)

P[ν, (α, β)](z) (変数β)

 βを実変数とする、第1種 Jacobi 関数P[5.3, (3.6, β)](x)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実変数β)

 β, xを実2変数とする、第1種 Jacobi 関数P[5.3, (3.6, β)](x)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数β,x)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数β,x)

 βを実変数とする、第1種 Jacobi 関数P[-1.2, (-7.7, β)](x)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実変数β)

 β, xを実2変数とする、第1種 Jacobi 関数P[-1.2, (-7.7, β)](x)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数β,x)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数β,x)

 βを複素変数とする、第1種 Jacobi 関数P[-1.2, (-7.7, β)](-0.3)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)

 βを複素変数とする、第1種 Jacobi 関数P[5+i, (-3+8i, β)](-1+i)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)

P[ν, (α, β)](z) (変数ν,α)

 ν, αを実2変数とする、第1種 Jacobi 関数P[ν, (α, 2.3)](0.5)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)

 ν, αを実2変数とする、第1種 Jacobi 関数P[ν, (α, 2.3)](-0.3)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)

 ν, αを実2変数とする、第1種 Jacobi 関数P[ν, (α, -2.3)](0.5)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)

 ν, αを実2変数とする、第1種 Jacobi 関数P[ν, (α, -2.3)](-0.3)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)

P[ν, (α, β)](z) (変数ν,β)

 ν, βを実2変数とする、第1種 Jacobi 関数P[ν, (1.2, β)](0.5)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)

 ν, βを実2変数とする、第1種 Jacobi 関数P[ν, (1.2, β)](-0.3)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)

 ν, βを実2変数とする、第1種 Jacobi 関数P[ν, (-1.2, β)](0.5)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)

 ν, βを実2変数とする、第1種 Jacobi 関数P[ν, (-1.2, β)](-0.3)のグラフ。
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 第1種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)

Q[ν, (α, β)](z)

 xを実変数とする、第2種 Jacobi 関数のグラフ。整数次Q[n, (2.7, 0.4)](x)実数次Q[ν, (2.7, 0.4)](x)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[ν, (2.7, 0.4)](x)のグラフ。ν = -3.7, -4.7, -5.7, …およびν = -1.4, -2.4, -3.4, …では関数が定義されない。
 2番目は、-8 ≦ ν ≦-1の範囲を拡大した場合。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数)

 xを実変数とする、第2種 Jacobi 関数のグラフ。整数次Q[n, (-0.4, 2.7)](x)実数次Q[ν, (-0.4, 2.7)](x)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[ν, (-0.4, 2.7)](x)のグラフ。ν = -0.6, -1.6, -2.6, …およびν = -3.7, -4.7, -5.7, …では関数が定義されない。
 2番目は、-7 ≦ ν ≦ 0の範囲を拡大した場合。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数)

 xを実変数とする、第2種 Jacobi 関数のグラフ。整数次Q[n, (0.4, -2.7)](x)実数次Q[ν, (0.4, -2.7)](x)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[ν, (0.4, -2.7)](x)のグラフ。ν = -1.4, -2.4, -3.4, …およびν = 1.7, 0.7, -0.3, -1.3, …では関数が定義されない。
 2番目は、-5 ≦ ν ≦ 2の範囲を拡大した場合。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数)

 xを実変数とする、第2種 Jacobi 関数のグラフ。整数次Q[n, (-2.7, -0.4)](x)実数次Q[ν, (-2.7, -0.4)](x)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[ν, (-2.7, -0.4)](x)のグラフ。ν = -0.6, -1.6, -2.6, …およびν = 1.7, 0.7, -0.3, -1.3, …では関数が定義されない。
 2番目は、-5 ≦ ν ≦ 2の範囲を拡大した場合。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数)

 zを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[2.7, (6.1, 9.2)](z)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[-5.9, (4.4, -5.3)](z)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[4.3+3i, (-3.4+7i, -3+6i)](z)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[-4.4+5i, (6-3i, 2.7-4i)](z)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[-7.7i, (-7i, -2.4+8i)](z)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 アニメーション(18.5MB)
 zを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[2.7, (α, β)](z)のグラフ。ただし実数α, βの組は、2番目の図の経路に沿って動く。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数:動画)
  • α,βの経路図

Q[ν, (α, β)](z) (変数ν)

 νを実変数とする、第2種 Jacobi 関数のグラフ。Q[ν, (1.6, 3.3)](x)Q[ν, (-5.7, -0.8)](x)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数ν)

 νを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[ν, (1.6, 3.3)](0.5)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)

 νを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[ν, (-5.7, -0.8)](0.1)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)

 νを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[ν, (-5-i, -1+3i)](-0.5i)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)

Q[ν, (α, β)](z) (変数α)

 αを実変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[6.7, (α, 4.6)](x)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数α)

 α, xを実2変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[6.7, (α, 4.6)](x)のグラフ。α = -7.7, -8.7, -9.7, …では関数が定義されない。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数α,x)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数α,x)

 αを実変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[-3.2, (α, -3.7)](x)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数α)

 α, xを実2変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[-3.2, (α, -3.7)](x)のグラフ。α = 2.2, 1.2, 0.2, -0.8, -1.8, …では関数が定義されない。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数α,x)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数α,x)

 αを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[6.7, (α, 4.6)](-0.8)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)

 αを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[-3+i, (α, 6-3i)](-i)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)

Q[ν, (α, β)](z) (変数β)

 βを実変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[5.3, (3.6, β)](x)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数β)

 β, xを実2変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[5.3, (3.6, β)](x)のグラフ。β = -6.3, -7.3, -8.3, …では関数が定義されない。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数β,x)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数β,x)

 βを実変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[-1.2, (-7.7, β)](x)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数β)

 β, xを実2変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[-1.2, (-7.7, β)](x)のグラフ。β = 0.2, -0.8, -1.8, …では関数が定義されない。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数β,x)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数β,x)

 βを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[-1.2, (-7.7, β)](-0.3)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)

 βを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[5+i, (-3+8i, β)](-1+i)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)

Q[ν, (α, β)](z) (変数ν,α)

 ν, αを実2変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[ν, (α, 2.3)](0.5)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)

 ν, αを実2変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[ν, (α, 2.3)](-0.3)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)

 ν, αを実2変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[ν, (α, -2.3)](0.5)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)

 ν, αを実2変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[ν, (α, -2.3)](-0.3)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)

Q[ν, (α, β)](z) (変数ν,β)

 ν, βを実2変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[ν, (1.2, β)](0.5)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)

 ν, βを実2変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[ν, (1.2, β)](-0.3)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)

 ν, βを実2変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[ν, (-1.2, β)](0.5)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)

 ν, βを実2変数とする、第2種 Jacobi 関数Q[ν, (-1.2, β)](-0.3)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)

P[ν, (α, β)](z)とQ[ν, (α, β)](z)の関係

 余弦・正弦関数に類似したP[ν, (α, β)](x)Q[ν, (α, β)](x)の関係。このとき、両者の包絡線は±Sqrt[P[ν, (α, β)](x)^2+Q[ν, (α, β)](x)^2]となる。
  • 第1種・第2種Jacobi関数の関係(実変数)
  • 第1種・第2種Jacobi関数の関係(実変数)
  • 第1種・第2種Jacobi関数の関係(実変数)
  • 第1種・第2種Jacobi関数の関係(実変数)
  • 第1種・第2種Jacobi関数の関係(実変数ν)
  • 第1種・第2種Jacobi関数の関係(実変数α)
  • 第1種・第2種Jacobi関数の関係(実変数β)
  • 第1種・第2種Jacobi関数の関係(実2変数ν,x)
  • 第1種・第2種Jacobi関数の関係(実2変数ν,x)
  • 第1種・第2種Jacobi関数の関係(実2変数ν,x)
  • 第1種・第2種Jacobi関数の関係(実2変数ν,x)
  • 第1種・第2種Jacobi関数の関係(実2変数ν,α)
  • 第1種・第2種Jacobi関数の関係(実2変数ν,β)

Qf[ν, (α, β)](z)

 xを実変数とする、第2種 Jacobi 関数のグラフ。整数次Qf[n, (2.7, 0.4)](x)実数次Qf[ν, (2.7, 0.4)](x)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)

 xを実変数とする、第2種 Jacobi 関数のグラフ。整数次Qf[n, (-0.4, 2.7)](x)実数次Qf[ν, (-0.4, 2.7)](x)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)

 xを実変数とする、第2種 Jacobi 関数のグラフ。整数次Qf[n, (0.4, -2.7)](x)実数次Qf[ν, (0.4, -2.7)](x)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)

 xを実変数とする、第2種 Jacobi 関数のグラフ。整数次Qf[n, (-2.7, -0.4)](x)実数次Qf[ν, (-2.7, -0.4)](x)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)

 zを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Qf[2.7, (6.1, 9.2)](z)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Qf[-4.4+5i, (6-3i, 2.7-4i)](z)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

Qh[ν, (α, β)](z)

 xを実変数とする、第2種 Jacobi 関数のグラフ。いずれも実数次であって、Qh[ν, (2.7, 0.4)](x)Qh[ν, (-0.4, 2.7)](x)Qh[ν, (0.4, -2.7)](x)Qh[ν, (-0.4, -2.7)](x)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(実変数)

 zを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Qh[2.7, (6.1, 9.2)](z)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Qh[-5.9, (4.4, -5.3)](z)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Qh[-4.4+5i, (6-3i, 2.7-4i)](z)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 アニメーション(20.4MB)
 zを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Qh[2.7, (α, β)](z)のグラフ。ただし実数α, βの組は、2番目の図の経路に沿って動く。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数:動画)
  • α,βの経路図

Qh[ν, (α, β)](z) (変数ν)

 νを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Qh[ν, (-5.7, -0.8)](0.1)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)

 νを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Qh[ν, (-5-i, -1+3i)](-0.5i)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)

Qh[ν, (α, β)](z) (変数α)

 αを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Qh[6.7, (α, 4.6)](-0.8)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)

 αを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Qh[-3+i, (α, 6-3i)](-i)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数α)

Qh[ν, (α, β)](z) (変数β)

 βを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Qh[-1.2, (-7.7, β)](-0.3)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)

 βを複素変数とする、第2種 Jacobi 関数Qh[-2-3i, (-8+2i, β)](-0.7+0.1i)のグラフ。
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種Jacobi関数のグラフ(複素変数β)

Jacobi 関数(正規化)

 Jacobi 多項式P[n, (α, β)](x)は、直交区間を[-1, 1]とする直交多項式であり、重み関数を伴う直交性
  • Jacobi多項式の直交性
を持っている。拡張された球面調和関数などの応用事例では、上記にx = cos(θ)の置換積分を施した
  • Jacobi多項式の直交性(余弦関数置換)
がしばしば必要になる。
 もし、前節で触れたG[n](p, q, x)を Jacobi 多項式とするならば、その直交区間は[0, 1]となり、
  • Jacobi多項式(G)の直交性
なる直交性を持つ直交多項式となる。
 Jacobi 多項式は、超幾何関数系で最も複雑な直交性を持つ古典的直交多項式であり、添字定数 (次数n以外のパラメーター) が2個ある唯一のものである。
 当サイトでは Jacobi 関数に対しても、独自に
  • 正規化Jacobi関数
を導入し、正規化 Jacobi 関数と呼ぶ※1。よって、{Pn[n, (α, β)](x)} (n ∈ N≧0)正規直交関数系を成すとともに、重み関数が現れない直交性
  • 正規化Jacobi多項式の直交性
を満たす。

【註記】
 ※1:関数記号は正規化 (Normalization) に基づく。また、当サイトではν, α, βおよびzを複素数まで許容する。他の直交多項式と同様に、A(ν, α, β)を対数ガンマ関数で表示しているのは、ν, α, βを複素変数とする場合に解析接続が考慮されるようにするためである。

Pn[ν, (α, β)](z)

 xを実変数とする、正規化 Jacobi 関数のグラフ。整数次Pn[n, (2.7, 0.4)](x)実数次Pn[ν, (2.7, 0.4)](x)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[ν, (2.7, 0.4)](x)のグラフ。ν < -1では関数が実数値を取らない帯状領域がある。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数)

 xを実変数とする、正規化 Jacobi 関数のグラフ。整数次Pn[n, (-0.4, 2.7)](x)実数次Pn[ν, (-0.4, 2.7)](x)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[ν, (-0.4, 2.7)](x)のグラフ。ν ≦ -0.6では関数が実数値を取らない帯状領域がある。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数)

 xを実変数とする、正規化 Jacobi 関数のグラフ。整数次Pn[n, (0.4, -2.7)](x)実数次Pn[ν, (0.4, -2.7)](x)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[ν, (0.4, -2.7)](x)のグラフ。ν < 1.7では関数が実数値を取らない帯状領域がある。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数)

 xを実変数とする、正規化 Jacobi 関数のグラフ。整数次Pn[n, (-2.7, -0.4)](x)実数次Pn[ν, (-2.7, -0.4)](x)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実変数)

 ν, xを実2変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[ν, (-2.7, -0.4)](x)のグラフ。ν ≦ 2.1では関数が実数値を取らない帯状領域がある。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数)

 zを複素変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[2.7, (6.1, 9.2)](z)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[-5.9, (4.4, -5.3)](z)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[4.3+3i, (-3.4+7i, -3+6i)](z)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)

 zを複素変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[-7.7i, (-7i, -2.4+8i)](z)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数)

Pn[ν, (α, β)](z) (変数ν)

 νを実変数とする、正規化 Jacobi 関数のグラフ。Pn[ν, (1.6, 3.3)](x)Pn[ν, (-5.7, -0.8)](x)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実変数ν)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実変数ν)

 νを複素変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[ν, (1.6, 3.3)](0.5)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)

 νを複素変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[ν, (-5.7, -0.8)](0.1)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)

 νを複素変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[ν, (-5-i, -1+3i)](-0.5i)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数ν)

Pn[ν, (α, β)](z) (変数α)

 αを実変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[6.7, (α, 4.6)](x)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実変数α)

 α, xを実2変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[6.7, (α, 4.6)](x)のグラフ。α ≦ -7.7では関数が実数値を取らない帯状領域がある。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数α)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数α)

 αを実変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[-3.2, (α, -3.7)](x)のグラフ。α > 9.1では関数が実数値を取らない。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実変数α)

 α, xを実2変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[-3.2, (α, -3.7)](x)のグラフ。α ≦ 5.9では関数が実数値を取らない帯状領域がある。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数α)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数α)

 αを複素変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[6.7, (α, 4.6)](-0.8)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数α)

 αを複素変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[-3+i, (α, 6-3i)](-i)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数α)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数α)

Pn[ν, (α, β)](z) (変数β)

 βを実変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[5.3, (3.6, β)](x)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実変数β)

 β, xを実2変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[5.3, (3.6, β)](x)のグラフ。β < -6.3では関数が実数値を取らない帯状領域がある。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数β)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数β)

 βを実変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[-1.2, (-7.7, β)](x)のグラフ。β > 9.1では関数が実数値を取らない。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実変数β)

 β, xを実2変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[-1.2, (-7.7, β)](x)のグラフ。β < 7.9では関数が実数値を取らない帯状領域がある。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数β)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数β)

 βを複素変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[-1.2, (-7.7, β)](-0.3)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数β)

 βを複素変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[5+i, (-3+8i, β)](-1+i)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数β)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(複素変数β)

Pn[ν, (α, β)](z) (変数ν,α)

 ν, αを実2変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[ν, (α, 2.3)](0.5)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)

 ν, αを実2変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[ν, (α, 2.3)](-0.3)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)

 ν, αを実2変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[ν, (α, -2.3)](0.5)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)

 ν, αを実2変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[ν, (α, -2.3)](-0.3)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,α)

Pn[ν, (α, β)](z) (変数ν,β)

 ν, βを実2変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[ν, (1.2, β)](0.5)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)

 ν, βを実2変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[ν, (1.2, β)](-0.3)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)

 ν, βを実2変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[ν, (-1.2, β)](0.5)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)

 ν, βを実2変数とする、正規化 Jacobi 関数Pn[ν, (-1.2, β)](-0.3)のグラフ。
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 正規化Jacobi関数のグラフ(実2変数ν,β)

Zernike 関数

日:Zernike関数ゼルニケ関数
英:Zernike function,仏:Fonction de Zernike,独:Zernikesche funktion

 Zernike 関数は、第1種 Jacobi 関数を用いた表示式
  • Zernike関数
で定義される※1。一般に Zernike 関数は、ρ = ±1, ∞を第1種 Jacobi 関数に由来する対数分岐点、ρ = 0ρ^μに由来する分岐点とし、実軸上の区間(-∞, 0)および[1, ∞)に分枝切断線が置かれる (特にμ ∈ Zのときは、実軸上の区間(-∞, -1]および[1, ∞)に分枝切断線が置かれる)。
 Zernike 関数は、νに関する線形漸化式および微分漸化式
  • Zernike関数の次数νに関する漸化式
を満たす。また、ν, μ, ρ ∈ Rとするとき、積分表示式
  • Zernike関数の積分表示式
で表わせる。
 後述のとおり、応用ではR[ν, μ](ρ)を動径方向の関数と考え、方位角φ方向の因子を三角関数とした、
  • 円板上のZernike関数
が定義される。当サイトでは、これを 「円板上の Zernike 関数」 と呼ぶことにする。
 R[ν, μ](ρ)およびZ[ν, μ](ρ, φ)のうち、実際に応用面で重要となるのは、専らν = n ∈ Z, μ = m ∈ Zで、しかもn-m ∈ Even∩ n ≧ Abs(m)となる場合に限られる。このとき、R[n, m](ρ)は前述の分枝切断線が消失して多項式となるので、Zernike 多項式と呼ばれる。また、Z[n, m](ρ, φ)を 「円板上の Zernike 多項式」 と呼ぶことにする。
 Zernike 多項式は、母関数表示式および Rodrigues の公式※2
  • Zernike多項式の母関数表示式およびRodriguesの公式
で表わせる他、超幾何関数表示式および明示的な多項式
  • Zernike多項式の明示式
によっても表わせる。(実は、冒頭に掲げた定義式に現れる第1種 Jacobi 関数の部分は、Zernike 多項式のときに第1種 Legendre 関数の多項式で表わすことができる※3。)
 Zernike 多項式の特に重要な性質は、重み関数ρを伴う直交性
  • Zernike多項式の直交性
を持つことである。しかし、各種公式の形が枠組みから外れる等の理由で、Zernike 多項式は古典的直交多項式に含めない慣例となっている。
 Zernike 多項式は光学の分野で重要であり、特に、天文学および眼科領域で使用されるレンズや精密光学機器の性能を向上する (歪みや干渉を抑える) ために応用される。また、画像処理における特徴検出にも Zernike 多項式が現れ、その技術は医療機器等に応用されている。これらの事例では、円板上の Zernike 多項式が持つ単位円板内部での直交性
  • 円板上のZernike多項式の直交性
が基礎となっている。
 1932年に位相差顕微鏡を発明した F. Zernike は、これに必要となる円形凹面鏡の設計とその回折現象の解明にあたって、新たに Zernike 多項式を導入した事を1934年の論文で明らかにしたので、後年その名を冠して呼ばれるようになった。

【註記】
 ※1:因子cos((ν-μ)π/2)は Mathematica が採用する定義 (2023年1月現在) であって、通常この部分は(-1)^(ν-μ)/2で定義される。ところが前者は、ν, μが整数でない実数のときでも、R[ν, μ](ρ)(0 ≦ ρ < 1)が実数値を取るという利点を持つ。Mathematica が今後この定義を変更する可能性もあるが、当サイトはこれを採用する。よって、Zernike 多項式を超えるν, μおよびρの場合についてもグラフを掲載するが、物理的な意味を全く持たないので、その個数を若干削減する (例えば、νまたはμを複素変数とするグラフは省略する)。

 ※2:微分形式d(ρ^2) = 2ρ*dρによる表現を用いず、この公式を次のように解釈しても良い。
  • Zernike多項式のRodriguesの公式(解釈)

 ※3:この事は、P[n, (m, 0)](z) = P[n, m](z)が満たす漸化式
  • Zernike多項式の還元(漸化式による)
から分かる。

R[n, m](ρ)

 ρを実変数とする、Zernike 多項式のグラフ。R[n, 0](ρ)R[n, 1](ρ)R[n, 2](ρ)R[n, 3](ρ)
  • Zernike多項式のグラフ(実変数)
  • Zernike多項式のグラフ(実変数)
  • Zernike多項式のグラフ(実変数)
  • Zernike多項式のグラフ(実変数)

 ρを実変数とする、Zernike 多項式のグラフ。R[20, m](ρ)R[21, m](ρ)R[22, m](ρ)R[23, m](ρ)
  • Zernike多項式のグラフ(実変数)
  • Zernike多項式のグラフ(実変数)
  • Zernike多項式のグラフ(実変数)
  • Zernike多項式のグラフ(実変数)

Z[n, m](ρ, φ)

 円板上の Zernike 多項式Z[n, m](ρ, φ)のグラフ。n = 0, 1, 2, 3, 4の場合。
 (通常はこの表示形式のグラフを、「Zernike 多項式のグラフ」 として紹介している事が多い。)
  • 円板上のZernike多項式のグラフ(実2変数ρ,φ)
  • 円板上のZernike多項式のグラフ(実2変数ρ,φ)

 前述の直交性により、Z[n, m](ρ, φ)のグラフは単位円内部に限定することが多いが、関数自体は外部にも存在する。
  • 円板上のZernike多項式のグラフ(実2変数ρ,φ)

 円板上の Zernike 多項式Z[n, m](ρ, φ)のグラフ。n = 16の場合。
  • 円板上のZernike多項式のグラフ(実2変数ρ,φ)
  • 円板上のZernike多項式のグラフ(実2変数ρ,φ)

 円板上の Zernike 多項式Z[n, m](ρ, φ)のグラフ。n = 17の場合。
  • 円板上のZernike多項式のグラフ(実2変数ρ,φ)
  • 円板上のZernike多項式のグラフ(実2変数ρ,φ)

 n ≧ 0を共通とする、円板上の Zernike 多項式Z[n, m](ρ, φ)の有限和
  • 円板上のZernike多項式の有限和
が成立する。これは、Bessel 関数の公式 「Jacobi - Anger expansion」 に似ている。
 Zx[16](ρ, φ)+Zy[16](ρ, φ)のグラフ。
  • 円板上のZernike多項式のグラフ(実2変数ρ,φ)

 Zx[17](ρ, φ)+Zy[17](ρ, φ)のグラフ。
  • 円板上のZernike多項式のグラフ(実2変数ρ,φ)

R[ν, μ](ρ)

 ρを実変数とする、Zernike 関数R[ν, 0](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(実変数)

 ν, ρを実2変数とする、Zernike 関数R[ν, 0](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(実2変数ν,ρ)
  • Zernike関数のグラフ(実2変数ν,ρ)

 ρを実変数とする、Zernike 関数R[ν, 1](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(実変数)

 ν, ρを実2変数とする、Zernike 関数R[ν, 1](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(実2変数ν,ρ)
  • Zernike関数のグラフ(実2変数ν,ρ)

 ρを実変数とする、Zernike 関数R[ν, 2](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(実変数)

 ν, ρを実2変数とする、Zernike 関数R[ν, 2](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(実2変数ν,ρ)
  • Zernike関数のグラフ(実2変数ν,ρ)

 ρを実変数とする、Zernike 関数R[ν, 3](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(実変数)

 ν, ρを実2変数とする、Zernike 関数R[ν, 3](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(実2変数ν,ρ)
  • Zernike関数のグラフ(実2変数ν,ρ)

 ρを実変数とする、Zernike 関数R[20, μ](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(実変数)

 μ, ρを実2変数とする、Zernike 関数R[20, μ](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(実2変数μ,ρ)
  • Zernike関数のグラフ(実2変数μ,ρ)

 ρを実変数とする、Zernike 関数R[21, μ](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(実変数)

 μ, ρを実2変数とする、Zernike 関数R[21, μ](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(実2変数μ,ρ)
  • Zernike関数のグラフ(実2変数μ,ρ)

 ρを実変数とする、Zernike 関数R[22, μ](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(実変数)

 μ, ρを実2変数とする、Zernike 関数R[22, μ](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(実2変数μ,ρ)
  • Zernike関数のグラフ(実2変数μ,ρ)

 ρを実変数とする、Zernike 関数R[23, μ](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(実変数)

 μ, ρを実2変数とする、Zernike 関数R[23, μ](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(実2変数μ,ρ)
  • Zernike関数のグラフ(実2変数μ,ρ)

 ν, μを実2変数とする、Zernike 関数R[ν, μ](0.5)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(実2変数ν,μ)
  • Zernike関数のグラフ(実2変数ν,μ)

 ρを複素変数とする、Zernike 関数R[3.7, 6.6](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)

 ρを複素変数とする、Zernike 関数R[3.7, -6.6](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)

 ρを複素変数とする、Zernike 関数R[-4+i, 6.4-3i](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)

 ρを複素変数とする、Zernike 関数R[6+3i, -5.3+5i](ρ)のグラフ。
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)
  • Zernike関数のグラフ(複素変数)

Z[ν, μ](ρ, φ)

 円板上の Zernike 関数Z[ν, μ](ρ, φ)のグラフ。ν = 8.7; μ = 0.3, 1.3, … , 8.3の場合。
  • 円板上のZernike関数のグラフ(実2変数ρ,φ)
  • 円板上のZernike関数のグラフ(実2変数ρ,φ)

Wigner のD関数

日:WignerのD関数ウィグナーD関数
英:Wigner's D function,仏:Fonction D de Wigner,独:Wignersche D-funktion

 角度0≦ψ,φ<2π ; 0≦θ≦π(ただし、この制限はしばしば不要になる) は、3次元直交直線座標{x, y, z}における原点中心の回転変換を指定する、(z→y→z回転系の) Euler 角(ψ, θ, φ)であるとする※1。
 このとき Wigner のD行列D[2j+1]とは、2j+1次のユニタリー行列 (ユニタリー性conj(T(D[2j+1]))・D[2j+1] = I[2j+1]を持つ2j+1次の複素正方行列。ここに、I[2j+1]2j+1次の単位行列。)
  • WignerのD行列
であって、具体的にその要素D[m, n]が、Wigner のD関数
  • WignerのD関数・d関数
によりD[m, n] = D[m, n, j](ψ, θ, φ)と表わされる行列を言う※2。特にd[m, n, j](θ) = D[m, n, j](0, θ, 0)の部分は Wigner のd関数と呼ばれ、これの Jacobi 関数部分は、超幾何関数による閉形式または有限和で表示されることもある。
 Wigner のD関数およびd関数は、m, nについて反転性
  • WignerのD関数・d関数の反転性
を持つ。また、偏微分演算子を
  • 偏微分演算子JおよびP
と定めるとき、Wigner のD関数の共役複素数は
  • WignerのD関数の共役複素数が満たす偏微分方程式
なる偏微分方程式を満たす※3。すなわちj*(j+1), m, n等は、この偏微分方程式の固有値である。
 さらに、Wigner のD関数は Euler 角(ψ, θ, φ)の全体をわたる直交性
  • WignerのD関数が満たす直交性
を持っている。
 Wigner のD関数は、球面調和関数およびその拡張と関係がある。例えばn = 0のとき、球面調和関数
  • WignerのD関数から球面調和関数への還元
に還元される。一方、量子力学における "スピン" を考慮した 「スピン加重球面調和関数 (Spin weighted spherical harmonics)」 は、Wigner のd関数を用いて、
  • スピン加重球面調和関数
と表わされる。
 また重要な事実として、有限和
  • WignerのD関数の有限和
は、球面調和関数Y[j, n](θ, φ)を (z→y→z回転系の) Euler 角(α, β, γ)で回転変換したものと一致する。
 Wigner のD行列は、回転群 (特殊直交群)SO(3)または特殊ユニタリー群SU(2)の既約行列表現 (各群の元全体から行列が成す群への写像) として、E. P. Wigner が1927年に導出した。主に、スピン角運動量が伴う量子力学、並びにその有限次元 Lie 群による表現論に応用される。

【註記】
 ※1:(z→y→z回転系の) Euler 角(ψ, θ, φ)は、具体的に次の手順で回転が定まる。
  z軸周りにψ度回転
  前記で移動後のy軸周りにθ度回転
  前記で移動後のz軸周りにφ度回転
これをアニメーション (3.72MB) で示すと、次のようになる。
  • z→y→z回転系のEuler角の動画
 同様に、他の回転系を採用することも可能であり、全部で12種類の回転系がある。

 ※2:Mathematica の組込関数WignerD[{j,m,n},ψ,θ,φ] =MathD[m, n, j](ψ, θ, φ)は、添字j, m, nが整数でもなく半奇数でもない場合にも定義されており、しかもψ, θ, φが複素数の場合でも計算可能である。それは次のコードと全く同じ動作になる (2023年3月現在)。
  • WignerDのコード
 このとき、MathD[m, n, j](ψ, θ, φ)と通常の定義D[m, n, j](ψ, θ, φ)の関係は (添字と変数の拡張も含めて)、
  • Mathematica組込関数との関係
となる。なお、コード GaussHypergeometric.m では、Mathematica の組込関数よりも更に解析接続を施した Wigner のD関数も実装した。

 ※3:Wikipedia の記事にあるとおり、偏微分演算子J[k] (k = 1, 2, 3)等を Lie 代数の生成子と考え、更に量子力学で多用されるケット記号|〉を用いて、しばしばこの偏微分方程式は
  • ケット記号を用いて略記した偏微分方程式
の形に略記される。

d[j, m, n](θ)

 θを実変数とする、Wigner のd関数のグラフ。
 d[m, n, 2](θ)m, n = -2, -1, …, 1, 2のうち、重複を除いた関数は12種類。)
 d[m, n, 3](θ)m, n = -3, -2, …, 2, 3のうち、重複を除いた関数は22種類。)
 d[m, n, 3/2](θ)m, n = -3/2, -1/2, …, 1/2, 3/2のうち、重複を除いた関数は9種類。)
 d[m, n, 5/2](θ)m, n = -5/2, -3/2, …, 3/2, 5/2のうち、重複を除いた関数は18種類。)
  • Wignerのd関数のグラフ(実変数θ)
  • Wignerのd関数のグラフ(実変数θ)
  • Wignerのd関数のグラフ(実変数θ)
  • Wignerのd関数のグラフ(実変数θ)

 m, nを整2変数とする、Wigner のd関数d[m, n, 40](π/4)のグラフ。
  • Wignerのd関数のグラフ(整2変数 m, n)
  • Wignerのd関数のグラフ(整2変数 m, n)

 m, nを整2変数とする、Wigner のd関数d[m, n, 40](π/2)のグラフ。
  • Wignerのd関数のグラフ(整2変数 m, n)
  • Wignerのd関数のグラフ(整2変数 m, n)

 m, nを整2変数、θを実変数とする、Wigner のd関数d[m, n, 20](θ)のグラフ。描画範囲が0≦θ≦πの場合。描画範囲が-π/2≦θ≦π/2の場合。
  • Wignerのd関数のグラフ(整2変数 m, n;実変数θ)
  • Wignerのd関数のグラフ(整2変数 m, n;実変数θ)

 0≦j≦40, m, nを整3変数とする、Wigner のd関数のグラフ。d[m, n, j](π/3)d[m, n, j](π/2)
  • Wignerのd関数のグラフ(整3変数 j, m, n)
  • Wignerのd関数のグラフ(整3変数 j, m, n)

D[j, m, n](ψ, θ, φ)

 ψ, θを変数とする、Wigner のD関数Abs(D[m, n, 3](ψ, θ, 0)),Abs(Re(D[m, n, 3](ψ, θ, 0))),Abs(Im(D[m, n, 3](ψ, θ, 0)))のグラフ。(ただし、ψを極座標の方位角、θを極座標の天頂角として描画する:以下同様。)
  • WignerのD関数のグラフ(変数ψ,θ)
  • WignerのD関数のグラフ(変数ψ,θ)
  • WignerのD関数のグラフ(変数ψ,θ)

 ψ, θを変数とする、Wigner のD関数Abs(D[m, n, 5/2](ψ, θ, 0)),Abs(Re(D[m, n, 5/2](ψ, θ, 0))),Abs(Im(D[m, n, 5/2](ψ, θ, 0)))のグラフ。
  • WignerのD関数のグラフ(変数ψ,θ)
  • WignerのD関数のグラフ(変数ψ,θ)
  • WignerのD関数のグラフ(変数ψ,θ)

 アニメーション(3.66MB, 3.62MB, 3.61MB)
 ψ, θを変数とする、Wigner のD関数Abs(D[4, 3, 7](ψ, θ, φ)),Abs(Re(D[4, 3, 7](ψ, θ, φ))),Abs(Im(D[4, 3, 7](ψ, θ, φ)))のグラフについて、φを動かしたときの動画。
  • WignerのD関数のグラフ(変数ψ,θ:動画)
  • WignerのD関数のグラフ(変数ψ,θ:動画)
  • WignerのD関数のグラフ(変数ψ,θ:動画)

 アニメーション(4.18MB, 4.35MB, 4.28MB)
 ψ, θを変数とする、Wigner のD関数Abs(D[9/2, -3/2, 17/2](ψ, θ, φ)),Abs(Re(D[9/2, -3/2, 17/2](ψ, θ, φ))),Abs(Im(D[9/2, -3/2, 17/2](ψ, θ, φ)))のグラフについて、φを動かしたときの動画。
  • WignerのD関数のグラフ(変数ψ,θ:動画)
  • WignerのD関数のグラフ(変数ψ,θ:動画)
  • WignerのD関数のグラフ(変数ψ,θ:動画)

 ψ, θ, φを変数とする、Wigner のD関数Abs(D[4, 3, 7](ψ, θ, φ)),Abs(Re(D[4, 3, 7](ψ, θ, φ))),Abs(Im(D[4, 3, 7](ψ, θ, φ)))のグラフを、直交直線座標{ψ, θ, φ}で描画する。
  • WignerのD関数のグラフ(変数ψ,θ,φ)
  • WignerのD関数のグラフ(変数ψ,θ,φ)
  • WignerのD関数のグラフ(変数ψ,θ,φ)

 ψ, θ, φを変数とする、Wigner のD関数Abs(D[9/2, -3/2, 17/2](ψ, θ, φ)),Abs(Re(D[9/2, -3/2, 17/2](ψ, θ, φ))),Abs(Im(D[9/2, -3/2, 17/2](ψ, θ, φ)))のグラフを、直交直線座標{ψ, θ, φ}で描画する。
  • WignerのD関数のグラフ(変数ψ,θ,φ)
  • WignerのD関数のグラフ(変数ψ,θ,φ)
  • WignerのD関数のグラフ(変数ψ,θ,φ)

 前述の有限和
  • WignerのD関数の有限和(再掲)
が、球面調和関数Y[j, n](θ, φ)を Euler 角(α, β, γ)で回転変換したものと一致することを確認する。
 R(Y[7, 7](θ, φ) ; π/6, π/5, -π/4)の場合。グラフとアニメーション (3.38MB)
  • WignerのD関数の有限和
  • WignerのD関数の有限和(動画)

 R(Y[3, 1](θ, φ) ; -π/10, π/8, π/7)の場合。グラフとアニメーション (3.58MB)
  • WignerのD関数の有限和
  • WignerのD関数の有限和(動画)

 R(Y[10, 4](θ, φ) ; -2π/3, 2π/5, -3π/2)の場合。グラフとアニメーション (3.64MB)
  • WignerのD関数の有限和
  • WignerのD関数の有限和(動画)

d[j, m, n](θ) (m, n ∈ R)

 前述のとおり、Wigner のd関数はm, nが実数のときにも定義できるが、物理的な意味は持たない。以下そのような事例を掲載する。
 m, nを実2変数とする、Wigner のd関数Re(d[m, n, 40](π/4))のグラフ。
  • Wignerのd関数のグラフ(実2変数 m, n)
  • Wignerのd関数のグラフ(実2変数 m, n)

 m, nを実2変数とする、Wigner のd関数Re(d[m, n, 40](π/2))のグラフ。
  • Wignerのd関数のグラフ(実2変数 m, n)
  • Wignerのd関数のグラフ(実2変数 m, n)

 m, nを実2変数とする、Wigner のd関数Re(d[m, n, 3-5i](-1.2+0.3i))のグラフ。
  • Wignerのd関数のグラフ(実2変数 m, n)
  • Wignerのd関数のグラフ(実2変数 m, n)

 m, nを実2変数とする、Wigner のd関数Re(d[m, n, 10-7i](0.7+1.3i))のグラフ。
  • Wignerのd関数のグラフ(実2変数 m, n)
  • Wignerのd関数のグラフ(実2変数 m, n)

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