逆関数：特殊関数グラフィックスライブラリー Special Functions

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種々の逆関数

乗積対数関数

日：乗積対数関数，英：Product logarithm
日：LambertのW関数，ランベルトのW関数
英：Lambert's W function，仏：Fonction W de Lambert，独：Lambertsche W-funktion

　初等関数の逆関数は、必ずしも初等関数とは限らない。例えば、5次以上の多項式関数の逆関数は一般に初等関数のみでは表わせない(Abel - Ruffini の定理)。ただし5次の場合、楕円モジュラー関数の使用を許容すれば具体的に表わせる。6次以上は一般的にそれでも表わせない。
　ここでは、初等関数の逆関数が初等関数にならない他の例を、幾つか扱う。
　乗積対数関数

は、方程式

を

について解くと得られる逆関数で、対数関数の一般化とみなされるのでその名がある。したがって、乗積対数関数は各種の超越方程式の解を表現できる。しばしば、乗積対数関数は Lambert のＷ関数とも呼ばれる。
　乗積対数関数は、複素平面上

に特異点を持つ無限多価関数であるが、そのうちの主値は、対数関数と同様に実軸上で実数値をとる一分枝であるとされ、冪級数展開式

を解析接続すると得られる。通常それは、実軸上の区間

に分枝切断線が置かれる。
　乗積対数関数は、代数的な非線形常微分方程式

を満たす(ただしこの微分方程式は、乗積対数関数を複素平面上で平行移動した関数も解になるので Painlevé 性を持たない)。
　なお、無限個ある乗積対数関数の各分枝は、虚数部分の順で数え上げて第

分枝と呼び、

と表記される。特に

である。

である第

分枝の乗積対数関数は、実軸上の区間

に分枝切断線が置かれる。
　

個の累乗が入れ子構造になった

は、初等関数である。しかし入れ子が無限個ならば、それは初等関数で表わせない。

ここでは、これを無限累乗関数と呼ぶこととする(標準的な名称はまだ存在しない)。ただし複素変数の場合は、無限個の累乗を表記どおりに計算しても発散するので、この関数が方程式

を

について解いた逆関数であると解釈する。そのとき、乗積対数関数

によって

と表わされる。
　無限累乗関数は、複素平面上

に特異点を持つ無限多価関数であって、通常は

および

に分枝切断線を置く。

　実変数の乗積対数関数

のグラフ。逆関数関係を確認するため、

とともに描画する。

　実変数の乗積対数関数

のグラフ。①：

＝0～10 (+1)，②：

＝－10～0 (+1)。

　複素変数の乗積対数関数

のグラフ。

　複素変数の乗積対数関数

のグラフ。

　複素変数の乗積対数関数

のグラフ。

　実変数の無限累乗関数

のグラフ。逆関数関係を確認するため、

とともに描画する。

　実変数の無限累乗関数

(有限回の累乗関数が無限累乗関数に収束する様子)のグラフ。

　複素変数の無限累乗関数

のグラフ。

Kepler の逆関数

を変数とする初等関数(Kepler の方程式)

を

について解いて得られる

の関数を、Kepler の逆関数という。この関数に対する標準的な記号は存在しないので、ここでは

なる記号を使用する。
　Kepler の逆関数は、Bessel 関数を係数とする Fourier 級数

で表わされるが、

が０に近くないときは収束が極めて遅いため、実際は、Kepler の方程式を直接数値計算で解くことが多い。惑星の運動問題に関連して F. W. Bessel がこの Fourier 級数に興味を抱き、ここから Bessel 関数の組織的研究に導かれた。
　Kepler の逆関数は前述のとおり、専ら天体の軌道論で用いられる。すなわち、天体が楕円軌道を描くときの離心近点離角