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楕円積分

楕円積分

日:楕円積分
英:Elliptic integral,仏:Intégrale elliptique,独:Elliptische Integrale
 
R(z, w)を有理関数とし、その2変数が既約な代数方程式 (代数関数・陰関数) A(z, w)=0で結ばれているとする。この代数方程式を有限多価関数w=w(z)と考えるとき、積分
Abel積分
は、Abel 積分と呼ばれ※1、一般に初等関数のみでは表わせない。特に、P(z)を3次または4次の既約な多項式とし、A(z, w) = w^2-P(z)すなわちw = ±Sqrt[P(z)]となる場合、積分
楕円積分
は、楕円積分と呼ばれる。(因みに、P(z)が5次以上の既約な多項式のとき、積分は超楕円積分と呼ばれ、一般に楕円積分までのクラスのみでは表わせない。逆に2次以下の多項式のとき、積分は初等関数のみで表わせる。)
 R(z, w(z))はその Riemann 面上では1価関数になるので、通常、Abel 積分はR(z, w(z))の Riemann 面上での経路積分として考える。特に、楕円積分でのR(z, Sqrt[P(z)]) (楕円無理関数と呼ばれる) は、P(z)=0の相異なる4根が巻数2の代数分岐点となるので (P(z)が3次のときは、4根のうちの一つが∞に置き換わる) 、それらの2点を結んで作られる2本の分枝切断線を介して、2分枝を連結した Riemann 面がトーラス (円環面) と同相になる※2。(次の図は、後述の Weierstrass 標準形による第1種の場合を例示。)
  • 楕円無理関数からトーラスへの変形1
  • 楕円無理関数からトーラスへの変形2
  • 楕円無理関数からトーラスへの変形3
  • 楕円無理関数からトーラスへの変形4

 狭義には、前述の楕円積分から初等関数に還元できる積分項を取り除いたものを 「楕円積分」 と言い、楕円無理関数R(z) = R(z, Sqrt[P(z)])の型によって、次のとおり第1種~第3種楕円積分に分類される。(因みに、ほとんど同じ要領で Abel 積分も第1種~第3種に分類される。)

【第1種楕円積分】
 R(z)の特異点が、前述の代数分岐点のみである場合。
 第1種楕円積分の多価性は、トーラス上での積分経路の周回数のみに由来し※3、その逆関数は1価有理型関数たる楕円関数になる。

【第2種楕円積分】
 R(z)の特異点が、前述の代数分岐点の他は、留数が0の極のみである場合。
 第2種楕円積分の多価性も、トーラス上での積分経路の周回数のみに由来するが、その逆関数は1価関数にならない。

【第3種楕円積分】
 R(z)の特異点が、前述の代数分岐点の他に、留数が0でない極を持つ場合。
 第3種楕円積分の多価性は、トーラス上での積分経路の周回数のみならず留数にも由来する。逆関数は1価関数にならない。

 現在では、歴史的な理由あるいは用途に応じて、楕円積分の具体的な表示式が 「標準形」 として定着している。以降、その主な標準形を列挙するとともに、それぞれの満たす公式や応用事例等にも触れる。

【Legendre - Jacobi の標準形】※4
 最も古くから考察されてきた標準形で、A. M. Legendre 等が一般の楕円積分から初等関数に還元できない部分として、この3種類の形を抽出した。このうち、第1種の逆関数が Jacobi の楕円関数になるので、C. G. J. Jacobi の名も冠せられている。
  • 楕円積分(Legendre-Jacobiの標準形)
 Legendre - Jacobi の標準形は、物理学等との接点を持ちつつ研究されてきた経緯もあって、実用的な事例と絡めて論じられることが多い。例えば、この標準形は長方形の内部や外部へ等角写像する際に都合が良いため、帯電物体が長方形であるときの電場と磁場の解析などに応用される。
 なお、これらにz = sin(φ)なる変換を施した、
  • 楕円積分(Legendre-Jacobiの標準形)
も、しばしば Legendre - Jacobi の標準形と呼ばれ、単振り子の運動など、この形での応用事例も多数ある。
 歴史的に、曲線や曲面の計測で生じた積分の形からも、Legendre - Jacobi の標準形は示唆されていた。特に、楕円の周の長さが第2種によってb・E(φ | 1-a^2/ b^2)と表わされることは、よく知られている。(楕円積分なる名称の 「楕円」 とは、この応用事例に因む)。それゆえ、地図作成等を目的とする測地学にも楕円積分は現れる。

  • 楕円の周長と第2種楕円積分の図

 第1種と第2種は、m = 0, 1のとき初等関数に還元される。第3種は、助変数aが特別な場合に第1種と第2種で表わされる関数、
  • 第3種楕円積分が第1種と第2種に還元される場合
に還元され、ここで更にm = 0, 1とするとき初等関数に還元される。
 なお、冗長ではあるが第1種と第2種の差、つまりE(z|m)に代わる第2種として
  • 第2種楕円積分D(z|m)の定義
を定義することがある (例えば、NISTの §19 - 2)。弾性板が歪曲してできるエラスティカなる曲線は、D(z|-1)で表わされる。

【Weierstrass の標準形】
 複素解析学が整備された後、主に不変式論からの影響で導入された標準形であり、そのため純粋数学的な用途が多い。名称の直接的な由来は、第1種の逆関数が Weierstrass の楕円関数になるからである。(関数記号は、当サイトで独自に定めたものである。)
  • 楕円積分(Weierstrassの標準形)
ここに、楕円関数論に準拠して多項式部分を4*z^3-g[2]*z-g[3]=4*(z-e[1])*(z-e[2])*(z-e[3])と因数分解すれば、それら3根が無限遠点以外の分岐点となる。
 第2種・第3種は、第1種を用いて、
  • 楕円積分(Weierstrassの標準形)間の関係式
と表わせる。(逆に、第1種~第3種が互いに大きく異なる原因が、Weierstrass の楕円ゼータ関数シグマ関数にあると見ることもできる。)

【Riemann の標準形】
 状況・用途等は Weierstrass の標準形と同じで、その多項式部分4*z^3-g[2]*z-g[3]z*(1-z)*(1-λ*z)に書き変え、積分区間を3種とも[0, z]に変更すれば Riemann の標準形となるので、数式の掲示と説明は省略する。

【註記】
 ※1:Abel 積分の基本対称式の逆関数は、多変数の多重周期有理型関数すなわち Abel 関数となる。Abel 積分・Abel 関数論は、複素解析学がもたらした最高到達点の一つとされ、「19世紀数学の華」 と称される。

 ※2:通常は、分岐点を Riemann 面上に写した点でも正則性が使えるように、局所座標変換を併せて導入する。なお、Abel 積分や超楕円積分における被積分関数の Riemann 面は、2個以上のトーラスを接合した (穴が2個以上ある) 曲面と同相になる。

 ※3:その積分経路は、トーラスの穴を潜って緯度線に沿う経路と、穴を潜らずに経度線に沿う経路との線形結合になる。それぞれの1周回が、第1種の逆関数である楕円関数では二つの基本周期になる。

 ※4:当サイトでは、母数の一般的な表記k^2ではなく、m (= k^2 )を一貫して使用する。また、z = sin(φ)と変換した方の関数記号を斜体とし、そうでない方を立体 (正体) とする独自の区別を使用する。

 その他:当サイトで採用している楕円積分 (Legendre - Jacobi の標準形),後述の Heuman のラムダ関数の分枝切断線は、Mathematica で採用されているそれとは異なる、独自の形状である。しかし、Weierstrass の標準形の分枝切断線は、Mathematica のそれを踏襲する。(当サイト管理人は、Mathematica がどのような方法で分枝切断線の形状 ― 特に Weierstrass 標準形の場合 ― を定めているか調べたが、完全には解明できなかった。)

第1種楕円積分の記号

 実変数の第1種楕円積分F(x|m)のグラフ。特に、F(x|0) = arcsin x, F(x|1) = arctanh xとなる。
  • 第1種楕円積分のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種楕円積分第1種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種楕円積分第1種楕円積分の記号のグラフ (多価関数)。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)

 複素変数の第1種楕円積分第1種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種楕円積分第1種楕円積分の記号のグラフ (多価関数)。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)

 複素変数の第1種楕円積分第1種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種楕円積分第1種楕円積分の記号のグラフ (多価関数)。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)

第1種楕円積分の記号

 実変数の第1種楕円積分F(φ|m)のグラフ。特に、F(φ|0)=φ, F(φ|1) = arctanh(sinφ)となる。
  • 第1種楕円積分のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種楕円積分第1種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種楕円積分第1種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種楕円積分第1種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)

第2種楕円積分の記号

 実変数の第2種楕円積分E(x|m)のグラフ。特に、E(x|0) = arcsin x, F(x|1) = xとなる。
  • 第2種楕円積分のグラフ(実変数)

 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ (多価関数)。
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)

 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ (多価関数)。
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)

 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ (多価関数)。
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)

第2種楕円積分の記号

 実変数の第2種楕円積分E(φ|m)のグラフ。特に、E(φ|0)=φ, E(φ|1) = sinφとなる。2番目は、同じグラフの原点近傍を拡大した場合である。
  • 第2種楕円積分のグラフ(実変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(実変数)

 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)

楕円積分の記号

 実変数の第3種楕円積分のグラフ。①第3種楕円積分の記号,②第3種楕円積分の記号,③第3種楕円積分の記号

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

楕円積分の記号

 実変数の第3種楕円積分のグラフ。①第3種楕円積分の記号,②第3種楕円積分の記号,③第3種楕円積分の記号

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

第2種楕円積分(D)の記号

 実変数の第2種楕円積分D(x|m)のグラフ。
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(実変数)

 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)

第2種楕円積分(D)の記号

 実変数の第2種楕円積分D(φ|m)のグラフ。
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(実変数)

 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分(D)のグラフ(複素変数)

第1種楕円積分の記号

 複素変数の第1種楕円積分第1種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種楕円積分第1種楕円積分の記号のグラフ (多価関数)。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)

 複素変数の第1種楕円積分第1種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種楕円積分第1種楕円積分の記号のグラフ (多価関数)。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)

 複素変数の第1種楕円積分第1種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種楕円積分第1種楕円積分の記号のグラフ (多価関数)。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)

 複素変数の第1種楕円積分第1種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種楕円積分第1種楕円積分の記号のグラフ (多価関数)。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数・多価)

第2種楕円積分の記号

 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ (多価関数)。
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 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ (多価関数)。
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 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ (多価関数)。
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 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種楕円積分第2種楕円積分の記号のグラフ (多価関数)。
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第3種楕円積分の記号

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
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  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
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  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
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  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
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  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

完全楕円積分

日:完全楕円積分
英:Complete elliptic integral,仏:Complète intégrale elliptique,独:Vollständigen elliptische Integrale

 Legendre - Jacobi の標準形でz=1あるいはφ=π/2と置いて定積分にし、mを変数とした
  • 完全楕円積分の定義式
を完全楕円積分と言い、順に、第1種、第2種、第3種の名を冠して呼ばれる (これに対比させて、不定積分の (普通の) 楕円積分を 「不完全楕円積分」 と呼ぶことがある)。ここでm1-mに置き換えたものは、補完全楕円積分と呼ばれ、
  • 補完全楕円積分の定義式
なる関数記号で表記する習慣が定着している (mで微分するという意味ではない)。これらは、K, K', E, E'のように変数mがしばしば省略される。特に、第1種完全楕円積分は Jacobi の楕円関数の周期に現れるので、「周期積分」 と呼ばれることもあり、言わば円周率の拡張になっている。
 同様にD(φ|m)に対しても、第2種完全楕円積分D(m) = D(π/2|m)が定義される。
 第1種と第2種完全楕円積分は、「Legendre の関係式」
Legendreの関係式
で互いに結ばれている。また、超幾何関数の特別な場合として
超幾何関数で表示された完全楕円積分
と表わせる。したがって、それぞれの満たす2階線形常微分方程式を、その2基本解とともに記すと次のようになる。
  • 完全楕円積分が満たす微分方程式
 超幾何関数表示から冪級数展開式も得られるが、収束が遅いので数値計算に向かない。それよりも、後述する算術幾何平均の反復計算を介する方が、はるかに収束が速く便利である。このほか、Landen 変換 (後述のコラムを参照) に基づく無限乗積表示式
  • Landen変換に基づく完全楕円積分の無限乗積表示式
も収束が速いので数値計算に適している。
 特定の有理数に対するガンマ関数値は、第1種完全楕円積分によって表わせる。例えば、
  • 有理数に対するガンマ関数値
となる。ここに、λ楕円モジュラー・ラムダ関数である。 (他の例については、MathWorld の記事 「Elliptic Integral Singular Value」 に多数掲載されている。)
 第1種~第2種完全楕円積分はいずれも、複素平面上m = 1および∞に対数分岐点を持つ無限多価関数で、実軸上の区間[1, +∞)に分枝切断線が置かれる。
 結局のところ、完全楕円積分は楕円積分の特殊値であり、楕円関数や保型関数とともに論じられることが多いので、応用分野もそれらと共通ないしは関連する。すなわち、種々の図形の計量や積分計算、数論、電磁気学、統計力学、測地学などで出現する。
 楕円関数論では、「ノーム (Nome)」 と呼ばれる特別な変数qを使用する。これは、第1種完全楕円積分で表わされたmの関数
  • ノーム関数の定義式
でもある。q-解析学で用いられるqなる文字は、このノーム関数を起源の一つとする。
 ノーム関数は、楕円モジュラー・ラムダ関数m =λ(log(q)/(πi))の逆関数である。

【コラム:Landen 変換と算術幾何平均】
 次の関数等式における母数の変換を、(第1種完全楕円積分に対する) Landen 変換という。
  • (第1種完全楕円積分に関する)Landen変換
 ここで、反復すると急速に0に近付く漸化式
  • Landen変換に由来する漸化式
  • Landen変換に由来する漸化式の図

を用意し、関数等式に適用すれば、K(M[∞]^2) = π/2であるから前述の無限乗積表示式が導かれる。
 一方、関数等式においてSqrt[1-m] = b/aと置けば、
  • Landen変換と算術幾何平均の関係
となるので、Landen 変換は算術幾何平均の別表現になっている。

第1種・第2種完全楕円積分の記号

 ① 実変数の第1種完全楕円積分K(m)および第2種完全楕円積分E(m)のグラフ。
 ② Mathematica の表記法ではなく、もっと通用している母数の表記法に従えば、K~(k) = K(k^2)およびE~(k) = E(k^2)が本来の完全楕円積分として定義される。(つまり、ここで言うところのK~Kと表記する方が一般的である。)

 複素変数の第1種完全楕円積分K(m)のグラフ。
  • 第1種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種完全楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種完全楕円積分E(m)のグラフ。
  • 第2種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種完全楕円積分のグラフ(複素変数)

第3種完全楕円積分の記号

 実変数の第3種完全楕円積分Π(a|m)のグラフ。
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(実変数)

 複素変数の第3種完全楕円積分第3種完全楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種完全楕円積分第3種完全楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種完全楕円積分第3種完全楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種完全楕円積分第3種完全楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)

第2種完全楕円積分(D)の記号

 実変数の第2種完全楕円積分D(m)のグラフ。
  • 第2種完全楕円積分(D)のグラフ(実変数)

 複素変数の第2種完全楕円積分D(m)のグラフ。
  • 第2種完全楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種完全楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種完全楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種完全楕円積分(D)のグラフ(複素変数)
  • 第2種完全楕円積分(D)のグラフ(複素変数)

ノーム関数の記号

 実変数のノーム関数q(m)のグラフ。
  • ノーム関数のグラフ(実変数)

 複素変数のノーム関数q(m)のグラフ。
  • ノーム関数のグラフ(複素変数)
  • ノーム関数のグラフ(複素変数)
  • ノーム関数のグラフ(複素変数)
  • ノーム関数のグラフ(複素変数)
  • ノーム関数のグラフ(複素変数)

 複素変数のノーム関数q(m)のグラフ (多価関数)。
  • ノーム関数のグラフ(複素変数・多価)
  • ノーム関数のグラフ(複素変数・多価)
  • ノーム関数のグラフ(複素変数・多価)

 複素変数のノーム関数log(q(m))/(πi)のグラフ (多価関数)。すなわち、楕円モジュラー・ラムダ関数m = λ(τ)の逆関数。
  • ノーム関数のグラフ(複素変数・多価)
  • ノーム関数のグラフ(複素変数・多価)
  • ノーム関数のグラフ(複素変数・多価)

Jacobi のゼータ関数

日:Jacobiのゼータ関数ヤコビのゼータ関数
英:Jacobi's zeta function,仏:Fonction zêta de Jacobi,独:Jacobische Zetafunktion

 Jacobi のゼータ関数とは、楕円積分と完全楕円積分を用いて
  • Jacobiのゼータ関数の定義式
と表わされる関数であり、第2種楕円関数第2種楕円関数の記号Z(z, m)を介した第1種楕円積分と第2種楕円積分の関係
第2種楕円関数を介した第1種・第2種楕円積分の関係
を示すため、Jacobi が 1829年に導入した※1。
 Jacobi のゼータ関数は奇関数であり、周期性
Jacobiのゼータ関数の周期性
を満たす。

【註記】
 ※1:むしろ、第2種楕円関数の記号Z(z, m)を Jacobi のゼータ関数と呼ぶほうが一般的であるが、Mathematica ではΖ(φ|m)にこの名称を与えているので、当サイトも後者に従うこととする。なお、これらは関数名称に 「ゼータ」 を含むが、勿論、Riemann ゼータ関数など Dirichlet 級数の一種ではない。

Jacobiのゼータ関数の記号

 実変数の Jacobi のゼータ関数Ζ(φ|m)のグラフ。特に、Ζ(φ|0) = 0, Ζ(φ|1) = sinφ(Abs[Re(φ)]≦π/2)となる。
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(実変数)

 ① 実2変数の Jacobi のゼータ関数Ζ(φ|m)のグラフ。
 ② Ζ(φ|m)の実部と虚部のグラフ。

 複素変数の Jacobi のゼータ関数Jacobiのゼータ関数の記号のグラフ。
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi のゼータ関数Jacobiのゼータ関数の記号のグラフ。
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Jacobi のゼータ関数Jacobiのゼータ関数の記号のグラフ。
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)

Heuman のラムダ関数

日:Heuman のラムダ関数ホイマンのラムダ関数
英:Heuman's lambda function,仏:Fonction lambda de Heuman,独:Heumansche Lambda-funktion

 Heuman のラムダ関数とは、楕円積分と完全楕円積分、および前述の Jacobi のゼータ関数を用いて
  • Heumanのラムダ関数の定義式
と表わされる関数である。1941年に C. Heuman が第3種完全楕円積分の数表を作成する過程で、公式
  • Heumanのラムダ関数と第3種完全楕円積分との関係
を使用したので、その名が冠せられている。
 しかし、その他の応用面でこの関数に遭遇することはほとんどない。M. Abramowitz & I. A. Stegun 著 「Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables」 も、p.595 で簡単に触れているのみである。
 Heuman のラムダ関数は奇関数であり、擬周期性
Heumanのラムダ関数の擬周期性
を満たす。

Heumanのラムダ関数の記号

 実変数の Heuman のラムダ関数Λ(φ|m)のグラフ。特に、Λ(φ|0) = sinφ(Abs[Re(φ)]≦π/2), Λ(φ|1) = 2φ/πとなる。
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(実変数)

 ① 実2変数の Heuman のラムダ関数Λ(φ|m)のグラフ。実数値を取らない範囲では穴が開く。
 ② Λ(φ|m)の実部と虚部のグラフ。

 複素変数の Heuman のラムダ関数Heumanのラムダ関数の記号のグラフ。
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Heuman のラムダ関数Heumanのラムダ関数の記号のグラフ。
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Heuman のラムダ関数Heumanのラムダ関数の記号のグラフ。
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)

算術幾何平均

日:算術幾何平均
英:Arithmetic-geometric mean,仏:Moyenne arithmético-géométrique,独:Arithmetisch-geometrisches Mittel

 2つの数a,bの平均方法のうち、最も簡単な例である算術平均 (Arithmetic mean) と幾何平均 (Geometric mean)
  • 算術平均と幾何平均
が広く知られているが、現在では両者を統合した 「算術幾何平均 (Arithmetic - geometric mean) 」 が定義されている。
 a,b∈Rならばa+b≧0を、Not[a,b∈R]ならばAbs[Arg(a)]<Abs[Arg(-b)]を条件とする2数a,bを、初期値としてa(0)=a, b(0)=bと置く。このとき漸化式
  • 算術幾何平均の漸化式
は、極限n→∞をとると共通の極限値に近づく※1。この極限値が算術幾何平均であり、
  • 算術幾何平均の定義
と表記される。
 算術幾何平均の値は、算術平均と幾何平均の間
  • 算術平均≧算術幾何平均≧幾何平均
になる。また、算術幾何平均は、
  • 算術幾何平均の変換式
等の変換式を満たす。
 算術幾何平均は、第1種完全楕円積分と
  • 算術幾何平均と第1種完全楕円積分との関係
の関係にある。算術幾何平均の収束が極めて速いため、これは第1種完全楕円積分の数値計算で大変重宝する。
(二つの初期値が算術幾何平均へ収束する様子を示したグラフ。初期値の片方、または両方が0に近い場合ほど、幾何平均の影響が大きくなることが分かる。)

 算術幾何平均、およびその楕円積分との関係は、J. L. Lagrange (1784年) が発見している。また、算術幾何平均そのものではないが同等の結果が導ける 「Landen 変換」 を、J. Landen (1775年) が発見した。C. F. Gauss (1800年) は Lagrange とは独立に算術幾何平均の再発見を行い、超幾何関数および下記に説明するモジュラー関数との関係も明らかにした。
 算術幾何平均の理論は、次のように楕円テータ関数が満たす恒等式を、漸化式と捉えて反復適用した極限が、
  • 楕円テータ関数による算術幾何平均の表現
となる事実に基づいている。これを、規格化された算術幾何平均agM(1, b/a)で考えれば、1と
  • 算術幾何平均と楕円モジュラー・ラムダ関数との関係
との反復に基づくこととなり、ここに楕円モジュラー・ラムダ関数が現れる。楕円テータ関数の漸化式から分かるように、算術幾何平均は楕円関数の周期比を2倍する変換 (「位数2の変換」という) である。さらに Legendre は位数3の変換、Gauss は位数5および位数7の変換も求めた。
 第2種・第3種完全楕円積分も、算術幾何平均と同じ漸化式の値を用いる無限級数によって計算できる。例えば前者は
  • 算術幾何平均と第2種完全楕円積分との関係
となる※2。これは、円周率の高精度数値計算法である 「Gauss - Legendre のアルゴリズム」
  • Gauss-Legendreのアルゴリズム
の根拠公式でもある※3、このことから、円周率の桁数記録とともに算術幾何平均も話題になることがある。

  • Gauss-Legendreのアルゴリズムの図
(Gauss - Legendre アルゴリズムの反復回数と一致桁数との関係。桁数 (横軸) は常用対数目盛。)

【註記】
 ※1:実際の計算技法では、後者の漸化式をb(n+1)=Sqrt[a(n)]*Sqrt[b(n)]と解釈した方が、より広いa,bの範囲で求められる。
 ※2:第3種の場合は、「NIST Handbook of Mathematical Functions」の p.493 にある公式 19.8.7~19.8.10 を参照。
 ※3:なぜ円周率になるかを説明する。Gauss - Legendre のアルゴリズムの反復子S(n)は、母数をm = 1/2と置いた第2種の無限級数から得られる1-E(1/2)/K(1/2)に収束することが、漸化式の形から分かる。また、反復子a(n)は、算術幾何平均と第1種完全楕円積分の関係からπ/(2*K(1/2))に収束する。
 完全楕円積分の所で触れた 「Legendre の関係式」 から、
  • Legendreの関係式から得られる結果
が得られるので、
  • Gauss-Legendreのアルゴリズムの根拠
となることが分かる。

算術幾何平均の記号

 実変数bの算術幾何平均算術幾何平均の記号のグラフ。
  • 算術幾何平均のグラフ(実変数)

 ① 実2変数の算術幾何平均算術幾何平均の記号のグラフ。
 ② 算術幾何平均の記号の実部と虚部のグラフ。

 複素変数の算術幾何平均算術幾何平均の記号のグラフ。
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)

 複素変数の算術幾何平均算術幾何平均の記号のグラフ。
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)

 複素変数の算術幾何平均算術幾何平均の記号のグラフ。
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)

 bを複素変数とする算術幾何平均算術幾何平均の記号のグラフを、aの複素平面上で格子状に配置する。
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)

 実変数の算術幾何平均算術幾何平均の記号のグラフ (実部・虚部)。すなわち、二つの Jacobi 楕円関数を算術幾何平均する。
  • 算術幾何平均のグラフ(実変数)

 複素変数の算術幾何平均算術幾何平均の記号のグラフ。
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)

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