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楕円積分

楕円積分

日：楕円積分
英：Elliptic integral，仏：Intégrale elliptique，独：Elliptische Integrale
　
を有理関数とし、その２変数が既約な代数方程式 (代数関数･陰関数) で結ばれているとする。この代数方程式を有限多価関数と考えるとき、積分
は、Abel 積分と呼ばれ※1、一般に初等関数のみでは表わせない。特に、を３次または４次の既約な多項式とし、すなわちとなる場合、積分
は、楕円積分と呼ばれる。(因みに、が５次以上の既約な多項式のとき、積分は超楕円積分と呼ばれ、一般に楕円積分までのクラスのみでは表わせない。逆に２次以下の多項式のとき、積分は初等関数のみで表わせる。)
　はその Riemann 面上では１価関数になるので、通常、Abel 積分はの Riemann 面上での経路積分として考える。特に、楕円積分での (楕円無理関数と呼ばれる) は、の相異なる４根が巻数２の代数分岐点となるので (が３次のときは、４根のうちの一つがに置き換わる) 、それらの２点を結んで作られる２本の分枝切断線を介して、２分枝を連結した Riemann 面がトーラス (円環面) と同相になる※2。(次の図は、後述の Weierstrass 標準形による第1種の場合を例示。)

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　狭義には、前述の楕円積分から初等関数に還元できる積分項を取り除いたものを ｢楕円積分｣ と言い、楕円無理関数の型によって、次のとおり第1種～第3種楕円積分に分類される。（因みに、ほとんど同じ要領で Abel 積分も第1種～第3種に分類される。）


　現在では、歴史的な理由あるいは用途に応じて、楕円積分の具体的な表示式が ｢標準形｣ として定着している。以降、その主な標準形を列挙するとともに、それぞれの満たす公式や応用事例等にも触れる。

【Legendre - Jacobi の標準形】※4
　最も古くから考察されてきた標準形で、A. M. Legendre 等が一般の楕円積分から初等関数に還元できない部分として、この３種類の形を抽出した。このうち、第1種の逆関数が Jacobi の楕円関数になるので、C. G. J. Jacobi の名も冠せられている。

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　Legendre - Jacobi の標準形は、物理学等との接点を持ちつつ研究されてきた経緯もあって、実用的な事例と絡めて論じられることが多い。例えば、この標準形は長方形の内部や外部へ等角写像する際に都合が良いため、帯電物体が長方形であるときの電場と磁場の解析などに応用される。
　なお、これらになる変換を施した、

• 

も、しばしば Legendre - Jacobi の標準形と呼ばれ、単振り子の運動など、この形での応用事例も多数ある。
　歴史的に、曲線や曲面の計測で生じた積分の形からも、Legendre - Jacobi の標準形は示唆されていた。特に、楕円の周の長さが第2種によってと表わされることは、よく知られている。(楕円積分なる名称の ｢楕円｣ は、この応用事例に因む)。それゆえ、地図作成等を目的とする測地学にも楕円積分は現れる。

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　第1種と第2種は、のとき初等関数に還元される。第3種は、助変数が特別な場合に第1種と第2種で表わされる関数、

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に還元され、ここで更にとするとき初等関数に還元される。
　なお、冗長ではあるが第1種と第2種の差、つまりに代わる第2種として

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を定義することがある (例えば、NISTの §19 - 2)。弾性板が歪曲してできるエラスティカなる曲線は、で表わされる。

【Weierstrass の標準形】
　複素解析学が整備された後、主に不変式論からの影響で導入された標準形であり、そのため純粋数学的な用途が多い。名称の直接的な由来は、第1種の逆関数が Weierstrass の楕円関数になるからである。(関数記号は、当サイトで独自に定めたものである。)

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ここに、楕円関数論に準拠して多項式部分をと因数分解すれば、それら３根が無限遠点以外の分岐点となる。
　第2種・第3種は、第1種を用いて、

• 

と表わせる。(逆に、第1種～第3種が互いに大きく異なる原因が、Weierstrass の楕円ゼータ関数・シグマ関数にあると見ることもできる。)

【Riemann の標準形】
　状況・用途等は Weierstrass の標準形と同じで、その多項式部分をに書き変え、積分区間を３種ともに変更すれば Riemann の標準形となるので、数式の掲示と説明は省略する。

　実変数の第1種楕円積分のグラフ。特に、, となる。

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　複素変数の第1種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第1種楕円積分のグラフ (多価関数)。

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　複素変数の第1種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第1種楕円積分のグラフ (多価関数)。

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　複素変数の第1種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第1種楕円積分のグラフ (多価関数)。

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　実変数の第1種楕円積分のグラフ。特に、, となる。

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　複素変数の第1種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第1種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第1種楕円積分のグラフ。

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　実変数の第2種楕円積分のグラフ。特に、, となる。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ (多価関数)。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ (多価関数)。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ (多価関数)。

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　実変数の第2種楕円積分のグラフ。特に、, となる。２番目は、同じグラフの原点近傍を拡大した場合である。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ。

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　実変数の第3種楕円積分のグラフ。①，②，③。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　実変数の第3種楕円積分のグラフ。①，②，③。

• 　①
  
• 　②
  
• 　③
  

　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　実変数の第2種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ。

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　実変数の第2種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第1種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第1種楕円積分のグラフ (多価関数)。

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　複素変数の第1種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第1種楕円積分のグラフ (多価関数)。

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　複素変数の第1種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第1種楕円積分のグラフ (多価関数)。

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　複素変数の第1種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第1種楕円積分のグラフ (多価関数)。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ (多価関数)。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ (多価関数)。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ (多価関数)。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第2種楕円積分のグラフ (多価関数)。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種楕円積分のグラフ。

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完全楕円積分

日：完全楕円積分
英：Complete elliptic integral，仏：Complète intégrale elliptique，独：Vollständigen elliptische Integrale

　Legendre - Jacobi の標準形であるいはと置いて定積分にし、を変数とした

• 

を完全楕円積分と言い、順に、第1種、第2種、第3種の名を冠して呼ばれる (これに対比させて、不定積分の (普通の) 楕円積分を ｢不完全楕円積分｣ と呼ぶことがある)。ここでをに置き換えたものは、補完全楕円積分と呼ばれ、

• 

なる関数記号で表記する習慣が定着している (で微分するという意味ではない)。これらは、のように変数がしばしば省略される。特に、第1種完全楕円積分は Jacobi の楕円関数の周期に現れるので、｢周期積分｣ と呼ばれることもあり、言わば円周率の拡張になっている。
　同様にに対しても、第2種完全楕円積分が定義される。
　第1種と第2種完全楕円積分は、｢Legendre の関係式｣
で互いに結ばれている。また、超幾何関数の特別な場合として
と表わせる。したがって、それぞれの満たす２階線形常微分方程式を、その２基本解とともに記すと次のようになる。

• 

　超幾何関数表示から冪級数展開式も得られるが、収束が遅いので数値計算に向かない。それよりも、後述する算術幾何平均の反復計算を介する方が、はるかに収束が速く便利である。このほか、Landen 変換 (後述のコラムを参照) に基づく無限乗積表示式

• 

も収束が速いので数値計算に適している。
　特定の有理数に対するガンマ関数値は、第1種完全楕円積分によって表わせる。例えば、

• 

となる。ここに、は楕円モジュラー･ラムダ関数である。 (他の例については、MathWorld の記事 ｢Elliptic Integral Singular Value｣ に多数掲載されている。)
　第1種～第2種完全楕円積分はいずれも、複素平面上およびに対数分岐点を持つ無限多価関数で、実軸上の区間に分枝切断線が置かれる。
　結局のところ、完全楕円積分は楕円積分の特殊値であり、楕円関数や保型関数とともに論じられることが多いので、応用分野もそれらと共通ないしは関連する。すなわち、種々の図形の計量や積分計算、数論、電磁気学、統計力学、測地学などで出現する。
　楕円関数論では、｢ノーム (Nome)｣ と呼ばれる特別な変数を使用する。これは、第1種完全楕円積分で表わされたの関数

• 

でもある。q-解析学で用いられるなる文字は、このノーム関数を起源の一つとする。
　ノーム関数は、楕円モジュラー･ラムダ関数の逆関数である。

　① 実変数の第1種完全楕円積分および第2種完全楕円積分のグラフ。
　② Mathematica の表記法ではなく、もっと通用している母数の表記法に従えば、およびが本来の完全楕円積分として定義される。(つまり、ここで言うところのをと表記する方が一般的である。)

• 　①
  
• 　②
  

　複素変数の第1種完全楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第2種完全楕円積分のグラフ。

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　実変数の第3種完全楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種完全楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種完全楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種完全楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第3種完全楕円積分のグラフ。

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　実変数の第2種完全楕円積分のグラフ。

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　複素変数の第2種完全楕円積分のグラフ。

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　実変数のノーム関数のグラフ。

• 

　複素変数のノーム関数のグラフ。

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　複素変数のノーム関数のグラフ (多価関数)。

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　複素変数のノーム関数のグラフ (多価関数)。すなわち、楕円モジュラー･ラムダ関数の逆関数。

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Jacobi のゼータ関数

日：Jacobiのゼータ関数，ヤコビのゼータ関数
英：Jacobi's zeta function，仏：Fonction zêta de Jacobi，独：Jacobische Zetafunktion

　Jacobi のゼータ関数とは、楕円積分と完全楕円積分を用いて

• 

と表わされる関数であり、第2種楕円関数を介した第1種楕円積分と第2種楕円積分の関係
を示すため、Jacobi が 1829年に導入した※1。
　Jacobi のゼータ関数は奇関数であり、周期性
を満たす。

　実変数の Jacobi のゼータ関数のグラフ。特に、, となる。

• 

　① 実2変数の Jacobi のゼータ関数のグラフ。
　② の実部と虚部のグラフ。

• 　①
  
• 　②
  

　複素変数の Jacobi のゼータ関数のグラフ。

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• 
• 
• 
• 

　複素変数の Jacobi のゼータ関数のグラフ。

• 
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• 
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• 

　複素変数の Jacobi のゼータ関数のグラフ。

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Heuman のラムダ関数

日：Heuman のラムダ関数，ホイマンのラムダ関数
英：Heuman's lambda function，仏：Fonction lambda de Heuman，独：Heumansche Lambda-funktion

　Heuman のラムダ関数とは、楕円積分と完全楕円積分、および前述の Jacobi のゼータ関数を用いて

• 

と表わされる関数である。1941年に C. Heuman が第3種完全楕円積分の数表を作成する過程で、公式

• 

を使用したので、その名が冠せられている。
　しかし、その他でこの関数が現れる分野はほとんどない。M. Abramowitz & I. A. Stegun 著 ｢Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables｣ も、p.595 で簡単に触れているのみである。
　Heuman のラムダ関数は奇関数であり、擬周期性
を満たす。

　実変数の Heuman のラムダ関数のグラフ。特に、, となる。

• 

　① 実2変数の Heuman のラムダ関数のグラフ。実数値を取らない範囲では穴が開く。
　② の実部と虚部のグラフ。

• 　①
  
• 　②
  

　複素変数の Heuman のラムダ関数のグラフ。

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• 
• 

　複素変数の Heuman のラムダ関数のグラフ。

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• 
• 

　複素変数の Heuman のラムダ関数のグラフ。

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算術幾何平均

日：算術幾何平均
英：Arithmetic-geometric mean，仏：Moyenne arithmético-géométrique，独：Arithmetisch-geometrisches Mittel

　２つの数の平均方法のうち、最も簡単な例である算術平均 (Arithmetic mean) と幾何平均 (Geometric mean)

• 

が広く知られているが、現在では両者を統合した ｢算術幾何平均 (Arithmetic - geometric mean) ｣ が定義されている。
　ならばを、ならばを条件とする２数を、初期値としてと置く。このとき漸化式

• 

は、極限をとると共通の極限値に近づく※1。この極限値が算術幾何平均であり、

• 

と表記される。
　算術幾何平均の値は、算術平均と幾何平均の間

• 

になる。また、算術幾何平均は、

• 

等の変換式を満たす。
　算術幾何平均は、第1種完全楕円積分と

• 

の関係にある。算術幾何平均の収束が極めて速いため、これは第1種完全楕円積分の数値計算で大変重宝する。

　算術幾何平均、およびその楕円積分との関係は、J. L. Lagrange (1784年) が発見している。また、算術幾何平均そのものではないが同等の結果が導ける ｢Landen 変換｣ を、J. Landen (1775年) が発見した。C. F. Gauss (1800年) は Lagrange とは独立に算術幾何平均の再発見を行い、超幾何関数および下記に説明するモジュラー関数との関係も明らかにした。
　算術幾何平均の理論は、次のように楕円テータ関数が満たす恒等式を、漸化式と捉えて反復適用した極限が、

• 

となる事実に基づいている。これを、規格化された算術幾何平均で考えれば、１と

• 

との反復に基づくこととなり、ここに楕円モジュラー･ラムダ関数が現れる。楕円テータ関数の漸化式から分かるように、算術幾何平均は楕円関数の周期比を２倍する変換 (｢位数２の変換｣という) である。さらに Legendre は位数３の変換、Gauss は位数５および位数７の変換も求めた。
　第2種・第3種完全楕円積分も、算術幾何平均と同じ漸化式の値を用いる無限級数によって計算できる。例えば前者は

• 

となる※2。これは、円周率の高精度数値計算法である ｢Gauss - Legendre のアルゴリズム｣

• 

の根拠公式でもある※3、このことから、円周率の桁数記録とともに算術幾何平均も話題になることがある。

• 

　実変数の算術幾何平均のグラフ。

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　① 実2変数の算術幾何平均のグラフ。
　② の実部と虚部のグラフ。

• 　①
  
• 　②
  

　複素変数の算術幾何平均のグラフ。

• 
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• 
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　複素変数の算術幾何平均のグラフ。

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• 

　複素変数の算術幾何平均のグラフ。

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　を複素変数とする算術幾何平均のグラフを、の複素平面上で格子状に配置する。

• 

　実変数の算術幾何平均のグラフ (実部・虚部)。すなわち、二つの Jacobi 楕円関数を算術幾何平均する。

• 

　複素変数の算術幾何平均のグラフ。

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