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楕円積分

楕円積分(Legendre-Jacobi の標準形)

日:楕円積分
英:Elliptic integral,仏:Intégrale elliptique,独:Elliptisches Integral

 Rが2変数の代数的な有理関数で、fzの2次以下の多項式であるとき、積分
一般的な有理代数関数の積分
は初等関数(初等代数関数・対数関数・逆三角関数及びそれらの代数式)になる。もし、fzの3次または4次の多項式ならば、その積分は一般に初等関数で表わすことができない。このとき、積分は楕円積分と呼ばれる無限多価関数になる※1。
 被積分関数に対応する Riemann 面Riemann面Rは、f(z)=0の4根(3次多項式のときは、4根のうち1根が無限遠点であるとする)を分岐点とし、2枚の分枝からなる種数1の Riemann 面(これはトーラス(円環面)と同一視される)となるので、楕円積分はそのRiemann面R上の積分として解釈される。
 有理関数Rが持つ特異点のタイプによって、楕円積分は、第1種、第2種、第3種楕円積分と呼ばれる標準形に分類され、任意の楕円積分は、適当な変数変換によって3種類の標準形(及び初等関数)の和に帰着される。
(第1種楕円積分)
Rの特異点は分岐点のみ。極を持たない」
 よって、Riemann面Rの2通りの分枝切断線上の積分値は、(互いに偏角が異なり0でない)2個の複素定数になる。この値は周期母数と呼ばれ、第1種楕円積分の多価性は、周期母数ごとに層状になった分枝で表わされる。このため、第1種楕円積分の逆関数は1価の二重周期有理型関数、つまり楕円関数となる。

(第2種楕円積分)
Rは分岐点および留数が0の極を特異点とする」
 よって、第2種楕円積分は、第1種楕円積分と同様にRiemann面Rの分枝切断線上の積分から生じる2複素定数に由来する多価性を持つが、併せて特異点(極)も持つ。

(第3種楕円積分)
Rは分岐点および留数が0でない極を特異点とする」
 よって、第3種楕円積分は、第1種楕円積分と同様にRiemann面Rの分枝切断線上の積分から生じる2複素定数に由来する多価性を持つが、併せて留数が生じることに由来する多価性も持ち、特異点(対数分岐点)を持つ。
したがって、第2種、第3種楕円積分の逆関数は二重周期関数であるが、無限多価関数となってしまう。
 現在では、歴史的理由あるいは用途に応じて、有理関数Rや多項式fの形が異なる幾つかの具体的な標準形があり、例えば Weierstrass の標準形、Riemann の標準形などが知られている。ここでは最も有名で歴史的にも古く、かつ応用の多い Legendre - Jacobi の標準形
  • 楕円積分の定義式
を扱う。上から順に、第1種、第2種、第3種楕円積分である。明らかにmが0または1のとき、初等関数に還元される。なお、この標準形における第1種楕円積分の逆関数は、Jacobi の楕円関数になる。
 しばしば伝統的に、あるいは応用上の理由からz=sin(φ)の場合を考えて、
  • 楕円積分(他の型)の定義式
を定義することも多い。
 Legendre - Jacobi の標準形でz=1(あるいはφ=π/2)と置き、mを変数としたものを完全楕円積分といい、これの定数倍が前述の周期母数に相当する。これに対して、通常の楕円積分を不完全楕円積分と呼ぶことがある。
 楕円積分という名は、楕円の弧長を求めようとすると、この類の積分(具体的には第2種楕円積分)が現れることに因む。一般に種々の図形の計量をはじめ、積分計算に広く現れる。特に Legendre - Jacobi の標準形は、物理学での応用が多く、古典的力学、電磁気学などが顕著な分野として知られる。後者の応用例の多くは、楕円積分が円と四角形との間の等角写像を起こすことに因む。すなわち、実用的な形をした金属が帯電しているとき、その周囲に生じる等電位線と電気力線の形状は、多くの場合、楕円積分によって表わされる。

【註記】
※1:なお、fzの5次以上の多項式であるとき、積分は超楕円積分と呼ばれ、一般に楕円積分でも表わせない。
 さらに、fzの関係が一般的な代数関数(陰関数)であるとき、積分は Abel 積分と呼ばれ、楕円積分と同様の理論により、第1種、第2種、第3種に分けられる。第1種 Abel 積分の逆関数が Abel 関数 (の特別な例) であり、これは多変数の多重周期有理型関数となる。Abel 関数論は、複素関数論における最高到達点のひとつとされ「19世紀数学の華」と称される。

楕円積分の記号

 実変数の第1種楕円積分のグラフ。
 ①φ=変数、m=-2~1 (+0.1刻み)。(刻みの増により、赤→橙→黄…に変化。以下同様とする。)
 ②実2変数φ, mの場合。

 複素変数の第1種楕円積分(m=0.5)のグラフ。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)

楕円積分の記号

 実変数の第2種楕円積分のグラフ。①φ=変数、m=-2~1 (+0.1)。②実2変数φ, mの場合。

 複素変数の第2種楕円積分(m=0.5)のグラフ。
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)

楕円積分の記号

 実変数の第3種楕円積分のグラフ。順に、①第3種楕円積分の記号,②第3種楕円積分の記号,③第3種楕円積分の記号
 φ=変数、m=-2~1 (+0.1)。

 実2変数φ, mの第3種楕円積分のグラフ。順に、①第3種楕円積分の記号,②第3種楕円積分の記号,③第3種楕円積分の記号

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

楕円積分の記号

 実変数の第1種楕円積分のグラフ。z=変数、m=-2~1 (+0.1)。
  • 第1種楕円積分のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種楕円積分(m=0.5)のグラフ。
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種楕円積分のグラフ(複素変数)

楕円積分の記号

 実変数の第2種楕円積分のグラフ。z=変数、m=-2~1 (+0.1)。
  • 第2種楕円積分のグラフ(実変数)

 複素変数の第2種楕円積分(m=0.5)のグラフ。
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種楕円積分のグラフ(複素変数)

楕円積分の記号

 実変数の第3種楕円積分のグラフ。順に、①第3種楕円積分の記号,②第3種楕円積分の記号,③第3種楕円積分の記号
 z=変数、m=-2~1 (+0.1)。

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種楕円積分第3種楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種楕円積分のグラフ(複素変数)

完全楕円積分

日:完全楕円積分
英:Complete elliptic integral,仏:Complète intégrale elliptique,独:Vollständigen elliptisches Integral

 Legendre - Jacobi の標準形でz=1あるいはφ=π/2と置き、mを変数とした
  • 完全楕円積分の定義式
を完全楕円積分といい、上から順に、第1種、第2種、第3種完全楕円積分と呼ばれる。ここでmm-1に置き換えたものを補完全楕円積分と呼び、
  • 完全楕円積分の補助関数の定義
のように記す(微分するという意味ではない)。しばしば変数を省略し、完全楕円積分の略記法と記される。
 第1種完全楕円積分の整数倍は、Jacobi の楕円関数の基本周期になる。また、C. F. Gauss が定義した算術幾何平均も、第1種完全楕円積分を用いて表わせる。
 長軸をa、短軸をbとする楕円の全周の長さsは、第2種完全楕円積分によって
楕円の全周の長さ
と表わせる。第1種と、第2種完全楕円積分との間には、Legendre の関係式
Legendreの関係式
が成り立つ。Legendre の関係式は K. Weierstrass および G. F. Riemann によって、Abel 積分の場合にも拡張された。
 また、
完全楕円積分と超幾何関数との関係
のように超幾何関数の特別な場合として表わせる。
 特に第1種、第2種完全楕円積分は、無限遠点と複素平面上z=1に特異点を持つ無限多価関数であるが、通常は1~+∞に分枝切断線を置く。第3種完全楕円積分は、特性値aによってその位置が変わる特異点を持つ、無限多価関数である。
 完全楕円積分は楕円積分と同様、種々の図形の計量、積分計算に広く現れ、純粋数学では楕円関数とともに論じられる。また物理学、特に電磁気学などで応用が多いことも同様である。
 楕円関数論では、しばしばノーム(Nome)と呼ばれる特別な変数を使用し、通常qなる文字をあてがう。これが変数mの関数であると考えると
ノーム関数の定義式
のように第1種完全楕円積分で表わされる。近年、注目されているq-解析学で用いられる文字qも、このノームが起源のひとつであると考えられている。

完全楕円積分の記号

 実変数の第1種・第2種完全楕円積分のグラフ。
  • 第1種・第2種完全楕円積分のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種完全楕円積分完全楕円積分の記号のグラフ。
  • 第1種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第1種完全楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種完全楕円積分完全楕円積分の記号のグラフ。
  • 第2種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第2種完全楕円積分のグラフ(複素変数)

完全楕円積分の記号

 実変数の第3種完全楕円積分のグラフ。①m=変数、a=-5~1 (+0.1)。②a=変数、m=-5~1 (+0.1)。

 複素変数の第3種完全楕円積分完全楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)

 複素変数の第3種完全楕円積分完全楕円積分の記号のグラフ。
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)
  • 第3種完全楕円積分のグラフ(複素変数)

ノーム関数の記号

 実変数、および複素変数のノーム関数のグラフ。
  • ノーム関数のグラフ(実変数)
  • ノーム関数のグラフ(複素変数)
  • ノーム関数のグラフ(複素変数)
  • ノーム関数のグラフ(複素変数)
  • ノーム関数のグラフ(複素変数)
  • ノーム関数のグラフ(複素変数)

Jacobi のゼータ関数

 Jacobi のゼータ関数とは、楕円積分と完全楕円積分を用いて
  • Jacobiのゼータ関数の定義式
と表わされる関数である。(勿論、Riemann ゼータ関数の一種ではない。)
 楕円関数論における、楕円関数の積分(第二種楕円関数)に関連して現れる。

Jacobiのゼータ関数の記号

 実変数の Jacobi のゼータ関数のグラフ。①φ=変数、m=-10~1 (+0.2)。②実2変数φ, mの場合。

 複素変数の Jacobi のゼータ関数(m=0.5)のグラフ。
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)
  • Jacobiのゼータ関数のグラフ(複素変数)

Heuman のラムダ関数

 Heuman のラムダ関数とは、楕円積分と完全楕円積分、及び Jacobi のゼータ関数を用いて
  • Heumanのラムダ関数の定義式
と表わされる関数である。
 しかし、この関数に遭遇することはあまりない。この関数への言及例は、M. Abramowitz & I. A. Stegun 「Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables」の p.595での記述などがある。

Heumanのラムダ関数の記号

 実変数の Heuman のラムダ関数のグラフ。①φ=変数、m=-10~1 (+0.2)。②実2変数φ, mの場合。

 複素変数の Heuman のラムダ関数(m=0.5)のグラフ。
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)
  • Heumanのラムダ関数のグラフ(複素変数)

算術幾何平均

日:算術幾何平均
英:Arithmetic-geometric mean,仏:Moyenne arithmético-géométrique,独:Arithmetisch-geometrisches Mittel

 2つの数a, bの平均のうち、最も簡単な例として
  • 算術平均と幾何平均
が広く知られているが、Gauss はこれを統合した算術幾何平均なる平均方法を考えた。
 平均しようとする2つの数a, b(以降の公式ではすべて、ともに正の実数とする) を初期値として、初期値 a0=a, b0=bと置く。そのうえで漸化式
  • 算術幾何平均の漸化式
を作り、極限n→∞をとると、共通の極限値に近づく。この極限値を算術幾何平均といい、
算術幾何平均の定義式
と定義した。算術幾何平均の値は、算術平均と幾何平均の間
算術平均≧算術幾何平均≧幾何平均
になる。また、算術幾何平均は、
算術幾何平均の変換式
等の変換式を満たす。Gauss は、算術幾何平均と第1種完全楕円積分との関係
  • 算術幾何平均と第1種完全楕円積分との関係
も明らかにした。逆にこの関係式から、第1種完全楕円積分の値が計算可能になる。しかも、極限値への収束が極めて速いため数値計算に適している。同様に、第2種・第3種完全楕円積分の値についても、類似した極限操作によって求められる数値計算に適した方法があるが、記載は省略する (詳細は「NIST Handbook of Mathematical Functions」のp.492~493の§19.8にある公式を参照。それは、第1種の場合よりもずっと複雑である) 。
 算術幾何平均の理論は、次のように楕円テータ関数が満たす恒等式を、漸化式と捉えて反復適用した極限が、
  • 楕円テータ関数による算術幾何平均の表現
となる事実に基づいている。これを、規格化された算術幾何平均agM(1,b/a)で考えれば、1と
  • 算術幾何平均と楕円モジュラー・ラムダ関数との繋がり
との反復に基づくこととなり、ここに楕円モジュラー・ラムダ関数との繋がりが明らかになる (これも、19世紀初頭に Gauss が秘蔵していた成果の一つ) 。
 算術幾何平均、およびこれに類似した極限操作は、円周率の高精度数値計算にしばしば使用され、桁数の記録とともに話題になることがある。
(↑ 二つの初期値が算術幾何平均へ収束する様子を示したグラフ。初期値の片方、または両方が0に近い場合ほど、幾何平均の影響が大きくなることが分かる。)

算術幾何平均の記号

 実変数bの算術幾何平均算術幾何平均の記号のグラフ。a=-5~5 (+0.2)。
  • 算術幾何平均のグラフ(実変数)

 実2変数の算術幾何平均算術幾何平均の記号, 算術幾何平均の記号(変数a,bの詳細)のグラフ。
  • 算術幾何平均のグラフ(実2変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(実2変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(実2変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(実2変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(実2変数)

 複素変数の算術幾何平均算術幾何平均の記号のグラフ。
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)

 複素変数の算術幾何平均算術幾何平均の記号のグラフ。
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)
  • 算術幾何平均のグラフ(複素変数)

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