特殊関数 グラフィックスライブラリー
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カタストロフィー理論の特殊関数
Pearcey 積分関数
2変数
の関数としての積分
については後述の ｢余次元4の尖点正準積分関数｣ を参照。Pearcey 積分関数を
の冪級数に展開すると
の場合は
Pearcey 積分関数は
に関して、
Pearcey 積分関数は、カタストロフィー理論における尖点 (Cusp catastrophe) と呼ばれる分岐現象に関連する※1。これは、後述の ｢余次元
の尖点正準積分関数｣ において、
の形状で説明される。またこの場合は、
を座標に含めて代数曲面にした
を用いて、このカタストロフィーが説明されることもある※2。
カタストロフィー理論自体は、微分方程式や差分方程式などによって記述される力学系が、パラメーターの連続変化に応じて定性的に異なる複数の解空間へ分岐する現象を説明するために、R. F. Thom によって導入された。Thom は、このような分岐を生ずる曲面構造をカタストロフィーと呼び、(｢初等カタストロフィー｣ の場合は) 7種類の分岐点形状 ｢折り目，尖点，燕尾点，蝶点，楕円的臍点，双曲的臍点，放物的臍点｣ に分類できることを示した。
【註記】
※1 取りあえず、この頁で扱う関数を ｢カタストロフィー理論の～｣ としたが、実際にカタストロフィー理論でどのように用いられるかは、ここでは触れない (実のところ、カタストロフィー理論が難解なため詳細は分からない)。
内容は、｢NIST Handbook of Mathematical Functions｣ を参考にしているので、正確な意味はそちらを参照願います。また、Pearcey 積分関数を別にすれば、ここでの各関数の英語名は恐らく通称ではなく (｢NIST｣ にも、標準的な命名法は無い旨の記述がある)、日本語名もまだ存在しないため、さらにこれを意訳したものである。
※2 この場合視覚的には、構造安定性が ｢破綻｣ する分岐点が、原点になることが分かる。
※1 取りあえず、この頁で扱う関数を ｢カタストロフィー理論の～｣ としたが、実際にカタストロフィー理論でどのように用いられるかは、ここでは触れない (実のところ、カタストロフィー理論が難解なため詳細は分からない)。
内容は、｢NIST Handbook of Mathematical Functions｣ を参考にしているので、正確な意味はそちらを参照願います。また、Pearcey 積分関数を別にすれば、ここでの各関数の英語名は恐らく通称ではなく (｢NIST｣ にも、標準的な命名法は無い旨の記述がある)、日本語名もまだ存在しないため、さらにこれを意訳したものである。
※2 この場合視覚的には、構造安定性が ｢破綻｣ する分岐点が、原点になることが分かる。
のグラフ。
実2変数の Pearcey 積分関数
のグラフ。
燕尾点正準積分関数
3変数
の関数としての積分
については「余次元4の尖点正準積分関数」を参照。)この関数は、
の冪級数に展開すると
燕尾点正準積分関数は
に関して、
燕尾点正準積分関数は、カタストロフィー理論における燕尾点 (Swallowteil catastrophe) と呼ばれる分岐現象に関連する。これは、後述の ｢余次元
の尖点正準積分関数｣ において、
の形状で説明される。
, ②
, ③
。
実2変数の燕尾点正準積分関数
のグラフ。
実2変数の燕尾点正準積分関数
のグラフ。
実2変数の燕尾点正準積分関数
のグラフ。
実2変数の燕尾点正準積分関数
のグラフ。
アニメーション（8.23MB）
実2変数の燕尾点正準積分関数
のグラフ。
＝0～10 (+0.2)。
楕円的臍点正準積分関数
3変数
の関数としての積分
この関数を、
の冪およびの Airy 関数項の級数に展開すると、
楕円的臍点正準積分関数は
平面において、原点中心の120
回転に関して不変である。また、
楕円的臍点正準積分関数は、カタストロフィー理論において楕円的臍点 (Elliptic umbilic catastrophe) と呼ばれる分岐現象に関連する。その形状を説明する3次元代数曲面は、代数方程式
で表わされる。
, ②
。
実2変数の楕円的臍点正準積分関数
のグラフ。
実2変数の楕円的臍点正準積分関数
のグラフ。
実2変数の楕円的臍点正準積分関数
のグラフ。
実2変数の楕円的臍点正準積分関数
のグラフ。
実2変数の楕円的臍点正準積分関数
のグラフ。
双曲的臍点正準積分関数
3変数の関数としての積分
この関数を、
の冪級数に展開すると、
双曲的臍点正準積分関数は
平面において、直線
(の交換) に関して不変である。また、
の場合はの Airy 関数に還元される。双曲的臍点正準積分関数は、カタストロフィー理論において双曲的臍点 (Hyperbolic umbilic catastrophe) と呼ばれる分岐現象に関連する。その形状を説明する3次元代数曲面は、代数方程式
で表わされる。
, ②
。
実2変数の双曲的臍点正準積分関数
のグラフ。
実2変数の双曲的臍点正準積分関数
のグラフ。
実2変数の双曲的臍点正準積分関数
のグラフ。
実2変数の双曲的臍点正準積分関数
のグラフ。
実2変数の双曲的臍点正準積分関数
のグラフ。
余次元4の尖点正準積分関数
余次元 (Codimension ※1) をとするとき、個の変数
の関数としての積分
の尖点正準積分関数という。この関数は、
変数の冪級数に展開すると
余次元
の尖点正準積分関数は、カタストロフィー理論において ｢余次元の尖点｣ と呼ばれる分岐現象に関連する。その形状を説明する次元代数曲面は、代数方程式
特に、
の場合は Pearcey 積分関数、
の場合は燕尾点正準積分関数になる。ここでは
、すなわち
，②
，③
と置いて3次元内の曲面にした場合。）
【註記】
※1 ｢NIST Handbook of Mathematical Functions｣ にある用語を使用。 同著の Chapter36 ｢Integrals with Coalescing Saddles｣ を参照。
※1 ｢NIST Handbook of Mathematical Functions｣ にある用語を使用。 同著の Chapter36 ｢Integrals with Coalescing Saddles｣ を参照。
のグラフ。
実2変数の余次元4尖点正準積分関数
のグラフ。
実2変数の余次元4尖点正準積分関数
のグラフ。
実2変数の余次元4尖点正準積分関数
のグラフ。
実2変数の余次元4尖点正準積分関数
のグラフ。
実2変数の余次元4尖点正準積分関数
のグラフ。
Kelvin's ship-wave pattern
充分な水深のある水面上を一定速度
で直線航行する船舶は、その後方に歪三角形状の表面波を生ずる。この波の模様は、Kelvin's ship - wave pattern と呼ばれ、その名称は、19世紀末に水面の振動現象を研究した Lord. Kelvin に因む。極座標
において、船舶 (に相当する擾乱点) の位置を常に原点
に固定し、船舶の航行と逆方向に始動径
があるようにすると、任意の位置における Kelvin's ship - wave pattern の波の高さ
は、次式で与えられる。 
によって直交座標
に移行してもよい。(以下のグラフもこれを採用している。)Kelvin's ship - wave pattern の積分は、余次元
の尖点正準積分関数をさらに一般化した
Kelvin's ship - wave pattern は船舶と水面との相互作用以外にも、例えば、対流圏において山頂等が擾乱点となる場合に形成される雲の模様にも現れることで知られている。(そのような事例は、Google等で画像検索すると見ることができる。)
【註記】
※1 ： この積分は、被積分関数が積分端点に近付くほど激しく振動する (真性特異点を持つ) ので、若干計算が難しい。ここでの計算は、改良された中点法に基づいて Kay Herbert が作成した Mathematica コード (http://demonstrations.wolfram.com/KelvinShipWavePattern/) を用いた。
※1 ： この積分は、被積分関数が積分端点に近付くほど激しく振動する (真性特異点を持つ) ので、若干計算が難しい。ここでの計算は、改良された中点法に基づいて Kay Herbert が作成した Mathematica コード (http://demonstrations.wolfram.com/KelvinShipWavePattern/) を用いた。
Kelvin's ship - wave pattern を用いて、夕刻 (または夜明？) の海上の風景を構成する。
