特殊関数 グラフィックスライブラリー
Graphics Library of Special functions

ポリ対数関数（多重対数関数）

Rogers の二重対数関数

　Rogers の二重対数関数は、対数関数を拡張したもので

• 

で定義される。後述のポリ対数関数とは

• 

の関係にある。また、関数等式

• 

を満たし、特殊値

• 

を持つことで知られる。複素関数としての Rogers の二重対数関数は、複素平面上に特異点を持ち、通常は区間及びに分枝切断線を置く。Rogers の二重対数関数は、特に量子力学や統計力学の可積分模型に用いられる。

　実変数および複素変数の Rogers の二重対数関数のグラフ。

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ポリ対数関数

日：ポリ対数関数，多重対数関数
英：Polylogarithm，仏：Fonction polylogarithme，独：Polylogarithmus

　冪級数で定義された

• 

を、収束範囲の外部にも解析接続して得られる関数を、ポリ対数関数、または多重対数関数という。その名称は、特別なのときに

• 

となり、他方で一般のに関する漸化式が、逐次積分･微分によって

• 

となることから、が対数関数を拡張したものと見做されることに由来する。なお、に微分漸化式を適用すれば、のポリ対数関数はすべて有理関数になることが分かる。
　を複素変数とするポリ対数関数は、に特異点を持つ (ただしとする。特異点の種類は、前述の有理関数になる場合に極、その他は一般に対数分岐点となり、後者の場合は実軸上の区間に分枝切断線が置かれる)。
　を変数とするポリ対数関数は Dirichlet 級数の一種であり、特別なのときに、Riemann のゼータ関数

• 

に還元される。また、の分枝切断線を超える解析接続の公式

• 

を介して、Hurwitz のゼータ関数とも関係がある。
　ポリ対数関数は

• 

等、多くの積分表示式が知られており、応用分野ではそれらの表示形が重要になる (例えば、NISTの25.12(iii)など)。
　また、無限級数表示

• 

等も多数得られている。特に後者は、特異点を除く, で収束する (ただし、および方向への和は、それぞれ同じ項数までの部分和に対する極限と考える。収束はやや遅い)。
　ポリ対数関数は、後述する Lerch の超越関数の特別な場合であり、
と表わされる。
　ポリ対数関数は、1889年に A. Jonquière が、経路積分を用いて複素関数としてのを研究したことに因み、Jonquière 関数と呼ばれることもある。特殊な場合は、もっと古くから研究されており、特に

• 

は、G. W. Leibniz が初めて考察して以降、L. Euler (1768年)、W. Spence (1809年) 等、多くの数学者がこれを手掛けた※1。前述の Rogers の二重対数関数もこのような研究の一端として現れた。は簡潔な関数等式

• 

を満たし、諸公式で出現する頻度がより高いので重要である。もに次いで詳しく研究され、よく似た関数等式を満たすが、記述は省略する。
　ポリ対数関数の数学における応用分野として、数論、コホモロジー (cohomology) を用いる群論、代数的K理論等が知られている。諸科学では、電気回路設計、量子電磁気学における Feynman ダイアグラムでの積分等の応用事例がある。

　を実2変数とするポリ対数関数のグラフ。①では複素数になるので描画されない。②実部と虚部のグラフ。

• 　①
  
• 　②
  

　を実変数とするポリ対数関数のグラフ。①＝0～9 (+0.2)，②＝－9～0 (+0.2) 。

• 　①
  
• 　②
  

　複素変数のポリ対数関数のグラフ。

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　複素変数のポリ対数関数のグラフ。

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　複素変数のポリ対数関数のグラフ。

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　を実変数とするポリ対数関数のグラフ。ともに、＝－10～1 (+0.2)。②は、①の絶対値が小さい範囲を拡大したグラフ。

• 　①
  
• 　②
  

　複素変数のポリ対数関数のグラフ。

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　複素変数のポリ対数関数のグラフ。

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　複素変数のポリ対数関数のグラフ。

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　アニメーション（5.10MB）
　複素変数のポリ対数関数のグラフ。

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Clausen 関数

日：Clausen関数，クラウゼン関数
英：Clausen function，仏：Fonction de Clausen，独：Clausen-funktion

　簡単な形の Fourier 級数が初等関数にならない具体例として、1832年に T. Clausen は
を研究した。これに因み、関数は Clausen 関数 と呼ばれるようになった。は、積分表示式
によって定義されることも多いので、しばしば ｢Clausen 積分｣ とも呼ばれる。
　Clausen 関数は奇関数で、周期性
を持つが、複素関数としてのは、に対数分岐点を持ち、直線上に分枝切断線が引かれる。
　このため当サイトでは、実軸上の区間およびのみに分枝切断線が引かれ、１枚の単連結な分枝になるよう解析接続された Clausen 関数を別途導入する。すなわち、

• 

となるが、もはや周期性を持たず、実変数のときは区間のみで定義される。
　現在では、前述の Fourier 級数表示式を一般化した

• 

も定義されており、｢一般 Clausen 関数｣ と呼ばれている。このとき、記号の対応がとなることに注意する。
　次数が特別な自然数のとき、一般 Clausen 関数は対数関数および Bernoulli 多項式によって、

• 

と表わされ、初等関数に還元される。
　一般 Clausen 関数は、ポリ対数関数を用いて

• 

と表わされる。つまり、これは Euler の公式の類似であり、, はの実部と虚部に相当する。このポリ対数関数を用いる表示式は、より広いおよびの領域における一般 Clausen 関数を計算するのに適している (ただし、ポリ対数関数を解析接続する必要がある)。また、の一般 Clausen 関数も初等関数になることが従う。
　は偶関数、は奇関数であり、ともに周期性

• 

を持つ。複素関数としては両者ともを一般に対数分岐点とし、直線上に分枝切断線が引かれる。
　このため当サイトでは、, に対してもと同様の解析接続を施した, を導入する。すなわち、

• 

となるが、もはや周期性を持たず、実変数のときは区間のみで定義される。
　N. I. Lobachevsky は (J. Bolyai, J. C. F. Gauss 等と独立に) 双曲的非 Euclid 幾何学を構築する過程で、三次元双曲的非 Euclid 空間内の理想四面体の "双曲的な体積" を求めるため、

• 

を1829年に導入した。現在では、これと若干形が異なる

• 

を、Lobachevsky 関数と呼ぶことが多い。実際、前述の体積はを用いて

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と表わした方が簡潔になる。(しかしながら、当サイトではを Lobachevsky 関数として扱う。)

　実変数および複素変数の Clausen 関数のグラフ。

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　実変数および複素変数の Clausen 関数のグラフ。
　実軸上で極大･極小値をとる。また、すなわち
となる (この定積分の値は Euler が初めて求めた)。

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　を実変数とする一般 Clausen 関数のグラフ。＝0.2～5 (+0.2) 。が整数のとき太線。

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　, を実2変数とする一般 Clausen 関数のグラフ。

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　複素変数の一般 Clausen 関数のグラフ。

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　複素変数の一般 Clausen 関数のグラフ。

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　複素変数の一般 Clausen 関数のグラフ。
　因みに、この例はに該当するので、でもある。

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　複素変数の一般 Clausen 関数のグラフ。

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　複素変数の一般 Clausen 関数のグラフ。

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　複素変数の一般 Clausen 関数のグラフ。

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　複素変数の一般 Clausen 関数のグラフ。

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　を実変数とする一般 Clausen 関数のグラフ。＝0.2～5 (+0.2) 。が整数のとき太線。

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　, を実2変数とする一般 Clausen 関数のグラフ。

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　複素変数の一般 Clausen 関数のグラフ。

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　複素変数の一般 Clausen 関数のグラフ。

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　複素変数の一般 Clausen 関数のグラフ。
　因みに、この例はに該当するので、でもある。

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　複素変数の一般 Clausen 関数のグラフ。

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　複素変数の一般 Clausen 関数のグラフ。

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　複素変数の一般 Clausen 関数のグラフ。

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　複素変数の一般 Clausen 関数のグラフ。

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　実変数の Lobachevsky 関数のグラフ。

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　複素変数の Lobachevsky 関数のグラフ。

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積分逆正接関数

日：積分逆正接関数，逆正接積分
英：Inverse tangent integral，仏：Arc tangente intégral，独：Integral Arkustangens

　ポリ対数関数を用いて定義された

• 

を、一般積分逆正接関数といい、その特別な場合の

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を、(本来の) 積分逆正接関数という。
　一般積分逆正接関数が、逐次積分･微分によるの漸化式

• 

を満たすこと、および特別なのときに

• 

となること等、その性質の多くはポリ対数関数から導ける。同様に、の一般積分逆正接関数はすべて有理関数になる。
　を複素変数とする一般積分逆正接関数は、 (ただし) に特異点を持つ。特異点の種類はポリ対数関数に由来するが、それが対数分岐点となる場合は、虚軸上の区間, に分枝切断線が置かれる。
　一般積分逆正接関数は、後述する Lerch の超越関数の特別な場合であり、
と表わされる。
　一般積分逆正接関数は L. Lewin (1958年) の研究によって、ほぼ現在の形に整備されたが、同種の関数はもっと古くから研究されていたと思われる。実際、
は現在、Legendre のカイ関数と呼ばれている (グラフの描画は省略する)。

　実変数の積分逆正接関数のグラフ。

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　複素変数の積分逆正接関数のグラフ。

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　を実変数とする一般積分逆正接関数のグラフ。＝－5～5 (+0.2) 。が整数のとき太線。

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　を実2変数とする一般積分逆正接関数のグラフ。

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　複素変数の一般積分逆正接関数のグラフ。

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　複素変数の一般積分逆正接関数のグラフ。

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　複素変数の一般積分逆正接関数のグラフ。

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　複素変数の一般積分逆正接関数のグラフ。

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Debye 関数

日：Debye関数，デバイ関数，不完全ゼータ関数
英：Debye function，仏：Fonction de Debye，独：Debye-funktion

　Debye 関数とは、積分

• 

で定義される関数の総称で、前者は 第1種- 、後者は 第2種- を冠して呼ばれる。(定数因子を持たない定義、で割る定義等もあり、一定していない。)
　両者は互いに

• 

の関係にあるが、これは不完全ガンマ関数のそれと類似しており、しかも、右辺が Riemann ゼータ関数になるので、Debye 関数を ｢不完全ゼータ関数｣ と呼ぶこともある※1。また、冒頭の積分表示式から、正則化不完全ガンマ関数を係数とする Dirichlet 級数

• 

に展開できることが分かる。すなわち、Debye 関数はを変数と見ればゼータ関数の類似になっている。実際、第1種 Debye 関数はで１位の極を持ち、が負の整数のときはの値に係わらず恒等的に定数関数

• 

となる。第2種 Debye 関数の場合は

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となり、特にでも一般に有界となることに注意する。
　が正の整数である Debye 関数が応用等で最も現れ、ポリ対数関数による閉形式

• 

で表わすことができる。一般のに対する Debye 関数は、前述の Dirichlet 級数のほか、やや収束は遅いが

• 

によって計算できる。これらの式におけるポリ対数関数および超幾何関数部分は、註記(※2)で説明している分枝切断線処理に応じて解析接続が必要になる。なお、分枝切断線が ｢タイプ２｣ となる解析接続は、代わりに

• 

を用いても実現できる。
　を複素変数とする Debye 関数は、を一般に対数分岐点とする無限多価関数で、各々の分岐点から無限遠点に延びる分枝切断線を引くことができる※2。ただし、に限りに由来する特異性を持つ。すなわち、の値が有理数ならば代数分岐点に変わり、正の整数ならば特異点でなくなる。
　Debye 関数は、種々の積分計算に用いられるほか、物理学では黒体放射や固体の温度に関する量子力学などに現れる (多くはが特定の正整数である場合)。関数の名称も、熱力学における Debye 模型の熱容量を求める過程で、1912年に物理学者の P. Debye がこの積分を扱ったことに因む。
　他にも、Debye 関数に関連した積分関数として、E. Grüneisen による種々の温度下における物質の電気抵抗率を評価する研究から Grüneisen 関数、1932年の B. G. D. Strömgren による天体物理学での平均不透明度の研究から Strömgren 関数 (Strömgren 積分) 、

• 

が導入されている。
　ここでは、次の一般的な形で第1種 Grüneisen 関数および第1種 Strömgren 関数を独自に定義する。(それぞれ第2種も併せて定義する。)

• 

　ただし、これらの関数は Debye 関数と初等関数を用いて、

• 

と表わせる。この事は、積分表示式に部分積分法を適用すれば容易に確認できる。

　実変数の第1種 Debye 関数のグラフ。太線はが正の整数のとき。

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　複素変数の第1種 Debye 関数のグラフ。

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　複素変数の第1種 Debye 関数のグラフ。

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　複素変数の第1種 Debye 関数のグラフ。

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　アニメーション（15.8MB）
　複素変数の第1種 Debye 関数のグラフ。＝－3～3 (+0.025, ただしは除く)。
　（FunctionPlot.m のカラーリングを使用しています。）

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　を実変数とする第1種 Debye 関数のグラフ。太線はが正の整数のとき。
　公式からも明らかなように、が負の整数ならば常に零点または固定点になる。したがって、が実数ならば負の実軸上には以外の (位置が動く) 零点も存在することが、次のグラフから分かる。

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　複素変数の第1種 Debye 関数のグラフ。

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　複素変数の第1種 Debye 関数のグラフ。

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　が正の実数を動くときの、の複素零点の推移図。同等の図が、K. S. Kölbig の論文①の682頁、論文②の559頁にある (↑註記※1)。

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　実変数の第2種 Debye 関数のグラフ。太線はが整数のとき。

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　複素変数の第2種 Debye 関数のグラフ。

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　複素変数の第2種 Debye 関数のグラフ。

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　複素変数の第2種 Debye 関数のグラフ。

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　を実変数とする第2種 Debye 関数のグラフ。太線はが正の整数のとき。

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　複素変数の第2種 Debye 関数のグラフ。

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　複素変数の第2種 Debye 関数のグラフ。

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　実変数の第1種 Grüneisen 関数のグラフ。太線はが正の整数のとき。
　また、が２以上の偶数 (奇数) のとき、第1種 Grüneisen 関数は奇関数 (偶関数) になる。

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　実変数の Grüneisen 関数のグラフ。偶関数になる。

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　複素変数の第1種 Grüneisen 関数のグラフ。
　（もし、タイプ２の分枝切断線を採用したならば、描画領域全体でを満たす。）

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　複素変数の第1種 Grüneisen 関数のグラフ。

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　複素変数の第1種 Grüneisen 関数のグラフ。

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　を実変数とする第1種 Grüneisen 関数のグラフ。太線はが正の整数のとき。

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　を複素変数とする第1種 Grüneisen 関数のグラフは、第1種 Debye 関数のそれと概形が非常に似ており、僅かな違いしかないので、描画を省略する。

　実変数の第2種 Grüneisen 関数のグラフ。太線はが整数のとき。
　また、が２以上の奇数のとき、第2種 Grüneisen 関数は偶関数になる。なる非負整数のとき、でも実数値となる。

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　複素変数の第2種 Grüneisen 関数のグラフ。
　（もし、タイプ２の分枝切断線を採用したならば、描画領域全体でを満たす。）

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　複素変数の第2種 Grüneisen 関数のグラフ。

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　複素変数の第2種 Grüneisen 関数のグラフ。

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　を実変数とする第2種 Grüneisen 関数のグラフ。太線はが正の整数のとき。

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　を複素変数とする第2種 Grüneisen 関数のグラフは、第2種 Debye 関数のそれと概形が非常に似ており、僅かな違いしかないので、描画を省略する。

　実変数の第1種 Strömgren 関数のグラフ。太線はが正の整数のとき。

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　複素変数の第1種 Strömgren 関数のグラフ。

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　複素変数の第1種 Strömgren 関数のグラフ。

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　複素変数の第1種 Strömgren 関数のグラフ。

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　を実変数とする第1種 Strömgren 関数のグラフ。太線はが正の整数のとき。

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　複素変数の第1種 Strömgren 関数のグラフ。

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　複素変数の第1種 Strömgren 関数のグラフは、第1種 Debye 関数と概形が非常に似ており、僅かな違いしかないので描画を省略する。

　実変数の第2種 Strömgren 関数のグラフ。太線はが整数のとき。
　第2種 Strömgren 関数は、なる非負整数のとき、でも実数値となる。

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　複素変数の第2種 Strömgren 関数のグラフ。

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　複素変数の第2種 Strömgren 関数のグラフ。

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　複素変数の第2種 Strömgren 関数のグラフ。

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　を実変数とする第2種 Strömgren 関数のグラフ。太線はが正の整数のとき。

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　を複素変数とする第2種 Strömgren 関数のグラフは、第2種 Debye 関数のそれと概形が非常に似ており、僅かな違いしかないので、描画を省略する。

Lerch の超越関数

日：Lerchの超越関数，レルヒ超越関数，Lerchのゼータ関数
英：Lerch transcendents，仏：Fonctions transcendantes de Lerch，独：Lerchsche Zetafunktion

　ポリ対数関数と Hurwitz のゼータ関数を統合・一般化した、

• 

を Lerch の超越関数、あるいは単に Lerch 関数という。さらに、Lerch の超越関数はポリガンマ関数の一般化にもなっていて、

• 

となる。
　Dirichlet のＬ関数は、Lerch の超越関数を用いて表わすことができる。例えば、Catalan のベータ関数とも呼ばれる Dirichlet のＬ関数の例は

• 

である。
　Lerch の超越関数は、各引数について解析接続を可能にする多くの公式が知られている。例えば、引数に関しては漸化式

• 

を満たす。また、における漸近級数

• 

は、数値計算の際に便利である。
　なお、異なる無限和の取り方によって

• 

が定義される。が整数でないとき、との関係は

• 

となる。
　Lerch の超越関数なる名称は、1887年の M. Lerch による研究結果に因むが、それ以前にも、C. J. Malmstén (1849年)、R. Lipschitz (1857年, 1887年) 等の研究事例がある。

　を実2変数とする Lerch の超越関数のグラフ。順に、①, ②

• 　①
  
• 　②
  

　を実変数とする Lerch の超越関数のグラフ。順に、①, ②。ともに、＝－12～4 (+0.2) 。

• 　①
  
• 　②
  

　複素変数の Lerch の超越関数のグラフ。

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　複素変数の Lerch の超越関数のグラフ。

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　複素変数の Lerch の超越関数のグラフ。

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　複素変数の Lerch の超越関数のグラフ。

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　を実変数とする Lerch の超越関数のグラフ。順に、①, ②。ともに、＝－10～1 (+0.2)。

• 　①
  
• 　②
  

　複素変数の Lerch の超越関数のグラフ。

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　複素変数の Lerch の超越関数のグラフ。

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　複素変数の Lerch の超越関数のグラフ。

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　複素変数の Lerch の超越関数のグラフ。

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　を実2変数とする Lerch の超越関数のグラフ。順に、①, ②

• 　①
  
• 　②
  

　を実変数とする Lerch の超越関数のグラフ。順に、①, ②。ともに、＝－12～4 (+0.2) 。

• 　①
  
• 　②
  

　複素変数の Lerch の超越関数のグラフ。

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　複素変数の Lerch の超越関数のグラフ。

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　複素変数の Lerch の超越関数のグラフ。

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　複素変数の Lerch の超越関数のグラフ。

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　を実変数とする Lerch の超越関数のグラフ。順に、①, ②。ともに、＝－11～0 (+0.2)。

• 　①
  
• 　②
  

　複素変数の Lerch の超越関数のグラフ。

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　複素変数の Lerch の超越関数のグラフ。

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　複素変数の Lerch の超越関数のグラフ。

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　複素変数の Lerch の超越関数のグラフ。

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