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ポリ対数関数(多重対数関数)

Rogers の二重対数関数

 Rogers の二重対数関数は、対数関数を拡張したもので
  • Rogers の二重対数関数の定義式
で定義される。後述のポリ対数関数とは
  • Rogers の二重対数関数とポリ対数関数との関係式
の関係にある。また、関数等式
  • Rogers の二重対数関数の関数等式
を満たし、特殊値
  • Rogers の二重対数関数の特殊値
を持つことで知られる。複素関数としての Rogers の二重対数関数は、複素平面上z=0, 1に特異点を持ち、通常は区間(-∞, 0]及び[1, +∞)に分枝切断線を置く。Rogers の二重対数関数は、特に量子力学や統計力学の可積分模型に用いられる。

Rogers の二重対数関数の記号

 実変数および複素変数の Rogers の二重対数関数のグラフ。
  • Rogersの二重対数関数のグラフ(実変数)
  • Rogersの二重対数関数のグラフ(複素変数)
  • Rogersの二重対数関数のグラフ(複素変数)
  • Rogersの二重対数関数のグラフ(複素変数)
  • Rogersの二重対数関数のグラフ(複素変数)
  • Rogersの二重対数関数のグラフ(複素変数)

Clausen 積分関数

日:Clausen積分関数クラウゼン関数
英:Clausen function,仏:Fonction de Clausen,独:Clausen-funktion

 Fourier 級数の理論では時折、
  • Fourier級数の例
なる形をした級数に遭遇するが、それらの多くは(有限区間の)初等関数で表わされる。例えば
  • 初等関数になるFourier級数の例
などがある。しかし、次の場合は Clausen 積分関数と呼ばれる特殊関数になる。
  • Clausen積分関数の定義式
 Clausen 積分関数は、関数等式
  • Clausen積分関数の関数等式
を満たす。
 Clausen 積分関数は、後述のポリ対数関数によって
  • Clausen積分関数とポリ対数関数との関係式
と表わされる。
 複素関数としての Clausen 積分関数は、前述の積分を複素平面上θ=2nπ(nは整数)に対数分岐点を持つ無限多価関数に解析接続したものである。(ここでは、実軸上の区間(-∞, 0]および[2π, +∞)に分枝切断線を置く定義を採用する。)
 種々の理由により、帯状領域0≦Re(θ)<2πを左右に繋げて、人為的に周期関数とする Clausen 積分関数の定義もある。その場合は
  • Clausen積分関数の別定義
が同じ分枝切断線を持つ周期関数になる。

Clausen 積分関数の記号

 実変数および複素変数の Clausen 積分関数のグラフ。実軸上θπ/3, 5π/3で極大・極小値をとる。
  • Clausen積分関数のグラフ(実変数)
  • Clausen積分関数のグラフ(複素変数)
  • Clausen積分関数のグラフ(複素変数)
  • Clausen積分関数のグラフ(複素変数)
  • Clausen積分関数のグラフ(複素変数)
  • Clausen積分関数のグラフ(複素変数)

 分枝切断線の近傍では増加しながらも、わずかに振動している。
  • Rogersの二重対数関数のグラフ(実変数)

積分逆正接関数

日:積分逆正接関数逆正接積分
英:Inverse tangent integral,仏:Arc tangente intégral,独:Integral Arkustangens

 積分逆正接関数は積分
積分逆正接関数の定義式
で定義される関数で、後述のポリ対数関数Lerch の超越関数とは
積分逆正接関数と他の関数との関係
の関係にある。
 複素関数としての積分逆正接関数は、複素平面上z=±iに対数分岐点を持つ無限多価関数で、通常は虚軸上の区間(-i∞, -i]及び[i, +i∞)に分枝切断線を置く。積分逆正接関数は、主に種々の積分計算に用いられる。

積分逆正接関数の記号

 実変数および複素変数の積分逆正接関数のグラフ。
  • 積分逆正接関数のグラフ(実変数)
  • 積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 積分逆正接関数のグラフ(複素変数)

Debye 関数

日:Debye関数デバイ関数不完全ゼータ関数
英:Debye function,仏:Fonction de Debye,独:Debye-funktion

 第1種および第2種 Debye 関数とは、積分
  • 第1種および第2種Debye関数の定義式
で定義される関数である。両者は互いに
  • 第1種と第2種Debye関数との関係
の関係にあるが、これは不完全ガンマ関数のそれと類似しており、しかも、積分の形は Riemann ゼータ関数の積分表示式に似ているので、Debye 関数を不完全ゼータ関数と呼ぶことも多い。また、前述の積分表示式から正則化不完全ガンマ関数の無限級数
  • 正則化不完全ガンマ関数の無限級数による第1種Debye関数
に展開できることが分かる。
 νが正の整数である場合の Debye 関数は、閉じた形の式
  • 特別な場合の第1種Debye関数
で表わすことができる。なお、この式の定義域をさらに拡張する場合は、指数関数が代入されたポリ対数関数の部分を解析接続する必要がある。
 複素関数としての Debye 関数は、複素平面上z=2nπi (n=0,1,2,…)に対数分岐点を持つ無限多価関数で、分枝切断線は各々の対数分岐点と無限遠点とを結ぶ任意の曲線となる。ただしz=0は、νの値が有理数ならば代数分岐点に変わり、また正の整数ならば特異点でなくなる。(以下のグラフでは、実軸に平行で負数方向に向かう半直線を分枝切断線として採用する※1。)
 Debye 関数は、種々の積分計算に用いられる他、物理学では黒体放射や固体の温度に関する量子力学などに現れる。関数の名称も、熱力学における Debye 模型の熱容量を求める過程で、1912年に物理学者の P. Debye が前述の積分を扱ったことに因む。

【註記】
※1:Mathematicaのコード「Miscellaneous.m」に搭載している Debye 関数は、νが正の整数の場合のみ複素変数での計算が可能です。

第1種Debye関数の記号

 実変数の第1種 Debye 関数第1種Debye関数の記号のグラフ。太線はνが正の整数のとき。
  • 第1種Debye関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種 Debye 関数第1種Debye関数の記号のグラフ。
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Debye 関数第1種Debye関数の記号のグラフ。
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)

第2種Debye関数の記号

 実変数の第2種 Debye 関数のグラフ。太線はνが正の整数のとき。
 ただし、第2種Debye関数の記号νが大きくなるとすぐに曲線が描画範囲外になるので、代わりにこれを定数倍した第2種Debye関数の記号(定数倍)を描画する。
  • 第2種Debye関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第2種 Debye 関数第2種Debye関数の記号のグラフ。
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Debye 関数第2種Debye関数の記号のグラフ。
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)

ポリ対数関数

日:ポリ対数関数多重対数関数
英:Polylogarithm,仏:Fonction polylogarithme,独:Polylogarithmus

 対数関数を拡張した
  • ポリ対数関数の定義式
をポリ対数関数、または多重対数関数という。ポリ対数関数は Riemann のゼータ関数にも関係し、明らかに
ポリ対数関数とゼータ関数との関係式
となる。s=1のときは対数関数に、sが正でない整数のときは初等有理関数に還元される。またs=2のときは特に応用が多く、積分表示式
  • ポリ対数関数の積分表示式
がよく知られている。
 zを複素変数とするポリ対数関数はz=1に特異点(極または分岐点)を持ち、通常は区間[1, +∞)に分枝切断線を置く。ポリ対数関数は種々の積分値を表わすのに用いられる他、数論等でよく現れる。物理では量子電磁気学における Feynman ダイアグラムでの積分、代数的K理論等で用いられる。

ポリ対数関数の記号

 s, xを実2変数とするポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。①x>1では複素数になるので描画されない。②実部と虚部のグラフ。

 xを実変数とするポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。①s=0~9 (+0.2),②s=-9~0 (+0.2)

 複素変数のポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数のポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数のポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)

 sを実変数とするポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。ともに、x=-10~1 (+0.2)。②は、①の絶対値が小さい範囲を拡大したグラフ。

 複素変数のポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数のポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数のポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)

 アニメーション(5.10MB)
 複素変数のポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数:動画)

Lerch の超越関数

日:Lerchの超越関数レルヒ超越関数Lerchのゼータ関数
英:Lerch transcendents,仏:Fonctions transcendantes de Lerch,独:Lerchsche Zetafunktion

 ポリ対数関数と Hurwitz のゼータ関数を統合・一般化した、
  • Lerchの超越関数の定義式
を Lerch の超越関数、あるいは単に Lerch 関数という。さらに、Lerch の超越関数はポリガンマ関数の一般化にもなっていて、
  • Lerchの超越関数とポリガンマ関数との関係
となる。
 Dirichlet のL関数は、Lerch の超越関数を用いて表わすことができる。例えば、Catalan のベータ関数とも呼ばれる Dirichlet のL関数の例は
  • Lerchの超越関数で表わしたDirichlet-L関数
である。
 Lerch の超越関数は、各引数について解析接続を可能にする多くの公式が知られている。例えば、引数αに関しては漸化式
  • Lerchの超越関数の変数αに関する漸化式
を満たす。また、s→-∞における漸近級数
  • Lerchの超越関数の変数sに関する漸近級数
は、数値計算の際に便利である。
 なお、異なる無限和の取り方によって
  • Lerchの超越関数(二重和型)の定義式
が定義される。αが整数でないとき、Φφ(curly)の関係は
  • Lerchの超越関数(二重和型)との関係
となる。

Lerchの超越関数の記号

 x, sを実2変数とする Lerch の超越関数のグラフ。順に、①Lerchの超越関数の記号, ②Lerchの超越関数の記号

 xを実変数とする Lerch の超越関数のグラフ。順に、①Lerchの超越関数の記号, ②Lerchの超越関数の記号。ともに、s=-12~4 (+0.2)

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
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  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)

 sを実変数とする Lerch の超越関数のグラフ。順に、①Lerchの超越関数の記号, ②Lerchの超越関数の記号。ともに、x=-10~1 (+0.2)。

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
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  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
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Lerchの超越関数(二重和型)の記号

 x, sを実2変数とする Lerch の超越関数のグラフ。順に、①Lerchの超越関数(二重和型)の記号, ②Lerchの超越関数(二重和型)の記号

 xを実変数とする Lerch の超越関数のグラフ。順に、①Lerchの超越関数(二重和型)の記号, ②Lerchの超越関数(二重和型)の記号。ともに、s=-12~4 (+0.2)

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数(二重和型)の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
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 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数(二重和型)の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
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 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数(二重和型)の記号のグラフ。
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 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数(二重和型)の記号のグラフ。
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  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)

 sを実変数とする Lerch の超越関数のグラフ。順に、①Lerchの超越関数(二重和型)の記号, ②Lerchの超越関数(二重和型)の記号。ともに、x=-11~0 (+0.2)。

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数(二重和型)の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
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  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
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 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数(二重和型)の記号のグラフ。
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 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数(二重和型)の記号のグラフ。
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