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ポリ対数関数(多重対数関数)

Rogers の二重対数関数

 Rogers の二重対数関数は、対数関数を拡張したもので
  • Rogers の二重対数関数の定義式
で定義される。後述のポリ対数関数とは
  • Rogers の二重対数関数とポリ対数関数との関係式
の関係にある。また、関数等式
  • Rogers の二重対数関数の関数等式
を満たし、特殊値
  • Rogers の二重対数関数の特殊値
を持つことで知られる。複素関数としての Rogers の二重対数関数は、複素平面上z=0, 1に特異点を持ち、通常は区間(-∞, 0]及び[1, +∞)に分枝切断線を置く。Rogers の二重対数関数は、特に量子力学や統計力学の可積分模型に用いられる。

Rogers の二重対数関数の記号

 実変数および複素変数の Rogers の二重対数関数のグラフ。
  • Rogersの二重対数関数のグラフ(実変数)
  • Rogersの二重対数関数のグラフ(複素変数)
  • Rogersの二重対数関数のグラフ(複素変数)
  • Rogersの二重対数関数のグラフ(複素変数)
  • Rogersの二重対数関数のグラフ(複素変数)
  • Rogersの二重対数関数のグラフ(複素変数)

ポリ対数関数

日:ポリ対数関数多重対数関数
英:Polylogarithm,仏:Fonction polylogarithme,独:Polylogarithmus

 冪級数で定義された
  • ポリ対数関数の定義(冪級数)
を、収束範囲の外部にも解析接続して得られる関数を、ポリ対数関数、または多重対数関数という。その名称は、特別なsのときに
  • Li1(z), Li0(z), Li∞(z)
となり、他方で一般のsに関する漸化式が、逐次積分・微分によって
  • ポリ対数関数の漸化式
となることから、Li s (z)が対数関数を拡張したものと見做されることに由来する。なお、Li0(z)に微分漸化式を適用すれば、s∈N≦0のポリ対数関数はすべて有理関数になることが分かる。
 zを複素変数とするポリ対数関数は、z = 1に特異点を持つ (ただしs≠∞とする。特異点の種類は、前述の有理関数になる場合に極、その他は一般に対数分岐点となり、後者の場合は実軸上の区間[1, +∞)に分枝切断線が置かれる)。
 sを変数とするポリ対数関数は Dirichlet 級数の一種であり、特別なsのときに、Riemann のゼータ関数
  • ポリ対数関数のRiemannゼータ関数への還元
に還元される。また、zの分枝切断線を超える解析接続の公式
  • ポリ対数関数とHurwitzゼータ関数の関係式
を介して、Hurwitz のゼータ関数とも関係がある。
 ポリ対数関数は
  • ポリ対数関数の積分表示式
等、多くの積分表示式が知られており、後述の応用分野ではそれらの表示形が重要になる。また、
  • ポリ対数関数の無限級数表示式
のような無限級数表示も数多く得られている。特に後者は、特異点を除くs∈C, z∈Cで収束する (ただし、+∞および-∞方向への和は、それぞれ同じ項数までの部分和に対する極限と考える。収束はやや遅い)。
 ポリ対数関数は、後述する Lerch の超越関数の特別な場合であり、
ポリ対数関数とLerchの超越関数との関係式
と表わされる。
 ポリ対数関数は、1889年に A. Jonquière が、経路積分を用いて複素関数としてのLi s (z)を研究したことに因み、Jonquière 関数と呼ばれることもある。特殊な場合は、もっと古くから研究されており、特に
  • 二重対数関数Li2(z)の定義
は、G. W. Leibniz が初めて考察して以降、L. Euler (1768年)、W. Spence (1809年) 等、多くの数学者がこれを手掛けた※1。前述の Rogers の二重対数関数もこのような研究の一端として現れた。Li2(z)は簡潔な関数等式
  • 二重対数関数Li2(z)の関数等式
を満たし、諸公式で出現する頻度がより高いので重要である。Li3(z)Li2(z)に次いで詳しく研究され、よく似た関数等式を満たすが、記述は省略する。
 ポリ対数関数の数学における応用分野として、数論、コホモロジー (cohomology) を用いる群論、代数的K理論等が知られている。諸科学では、電気回路設計、量子電磁気学における Feynman ダイアグラムでの積分等の応用事例がある。

【註記】
※1:Li2(z)は、Spence の寄与に因んで 「Spence's function」 と呼ばれることもあるが、英語・日本語ともに 「dilogarithm (ディ・ロガリズム:二重対数)」 と呼ぶことの方が多い。後者の名称は、1828年に C. J. Hill が初めて使用した。また、これに準じてLi3(z)を 「trilogarithm (トリ・ロガリズム:三重対数)」 と呼ぶことがある。

ポリ対数関数の記号

 s, xを実2変数とするポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。①x>1では複素数になるので描画されない。②実部と虚部のグラフ。

 xを実変数とするポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。①s=0~9 (+0.2),②s=-9~0 (+0.2) 。

 複素変数のポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数のポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数のポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)

 sを実変数とするポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。ともに、x=-10~1 (+0.2)。②は、①の絶対値が小さい範囲を拡大したグラフ。

 複素変数のポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数のポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)

 複素変数のポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数)

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 複素変数のポリ対数関数ポリ対数関数の記号のグラフ。
  • ポリ対数関数のグラフ(複素変数:動画)

Clausen 関数

日:Clausen関数クラウゼン関数
英:Clausen function,仏:Fonction de Clausen,独:Clausen-funktion

 簡単な形の Fourier 級数が初等関数にならない具体例として、1832年に T. Clausen は
Clausen関数の定義(Fourier級数)
を研究した。これに因み、関数Cl2(θ)は Clausen 関数 と呼ばれるようになった。Cl2(θ)は、積分表示式
Clausen関数の定義(積分表示式)
によって定義されることも多いので、しばしば 「Clausen 積分」 とも呼ばれる。
 Clausen 関数は奇関数で、周期性
Clausen関数の周期性
を持つが、複素関数としてのCl2(θ)は、θ=2nπ(n∈Z)に対数分岐点を持ち、直線Re(θ)=2nπ(n∈Z)上に分枝切断線が引かれる。
 このため当サイトでは、実軸上の区間(-∞, 0]および[2π, +∞)のみに分枝切断線が引かれ、1枚の単連結な分枝になるよう解析接続された Clausen 関数Cl*2(θ)を別途導入する。すなわち、
  • 解析接続されたClausen関数
となるが、もはや周期性を持たず、実変数のときは区間(0, 2π)のみで定義される。
 現在では、前述の Fourier 級数表示式を一般化した
  • 一般Clausen関数の定義(Fourier級数)
も定義されており、「一般 Clausen 関数」 と呼ばれている。このとき、記号の対応がCl2(θ)=S2(θ)となることに注意する。
 次数sが特別な自然数のとき、一般 Clausen 関数は対数関数および Bernoulli 多項式によって、
  • 一般Clausen関数の初等関数への還元
と表わされ、初等関数に還元される。
 一般 Clausen 関数は、ポリ対数関数を用いて
  • 一般Clausen関数とポリ対数関数の関係式
と表わされる。つまり、これは Euler の公式の類似であり、C s(θ), S s(θ)Lis(exp(iθ))の実部と虚部に相当する。このポリ対数関数を用いる表示式は、より広いθおよびsの領域における一般 Clausen 関数を計算するのに適している (ただし、ポリ対数関数を解析接続する必要がある)。また、s∈N≦0の一般 Clausen 関数も初等関数になることが従う。
 C s(θ)は偶関数、S s(θ)は奇関数であり、ともに周期性
  • 一般Clausen関数の周期性
を持つ。複素関数としては両者ともθ=2nπ(n∈Z)を一般に対数分岐点とし、直線Re(θ)=2nπ(n∈Z)上に分枝切断線が引かれる。
 このため当サイトでは、C s(θ), S s(θ)に対してもCl*2(θ)と同様の解析接続を施したC*s(θ), S*s(θ)を導入する。すなわち、
  • 解析接続された一般Clausen関数
となるが、もはや周期性を持たず、実変数のときは区間(0, 2π)のみで定義される。
 1835~1837年に N. I. Lobachevsky は、(J. Bolyai, J. C. F. Gauss 等と独立に) 双曲的非 Euclid 幾何学を構築したが、三次元双曲的非 Euclid 空間内の理想四面体T(α,β,γ)の "双曲的な体積" Vol[T(α,β,γ)]を導くため、
  • Lobachevsky関数Л(θ)
を使用した。現在では、これと若干形が異なる
  • Lobachevsky関数Λ(θ)
を、Lobachevsky 関数と呼ぶことが多い。実際、前述の体積はΛ(θ)を用いて
  • 理想四面体の双曲的な体積の式
と表わした方が簡潔になる。(しかしながら、当サイトではЛ(θ)を Lobachevsky 関数として扱う。)

理想四面体T(α,β,γ)の図
①双曲的非 Euclid 上半空間内部の場合。 ②双曲的非 Euclid 球体内部の場合。

Clausen関数の記号

 実変数および複素変数の Clausen 関数Cl2(θ)のグラフ。
  • Clausen関数のグラフ(実変数)
  • Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • Clausen関数のグラフ(複素変数)

(解析接続型)Clausen関数の記号

 実変数および複素変数の Clausen 関数Cl*2(θ)のグラフ。
 実軸上θ=π/3, 5π/3で極大・極小値をとる。また、Cl*2(π)=0すなわち
log(sin(t))の定積分
となる (この定積分の値は Euler が初めて求めた)。
  • (解析接続型)Clausen関数のグラフ(実変数)
  • (解析接続型)Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)Clausen関数のグラフ(複素変数)

一般Clausen関数の記号

 θを実変数とする一般 Clausen 関数C s(θ)のグラフ。s=0.2~5 (+0.2) 。sが整数のとき太線。
  • 一般Clausen関数のグラフ(実変数)

 s, θを実2変数とする一般 Clausen 関数C s(θ)のグラフ。
  • 一般Clausen関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の一般 Clausen 関数一般Clausen関数の記号のグラフ。
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般 Clausen 関数一般Clausen関数の記号のグラフ。
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般 Clausen 関数一般Clausen関数の記号のグラフ。
 因みに、この例は0<Re(θ)<2πに該当するので、C s(2.3)=C*s(2.3)でもある。
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般 Clausen 関数一般Clausen関数の記号のグラフ。
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)

(解析接続型)一般Clausen関数の記号

 複素変数の一般 Clausen 関数(解析接続型)一般Clausen関数の記号のグラフ。
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般 Clausen 関数(解析接続型)一般Clausen関数の記号のグラフ。
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般 Clausen 関数(解析接続型)一般Clausen関数の記号のグラフ。
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)

一般Clausen関数の記号

 θを実変数とする一般 Clausen 関数S s(θ)のグラフ。s=0.2~5 (+0.2) 。sが整数のとき太線。
  • 一般Clausen関数のグラフ(実変数)

 s, θを実2変数とする一般 Clausen 関数S s(θ)のグラフ。
  • 一般Clausen関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の一般 Clausen 関数一般Clausen関数の記号のグラフ。
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般 Clausen 関数一般Clausen関数の記号のグラフ。
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般 Clausen 関数一般Clausen関数の記号のグラフ。
 因みに、この例は0<Re(θ)<2πに該当するので、S s(2.3)=S*s(2.3)でもある。
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般 Clausen 関数一般Clausen関数の記号のグラフ。
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • 一般Clausen関数のグラフ(複素変数)

(解析接続型)一般Clausen関数の記号

 複素変数の一般 Clausen 関数(解析接続型)一般Clausen関数の記号のグラフ。
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般 Clausen 関数(解析接続型)一般Clausen関数の記号のグラフ。
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般 Clausen 関数(解析接続型)一般Clausen関数の記号のグラフ。
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
  • (解析接続型)一般Clausen関数のグラフ(複素変数)
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Lobachevsky関数の記号

 実変数の Lobachevsky 関数Л(θ)のグラフ。
  • Lobachevsky関数のグラフ(実変数)

 複素変数の Lobachevsky 関数Л(θ)のグラフ。
  • Lobachevsky関数のグラフ(複素変数)
  • Lobachevsky関数のグラフ(複素変数)
  • Lobachevsky関数のグラフ(複素変数)
  • Lobachevsky関数のグラフ(複素変数)
  • Lobachevsky関数のグラフ(複素変数)

積分逆正接関数

日:積分逆正接関数逆正接積分
英:Inverse tangent integral,仏:Arc tangente intégral,独:Integral Arkustangens

 ポリ対数関数を用いて定義された
  • 一般積分逆正接関数の定義(ポリ対数関数表示)
を、一般積分逆正接関数といい、その特別な場合の
  • 積分逆正接関数の定義(積分表示式)
を、(本来の) 積分逆正接関数という。
 一般積分逆正接関数が、逐次積分・微分によるsの漸化式
  • 一般積分逆正接関数の漸化式
を満たすこと、および特別なsのときに
  • 一般積分逆正接関数Ti1(z), Ti0(z), Ti∞(z)
となること等、その性質の多くはポリ対数関数から導ける。同様に、s∈N≦0の一般積分逆正接関数はすべて有理関数になる。
 zを複素変数とする一般積分逆正接関数は、z=±i (ただしs≠∞) に特異点を持つ。特異点の種類はポリ対数関数に由来するが、それが対数分岐点となる場合は、虚軸上の区間(-i∞, -i], [i, i∞)に分枝切断線が置かれる。
 一般積分逆正接関数は、後述する Lerch の超越関数の特別な場合であり、
一般積分逆正接関数とLerchの超越関数の関係
と表わされる。
 一般積分逆正接関数は L. Lewin (1958年) の研究によって、ほぼ現在の形に整備されたが、同種の関数はもっと古くから研究されていたと思われる。実際、
Legendreのカイ関数
は現在、Legendre のカイ関数と呼ばれている (グラフの描画は省略する)。

積分逆正接関数の記号

 実変数の積分逆正接関数Ti2(x)のグラフ。
  • 積分逆正接関数のグラフ(実変数)

 複素変数の積分逆正接関数Ti2(z)のグラフ。
  • 積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 積分逆正接関数のグラフ(複素変数)

一般積分逆正接関数の記号

 xを実変数とする一般積分逆正接関数Ti s(x)のグラフ。s=-5~5 (+0.2) 。sが整数のとき太線。
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(実変数)

 s, xを実2変数とする一般積分逆正接関数Ti s(x)のグラフ。
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(実2変数)

 複素変数の一般積分逆正接関数一般積分逆正接関数の記号のグラフ。
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般積分逆正接関数一般積分逆正接関数の記号のグラフ。
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般積分逆正接関数一般積分逆正接関数の記号のグラフ。
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の一般積分逆正接関数一般積分逆正接関数の記号のグラフ。
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)
  • 一般積分逆正接関数のグラフ(複素変数)

Debye 関数

日:Debye関数デバイ関数不完全ゼータ関数
英:Debye function,仏:Fonction de Debye,独:Debye-funktion

 第1種および第2種 Debye 関数とは、積分
  • 第1種および第2種Debye関数の定義式
で定義される関数である。両者は互いに
  • 第1種と第2種Debye関数との関係
の関係にあるが、これは不完全ガンマ関数のそれと類似しており、しかも、積分の形は Riemann ゼータ関数の積分表示式に似ているので、Debye 関数を不完全ゼータ関数と呼ぶことも多い。また、前述の積分表示式から正則化不完全ガンマ関数の無限級数
  • 正則化不完全ガンマ関数の無限級数による第1種Debye関数
に展開できることが分かる。
 νが正の整数である場合の Debye 関数は、閉じた形の式
  • 特別な場合の第1種Debye関数
で表わすことができる。なお、この式の定義域をさらに拡張する場合は、指数関数が代入されたポリ対数関数の部分を解析接続する必要がある。
 複素関数としての Debye 関数は、複素平面上z=2nπi (n=0,1,2,…)に対数分岐点を持つ無限多価関数で、分枝切断線は各々の対数分岐点と無限遠点とを結ぶ任意の曲線となる。ただしz=0は、νの値が有理数ならば代数分岐点に変わり、また正の整数ならば特異点でなくなる。(以下のグラフでは、実軸に平行で負数方向に向かう半直線を分枝切断線として採用する※1。)
 Debye 関数は、種々の積分計算に用いられる他、物理学では黒体放射や固体の温度に関する量子力学などに現れる。関数の名称も、熱力学における Debye 模型の熱容量を求める過程で、1912年に物理学者の P. Debye が前述の積分を扱ったことに因む。

【註記】
※1:Mathematicaのコード「Zeta.m」に搭載している Debye 関数は、νが正の整数の場合のみ複素変数での計算が可能です。

第1種Debye関数の記号

 実変数の第1種 Debye 関数第1種Debye関数の記号のグラフ。太線はνが正の整数のとき。
  • 第1種Debye関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種 Debye 関数第1種Debye関数の記号のグラフ。
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Debye 関数第1種Debye関数の記号のグラフ。
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Debye関数のグラフ(複素変数)

第2種Debye関数の記号

 実変数の第2種 Debye 関数のグラフ。太線はνが正の整数のとき。
 ただし、第2種Debye関数の記号νが大きくなるとすぐに曲線が描画範囲外になるので、代わりにこれを定数倍した第2種Debye関数の記号(定数倍)を描画する。
  • 第2種Debye関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第2種 Debye 関数第2種Debye関数の記号のグラフ。
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第2種 Debye 関数第2種Debye関数の記号のグラフ。
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Debye関数のグラフ(複素変数)

Lerch の超越関数

日:Lerchの超越関数レルヒ超越関数Lerchのゼータ関数
英:Lerch transcendents,仏:Fonctions transcendantes de Lerch,独:Lerchsche Zetafunktion

 ポリ対数関数と Hurwitz のゼータ関数を統合・一般化した、
  • Lerchの超越関数の定義式
を Lerch の超越関数、あるいは単に Lerch 関数という。さらに、Lerch の超越関数はポリガンマ関数の一般化にもなっていて、
  • Lerchの超越関数とポリガンマ関数との関係
となる。
 Dirichlet のL関数は、Lerch の超越関数を用いて表わすことができる。例えば、Catalan のベータ関数とも呼ばれる Dirichlet のL関数の例は
  • Lerchの超越関数で表わしたDirichlet-L関数
である。
 Lerch の超越関数は、各引数について解析接続を可能にする多くの公式が知られている。例えば、引数αに関しては漸化式
  • Lerchの超越関数の変数αに関する漸化式
を満たす。また、s→-∞における漸近級数
  • Lerchの超越関数の変数sに関する漸近級数
は、数値計算の際に便利である。
 なお、異なる無限和の取り方によって
  • Lerchの超越関数(二重和型)の定義式
が定義される。αが整数でないとき、Φφ(curly)の関係は
  • Lerchの超越関数(二重和型)との関係
となる。
 Lerch の超越関数なる名称は、1887年の M. Lerch による研究結果に因むが、それ以前にも、C. J. Malmstén (1849年)、R. Lipschitz (1857年, 1887年) 等の研究事例がある。

Lerchの超越関数の記号

 x, sを実2変数とする Lerch の超越関数のグラフ。順に、①Lerchの超越関数の記号, ②Lerchの超越関数の記号

 xを実変数とする Lerch の超越関数のグラフ。順に、①Lerchの超越関数の記号, ②Lerchの超越関数の記号。ともに、s=-12~4 (+0.2) 。

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)

 sを実変数とする Lerch の超越関数のグラフ。順に、①Lerchの超越関数の記号, ②Lerchの超越関数の記号。ともに、x=-10~1 (+0.2)。

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数のグラフ(複素変数)

Lerchの超越関数(二重和型)の記号

 x, sを実2変数とする Lerch の超越関数のグラフ。順に、①Lerchの超越関数(二重和型)の記号, ②Lerchの超越関数(二重和型)の記号

 xを実変数とする Lerch の超越関数のグラフ。順に、①Lerchの超越関数(二重和型)の記号, ②Lerchの超越関数(二重和型)の記号。ともに、s=-12~4 (+0.2) 。

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数(二重和型)の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数(二重和型)の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数(二重和型)の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数(二重和型)の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)

 sを実変数とする Lerch の超越関数のグラフ。順に、①Lerchの超越関数(二重和型)の記号, ②Lerchの超越関数(二重和型)の記号。ともに、x=-11~0 (+0.2)。

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数(二重和型)の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数(二重和型)の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数(二重和型)の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)

 複素変数の Lerch の超越関数Lerchの超越関数(二重和型)の記号のグラフ。
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)
  • Lerchの超越関数(二重和型)のグラフ(複素変数)

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