Coulomb波動関数：特殊関数グラフィックスライブラリー Special Functions

特殊関数 Menu

Coulomb 波動関数

日：Coulomb波動関数，クーロン波動関数
英：Coulomb wave function，仏：Fonctions d'ondes de Coulomb，独：Coulomb-wellenfunktion

　二階線形常微分方程式

を、Coulomb 波動方程式という。その解は、さしずめ虚数方向に変形された合流型超幾何関数と言ったところである。そのうち、原点で有界となる基本解

を、第1種 Coulomb 波動関数という。
　一方、対数項を含むため原点で無限大となる、

とは線形独立な基本解で

を解析接続したものを、第2種 Coulomb 波動関数という。いずれも応用事例は

のときが多く、数表が最も作成されているのもこの場合である。
　Coulomb 波動関数は

のとき、Bessel 関数および三角関数

に還元される。
　また、Coulomb 波動関数は、積分表示式

を持つ。(この式は、後述の Hankel - Coulomb 波動関数を示唆する。)
　一般に Coulomb 波動関数は、複素平面上

に特異点を持つ無限多価関数であって、通常は実軸上の区間

に分枝切断線を置く。Coulomb 波動関数の性質や公式の多くは、合流型超幾何関数や Whittaker 関数のそれから得られるが、若干 Coulomb 波動関数のほうが複雑である。
　Coulomb 波動関数の応用は専ら量子力学で、特に、水素原子に関する Schrödinger 方程式の動径方向の解として (Laguerre 陪関数の代わりに) 用いられるほか、これから派生した荷電粒子についての問題等に現れる。
　また、Helmholtz の方程式を回転放物体座標で変数分離したときの、動径方向の満たす微分方程式として現れる回転放物体波動方程式

の二つの基本解も、Coulomb 波動関数を用いて

とすることができる。(なお、ここで

とすれば、微分方程式の形によって Bessel 関数に還元されることが再び確認できる。)

　次は、M. Abramowitz & I. Stegun 編「Handbook of Mathematical Functions」の Coulomb 波動関数の章 p.541にある図と同様の、実変数の第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

　実変数の第1種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

＝－3～3 (+0.2)。

　複素変数の第1種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

　複素変数の第1種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

　次は、M. Abramowitz & I. Stegun 編「Handbook of …」と同様の、実変数の第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

　実変数の第1種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

＝－3～3 (+0.2)。

　複素変数の第1種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

　複素変数の第1種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

　次は、M. Abramowitz & I. Stegun 編「Handbook of …」と同様の、実変数の第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。

　実変数の第1種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

＝－3～3 (+0.2)。

　複素変数の第1種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

　複素変数の第1種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

　複素変数の第1種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

　アニメーション（4.86MB）
　複素変数の第1種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

＝0～1 (+0.02)。

　次は、M. Abramowitz & I. Stegun 編「Handbook of Mathematical Functions」の Coulomb 波動関数の章 p.541にある図と同様の、実変数の第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

　実変数の第2種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

＝－3～3 (+0.2)。

　複素変数の第2種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

　複素変数の第2種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

　次は、M. Abramowitz & I. Stegun 編「Handbook of …」と同様の、実変数の第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

　実変数の第2種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

＝－3～3 (+0.2)。

　複素変数の第2種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

　複素変数の第2種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

　次は、M. Abramowitz & I. Stegun 編「Handbook of …」と同様の、実変数の第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。

　実変数の第2種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

＝－3～3 (+0.2)。

　複素変数の第2種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

　複素変数の第2種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

　複素変数の第2種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

　アニメーション（5.89MB）
　複素変数の第2種 Coulomb 波動関数

のグラフ。

＝0～1 (+0.02)。

Hankel - Coulomb 波動関数

　Bessel 関数と同様に、Coulomb 波動方程式の二つの基本解は、原点での振る舞いが簡単になるように選ぶと

となるが、無限遠点での振る舞いが簡単になるような選び方として

も定義されている。これらを、第1種・第2種 Hankel - Coulomb 波動関数という。特に

のとき、

となることからも分かるように、Hankel - Coulomb 波動関数は指数関数や Hankel 関数の類似である。
　Hankel - Coulomb 波動関数は、第2種合流型超幾何関数を用いて

と表わされる関数を解析接続したものである。
　また、前述の積分表示式は、Hankel - Coulomb 波動関数を

で定義することになる。
　一般に Hankel - Coulomb 波動関数も、複素平面上

に特異点を持つ無限多価関数であって、通常は実軸上の区間

に分枝切断線を置く。
　数値計算上では、Coulomb 波動関数 (特に第2種) を求める際に、Hankel - Coulomb 波動関数を経由した方が好都合なことが多い。応用面でも、Hankel - Coulomb 波動関数は Coulomb 波動関数とともに現れる。

　実軸上で Hankel - Coulomb 波動関数は一般に実数値を取らないので、実変数グラフは省略する。
　複素変数の第1種 Hankel - Coulomb 波動関数

のグラフ。

　複素変数の第1種 Hankel - Coulomb 波動関数

のグラフ。

　複素変数の第1種 Hankel - Coulomb 波動関数

のグラフ。

　複素変数の第1種 Hankel - Coulomb 波動関数

のグラフ。

　複素変数の第1種 Hankel - Coulomb 波動関数

のグラフ。

　複素変数の第1種 Hankel - Coulomb 波動関数

のグラフ。

　複素変数の第1種 Hankel - Coulomb 波動関数

のグラフ。

が実数の場合の第2種 Hankel - Coulomb 波動関数は、第1種と共役複素数の関係にあり、そのグラフは互いに実軸に対して鏡映反転し、高々符号の違いがあるだけである。よって、第2種は

が複素数の場合のみ描画する。
　複素変数の第2種 Hankel - Coulomb 波動関数

のグラフ。

　アニメーション（5.57MB）
　複素変数の第2種 Hankel - Coulomb 波動関数

のグラフ。

＝0～1 (+0.02)。

特殊関数グラフィックスライブラリー
Graphics Library of Special functions

http://math-functions-1.watson.jp

特殊関数 Menu