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Coulomb 波動関数

Coulomb 波動関数

日:Coulomb波動関数クーロン波動関数
英:Coulomb wave function,仏:Fonctions d'ondes de Coulomb,独:Coulomb-wellenfunktion

 二階線形常微分方程式
  • Coulomb波動微分方程式
を、Coulomb 波動方程式という。その解は、さしずめ虚数方向に変形された合流型超幾何関数と言ったところである。そのうち、原点で有界となる基本解
  • 第1種Coulomb波動関数の定義
を、第1種 Coulomb 波動関数という。
 一方、対数項を含むため原点で無限大となる、Fとは線形独立な基本解で
  • 第2種Coulomb波動関数の定義
を解析接続したものを、第2種 Coulomb 波動関数という。いずれも応用事例はL=0のときが多く、数表が最も作成されているのもこの場合である。特に
  • 三角関数に還元されるCoulomb波動関数
となる。
 また、Coulomb 波動関数は、積分表示式
  • Coulomb波動関数の積分表示式
を持つ。(この式は、後述の Hankel - Coulomb 波動関数を示唆する。)
 一般に Coulomb 波動関数は、複素平面上ρ=0,∞に特異点を持つ無限多価関数であって、通常は実軸上の区間区間(-∞,0]に分枝切断線を置く。Coulomb 波動関数の性質や公式の多くは、合流型超幾何関数や Whittaker 関数のそれから得られるが、若干 Coulomb 波動関数のほうが複雑である。
 Coulomb 波動関数の応用は専ら量子力学で、特に、水素原子に関する Schrödinger 方程式の動径方向の解として (Laguerre 陪関数の代わりに) 用いられるほか、これから派生した荷電粒子についての問題等に現れる。
 また、Helmholtz の方程式を回転放物体座標 (パラボロイド座標) で変数分離したときの、動径方向の満たす微分方程式として現れる回転放物体波動方程式
  • 回転放物体波動微分方程式
の二つの基本解も、Coulomb 波動関数を用いて
  • 回転放物体波動関数
とすることができる。(なおλ=0のとき、微分方程式の形によって Bessel 関数に還元されることが分かる。)

第1種Coulomb波動関数の記号

 次は、M. Abramowitz & I. Stegun 編「Handbook of Mathematical Functions」の Coulomb 波動関数の章 p.541にある図と同様の、実変数の第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(実変数)

 実変数の第1種 Coulomb 波動関数第1種Coulomb波動関数の記号のグラフ。η=-3~3 (+0.2)。
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種 Coulomb 波動関数第1種Coulomb波動関数の記号のグラフ。
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Coulomb 波動関数第1種Coulomb波動関数の記号のグラフ。
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)

 次は、M. Abramowitz & I. Stegun 編「Handbook of …」と同様の、実変数の第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(実変数)

 実変数の第1種 Coulomb 波動関数第1種Coulomb波動関数の記号のグラフ。η=-3~3 (+0.2)。
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種 Coulomb 波動関数第1種Coulomb波動関数の記号のグラフ。
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Coulomb 波動関数第1種Coulomb波動関数の記号のグラフ。
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
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  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
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 次は、M. Abramowitz & I. Stegun 編「Handbook of …」と同様の、実変数の第1種 Coulomb 波動関数のグラフ。
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(実変数)

 実変数の第1種 Coulomb 波動関数第1種Coulomb波動関数の記号のグラフ。η=-3~3 (+0.2)。
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第1種 Coulomb 波動関数第1種Coulomb波動関数の記号のグラフ。
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第1種 Coulomb 波動関数第1種Coulomb波動関数の記号のグラフ。
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第1種 Coulomb 波動関数第1種Coulomb波動関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第1種 Coulomb 波動関数第1種Coulomb波動関数の記号のグラフ。θ=0~1 (+0.02)。
  • 第1種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数:動画)

第2種Coulomb波動関数の記号

 次は、M. Abramowitz & I. Stegun 編「Handbook of Mathematical Functions」の Coulomb 波動関数の章 p.541にある図と同様の、実変数の第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。
  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(実変数)

 実変数の第2種 Coulomb 波動関数第2種Coulomb波動関数の記号のグラフ。η=-3~3 (+0.2)。
  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第2種 Coulomb 波動関数第2種Coulomb波動関数の記号のグラフ。
  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
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  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第2種 Coulomb 波動関数第2種Coulomb波動関数の記号のグラフ。
  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
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  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)

 次は、M. Abramowitz & I. Stegun 編「Handbook of …」と同様の、実変数の第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。
  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(実変数)

 実変数の第2種 Coulomb 波動関数第2種Coulomb波動関数の記号のグラフ。η=-3~3 (+0.2)。
  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第2種 Coulomb 波動関数第2種Coulomb波動関数の記号のグラフ。
  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第2種 Coulomb 波動関数第2種Coulomb波動関数の記号のグラフ。
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  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
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 次は、M. Abramowitz & I. Stegun 編「Handbook of …」と同様の、実変数の第2種 Coulomb 波動関数のグラフ。
  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(実変数)

 実変数の第2種 Coulomb 波動関数第2種Coulomb波動関数の記号のグラフ。η=-3~3 (+0.2)。
  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(実変数)

 複素変数の第2種 Coulomb 波動関数第2種Coulomb波動関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種 Coulomb 波動関数第2種Coulomb波動関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第2種 Coulomb 波動関数第2種Coulomb波動関数の記号のグラフ。
  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
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  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)

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 複素変数の第2種 Coulomb 波動関数第2種Coulomb波動関数の記号のグラフ。θ=0~1 (+0.02)。
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Hankel - Coulomb 波動関数

 Bessel 関数と同様に、Coulomb 波動方程式の二つの基本解は、原点での振る舞いが簡単になるように選ぶとCoulomb波動関数の記号となるが、無限遠点での振る舞いが簡単になるような選び方として
  • Hankel-Coulomb波動関数の定義
も定義されている。これらを、第1種・第2種 Hankel - Coulomb 波動関数という。特に
  • 指数関数に還元されるHankel-Coulomb波動関数
となることからも分かるように、Hankel - Coulomb 波動関数は指数関数や Hankel 関数の類似である。
 Hankel - Coulomb 波動関数は、第2種合流型超幾何関数を用いて
  • Hankel-Coulomb波動関数の第2種合流型超幾何関数表示式
と表わされる関数を解析接続したものである。
 また、前述の積分表示式は、Hankel - Coulomb 波動関数を
  • Hankel-Coulomb波動関数の積分表示式
で定義することになる。
 一般に Hankel - Coulomb 波動関数も、複素平面上ρ=0, ∞に特異点を持つ無限多価関数であって、通常は実軸上の区間区間(-∞,0]に分枝切断線を置く。
 数値計算上では、Coulomb 波動関数 (特に第2種) を求める際に、Hankel - Coulomb 波動関数を経由した方が好都合なことが多い。応用面でも、Hankel - Coulomb 波動関数は Coulomb 波動関数とともに現れる。

第1種Hankel-Coulomb波動関数の記号

 実軸上で Hankel - Coulomb 波動関数は一般に実数値を取らないので、実変数グラフは省略する。
 複素変数の第1種 Hankel - Coulomb 波動関数第1種Hankel-Coulomb波動関数の記号のグラフ。
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Hankel - Coulomb 波動関数第1種Hankel-Coulomb波動関数の記号のグラフ。
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の第1種 Hankel - Coulomb 波動関数第1種Hankel-Coulomb波動関数の記号のグラフ。
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第1種 Hankel - Coulomb 波動関数第1種Hankel-Coulomb波動関数の記号のグラフ。
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第1種 Hankel - Coulomb 波動関数第1種Hankel-Coulomb波動関数の記号のグラフ。
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
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 複素変数の第1種 Hankel - Coulomb 波動関数第1種Hankel-Coulomb波動関数の記号のグラフ。
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 複素変数の第1種 Hankel - Coulomb 波動関数第1種Hankel-Coulomb波動関数の記号のグラフ。
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
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  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)

第2種Hankel-Coulomb波動関数の記号

 L,ηが実数の場合の第2種 Hankel - Coulomb 波動関数は、第1種と共役複素数の関係にあり、そのグラフは互いに実軸に対して鏡映反転し、高々符号の違いがあるだけである。よって、第2種はL,ηが複素数の場合のみ描画する。
 複素変数の第2種 Hankel - Coulomb 波動関数第2種Hankel-Coulomb波動関数の記号のグラフ。
  • 第2種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種Hankel-Coulomb波動関数のグラフ(複素変数)

 アニメーション(5.57MB)
 複素変数の第2種 Hankel - Coulomb 波動関数第2種Hankel-Coulomb波動関数の記号第2種Hankel-Coulomb波動関数の記号のグラフ。θ=0~1 (+0.02)。
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