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Hill 関数

Hill 関数 (周期関数項が楕円テータ関数)

日:Hill関数ヒル関数
英:Hill function,仏:Fonction de Hill,独:Hillsche funktion

 2階の線形常微分方程式
Hillの微分方程式
を、Hill の微分方程式という。ここに、φ(z)は周期関数かつ偶関数とする(さらに、通常はzが実変数のときφ(z)は実数値となる関数とする)。
 天体力学における制限三体問題(3天体のうち、2天体は互いの重心を楕円軌道で公転し、残り1天体の質量が他に比べて無視できるほど小さい場合の1天体の軌道)の理想的な周期軌道解を求めるため、1886年に G. W. Hill がこの微分方程式を考察した。
 φ(z)2πを周期とし Fourier 級数に展開されるとした場合、Hill の微分方程式はしばしば
  • Fourier級数型のHillの微分方程式
の形でも定義される。Hill の微分方程式の解Hill関数の記号を、Hill 関数という。ここに、
  • Hill関数の初期値
は初期値である※1。
 Hill の微分方程式は周期関数項を持つ基本的な線形常微分方程式とみなされる。φ(z)が周期関数であっても、Hill の微分方程式の解が周期関数になるのは特定の場合に限られる。しかし、線形独立な二つの基本解のうち、一方が常に
  • Floquetの解
なる擬周期性を満たすように選ぶことができる。これは Floquet の定理と呼ばれ、このときのμを 特性指数という。特性指数は前述の Fourier 級数の係数を要素とする、ある無限次正方行列式の方程式の解として求められるが、その具体的な式は複雑なので記載を省略する。また、一般的な Hill の微分方程式に対して固有値αを具体的に求めることも非常に難しい。
 Hill 関数の特別な場合としては、
  • Hill関数の特別な場合
等がある。Mathieu 関数Lamé 関数については、それぞれ個別の頁で既に触れているので、ここでは扱わない。また、Whittaker - Hill 関数のグラフの概形は Mathieu 関数とよく似ているので、これも省略する※2。
 そこで、この頁では順に
  • 考察するHill関数の例
を扱うことにする。ただし、Mathieu 関数や Lamé 関数のときのように、Floquet の定理に基づいて、基本解の一方が周期関数となる特別な場合を選んでグラフを描画することは(難しいため)しない。代わりに、初期値の設定によって偶関数と奇関数になる二つの場合をもって基本解の代表とする。

【註記】
※1 Hill 関数の標準的な関数記号はまだ存在しないため、便宜的にこのような表記にした。なお、以降ではこの関数記号の末尾引数におけるφ(z)を、#と&で表現している。これはプログラミング構文において、「純関数」 あるいは 「ラムダ計算」 と呼ばれるものに相当する。

※2 複素変数の Whittaker - Hill 関数も、「NDSolveHill.m」にある関数 ”Hill[ ]” を用いて計算できます。

Hill関数(楕円テータ関数型)の記号

 実変数の Hill 関数のグラフ。順に、①Hill関数(楕円テータ関数型)の記号, ②Hill関数(楕円テータ関数型)の記号。いずれもβ=-5~5 (+0.25)。

 実変数の Hill 関数のグラフ。順に、①Hill関数(楕円テータ関数型)の記号, ②Hill関数(楕円テータ関数型)の記号。いずれもα=-5~5 (+0.25)。

 複素変数の Hill 関数Hill関数(楕円テータ関数型)の記号のグラフ。
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)

 複素変数の Hill 関数Hill関数(楕円テータ関数型)の記号のグラフ。
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)

Hill関数(楕円テータ関数型)の記号

 実変数の Hill 関数のグラフ。順に、①Hill関数(楕円テータ関数型)の記号, ②Hill関数(楕円テータ関数型)の記号。いずれもβ=-5~5 (+0.25)。

 実変数の Hill 関数のグラフ。順に、①Hill関数(楕円テータ関数型)の記号, ②Hill関数(楕円テータ関数型)の記号。いずれもα=-5~5 (+0.25)。

 複素変数の Hill 関数Hill関数(楕円テータ関数型)の記号のグラフ。
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)

 複素変数の Hill 関数Hill関数(楕円テータ関数型)の記号のグラフ。
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)

Hill関数(楕円テータ関数型)の記号

 実変数の Hill 関数のグラフ。順に、①Hill関数(楕円テータ関数型)の記号, ②Hill関数(楕円テータ関数型)の記号。いずれもβ=-5~5 (+0.25)。

 実変数の Hill 関数のグラフ。順に、①Hill関数(楕円テータ関数型)の記号, ②Hill関数(楕円テータ関数型)の記号。いずれもα=-5~5 (+0.25)。

 複素変数の Hill 関数Hill関数(楕円テータ関数型)の記号のグラフ。
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)

 複素変数の Hill 関数Hill関数(楕円テータ関数型)の記号のグラフ。
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(楕円テータ関数型)のグラフ(複素変数)

Hill 関数 (周期関数項が合成三角関数)

 ここでは特に、Hill の微分方程式
Hillの微分方程式
における周期関数項が三角関数の合成関数
  • Hill関数(合成三角関数型)の例
となる場合について考察する。

Hill関数(合成三角関数型)の記号

 実変数の Hill 関数のグラフ。順に、①Hill関数(合成三角関数型)の記号, ②Hill関数(合成三角関数型)の記号。いずれもβ=-5~5 (+0.25)。

 実変数の Hill 関数のグラフ。順に、①Hill関数(合成三角関数型)の記号, ②Hill関数(合成三角関数型)の記号。いずれもα=-5~5 (+0.25)。

 複素変数の Hill 関数Hill関数(合成三角関数型)の記号のグラフ。
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)

 複素変数の Hill 関数Hill関数(合成三角関数型)の記号のグラフ。
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)

Hill関数(合成三角関数型)の記号

 実変数の Hill 関数のグラフ。順に、①Hill関数(合成三角関数型)の記号, ②Hill関数(合成三角関数型)の記号。いずれもβ=-5~5 (+0.25)。

 実変数の Hill 関数のグラフ。順に、①Hill関数(合成三角関数型)の記号, ②Hill関数(合成三角関数型)の記号。いずれもα=-5~5 (+0.25)。

 複素変数の Hill 関数Hill関数(合成三角関数型)の記号のグラフ。
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)

 複素変数の Hill 関数Hill関数(合成三角関数型)の記号のグラフ。
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)

Hill関数(合成三角関数型)の記号

 実変数の Hill 関数のグラフ。順に、①Hill関数(合成三角関数型)の記号, ②Hill関数(合成三角関数型)の記号。いずれもβ=-5~5 (+0.25)。

 実変数の Hill 関数のグラフ。順に、①Hill関数(合成三角関数型)の記号, ②Hill関数(合成三角関数型)の記号。いずれもα=-5~5 (+0.25)。

 複素変数の Hill 関数Hill関数(合成三角関数型)の記号のグラフ。
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)

 複素変数の Hill 関数Hill関数(合成三角関数型)の記号のグラフ。
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)
  • Hill関数(合成三角関数型)のグラフ(複素変数)

Meissner 関数

 ここでは特に、Hill の微分方程式における周期関数項が矩形波関数となった
Meissnerの微分方程式
について考察する。これは Meissner の微分方程式とも呼ばれるので、その解を Meissner 関数と称する。ただし、複素変数の場合の符号関数は次のように定義されるものとする (Mathematica内部での定義)。
複素変数の符号関数の解釈
よって、Meissner 関数はAbs(z)を含むため、変数zに関して非解析的な関数である。
 また、βの関数と考えたときの固有値αを Meissner 固有値関数Meissner固有値関数の記号と称する。これは、Mathieu 固有値関数に相当するものであるが、この場合は初等関数の陰関数
  • Meissner固有値関数
で表わされる。

Meissner関数の記号

 実変数の Meissner 関数のグラフ。順に、①Meissner関数の記号, ②Meissner関数の記号。いずれもβ=-3~3 (+0.2)。

 実変数の Meissner 関数のグラフ。順に、①Meissner関数の記号, ②Meissner関数の記号。いずれもα=-3~3 (+0.2)。

 複素変数の Meissner 関数Meissner関数の記号のグラフ。
  • Meissner関数のグラフ(複素変数)
  • Meissner関数のグラフ(複素変数)
  • Meissner関数のグラフ(複素変数)
  • Meissner関数のグラフ(複素変数)
  • Meissner関数のグラフ(複素変数)

 複素変数の Meissner 関数Meissner関数の記号のグラフ。
  • Meissner関数のグラフ(複素変数)
  • Meissner関数のグラフ(複素変数)
  • Meissner関数のグラフ(複素変数)
  • Meissner関数のグラフ(複素変数)
  • Meissner関数のグラフ(複素変数)

Meissner固有値関数の記号

 Meissner 固有値関数の安定域(青色または境界線上)、不安定域(黄色)。②は、①よりも広い範囲のグラフ。

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