特殊関数 グラフィックスライブラリー
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Hill 関数
Hill 関数 (周期関数項が楕円テータ関数)
日：Hill関数，ヒル関数英：Hill function，仏：Fonction de Hill，独：Hillsche funktion
２階の線形常微分方程式
は周期関数かつ偶関数とする(さらに、通常は
が実変数のときは実数値となる関数とする)。天体力学における制限三体問題(３天体のうち、２天体は互いの重心を楕円軌道で公転し、残り１天体の質量が他に比べて無視できるほど小さい場合の１天体の軌道)の理想的な周期軌道解を求めるため、1886年に G. W. Hill がこの微分方程式を考察した。
が
を周期とし Fourier 級数に展開されるとした場合、Hill の微分方程式はしばしば
を、Hill 関数という。ここに、
Hill の微分方程式は周期関数項を持つ基本的な線形常微分方程式とみなされる。
が周期関数であっても、Hill の微分方程式の解が周期関数になるのは特定の場合に限られる。しかし、線形独立な二つの基本解のうち、一方が常に
を 特性指数という。特性指数は前述の Fourier 級数の係数を要素とする、ある無限次正方行列式の方程式の解として求められるが、その具体的な式は複雑なので記載を省略する。また、一般的な Hill の微分方程式に対して固有値
を具体的に求めることも非常に難しい。Hill 関数の特別な場合としては、
そこで、この頁では順に
【註記】
※1 Hill 関数の標準的な関数記号はまだ存在しないため、便宜的にこのような表記にした。なお、以降ではこの関数記号の末尾引数におけるを、＃と＆で表現している。これはプログラミング構文における ｢純関数｣ または ｢ラムダ計算｣ の記述方法に相当する。
※2 複素変数の Whittaker - Hill 関数も、｢NDSolveHill.m｣ にある関数 ”Hill[ ]” を用いて計算できます。
※1 Hill 関数の標準的な関数記号はまだ存在しないため、便宜的にこのような表記にした。なお、以降ではこの関数記号の末尾引数における
を、＃と＆で表現している。これはプログラミング構文における ｢純関数｣ または ｢ラムダ計算｣ の記述方法に相当する。※2 複素変数の Whittaker - Hill 関数も、｢NDSolveHill.m｣ にある関数 ”Hill[ ]” を用いて計算できます。
, ②
。いずれも
＝－5～5 (+0.25)。
実変数の Hill 関数のグラフ。順に、①
, ②
。いずれも＝－5～5 (+0.25)。
複素変数の Hill 関数
のグラフ。
複素変数の Hill 関数
のグラフ。
, ②
。いずれも＝－5～5 (+0.25)。
実変数の Hill 関数のグラフ。順に、①
, ②
。いずれも＝－5～5 (+0.25)。
複素変数の Hill 関数
のグラフ。
複素変数の Hill 関数
のグラフ。
, ②
。いずれも＝－5～5 (+0.25)。
実変数の Hill 関数のグラフ。順に、①
, ②
。いずれも＝－5～5 (+0.25)。
複素変数の Hill 関数
のグラフ。
複素変数の Hill 関数
のグラフ。
Hill 関数 (周期関数項が合成三角関数)
ここでは特に、Hill の微分方程式
, ②
。いずれも＝－5～5 (+0.25)。
実変数の Hill 関数のグラフ。順に、①
, ②
。いずれも＝－5～5 (+0.25)。
複素変数の Hill 関数
のグラフ。
複素変数の Hill 関数
のグラフ。
, ②
。いずれも＝－5～5 (+0.25)。
実変数の Hill 関数のグラフ。順に、①
, ②
。いずれも＝－5～5 (+0.25)。
複素変数の Hill 関数
のグラフ。
複素変数の Hill 関数
のグラフ。
, ②
。いずれも＝－5～5 (+0.25)。
実変数の Hill 関数のグラフ。順に、①
, ②
。いずれも＝－5～5 (+0.25)。
複素変数の Hill 関数
のグラフ。
複素変数の Hill 関数
のグラフ。
Meissner 関数
ここでは特に、Hill の微分方程式における周期関数項が矩形波関数※1となった
を含むため、変数に関して非解析的な関数である。また、
の関数と考えたときの固有値を Meissner 固有値関数
と称する。これは、Mathieu 固有値関数に相当するものであるが、この場合は初等関数の陰関数
【註記】
※1 矩形波関数
のグラフは次のようになる。(実変数，複素変数(実部･虚部))
※1 矩形波関数
のグラフは次のようになる。(実変数，複素変数(実部･虚部))
, ②
。いずれも＝－3～3 (+0.2)。
実変数の Meissner 関数のグラフ。順に、①
, ②
。いずれも＝－3～3 (+0.2)。
複素変数の Meissner 関数
のグラフ。
複素変数の Meissner 関数
のグラフ。
