特殊関数 グラフィックスライブラリー
Graphics Library of Special functions
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独自研究
｢当て推量数学｣ で探索する ｢新しい特殊関数｣。
楕円 Fibonacci 関数
(2013年9月17日 掲載記事)Fibonacci 数
は、漸化式
この数列に対して、
を複素数に拡張した「Fibonacci 関数」
以下では、これを楕円関数化することを考えた。
楕円 Fibonacci 関数
実数方向では Fibonacci 関数の関数等式を満たし、同時に、虚数方向でも類似する関数等式を満たすような関数を
楕円 Fibonacci 関数は、次の関数等式や性質を満たす。
実変数の楕円 Fibonacci 関数
と、複素変数の楕円 Fibonacci 関数
のグラフ。(実変数のグラフの赤線は実部、青線は虚部。)
楕円 Fibonacci 関数は、次のように一般化できる。
である。また、
は Lucas 数に対する「楕円 Lucas 関数」となる。実変数の楕円 Lucas 関数
と、複素変数の楕円 Lucas 関数のグラフ。(実変数のグラフの赤線は実部、青線は虚部。)
虚数方向に周期的な Fibonacci 関数
前の結果を応用して、実数方向では Fibonacci 関数の関数等式を満たし、同時に、虚数方向では周期関数となる「周期的 Fibonacci 関数」
周期的 Fibonacci 関数は、次の関数等式や性質を満たす。
実変数の周期的 Fibonacci 関数
と、複素変数の周期的 Fibonacci 関数
のグラフ。
（
楕円 Fibonacci 関数のコードを、｢Mathematica Code｣ の頁に掲載しています。）未知の Lambert 級数
Lambert 級数はｑ-級数の一種と見ることができ、保型関数論や数論との繋がりもある。Lambert 級数の母関数は、
は Möbius 関数、
は Euler のトーシェント関数、
は約数関数、および
は Liouville 関数である。このうち、３番目と４番目の関係式は、楕円モジュラー関数と関連がある。以下では、上記と異なる係数の Lambert 級数や、Lambert 級数そのものの拡張について考える。
他の数論的関数が係数の場合
前述とは異なる数論的関数を係数とする Lambert 級数として、
は素因数分解に含まれる異なる素数の個数 (素数ニュー関数)、
は Von Mangoldt のラムダ関数、および
は Ramanujan のタウ関数である。これらの母関数は果たして何であろうか？…。各関数の複素変数でのグラフ。順に、①
, ②
, ③
, ④
, ⑤
, ⑥
。
グラフから推測すれば、①,③,④は互いに似ており、重み２の Eisenstein 級数との類似を感じさせる。②は重み６の Eisenstein 級数と類似している。⑤は何となく初等関数に還元できそうな気がする。⑥は尖点形式 (モジュラー判別式) に似ている。
(2021年9月12日 追加記事)
次のとおり⑤は、ポリ対数関数を変数
で微分したのち、極限を取ると得られる関数に一致することが判明した。(前述の ｢初等関数に還元できる｣ との予想は誤りでした。)
「Mandelbrot - Lambert 級数」
Lambert 級数の各項
をグラフで見ると、次のようになる。
Mandelbrot 集合の反復力学系関数を
の関数のとき Mandelbrot 集合、
の関数のとき Julia 集合)。このとき、
をグラフで見ると、次のようになる。
これらの結果は、あたかも Lambert 級数の「Mandelbrot 集合版」のようになっている。そこで、次の関数を考える。
, ②
, ③
, ④
, ⑤
, ⑥
, ⑦
, ⑧
。
素数正弦関数・素数ガンマ関数
古い (恐らく1990年代前半の) ノートを見ていて、当時から下記の独自関数を考えていた事を思い出しました。再度検証してみたところ新たな結果も得られたので、今回ここで取り上げることにしました。(いずれも、やや自明な結果かもしれない。)素数正弦関数
正負の素数に１位の零点を持つ超越整関数
の偶数での特殊値を用いて
素数正弦関数と正弦関数の商
素数正弦関数のグラフは次のようになる。
素数ガンマ関数
負の素数に１位の極を持ち、零点を持たない有理型関数
は Meissel - Mertens 定数とする (以下同様)。素数ガンマ関数の対数微分は、素数ゼータ関数
の特殊値を用いて
また、素数ガンマ関数の対数微分の冪級数展開式、および Meissel - Mertens 定数の定義式から
は Euler の定数である。素数ガンマ関数は、素数正弦関数と
素数ガンマ関数のグラフは次のようになる。
非 Bohr - Mollerup 型ガンマ関数
を実数パラメータ、を複素変数とする関数
は、
, 
, 
を満たす任意の周期関数とする。このとき、関数
は、Bohr - Mollerup の定理①,②を満たすが、定理③は満たさない。すなわち、
しかし、実変数のグラフは周期関数の影響から振動し、正の定義域で一般に単調増加にならない。この結果は、｢１より大きい階乗 (の連続化) は単調増加になるはずだ｣ という私達の理性にも反している。
周期関数因子が三角関数の例
周期関数因子が楕円関数の例
真性特異点を持つ二重周期関数
(2017年11月11日 掲載記事)Weierstrass の楕円関数およびその導関数の部分分数展開式を、次のように変形した関数を定義する。ただし、周期を
とし、総和記号は Weierstrass の楕円関数に準じる。
,
は二重周期関数であるが、格子状に並ぶ真性特異点を持ち、その周囲に無数の零点がある。したがって、(有理型関数ではないので) 本来は楕円関数ではないが、さしずめ
｢位数が
の楕円関数｣ とも言える状況になっている。複素変数の
のグラフ。
のグラフ。
とし、その階導関数を
と表記する。また、Eisenstein 級数を
とするとき、関数,は、Weierstrass の楕円関数の無限級数、および Laurent 級数に展開できる。(ただし、後者は有限の収束半径を持つ。)
が小さい場合の係数
複素変数の ①
, ②
, ③
, ④
のグラフ。(ただし、
とする。)
さらに、部分分数展開式を Jacobi の楕円関数によって変形した関数
,
も格子状に並ぶ真性特異点を持つ二重周期関数であるが、その格子点の周囲に無数の (1位の) 極がある。複素変数の
のグラフ。
のグラフ。
（
真性特異点を持つ二重周期関数等のコードを、｢Mathematica Code｣ の頁に掲載しています。）von Mangoldt 指数級数の漸近公式
(2018年06月23日 掲載記事)英語版 Wikipedia の Von Mangoldt function を見ると、｢Exponential series｣ という項目があり、関数
今回、この関数を非常に少ない項数で近似できる漸近公式が得られた (2018年6月) ので、ここでその概要を示すことにする。因みに、(管理人の力量不足もあって) これに辿り着くまで５～６年間は様々な方法を試行錯誤したように記憶している。
(実は、この方法を思い付いた直後、念のため G. H. Hardy & J. E. Littlewood の原論文 ｢Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes, Acta Mathematica. 41, p.119–196｣ を確認したところ、ほとんど同じ方法による考察が既にあることが分かった。ただし、
【漸近公式を求める方法】
この方法の要点は、逆 Mellin 変換と留数定理を用いることであるが、複素関数論では割合よく見られる方法なので、以降ではその道筋だけを簡単に示す。
まず、逆 Mellin 変換までの手順を一気に記すと、
Riemann ゼータ関数の非自明零点を
と表記するとき、各々の極における留数は、
とするならば、最終的に目標の漸近公式
【原点近傍での漸近近似式】
のもとでは、漸近公式における高次 (ここでは3次以上) の冪項、および絶対値が大きい非自明零点の項は無視できる。対数因子を持つ項も消えるがここでは残すことにした。よって、漸近近似式
Wikipedia にあるものと同じ範囲でグラフを描画する。(たった0.873秒で計算できることに注目して下さい。)
直前のグラフと Wikipedia のグラフとを (一方の画像を半透明にして) 重ねてみる。→ 一致している。
先の More detailes では、｢０に近付くにつれて振動が増大するが、－0.337877の切片を持つ直線のように見える｣ との記述もある。この事は、漸近近似式をさらに定数項と1次の項のみに簡略化すると、一層明らかになる。前とは異なる描画範囲のグラフでそれを確認する。
実際、この1次関数の定数項は
となる。【複素領域ではどうなっている？】
残念ながら、この漸近公式は引数の偏角が虚軸に近付くほど収束が遅くなり、虚軸上で発散する (ただし、虚軸は von Mangoldt 指数級数の自然境界と思われる)。原因は、非自明零点に由来する級数部分にある。偏角が実軸から離れると三角関数は指数関数的に増大するようになり、次第にガンマ関数が０に近付く速さと拮抗し始めるからである。また、
の漸近公式ゆえ、引数の絶対値が大きい領域では誤差が大きくなる。したがって複素変数のときは、実変数の場合のような少ない加算項数では無理である (以降の計算では、非自明零点級数での加算項数を10,000にしている)。次のグラフは、漸近公式と冒頭の定義級数との誤差を、その絶対値の大きさで色分けしたものである。(分量の理由から、以降ではコードの掲載を省略します。詳細は Mathematica Code の頁にあるファイルを参照願います。)
この結果に基づき、領域によって計算方法を使い分けるようにしたコードを用いて、von Mangoldt 指数級数を複素領域で描画する。1番目は虚数方向の半周期分、2番目は原点に近い領域、3番目はさらに原点に近い領域である。(ただし、偏角が虚軸にかなり近い領域での概形は不正確かもしれない。また、2・3番目のグラフは約37時間も掛かっている。)
（
von Mangoldt 指数級数のコードを、｢Mathematica Code｣ の頁に掲載しています。）Kronecker の極限公式の導出方法
(2019年3月6日 掲載記事)実解析的 Eisenstein 級数の頁に掲載した第1 Kronecker の極限公式 (以降 ｢第1｣ を省略する) は、Glaisher - Kinkelin 定数が現れる等、形が大抵の文献にあるそれとは随分異なっている。そこで念のため、ここに導出過程を掲載し、後半では Mathematica による検証結果も掲載する。
【手計算による Kronecker の極限公式の導出】
実解析的 Eisenstein 級数の頁にある
の Fourier 級数展開式を再掲すると次のようになるが、以降では、説明の都合上これを３項に分けて
, 
, 
と表記する。
に対する Kronecker の極限公式は、ここでの結果と相違することがある。因みに、における
は、
に置き換えても結果は変わらない。なぜならば、約数関数は
【手順１：
における留数を求める】にある１位の極はのみに由来する。よって、その留数を求めると、
をに依存しない
の関数とすれば、Kronecker の極限公式は
は、, , に対する極限から生じるの関数の和になる。そこで、それぞれを
, 
, 
と表記しよう。すなわち、
【手順２：
を求める】単に、極限をとれば次のように求められる。
から生じる
と相殺されることになる。）【手順３：
を求める】実はここに、Glaisher - Kinkelin 定数が現れる原因がある。
とは、
を冪級数展開したときの１次の項の係数である。つまり、｢手順１｣ の結果から、
は具体的に
【手順４：
を求める】これも ｢手順２｣ と同様、単に極限をとれば求められるが、計算はやや複雑である。このとき、第2種変形 Bessel 関数が初等関数
まず④は、冒頭で述べた約数関数の性質、および
とし、その両辺を
で割って区間![[0, q]](siki_home050/original1210.png){kind=small}
で積分する。
ゆえ級数は一様収束で、積分と総和記号の交換が可能。積分定数も生じない。つまり、次の等式が成り立つ。
【手順５：Kronecker の極限公式を得る】
｢手順２｣～｢手順４｣ の結果から、
に対する Kronecker の極限公式
なお、
に対する Kronecker の極限公式も、同様の方法で求められる (導出過程は省略する) が、に相当する項の分母に
が無いため Glaisher - Kinkelin 定数が現れず、代わりに Euler 定数が (相殺されないため) 現れる。また、その場合のにおける留数は
になる。【Mathematicaによる検証】
得られた公式の信頼性を補強 (および手計算を検算) する目的から、以降では Mathematica を用いた二つの検証を行う。
【検証１】
｢手順１｣ と ｢手順３｣ の検証、すなわち
の Laurent 級数展開が
よって、この結果は
【検証２】
Kronecker の極限公式自体の検証。次のように左辺 (極限をとる) と右辺とに分けて、両者の一致、並びに両者の差が (ほとんど) ０になることを確認する。
が０に近くなければ速く収束する。また、の近傍では充分な精度で収束する。(なお、このコードは高精度数値を使用するので遅く、グラフの描画には不向きである。)
第2列目が
、第3列目が
、第4列目 (最右列) が両者の差である。差が０の近似数となるので、この Kronecker 極限公式の信頼性は高い。
【工事中】
工事中：ここに新規項目の追加を計画しています。Under construction：I'm planning to add a new contents here.
