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独自研究

  「当て推量数学」 で探索する 「新しい特殊関数」。

楕円 Fibonacci 関数

 Fibonacci 数Fibonacci数は、漸化式
  • Fibonacci数の漸化式
で定義される数列で、数学のみならず、自然界の様々な事象に広く見られる。
 この数列に対して、nを複素数に拡張した「Fibonacci 関数」
  • Fibonacci関数
を定義できることが既に知られており、関数等式
  • Fibonacci関数の関数等式
を満たす。なお参考までに、実変数および複素変数の Fibonacci 関数のグラフは次のとおり。
  • Fibonacci関数のグラフ(実変数)
  • Fibonacci関数のグラフ(複素変数)
  • Fibonacci関数のグラフ(複素変数)

 以下では、これを楕円関数化することを考えた。

楕円 Fibonacci 関数

 実数方向では Fibonacci 関数の関数等式を満たし、同時に、虚数方向でも類似する関数等式を満たすような関数を
  • 楕円Fibonacci関数の定義
で定義し、これを「楕円 Fibonacci 関数」と呼ぶこととした。
 楕円 Fibonacci 関数は、次の関数等式や性質を満たす。
  • 楕円Fibonacci関数の関数等式
 次のグラフからも分かるように、楕円 Fibonacci 関数は実軸に対して鏡映対称とならない。このため、非整数の実数上で楕円 Fibonacci 関数は一般に複素数値となる。
 実変数の楕円 Fibonacci 関数楕円Fibonacci関数の記号と、複素変数の楕円 Fibonacci 関数楕円Fibonacci関数の記号のグラフ。(実変数のグラフの赤線は実部、青線は虚部。)
  • 楕円Fibonacci関数のグラフ(実変数)
  • 楕円Fibonacci関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円Fibonacci関数のグラフ(複素変数)

 楕円 Fibonacci 関数は、次のように一般化できる。
  • 一般的な楕円Fibonacci関数の定義
 一般化楕円 Fibonacci 関数は、次の関数等式や性質を満たす。
  • 一般的な楕円Fibonacci関数の関数等式
特に、一般的な楕円Fibonacci関数の記号である。また、楕円Lucas関数の記号は Lucas 数に対する「楕円 Lucas 関数」となる。
 実変数の楕円 Lucas 関数楕円 Lucas 関数と、複素変数の楕円 Lucas 関数楕円Lucas関数の記号のグラフ。(実変数のグラフの赤線は実部、青線は虚部。)
  • 楕円Lucas関数のグラフ(実変数)
  • 楕円Lucas関数のグラフ(複素変数)
  • 楕円Lucas関数のグラフ(複素変数)

虚数方向に周期的な Fibonacci 関数

 前の結果を応用して、実数方向では Fibonacci 関数の関数等式を満たし、同時に、虚数方向では周期関数となる「周期的 Fibonacci 関数」
  • 周期的Fibonacci関数の定義
が定義できる。
 周期的 Fibonacci 関数は、次の関数等式や性質を満たす。
  • 周期的Fibonacci関数の関数等式
 次のグラフからも分かるように、周期的 Fibonacci 関数は実軸に対して鏡映対称となる。このため、実軸上で周期的 Fibonacci 関数は常に実数値となる。
 実変数の周期的 Fibonacci 関数周期的Fibonacci関数の記号と、複素変数の周期的 Fibonacci 関数周期的Fibonacci関数の記号のグラフ。
  • 周期的Fibonacci関数のグラフ(実変数)
  • 周期的Fibonacci関数のグラフ(複素変数)
  • 周期的Fibonacci関数のグラフ(複素変数)

未知の Lambert 級数

 Lambert 級数はq-級数の一種と見ることができ、保型関数論や数論との繋がりもある。Lambert 級数の母関数は、
  • Lambert級数と冪級数との関係
で表わされる。特に、
  • 特殊なLambert級数
となることが知られている。ここに、μ(n)Möbius 関数φ(n)Euler のトーシェント関数σ(a, n)約数関数、およびλ(n)Liouville 関数である。このうち、3番目と4番目の関係式は、楕円モジュラー関数と関連がある。
 以下では、上記と異なる係数の Lambert 級数や、Lambert 級数そのものの拡張について考える。

他の数論的関数が係数の場合

 前述とは異なる数論的関数を係数とする Lambert 級数として、
  • 未知の特殊Lambert級数
を考える。ここに、ν(n)は素因数分解に含まれる異なる素数の個数 (素数ニュー関数)、Λ(n)Von Mangoldt のラムダ関数、およびτ(n)Ramanujan のタウ関数である。これらの母関数は果たして何であろうか?…。
 各関数の複素変数でのグラフ。順に、①未知の特殊Lambert級数, ②未知の特殊Lambert級数, ③未知の特殊Lambert級数, ④未知の特殊Lambert級数, ⑤未知の特殊Lambert級数, ⑥未知の特殊Lambert級数

 結果のみから推測すれば、1, 3, 4番目は互いに似ており、重み2の Eisenstein 級数との類似を感じさせる。2番目は重み6の Eisenstein 級数と類似している。5番目は何となく初等関数に還元できそうな気がする。6番目は尖点形式に似ている。

「Mandelbrot - Lambert 級数」

 Lambert 級数の各項Lambert級数の項をグラフで見ると、次のようになる。
  • Lambert級数の各項のグラフ
  • Lambert級数の各項のグラフ
  • Lambert級数の各項のグラフ
  • Lambert級数の各項のグラフ
  • Lambert級数の各項のグラフ
  • Lambert級数の各項のグラフ
  • Lambert級数の各項のグラフ
  • Lambert級数の各項のグラフ

 Mandelbrot 集合の反復力学系関数を
  • Mandelbrot集合の反復力学系関数
で定義する (cの関数のとき Mandelbrot 集合、zの関数のとき Julia 集合)。
 このとき、Mandelbrot-Lambert級数の項をグラフで見ると、次のようになる。
  • Mandelbrot-Lambert級数の各項のグラフ
  • Mandelbrot-Lambert級数の各項のグラフ
  • Mandelbrot-Lambert級数の各項のグラフ
  • Mandelbrot-Lambert級数の各項のグラフ
  • Mandelbrot-Lambert級数の各項のグラフ
  • Mandelbrot-Lambert級数の各項のグラフ
  • Mandelbrot-Lambert級数の各項のグラフ
  • Mandelbrot-Lambert級数の各項のグラフ

 これらの結果は、あたかも Lambert 級数の「Mandelbrot 集合版」のようになっている。そこで、次の関数を考える。
  • Mandelbrot-Lambert級数の定義
 各関数の複素変数でのグラフ。順に、①Mandelbrot-Lambert級数の記号, ②Mandelbrot-Lambert級数の記号, ③Mandelbrot-Lambert級数の記号, ④Mandelbrot-Lambert級数の記号, ⑤Mandelbrot-Lambert級数の記号, ⑥Mandelbrot-Lambert級数の記号, ⑦Mandelbrot-Lambert級数の記号, ⑧Mandelbrot-Lambert級数の記号

素数正弦関数・素数ガンマ関数

 古い (恐らく1990年代前半の) ノートを見ていて、当時から下記の独自関数を考えていた事を思い出しました。再度検証してみたところ新たな結果も得られたので、今回ここで取り上げることにしました。(いずれも、やや自明な結果かもしれない。)

素数正弦関数

 正負の素数に1位の零点を持つ超越整関数
  • 素数正弦関数
を、素数正弦関数と呼ぶことにする。その対数微分は、素数ゼータ関数素数ゼータ関数の記号の偶数での特殊値を用いて
素数正弦関数の対数微分の冪級数展開
と表わされる。よって、素数正弦関数自体の冪級数展開式は
  • 素数正弦関数の冪級数展開
となる。
 素数正弦関数と正弦関数の商
素数正弦関数と正弦関数の商
は、0, ±1, 正負の合成数に1位の零点を持つ超越整関数となる。この関数を用いれば、素数正弦関数の素数における微係数 (傾き) は
素数正弦関数の素数における微係数
で表わされる。
 素数正弦関数のグラフは次のようになる。
  • 素数正弦関数のグラフ(実変数)
  • 素数正弦関数のグラフ(複素変数)

素数ガンマ関数

 負の素数に1位の極を持ち、零点を持たない有理型関数
  • 素数ガンマ関数
を、素数ガンマ関数と呼ぶことにする。ここに、Meissel-Mertens定数の記号B1Meissel - Mertens 定数とする (以下同様)。
 素数ガンマ関数の対数微分は、素数ゼータ関数素数ゼータ関数の記号の特殊値を用いて
  • 素数ガンマ関数の対数微分の冪級数展開
と表わされる。よって、素数ガンマ関数の逆数の冪級数展開式は
  • 素数ガンマ関数の逆数の冪級数展開
となる。
 また、素数ガンマ関数の対数微分の冪級数展開式、および Meissel - Mertens 定数の定義式から
素数ガンマ関数の特殊値
となることが分かる。ここに、Eulerの定数γEuler の定数である。
 素数ガンマ関数は、素数正弦関数と
素数ガンマ関数と素数正弦関数の関係
の関係にある。しかし、ガンマ関数が満たす差分関数等式に相当するような、素数ガンマ関数の関係式は見つかっていない (恐らくそのような関係式は持っていない。よって 「ガンマ関数」 を含む名称で呼ぶのは適切でないかもしれない)。
 素数ガンマ関数のグラフは次のようになる。
  • 素数ガンマ関数のグラフ(実変数)
  • 素数ガンマ関数のグラフ(複素変数)

【工事中】

 工事中:ここに新規項目の追加を計画しています。
 Under creation:I'm planning to add a new contents here.
工事中

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