Home Menu

壮麗かつ深遠な特殊関数の世界

複素変数の場合を中心とする約9000個のグラフ・アニメーションによる視覚化、数学への興味が湧く不思議な公式・話題、Mathematicaによるプログラミング例、e.t.c.…

New & Modified
 ① 独自研究 「真性特異点を持つ二重周期関数」 の新規追加 (2017年11月11日)
 ② 「積分指数関数」 の全グラフ変更 (2017年9月11日)

Gallery


Jacobi の楕円振幅関数

 石膏模型風にした Jacobi の楕円振幅関数のグラフ。
  • Jacobiの楕円振幅関数のグラフ

実解析的 Eisenstein 級数

 ReliefPlot による実解析的 Eisenstein 級数のグラフ。
  • 実解析的Eisenstein級数のグラフ

クロソイド曲線弧で分割配色された Weierstrass の楕円関数

 クロソイド曲線弧の歪三角形によるタイル貼り模様で Weierstrass の楕円関数を配色する。垂直軸は逆双曲線正弦的。
  • クロソイド曲線弧で分割配色された 楕円関数のグラフ

Julia 集合の外部に等角写像された保型関数

 Böttcher 関数によって Schwarz の保型関数を Julia 集合の外部に移す。垂直軸は逆双曲線正弦的。
  • Julia集合の外部に等角写像された保型関数のグラフ

Klein の楕円モジュラー関数による「Apollonian gasket」

 存在領域が円である Klein の楕円モジュラー関数を用いて、単位円の内部を充填する。
  • Kleinの楕円モジュラー関数によるApollonian gasket

第5種 Painlevé 超越関数

 第5種 Painlevé 超越関数は原点に動かない分岐点を持ち、通常は負の実軸上に分枝切断線を置く。
  • 第5種Painlevé超越関数のグラフ

Mathieu 固有値関数

 Mathieu 関数の様々な次数に対する、固有値のとりうる値。 安定域と不安定域を重ねて描画。
  • Mathieu固有値関数のグラフ

Fresnel 関数およびクロソイド曲線

 Fresnel 関数とクロソイド曲線の射影元となる、エレガントな空間曲線。
  • 空間クロソイド曲線

Jacobi の第2種楕円関数(Jacobi の楕円イプシロン関数)

 母数が複素数となる場合。この関数は楕円関数を積分したものに相当する。
  • Jacobiの楕円イプシロン関数のグラフ

Schwarz の保型関数

 楕円モジュラー関数ではない保型関数の一例。Fuchs 関数の一種。
  • 保型関数のグラフ

第2種 q-Bessel 関数(変数:q)

 単位円の近傍で複雑な様相を呈する。(→ q-Bessel関数)
  • 第2種q-Bessel関数(q変数)のグラフ

第2種偏長回転楕円体波動余弦関数

 第2種の回転楕円体波動関数(スフェロイド関数)に余弦関数を代入した関数
  • 第2種回転楕円体波動関数と余弦関数との合成

q-対数関数(変数:q)

 単位円周への特異点の美しい集積。(→ q-対数関数)
  • q-対数関数(q変数)のグラフ

楕円ガンマ関数

 垂直軸は常用対数的スケール。関数値の急激な増大と無数の特異点。(→ 楕円ガンマ関数)
  • 楕円ガンマ関数のグラフ

楕円形膜の振動

 固有振動を重ね合わせた現実に近い振動。Mathieu 関数を使用する。(→ 楕円形膜の振動)
  • 楕円形膜の振動

非強制振動型 Duffing 関数

 強制振動項を持たない Duffing の微分方程式の解を、複素関数として描画する。(→ 非強制振動型 Duffing 関数)
  • 強制振動項を持たないDuffingの微分方程式の解

楕円的臍点正準積分関数(Elliptic umbilic canonical integral function)

 楕円的(へそ)と呼ばれるカタストロフィー現象と関係する積分関数。(→ この関数の詳細)
  • Elliptic umbilic canonical integral function

第1種 Muğan-Jrad 超越関数

 対数微分すると、第2種 Painlevé 超越関数になる場合。(→ この関数の詳細)
  • 対数微分すると第2種Painlevé超越関数になる関数

Mathematica のテクスチャー効果を用いた例

 木製のオブジェ (Riemann のゼータ関数)。
 E. Jahnke,F. Emde 著「Tables of Functions with formulae and curves」にある図と同等のグラフ。
  • Riemannのゼータ関数(木製のオブジェ)

 大理石のオブジェ (Jacobi の楕円関数)。
  • Jacobiの楕円関数(大理石のオブジェ)

お詫び・留意事項


グラフを描画した時のコードは頁上には表示しておりません
 具体的な描画範囲などを知りたい場合は、お手数ですが「Mathematica関連」頁にある Mathematicaノートブックファイルをダウンロードしてご確認ください。
 Mathematicaがインストールされていない端末では、ダウンロード後にテキストファイル形式へ変換すれば、コードを確認できます。また、無料の「Wolfram CDF Player」をダウンロードする方法もあります。
  http://www.wolfram.com/products/player/
  (注意:「Wolfram Player Pro」は有料。)
なお、いずれの場合も、計算の実行はできません。

コードを実行して生じた故障・不具合は、当サイト管理者は一切責任を負いません
 問題が無い場合でも、当サイトに掲示している複素変数のグラフと同等精度の画像を得ようとすれば、1グラフあたり大抵2~3時間はかかります(数日を要するものも存在します)。また計算中は、CPU使用量やメモリーもある程度占有し、端末にかなりの負荷がかかると思われます。特に楕円体関数系の固有値は、瞬間的にCPU使用量が跳ね上がることを確認しています。
 いずれのコードも、少なくとも一度は計算に使用した経歴のあるものですが、あくまで素人が作成したものであり、予期できない不具合が生じる可能性があります。恐れ入りますが、ご自身で計算を試される場合は自己責任でお願いします。
 なお、次の場合はあまり勧められません
  ① 適用バージョンが大きく異なる Mathematica でのコードの実行。
  ② 描画精度をさらにアップさせた訂正コードでの実行 (元コードでも既に精度が過剰気味)。

コード内の特殊関数は、変数のすべての領域で計算できるとは限りません
 「Mathematica関連」頁にある 特殊関数のコードは、元々グラフを描画する目的に特化したものであるため、関数の種類によっては、当サイトに掲示したグラフの描画範囲を超える変数を指定した場合、不正確な値または計算不能となることがあります。
 (例1)Mathieu関数(GeneralizedMathieuを除く), 回転楕円体波動関数等 → 次数が整数次の場合のみ計算可能。
 (例2)Painlevé 超越関数等 → 原点から遠い領域(絶対値が約20以上など)では不正確。

使用文体の混在等
 特に、学術的色彩の強い箇所では「~である」調を採用したため、「~です」調と混在しています。
 また、正しい仮名送り法が複数ある場合で、一般的でないほうを採用しているものがあります。
 (例)表される→表わされる

公式の定義について
 特殊関数は通常、同じ名称のものであっても異なる定義が存在します。当サイトに記述した公式や数式のいくつかは、一般的でない表記法を採用しています。例えば、楕円積分・楕円関数系では母数(第2変数)の記述方法が標準的な公式集のそれとは異なる Mathematicaでの用法に従っています。
 記述している公式等を用いる場合は、必ずご自身の目的に合致した定義であるかを、すみませんが公式集等でご確認願います。

工事中の箇所と更新について
 「工事中」と表示された箇所は、記事の新設を予定している箇所です(削除する場合もあります)。記事の更新や訂正が長期間されない場合もあることをご了承願います。一方、工事中でない箇所も、予告なく内容等を大幅に変更することがあります。

メール通信
 誠に申し訳ありませんが、通信頁は設けておりません。

更新履歴

 200X年XX月XX日~ … グラフ等の作成開始(ただし公開を予定しない個人用資料として)
 2011年11月11日~2013年09月17日 … 前身サイト「Painlevé 超越関数の視覚化」

 2013年09月17日(23:00) … サイト「特殊関数 グラフィックスライブラリー」の初公開
 2013年09月25日(23:40) … 「Riemann のP関数」の新規追加
 2013年11月14日(13:20) … 「Appell-Lerch 級数」の新規追加
 2013年11月14日(13:20) … 「超楕円積分の逆関数」の一部変更
 2014年01月09日(21:30) … 主要な関数名について各国語表記を記述(兼 keyword 用)
 2014年01月30日(22:30) … 「Abel 関数」の一部変更
 2014年03月10日(18:00) … 「Meijer のG関数」の新規追加
 2014年03月28日(06:30) … 「Blasius 関数」の新規追加
 2014年06月27日(12:00) … 「Böttcher 関数」の新規追加
 2014年06月27日(12:00) … 「Mathematica の(微妙な)Tips」の一部変更
 2014年08月16日(11:00) … 「非自明零点に関する Dirichlet 級数」の新規追加
 2014年08月16日(11:00) … 「Sitaramachandrarao 関数」の修正
 2014年08月20日(22:00) … 「Glaisher - Ramanujan 関数」を「Eisenstein 級数」に統合
 2014年09月07日(09:20) … 「Lamé 関数」のグラフを変更(Ver.8 化)
 2014年09月16日(06:40) … 「Kelvin's ship - wave pattern」の新規追加
 2014年09月19日(20:10) … 「Lamé 多項式」の新規追加
 2014年10月24日(21:00) … 「モックテータ関数」の一部修正
 2014年11月08日(17:00) … 「モックテータ関数」のグラフを変更(Ver.8 化)
 2014年11月12日(00:20) … 「一般 Lamé 関数」の新規追加
 2014年11月17日(17:00) … 「Lamé 固有値関数」のグラフを変更(Ver.8 化)
 2015年01月06日(22:00) … 「Mathieu 関数」の全グラフを変更(Ver.8 化)
 2015年01月13日(15:00) … 「ガンマ関数」の全グラフを変更(Ver.8 化)
 2015年02月10日(10:00) … 「ゼータ関数」の全グラフを変更(Ver.8 化)
 2015年03月12日(17:00) … 「ゼータ関数に関連する関数」の全グラフを変更(Ver.8 化)
 2015年07月23日(00:10) … サイトのデザイン・レイアウト変更(マルチデバイス対応 他)
 2015年07月23日(00:10) … 「Debye 関数」の新規追加
 2015年07月23日(00:10) … 「ポリ対数関数」の全グラフを変更(Ver.8 化)
 2015年08月17日(16:00) … 「回転楕円体波動関数」の全グラフを変更(Ver.8 化)
 2015年10月09日(18:00) … 「多重ガンマ関数, 多重三角関数」の新規追加
 2015年11月19日(00:10) … 「Lane - Emden 関数」の新規追加
 2015年11月25日(00:00) … アニメーション画像の追加開始
 2016年01月20日(12:00) … 「第2種 Painlevé 方程式の古典関数解」の修正
 2016年01月20日(12:00) … 「高階 Painlevé 方程式の古典関数解」の新規追加
 2016年02月24日(20:20) … 「Dedekind のゼータ関数」の新規追加
 2016年02月29日(16:00) … 「Eichler のL関数」の新規追加
 2016年03月23日(00:00) … 「第4種 Painlevé 方程式の古典関数解」の新規追加
 2016年05月07日(18:00) … 「Coulomb 波動関数」の全グラフを変更(Ver.8 化)
 2016年05月07日(18:00) … 「Hankel-Coulomb 波動関数」の新規追加
 2016年05月11日(17:00) … 「Euler 和」の新規追加
 2016年06月02日(07:00) … 「鎌倉・横浜の風景」の新規追加
 2016年06月07日(07:00) … 「実解析的 Eisenstein 級数」の新規追加
 2016年06月14日(21:00) … 「Riesz 関数」の新規追加
 2016年08月03日(16:00) … 独自研究「素数正弦関数・素数ガンマ関数」の新規追加
 2016年08月24日(21:30) … 「保型関数」の一部追加&全グラフ変更(Ver.8 化)
 2016年11月01日(11:20) … 「Heun 関数・合流型 Heun 関数」の新規追加
 2016年11月24日(19:00) … 「Bessel 関数関連」の全グラフを変更(Ver.8 化)
 2016年11月24日(19:00) … 「Lommel 関数」の新規追加
 2017年02月10日(18:00) … 「Lorenz 関数」の新規追加
 2017年04月12日(19:30) … 「Dedekind のゼータ関数」の一部追加
 2017年06月01日(23:40) … 独自研究「非 Bohr-Mollerup 型ガンマ関数」の新規追加
 2017年06月04日(08:00) … 「一般の保型関数」の新規追加
 2017年07月30日(13:10) … 「K関数」の新規追加
 2017年08月16日(18:00) … 「不完全ガンマ関数」の全グラフを変更(Ver.8 化)
 2017年09月11日(23:20) … 「積分指数関数」の全グラフを変更(Ver.8 化)
 2017年11月11日(11:11) … 独自研究「真性特異点を持つ二重周期関数」の新規追加



Home Menu